Расчеты газодинамических функций на оси осесимметричного молекулярного пучка Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц АГ И

Том III

1972

№ 4

УДК 533.6.011.8

РАСЧЕТЫ ГАЗОДИНАМИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ НА ОСИ ОСЕСИММЕТРИЧНОГО МОЛЕКУЛЯРНОГО ПУЧКА

С. В Мусанов

Аналитически исследуется поведение газодинамических функций на оси молекулярного пучка. Предполагается, что, начиная с некоторой поверхности, имеющей вид сферического сегмента, на которой молекулы имеют максвелловскую функцию распределения, происходит бесстолкновительное истечение в вакуум. Предельными случаями рассматриваемой задачи являются течения от сферического источника и из круглого отверстия.

1. Задача об истечении разреженного газа в вакуум являлась предметом исследования многих авторов [1]—[7].

Бесстолкновительное истечение, являющееся предельным случаем (1?е -» 0) [1]—[4], рассматривалось в работах [4]— [7]. В работе [4] свободномолекулярное истечение определялось аналитически только при отсутствии массовой скорости.

При таком же предположении рассматривалось истечение газа из отверстия в ,работе [5]. В работе [6] стационарное течение от точечного источника получалось как предельный случай нестационарного истечения, однако молекулы, вылетающие из источника, имели немаксвелловскую функцию распределения. Результаты, приведенные в работе [7], ограничены предположением о том, что разлет происходит от сферического источника с большой массовой скоростью.

В статье приведены в явном виде точные выражения для плотности потоков массы и кинетической энергии на оси пучка молекул, выходящих из произвольного сферического сегмента с произвольной массовой скоростью. Полностью аналитически решается задача для истечения из круглого отверстия. Для теплового разлета молекул задача решается аналитически без ограничений на геометрию излучающей поверхности. Получены аналитические выражения всех газодинамических параметров в области, отдаленной от источника (т. е. для точечного источника).

Результаты предполагается использовать для расчета молекулярных пучков, получаемых при помощи скиммера от газодинамического источника. В работах [8]—[12], посвященных этому вопросу, исследуется лишь плотность потока массы в предположении, что источник точечный. Кроме того, в работах [8]—[11] предполагается, что молекулы имеют массовую скорость, параллельную оси пучка, а в работе [12] учтено малое отклонение массовых скоростей от осевого направления. В данной статье эти ограничения сняты.

2. Как и в упомянутых выше работах, предполагается, что на стартовой поверхности задана максвелловская функция распределения с массовой скоростью, направленной по нормали к поверхности:

здесь ро== ~2^ f ї: R* — газовая постоянная.

*A# / О

Ч* У ' і

Поверхность, с которой начинается свободномолекулярное течение, берется в виде сферического сегмента с радиусом кривизны г0 и поперечным радиусом rs. Отношение rjr0 = sin f характеризует величину массового разлета. Предельными случаями рассматриваемой задачи является течение от полусферы y=tc/2 и истечение из круглого отверстия y = 0. Решение на оси пучка от полусферы тождественно решению задачи для сферического источника.

Выбирается местная сферическая система координат с центром в некоторой точке оси пучка и осью, направленной к центру стартового сегмента (фиг. 1).

Запишем выражения для газодинамических функций после интегрирования соответствующих моментов функции распределения по абсолютным значениям скоростей молекул и поперечной сферической координате, относительно которой течение однородно.

Плотность и кинетическая энергия единицы объема:

Плотность потоков массы, кинетической энергии и осевой составляющей импульса вдоль оси:

где Jk(x) = і е ^{x + t)kdt выражены через известные функции и их свойства

Верхний предел интегрирования <р0» представляющий собой полуугол, под которым виден источник из выбранной точки оси, вычисляется следующим образом.

Фиг. 1

J Jb (5ф) е **Sll,a Ф cos у sin ?d<e;

ОО

исследованы в приложении; S = pj/2 и0 — скоростное отношение;

5^ = 5 cos <|>, sin 41 = r/r0 sin <p.

г 1

На отрезке 1 <! —— •< • задача эквивалентна задаче о сферическом

го COS |

источнике и <р0 = arc sin . На больших расстояниях зависимость <р0 от г другая:

rs

<Ро = arctg —,

х riro — cos 7

где —=----------г--------.

Л rs sin 7

Остальные газодинамические функции могут быть выражены через р, е, qm, Яе, Рт с помощью алгебраических формул.

3. В ряде случаев выписанные квадратуры удается выполнить аналитически. Так, на стартовой поверхности (г = г0) выражения для газодинамических функций имеют вид:

Ps—яі/2 ^о(^); es — 2роЯ.і/2 ^02(5);

___ Ре г /о\. ns___________________________Ро і .

~ pj'2 1( Яе ~ 2$а к112 13’

Р"п ~ Ро«1/2 У,(5)’

ГДЄ /о2=-^0 + ^2Ї ^13 — Л-

Продольная и поперечная температуры, введенные в работе [2], соответственно равны:

Ts 11

Г,

Для гиперзвукового молекулярного пучка (практически при 5^3) величины параметров свободномолекулярного течения на стартовой поверхности совпадают с соответствующими значениями параметров идеального газодинамического расширения.

В любой точке оси молекулярного пучка с произвольной начальной массовой скоростью 5 и произвольным массовым разлетом у в известных функциях интегрируются выражения для плотностей потоков массы и кинетической энергии: ■ т

Яе (го\2(,

V = \~) s s"

где ф0 = <р0+ 7 для 0 < <ро<_2~ — ТВ области тождественности течения с течением от сферического источника фо = я/2.

Для использования выписанных выражений в случае максимально сфокусированного пучка (7 = 0) нужно принять г0/г = 1. Кроме того, три других основных интеграла в этом случае также берутся в явном виде:

— - 1 — совЗ ср й-^ 8І"2 ч30 - 2 5 - 1 соь у0е J (8) .

“ пп

Если начальная массовая скорость достаточно велика, то на расстояниях, таких что 528ш2ср0>1, никаких изменений газодинамических характеристик на оси луча не происходит.

В случае разлета молекул только за счет теплового движения (5 = 0) задача полностью решается в тригонометрических функциях. Решение в этом случае не зависит от формы стартовой поверхности, а только от величины угла, под которым она видна из выбранной точки.

4. Исследуем поведение газодинамических функций на большом удалении от источника <р0 < 1 (или в случае точечного источника):

где рп — плотность потока компонента импульса, перпендикулярного оси пучка в направлении, перпендикулярном этой оси; У2о = — Ль /42 = Л — 2У3-

Случай 7=0 требует дополнительного предельного перехода в этих формулах и формулах для плотностей потоков массы и кинетической энергии. Полагая 52<рд С 1, получим

Для гиперзвукового луча (5 > 1) последние формулы существенно упрощаются, если ограничиться только первыми двумя членами разложения по 1 /52:

Здесь функции отнесены к соответствующим функциям идеального газодинамического расширения, которые на стартовой поверхности совпадают со сво-<5одномолекулярными с такой же точностью.

Аналогичная процедура дает для сферического источника выражения для плотности массы и продольной температуры, тождественные выражениям в работе [7], однако для поперечной температуры получается коэффициент перед вторым членом в пять раз меньше

5. На фиг. 2 показано поведение плотности, скорости, температуры и удельной энергоемкости Н = яе1Ят на стартовой поверхности в зависимости от зада-

ваемого скоростного отношения.

Если стартовая поверхность соответствует критической координате идеального истечения М* = 1 для одноатомного газа с отношением удельных теплоемкостей х = 5/3 (5* = Т^б/б), то скорость и температура свободномолекулярного расширения на ней заметно отличаются от соответствующих газодинамических: ■и^/но = 1,149; 7УТ0 = 0,905, что не отражено в работе [4], где представленные результаты построены в масштабе, в котором это отличие не заметно.

На фиг. 3 представлена зависимость предельной скорости и температуры

от начального скоростного отношения в двух случаях 7 = 0 и 7 = я/2. Для

сравнения приведены значения максимальной скорости газодинамического течения итах/ио (*• = 5/3).

На фиг. 4 и 5 построена зависимость скорости и температуры для сферического источника от расстояния г/г0 и скоростного отношения 5.

Ро / Гр \2 1

Фиг. 2

15

& II s= 0

/

1

?

V . 3

Г/Г0

Re=103-,S~- J[/J R,~7;S = УТ И Re=0:S=3

Re-10\S-3\j\

1<Fr/r *"

Wu 10

1 - молендлы-тдердые c/pept>/ г - малсвеллоЗские молекулы 3 - иззнтропцчесхое расширение

Фиг. 4

Фиг. 6

На фиг. 6 проведено сравнение расчетов температур из работ [1], [2] и [4} и данной статьи.

Немонотонность результатов, вычисленных различными авторами, по числам Ие и 5 нельзя объяснить только различием используемых моделей, учитывающих столкновения молекул.

Модель работы [4] аналогична модели в работе [1], однако качественное соответствие результатов (в смысле монотонности по числам Яе и 5) получается у нее с работой [2] и представленной.

1. Brook J. W., Oman R. A. Steady expansion at high-speed ratio using the BGK Kinitic model. In: „Rarefied Gas Dynamics'. New York — London, Acad. Press, 1965, v. 1.

2. Hamel В. B., Willis D. R. Kinitic theory of saurce flow expansion with application to the free jet. Phys. Fluids, 1966, v. 9, No 5.

3. Edwards R. H., Cheng H. K. Steady expansion of gas into vacuum. AIAA Journal, 1966, v. 4, No 3.

4. Шахов E. М. Установившееся течение разреженного газа от сферического источника или стока. МЖГ, 1971, № 2.

5. Narasimha R. Orifice flow of high Knudsen numbers. J. of

Fluid Mechanics, v. 10, p. 3, 1961. ,

6. Narasimha R. Collisinsless expansion of gasis into vacuum. J. of Flud Mechanics, v. 12, No 2, 1962.

7. Лукьянов Г. А., Силантьев В. А. Об истечении газа в вакуум. МЖГ, 1968, № 5.

8. Андерсон Дж., Андрес Р., Фен Дж. Молекулярные пучки, получаемые с помощью сверхзвукового сопла. В сб. „Исследования с молекулярными пучками”. М., „Мир“, 1969.

9. Kantrowitz A., GrayJ. A high intensity source of molecular beam. The Review of scientific instruments, v. 22, No 5, 1951.

10. Boss el Uef. Skimmer interaction transmistion from a „shock beam* to a supersonic nozzle beam. Entropie, No 3, 1969.

11. Паркер, Культ о, Запата, С к о т т. Применение источников сверхзвуковых пучков в исследованиях при малой плотности к высокой скорости. Сб. „Газодинамика разреженных газов*. М., Изд. иностр. лит., 1963.

12. Hagen а О. F., Morton Н. S. Analysis of intensity and speed distribution of a molecular beam from a nossle source. „Ravefied Gas Dynamics'. New York—London, Acad. Press, 1967. v. II.

ЛИТЕРАТУРА

ПРИЛОЖЕНИЕ

oo

Свойства функций Jk(x)= I e p (x + t)kdt

— X

Г e С 1

J Jt ex2 x3 dx — -у [(У4 — 2/2) (x2 — 1) + 2 (J2 — •/())]; J J-i ex* xdx = -y x2 ex'

j* Jb e*2 xdx = у x1 ex* (/] + J3); J J2 e** dx = -y xex* J0; J J4 ex* dx = -y xex‘ (J0 -f- J2);

Рукопись поступила 6jX 1911 z.