CC BY
47
Математические методы. Моделирование. Экспериментальные исследования -►
УДК 539.3
А.А. Лукашевич
РАСЧЕТНЫЕ МОДЕЛИ КОНТАКТНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
И РАЗРУШЕНИЯ ДЕФОРМИРУЕМЫХ ТЕЛ С ПРИМЕНЕНИЕМ КОНТАКТНЫХ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
A.A. Lukashevich
COMPUTATIONAL MODELS OF CONTACT INTERACTION AND DESTRUCTION OF DEFORMABLE BODIES USING THE CONTACT FINITE ELEMENTS
Предложен численный подход к решению задач контактного взаимодействия и разрушения упруго-деформируемых тел. Взаимодействие берегов трещин, включая силы трения и контактное давление, моделируется посредством контактных конечных элементов рамного типа с использованием метода пошагового анализа.
КОНТАКТНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ. ХРУПКОЕ РАЗРУШЕНИЕ. ТРЕЩИНА. ОДНОСТОРОННИЕ СВЯЗИ. ТРЕНИЕ КУЛОНА. ПОШАГОВЫЙ АНАЛИЗ. КОНТАКТНЫЙ ЭЛЕМЕНТ.
The numerical approach to contact interaction and destruction of elastic-deformable solids is offered. The interaction of crack edges, including friction and contact pressure, is modeled by frame contact finite elements using the step-by-step analysis.
CONTACT INTERACTION. FRAGILE DESTRUCTION. CRACK. UNILATERAL CONSTRAINTS. CULON'S FRICTION. STEP-BY-STEP ANALYSIS. CONTACT ELEMENT.
Известно, что под действием нагрузки на деформируемое тело, особенно, если материал хрупкий, при достижении определенного уровня напряженно-деформированного состояния может начаться процесс разрушения, поначалу имеющий локальный характер (зарождение трещин в зонах контакта или максимального растяжения, концентраторах и т. п.), а затем катастрофически развивающийся вглубь области. Применение численных методов к решению такого рода задач позволяет не только моделировать развитие повреждений (раскрытие и рост трещин, фрагментация сплошной области и т. п.), но и прогнозировать и оценивать разрушения. В этой связи для реализации контактных условий в трещинах предлагается использовать опубликованные в работах [1, 2] конечно-элементные модели контакта и соответствующие методы их расчета.
Решение задачи деформирования и разрушения сооружений осуществляется с помощью известных моделей механики деформируемого
твердого тела. Материал рассматривается как линейно упругий. Для определения момента разрушения анизотропного материала используется критерий прочности, предложенный Э.М. Ву [3]. Данный критерий, имеющий удобную для численной реализации формулировку (выражение через функции от компонент тензора напряжений), может быть записан в виде
/(оу) = Оу + Бт Оу °к1 + ... > ^
где I, у, к, I = 1, 2, 3. (1)
Здесь Ву и Еук1 — компоненты соответствующих тензоров, определяемые через пределы прочности на растяжение, сжатие и сдвиг.
Разрешающее уравнение (матричное уравнение равновесия) здесь представляется в виде, позволяющем свести решение конструктивно нелинейной задачи квазистатического деформирования и разрушения к решению последовательности линейных задач методом пошагового анализа [1]:
К ли5+1 = Р5+1 - ки5, (2)
где перемещения на (5+1)-м шаге и5+1 = и5 + ли5+1 . В случае динамического действия нагрузки решение конструктивно нелинейной динамической задачи сводится к решению последовательности линейных динамических задач на основе пошагового по времени расчета [2]:
ми *+л* + си *+л* + кли *+л* = Р *+л* - ки *, (3)
где V*+л* = и* + Ли^+л*. Для численного интегрирования уравнений (3) используется конечно-разностная схема Ньюмарка. При учете односторонних связей и кулоновского трения между граничными поверхностями в трещинах должны выполняться следующие условия контакта:
и'п < 0, о'п < 0, и'по'п = 0; ]
11 /I I \ ^ хе£.. (4)
| °г | <-/ °'п, < 0, (( +/ о'п ) = 0
Здесь и*, и* — взаимные перемещения контактирующих поверхностей S+ и S- = S +с и ^") соответственно по нормали и по касательной в момент времени *; и* = ди*/ д* — скорость взаимных касательных перемещений; / — коэффициент трения; о*, о* — нормальное и касательное напряжения на площадке контакта в момент времени *.
Численное решение контактной задачи будет заключаться в проведении процесса пошагового нагружения для уравнений (2) либо пошагового интегрирования по времени уравнений (3) при соответствующих начальных и граничных условиях, а также выполнении условий (4) на возможных контактах в трещинах. При проведении МКЭ моделирования процесса разрушения на каждом шаге (по нагрузке либо по времени) необходимо, кроме того, решать следующие вопросы:
определение места возникновения разрушения (действия на уровне данного узла конечно-элементной сетки — образование микротрещины);
собственно численное описание характера разрушения (локальные действия на уровне конечно-элементной сетки — образование макротрещины).
Моделирование механизма разрушения на уровне конечно-элементной сетки заключается,
во-первых, в установлении картины разрушения (ориентация и размеры трещин, формы и размеры осколков, размеры области дробления или фрагментации); во-вторых, в математическом описании изменения и накопления повреждений (рост трещин, их слияние, образование магистральных макротрещин и их распространение); наконец, в учете влияния разрушения на остальные характеристики материала, в первую очередь на его прочностные свойства. В то же время при численном описании процесса разрушения (картина которого заранее не известна), а также контактного взаимодействия в трещинах целесообразно вводить поверхность разрушения (макротрещина) и при необходимости локально перестраивать сетку. С учетом вышеизложенного для моделирования процесса разрушения хрупких материалов используется комбинация подходов: метод раздвоения узлов (при возникновении микротрещины) и метод локальной перестройки сетки (при вводе поверхности разрушения и описании поведения макротрещины).
Моделирование трещины осуществляется путем разделения узла (в окрестности которого сработал критерий разрушения) на два, расположенных на разных берегах микротрещины. Таким образом, дальнейшее распространение трещины происходит по узлам и смежным сторонам конечных элементов сетки. Посредством расщепления конечно-элементной сетки вдоль сторон элементов, лежащих по одну и по другую стороны от направляющего луча трещины, образуется поверхность разрушения — макротрещина. Вводится Г-образный рамный контактный конечный элемент (ККЭ) типа «поверхность — узел» [4], соединяющий узлы противолежащих ячеек сетки и моделирующий контактное взаимодействие берегов макротрещины (рис. 1, а, б).
Граничные условия (4) в терминах усилий и перемещений для каждого рамного ККЭ в этом случае примут следующий вид [2]:
и'пк < 0, М<к < 0, и<пкМ[ = 0 1 (5)
II > к. (5)
\о1\ < , аМи > 0, о-о;к) и*к=0
Здесь иПи , и** — взаимное нормальное перемещение и скорость взаимного касательного перемещения противолежащих узлов к-го ККЭ в момент времени *; Ж*, О* — продоль-
Математические методы. Моделирование. Экспериментальные исследования
ная и поперечная силы в рамном ККЭ ;
0рк = ) /к N1 — значение предельной
поперечной силы для момента £ Состояние сцепления контактных поверхностей в трещине
определяется следующими условиями: йпк =5
о
Пк,
N. <0, й{к = 0, 01
тк '
/ с1
зывания: й„и = 5
<
0
; состояние проскаль-
■■пк = ипк> N1 <0, йТк * о, 0к =\0Рк
состояние отрыва: (йпк -5°к) < 0, N1 = 0. Численная реализация контактных условий в трещинах, включая силы трения и контактное давление, производится согласно методикам, изложенным в работах [1, 2].
Ориентация образовавшейся макротрещины и направление ее дальнейшего роста определяется по лучу, наиболее близкому к расчетной плоскости, совпадающей с площадкой максимальных растягивающих напряжений (если трещина — за счет отрыва), либо с площадкой, на которой действует максимальное касательное напряжение (если трещина — за счет сдвига). Далее производится корректировка положения макротрещины в конечно-элементной сетке путем сдвига узлов сетки на данный луч либо локальной перестройки конечно-элементной сетки в направлении трещины.
После каждого локального перестроения сетки требуется пересчитать соответствующие узловые и элементные параметры, характеризующие состояние обновленной дискретной схемы (геометрия, смещения, контактный слой, НДС). Пересчет выполняется по значениям аналогичных параметров в исходных узлах и элементах с использованием обычных интерполяционных схем, а также с учетом весовых характеристик рассматриваемых конечных элементов. При моделировании задачи хрупкого разрушения материала в двумерной постановке представляется, что критерий разрушения срабатывает одновременно по всей глубине материала. Таким образом, появившаяся трещина (как и другие формы разрушения) предполагается сквозной также по всей глубине. В процессе роста микротрещин, их слияния и дробления материала (фрагментация) возможно образование раскалывающей магистральной макротрещины, часто в виде полосы разрушения толщиной в несколько слоев конечных элементов, и ее распространение в сплошной среде.
Рис. 1. Рамный ККЭ (а) и схема взаимодействия берегов трещины (б)
Порядок расчета при пошаговом (по нагрузке либо по времени) моделировании процесса деформирования и разрушения упруго-деформируемых тел будет следующим:
на каждом шаге проверяется критерий разрушения в узлах рассматриваемой области;
при срабатывании критерия разрушения в каком-либо узле определяется плоскость образовавшейся микротрещины, совпадающая с площадкой максимальных растягивающих напряжений, либо с площадкой сдвига;
данный узел разделяется на два — распространение трещины происходит по узлам и сторонам сетки, образуется макротрещина;
корректируются главные напряжения и для раздвоенных узлов пересчитываются значения компонент напряжений в основной системе координат;
вводится контактный элемент, соединяющий пару раздвоенных узлов и моделирующий контактное взаимодействие берегов макротрещины как в нормальном, так и касательном направлении;
с целью корректировки текущего положения и моделирования распространения макротрещины выполняется локальная перестройка сетки в ее окрестности, а именно: устанавливается положение вершин трещины в конечных элементах, через которые она проходит, и эти элементы делятся на пары элементов, лежащих по разным берегам трещины;
пересчитываются соответствующие узловые и элементные параметры, характеризующие со-
стояние обновленной дискретной схемы, а также оптимизируется нумерация узлов обновленной конечно-элементной сетки.
Приведенные дискретные контактные модели и методы их расчета использовались для численного анализа повреждения кости при проникающем действии жесткого индентора (данная задача моделирует рубленую травму трубчатой кости острым предметом). Жесткостные и прочностные характеристики костной ткани, а также результаты натурных испытаний взяты из [5]. Индентор — легированная сталь типа 20Х (модуль упругости Е = 207 ГПа, коэффициент Пуассона V = 0,25). Костная ткань моделируется упруго-хрупкой ортотропной средой с использованием критерия разрушения Ву. Характеристики в продольном направлении: Е = 9,45 ГПа, ор = 100 МПа, ор сж = 250 МПа; в поперечном: Е = 5,76 ГПа, ор = 17 МПа, оР сж = 50 МПа; V = 0,328. Упругие и прочностные характеристики (Е, ор) заполнителя трубчатой кости принимались на порядок меньше, чем для основного материала. Коэффициент трения между контактирующими поверхностями индентора и материала кости — /и-к = 0,1; между поверхностями трещины — /к-к = 0,3. Закрепление трубчатой кости выполнялось с помощью упругих связей, наложенных в узлах по ее верхней и нижней поверхности (упругие опоры моделируют двухсторонний контакт кости с упругоподатливой подложкой со стороны окружающих кость мышечных тканей). Построение дискретной модели системы «индентор — кость» соответствовало реальным геометрическим размерам. Для моделирования контакта между граничными поверхностями индентора и кости использовались
Т-образные рамные ККЭ типа «поверхность — узел», между поверхностями (берегами) трещин — Г-образные ККЭ [4].
Таким образом, в представленных здесь примерах моделировалось как контактное взаимодействие при проникающем действии индентора в кость, так и взаимодействие берегов трещин в процессе трещинообразования, распространения макротрещин и фрагментации кости. Расчеты выполнялись методом пошагового (по времени либо по нагрузке) анализа состояния контакта [1, 2] с уточнением НДС и перестройкой конечно-элементной сетки при появлении и росте трещин. В процессе расчета внедрения индентора производится автоматическое переопределение контактных элементов, дискретизирующих буферную зону между граничными поверхностями индентора и кости. Определение текущей зоны контакта в этом случае осуществляется с помощью алгоритма типа «господин — слуга».
На рис. 2 представлены результаты натурных испытаний и численного анализа разрушения кости рубящим острым (угол лезвия 30°) предметом при поперечном ударе. В виде изополей показано распределение первых главных напряжений. Задача решалась в динамической двумерной (плоская деформация) постановке. Динамическое нагружение моделировалось заданием импульса узловых сил, приложенных к индентору в направлении удара. Показано соответствие экспериментальных и расчетных результатов: прогнозируемых и оригинальных зон разруба, формирования сколов, зарождения и развития опережающих трещин, перелома.
На рис. 3 показано оригинальное рубленое повреждение трубчатой кости топором (угол
—; г г
| Опережающие трещины -о- прогнозируемые зоны первичного разрыва | Рис. 2. Контактное разрушение трубчатой кости при поперечном ударе
Математические методы. Моделирование. Экспериментальные исследования -►
И,-"\-
и
г, ТШ1
Рис. 3. Оригинальное (а) рубленое повреждение трубчатой кости топором и результаты численного
расчета (при 70 (б) и 100 (в) % нагружения)
лезвия 150) под углом 45°, а также результаты численных расчетов, иллюстрирующих характер разрушения кости при внедрении острого ин-дентора на разных стадиях пошагового расчета (отображается только сплошная область, без зон фрагментации, а также изополя главных напряжений). Данная задача решалась в квазистатической двумерной постановке. Для моделирования статического нагружения к индентору по шагам прикладывалась нагрузка в направлении воздействия.
Проведенные численные исследования показали хорошее соответствие расчетных и экс-
периментальных результатов, несмотря на существенную приближенность используемых расчетных схем (приведение к двумерной задаче для ортотропного материала) реальному объекту (трубчатая кость, имеющая сложные физико-механические свойства). Как видно по рис. 2 и 3, конфигурация и форма трещин, соответствие прогнозируемых и оригинальных зон разруба, формирования сколов, зарождения и развития перелома (магистральных и встречных трещин), полученных при проведении натурных испытаний, в общем совпадают с полученными численными решениями.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Лукашевич, А.А. Решение контактных упругих задач с трением Кулона при пошаговом нагружении [Текст] / А.А. Лукашевич // Изв. вузов. Строительство.- 2008. № 10.- С. 14-21.
2. Розин, Л.А. Решение задач с односторонними связями при динамических воздействиях [Текст] / Л.А. Розин, А.А. Лукашевич // Научно-технические ведомости СПбГПУ.- 2009. № 3 (84).- С. 195-199.
3. Ву, Э.М. Феноменологические критерии разрушения анизотропных сред [Текст] / Э.М. Ву // Ме-
ханика композиционных материалов.— М.: Мир, 1978.- С. 401-491.
4. Лукашевич, А.А. Построение и реализация схем прямого метода конечных элементов для решения контактных задач [Текст] / А.А. Лукашевич // Изв. вузов. Строительство.— 2007. № 12.— С. 18-23.
5. Леонов, С.В. Рубленые повреждения кожного покрова и костей [Текст] / С.В. Леонов. — Хабаровск: Изд-во ИПКЗС, 2006.— 263 с.
ЛУКАШЕВИЧ Анатолий Анатольевич — доктор технических наук, профессор кафедры сопротивления материалов инженерно-строительного института Санкт-Петербургского государственного политехнического университета. 195251, Политехническая ул., д. 29, Санкт-Петербург, Россия (812) 552-63-03 a.luk@bk.ru
© Санкт-Петербургский государственный политехнический университет, 2013
