Расчет железобетонных плит методом стержневой аппроксимации Текст научной статьи по специальности «Физика»

TECHNICAL SCIENCES

РАСЧЕТ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ ПЛИТ МЕТОДОМ СТЕРЖНЕВОЙ АППРОКСИМАЦИИ

Азизов Т.Н.

докт. техн. наук, проф.

Уманский государственный педагогический университет имени Павла Тычины

CALCULATION OF REINFORCED CONCRETE PLATES BY THE ROD APPROXIMATION

METHOD

Azizov T.

Professor, DSC (eng.), Pavlo Tychyna Uman State Pedagogical University, Ukraine

АННОТАЦИЯ

В статье приведена методика расчета сплошных плит с помощью аппроксимации системой стержней, расположенных во взаимно перпендикулярных направлениях. Приведены типовые строки системы дифференциальных уравнений для расчета такой системы. Показано, что система имеет количество неизвестных на порядок меньше чем количество неизвестных при решении задачи с помощью метода конечных элементов. Приведена методика определения крутильных жесткостей стержневой системы.

ABSTRACT

The article presents a methodology for calculating continuous plates using approximation by a rod system. The rods are located in two perpendicular directions. Typical lines of a system of differential equations for calculating such a system are given. It is shown that the system has many less unknowns than in the finite element method. The method of determining the torsional stiffness of the rods of the rod system.

Ключевые слова: плита, стержневая аппроксимация, крутильная жесткость, система уравнений, тре-щинообразование.

Keywords: plate, rod approximation, torsional stiffness, system of equations, crack formation.

Анализ исследований и постановка задачи.

При проектировании железобетонных плит часто возникает проблема, что рассчитанная в программном комплексе плита имеет прогибы, существенно отличающиеся от экспериментальных. Как правило, плита, рассчитанная с учетом нелинейных свойств материалов имеет теоретический прогиб, меньший экспериментального прогиба. Это связано в первую очередь с фактом недостаточного учета изменения крутильной жесткости в результате тре-щинообразования [2]. Расчеты по теории Н.И. Карпенко [4-6] дают неплохое совпадение с экспериментальными данными. Однако в теории Н.И. Карпенко не учитывается влияние нормальных трещин на изменение крутильной жесткости сечения. Влияние нормальных трещин на изменение крутильной жесткости железобетонных стержневых элементов показано в ряде работ [1, 2, 8]. Использование формул теории упругости [9] может быть оправдано только при расчете в упругой стадии и не может быть применено для расчета с учетом трещинооб-разования. Расчет с использованием метода конечных элементов (МКЭ) [3, 10] является наиболее приемлемым. Однако, МКЭ свойственны недостатки [3]: необходимость решения системы уравнений больших размеров и связанные с этим проблемы обусловленности, а для определения параметров напряженно-деформированного состояния в локальной области необходимо рассчитывать всю конструкцию.

В работе [2] показано, что при расчете железобетонных перекрытий с учетом трещинообразова-ния удобно пользоваться методом стержневой аппроксимации. Это связано с фактом, что влияние различных трещин как на изгибную, так и на крутильную жесткости железобетонных стержневых элементов изучено достаточно полно. В работе [2] показано также, что сплошные плиты тоже можно рассчитывать в виде аппроксимации перекрестно-стержневой системой. При этом в отличие от предложений А.Р. Ржаницына [7], где предложена аппроксимация в виде продольных, поперечных и диагональных стержней без учета их крутильной жесткости, в [2] предложено аппроксимировать плиту системой только продольных и поперечных стержней, расположенных во взаимно-перпендикулярном направлении, но при этом учитывается их крутильная жесткость. Такая аппроксимация имеет ряд преимуществ. Однако, в работе [2] не рассмотрены случаи, когда плита оперта четырьмя сторонами, а также не рассмотрена методика определения крутильных жесткостей стержней в системе, аппроксимирующей плиту, опертую по контуру.

В связи с этим целью настоящей статьи является совершенствование методики стержневой аппроксимации сплошных плит, опертых по контуру, в том числе разработка методики определения крутильных жесткостей аппроксимирующих стержней.

Изложение основного материала.

Рассмотрим плиту, опертую по контуру, с размерами в плане // и /-> (рис. 1).

X

г

' I 1 1 I 1 / Г 1-1 / Г п Г

I 1 1 I I 1 © © © о / &

|_ ~ а~ а ~ а~ а

Рис. 1. Схема рассечения сплошной плиты на полосы

Для расчета, следуя [2], рассечем плиту вдоль кальных усилий Si(x); поперечных изгибающих мо-

стороны I (вдоль оси X) п секущими плоскостями ментов ш^х) и крутящих моментов Ш(х) (момен-

на п+1 полос шириной а. Вдоль линий рассечения тов относительно линий, параллельных оси Y).

в каждом ьтом сечении будут действовать три Схема приложения внутренних неизвестных уси-

функции неизвестных погонных усилий: верти- лий к г-той полосе показана на рис. 2.

Рис. 2. Схема действия усилия вдоль линий рассечения в 1-той полосе

Таким образом расчет сплошной плиты будем проводить дискретно-континуальным методом, когда в одном направлении (в направлении оси Y) плита делится дискретно, а в другом направлении (в направлении оси X) рассматривается континуальное условие совместности деформаций.

Учитывая, что для расчета мы используем балочную теорию, сплошная полоса представлена в виде продольного стержня шириной сечения а и множества поперечных стержней шириной в единицу (рис. 3).

Рис. 3. Представление сплошной 1-й полосы системой продольных и поперечных стержней.

Жесткость продольного стержня (поз. 1 на рис. 3, б) принимается равной реальной жесткости полосы шириной а и толщиной к, равной толщине плиты. Изгибная жесткость поперечных стержней (поз. 2 на рис. 3,б) равна изгибной жесткости полоски шириной 1 и высотой к. Определение крутильной жесткости поперечных стержней будет рассмотрено ниже. Здесь только отметим, что определение крутильной жесткости поперечных стержней как стержня шириной 1 и высотой к будет не верным.

Для определения неизвестных усилий в каждом ьтом сечении следует составить условие совместности деформаций слева от этого сечения и справа. Это условие равенства вертикальных перемещений, условие равенства углов поворота относительно оси X, углов поворота относительно оси У (вернее, относительно линий, параллельных оси У). Применяя подход, принятый в [2], запишем три типовые строки для системы дифференциальных уравнений для каждого ьтого сечения. Для равенства вертикальных перемещений (вернее, их вторых производных):

MQi Eli

Eli Eli i 1 Gl¡ i Gl¡ i 3D¡ i 1 Gl¡ i Gl¡

MSr

■ + MSi+i-

M S

,2 ¡1+1

MSi

M S

¡3 ¡1+1

i 2D;

MKi_1 , MKj _ MQi+1

E

+

Mi

+ M

MK¡

■+MK,

Eli ——

1

Eli.

,2 ¡1+1

' 1+1

i +1

E

+1

(1)

Для равенства углов поворота относительно оси X:

MS? 1 ± + MS?^ + MSiv^ + M¿-±-Mi-Ml'^ = MS?+ + MSF-^ + ^-^ + M?^ (2)

Gli

Gli

Di

2Di+

Для равенства углов поворота относительно оси У (оси, перпендикулярной направлению полос):

ÍMQ, ¡MS,

—1 ¡ MS'_¡ MKi-i j ¡ MKK'\ ]\JКl ^^

Eli Eli Eli Eli Eli i GIpoi

+

■ -MKl^Q)

' pol

2

1

1

,

,

G

G

1

E

+

E

E

E

E

E

В выражениях 1-3 приняты обозначения: БЬ, О1 - соответственно изгибная и крутильная жесткости ьтой полосы; Д - цилиндрическая жесткость поперечного стержня шириной 1 и высотой к; Ь1, & - соответственно расстояние слева и справа от ь того стержня до сечения (см. рис. 3); О1ро1 - крутильная жесткость поперечных стержней; МБ1=МБ1(х) - функция изгибающих моментов от усилий Si(x), связанная дифференциальной зависимостью сопротивления материалов MS/I=Si; Mi=mi(x) - функция поперечных изгибающих моментов (см. рис. 2); МК1=МК(х) - функция суммарных крутящих моментов от погонных моментов mti(x), связанная с ними дифференциальной зависимостью МК}=т1(, MQi=MQi(x) - функция изгибающих моментов от заданной внешней нагрузки qi(x) на г'-тую полосу.

Уравнения 1-3 составляются для всех сечений, начиная от второго, заканчивая п-1-ым. При рассмотрении совместности деформаций в первом сечении (между первой и второй полосой) следует учесть, что с левой стороны первой полосы будут отсутствовать поперечные изгибающие моменты т^). Аналогично при рассмотрении совместности деформаций в и-ом сечении будут отсутствовать моменты т^) справа в полосе п+1. Это связано с фактом шарнирного опирания продольных сторон крайних полос. Кроме того, следует рассмотреть два дополнительных уравнения слева от первой полосы и справа от полосы п+1, в которых вертикальные перемещения равны нулю, а также два дополнительных уравнения равенства нулю углов поворота относительно оси У. Таким образом мы

получим систему 3n+4 дифференциальных уравнений с 3т+4 неизвестными функциями.

Учитывая граничные условия, решение для неизвестных функция можно принять в виде тригонометрических рядов:

ж

MSi(x) = ^ askSin (---)

к=1

Mi(x)=Zf=1amkSin(^) (4)

ж

V (п •к •хх MKi(x) = ^ atkCos (---)

k=1

Подставляя (4) в систему уравнений 1-3, произведя дифференцирование и интегрирование, и сокращая на Sin (~к~)> получим систему уже алгебраических уравнений для определения неизвестных коэффициентов Фурье asu, amu, atu. При этом, если разбить длину полосы (вдоль оси Х на рис. 1) на 10 частей (чего вполне достаточно для получения приемлемой точности), а верхний предел суммирования в (4) принять равным m, то систему 3n+4 уравнений с 3т+4 неизвестными надо будет решать m^10 раз.

После определения неизвестных функций каждая полоса рассматривается как балка, к которой приложена своя внешняя нагрузка и определенные из системы уравнений внутренние усилия слева и справа.

Перейдем теперь к определению крутильной жесткости GJt продольных стержней и крутильной жесткости GIpoi поперечных стержней. Так как распределение усилий вдоль пролета выделенных полос (вдоль оси X) континуальное, то можно сказать,

что поперечные стержни (поз. 2 на рис. 3) расположены через единицу длины, например, через 1 см. Что касается изгибной жесткости таких стержней, как было сказано выше, то она может быть без ошибок принята как сечение 1хИ. Однако, попытка принять крутильную жесткость как жесткость стержня сечением 1хИ даст неверные результаты.

Для определения крутильной жесткости продольных и поперечных единичных стержней предлагается следующий способ, имеющий высокую точность для расчета квадратных плит. Из численных расчетов с помощью известной программы «Лира» было установлено, что плиту можно представить перекрестно-стержневой схемой. Причем, если ширину сечения стержней а и продольного, и поперечного направления принять равной двойной толщине плиты, то прогибы в перекрестно-стержневой системе практически совпадают с прогибами в плите, заданной плоскими конечными элементами. Если плиту разбить на п+1 полос вдоль стороны 12, то шаг полос будет равен c=l2/(n+1), где Ь -ширина плиты по оси Y, а п+1 - количество продольных полос (стержней), на которое разбита плита (см. рис. 1). Следовательно, и ширина отсеченной полосы в расчетной схеме будет равна c. Если шаг продольных стержней (полос) c будет меньше величины a=2•h, то реальную крутильную жесткость стержня сечением ахк следует умножить на коэффициент Ь, определяемый по формуле:

к,=-

С/с

(5)

где GIa, GIc -крутильная жесткость стержня соответственно сечением axh и сечением cxh.

Коэффициент Ь по сути имеет тот смысл, что если разместить на расстоянии a количество, равное a/c, стержней шириной сечения c и жесткостью GIc, умноженной на Ь, то их суммарная крутильная жесткость будет равна жесткости GIa, которая является базовой (см. выше). Шаг продольных стержней больше чем величина a=2•h принимать не следует, т.к. в этом случае точность расчета пострадает.

Аналогично следует определить коэффициент Ь для увеличения жесткости поперечных стержней с единичной шириной сечения. При этом в формуле (5) величина GIc будет равна жесткости стержня сечением 1хк, а величина с будет равна единице.

Применение методики определения крутильной жесткости стержней стержневой системы, аппроксимирующей работу плиты, покажем на примере расчета квадратной плиты размерами в плане 8.5х8.5 м и толщиной h=25 см.

Необходимая ширина полос a, на которые будет разбита плита в продольном направлении составляет a=2•h=2•25=50 см. Разобьем плиту на полосы шириной a и получим, что это количество равно 850/50=17. Так как получилось целое число полос и c=a, то изменять крутильную жесткость продольных стержней не надо (т.е. коэффициент Ь равен единице). Поперечные стержни с единичной шириной (сечением 1x25) имеют момент инерции

при кручении Ic, равный 8.12 см4. Момент инерции при кручении сечения ихк =50х25 см равен Ia =178658 см4. Учитывая, что модуль упругости при сдвиге в одинаковый для всех стержней, по формуле (5) будем иметь (е=1 см): кь = 1786|8=440. Т.е.

расчетный момент инерции при кручении единичных полос должен быть принят равным 8.12 440=3608 см4.

Подстановка соответствующих значений жест-костей в систему уравнений 1 -3 для каждого ьтого сечения (см. рис. 1) даст нам возможность определить все усилия, а затем перемещения в стержневой системе. Эти усилия и перемещения практически полностью совпадают с соответствующими усилиями и перемещениями плиты, смоделированной с помощью плоских конечных элементов. Правильность расчета легко проверить, смоделировав перекрестно-стержневую систему в любой известной программе. При этом жесткости стержней перекрестно-стержневой системы следует принять как было показано выше.

Если ширину сечения поперечных стержней при расчете в программе «Лира» принять равной 5 см (для упрощения задания схемы и уменьшения числа неизвестных), то реальную крутильную жесткость поперечных стержней Лт=910 см4 согласно формуле (5) следует увеличить в 178672/(910 (50/5)) =19.6 раз. При подстановке такой крутильной жесткости для поперечных стержней результат становится равным реальному.

Отметим один важный факт. При расчете стержневой системы с семнадцатью продольными и восемьсот пятьюдесятью поперечными стержнями в программе «Лира» (с помощью задания балочного ростверка) получается система с количеством неизвестных, равных 88360. А при расчете по предложенной выше методике количество неизвестных равно (см. выше) 3 17+4=55. При этом, если взять число суммирования рядов (4), равным 10 (чего вполне достаточно для обеспечения требуемой точности) и разбиение по длине полосы взять равным 10, то система из 55 уравнений будет решаться 10 10=100 раз. Как видим, порядок системы уравнений в предложенном случае существенно отличается, что говорит в пользу предложенного метода.

Другим существенным преимуществом предложенного метода расчета является достаточно простая возможность расчета с учетом изменения изгибных и крутильных жесткостей в результате образования различных трещин. В этом случае программа расчета на каждом шаге итерации обращается к подпрограмме изменения жесткостных параметров стержней в результате образования трещин.

Следует также отметить, что для прямоугольных в плане плит соотношение ширины сечения стержней к высоте (толщине) плиты может быть принято аналогично описанному выше способу.

Выводы и перспективы исследования. Сплошную плиту, опертую по контуру, предлагается рассчитывать с помощью аппроксимации системой из перекрестных стержней, расположенных

С1

а

а

с

во взаимно перпендикулярном направлении. Выведена система дифференциальных уравнений для расчета такой стержневой системы. Эта система дифференциальных уравнений с помощью разложения в ряды Фурье приведена к системе линейных алгебраических уравнений. При этом получается система уравнений на несколько порядков меньше системы уравнений, решаемой при расчете методом конечных элементов. Показан способ определения крутильных жесткостей перекрестно-стержневой системы. При подстановке определенных таким образом крутильных жесткостей в расчетную схему прогибы и усилия в перекрестно-стержневой системе практически совпадают с прогибами и усилиями, определенными с помощью метода конечных элементов как при стержневой схеме, так и при моделировании плоскими конечными элементами. Предложенная методика расчета позволяет рассчитывать железобетонные плиты, опертые по контуру, с учетом изменения жесткостных характеристик в результате образования трещин.

В перспективе предполагается разработка программы на ЭВМ для расчета с учетом трещинооб-разования.

Литература

1. Azizov T. Calculation of reinforced concrete ceilings with normal cracks accounting the Chebyshev approximation / T.Azizov, O. Melnik and others // 6 th International Scientific Conference "Reliability and

Durability of Railway Transport Engineering Structures and Buildings" Transbud-2017. - Kharkiv, April 19-21, 2017/ - S. 1-7.

2. Азизов Т.Н. Пространственная работа железобетонных перекритий. Теория и методы расчета. - Дисс. ... докт. техн.. наук. - Полтава, 2006. - 405 с.

3. Городецкий А.С., Евзеров И.Д. Компьютерные модели конструкцш. - К., 2007. - 394 с.

4. Гуревич А.Л., Карпенко Н.И., Ярин Л.И. О способах расчета железобетонных плит на ЭВМ с учетом процесса трещинообразования. // Строительная механика и расчет сооружений. - № 1, 1972.

5. Карпенко Н.И. К расчету железобетонных пластин и оболочек с учетоь трещин // Строительная механика и расчет сооружений. - № 1, 1971.

6. Карпенко Н.И. Теория деформирования железобетона с трещинами. / Н.И. Карпенко; - М.: Стройиздат, 1976. - 208 с.

7. Ржаницын А.Р. Строительная механика: Учеб, пособие для вузов. - М., 1982. - 400 с.

8. Срiбняк Н.М. Крутильна жорстшсть залiзо-бетонних елеменлв перекритлв з нормальними трь

щинами: автореф. дис.....канд. техн. наук 05.23.01

/ Срiбняк Наталiя Микола1вна; Одеська державна академгя будiвництва та архггектури. - О., 2009. -23 с.

9. Тимошенко С.П., Гудьер Д. Теория упру гости. - М., 1976. - 576 с.

10. Яременко А.Ф., Балдук П.Г. Механика материалов и конструкций. Одесса, 2001. - 251 с.

ОСОБЕННОСТИ СОСТАВА И СВОЙСТВ МАГМАТИЧЕСКИХ ПОРОД КАК СЫРЬЯ ДЛЯ

ПОРИСТОЙ КЕРАМИКИ

Белоусов О.Ю., Свидерский В.А., Черняк Л.П.

Национальный технический университет Украины «КПИ имени Игоря Скорского»

Украина, Kuев

FEATURE OF COMPOSITION AND PROPERTIES OF MAGMATIC ROCKS AS RAW MATERIAL

FOR POROUS CERAMICS

Belousov O., Sviderskyy V., Chernyak L.

National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute

Ukraine, Kyiv

АННОТАЦИЯ

Изучены разновидности магматических пород месторождений Закарпатья как возможные сырьевые материалы для изготовления пористой керамики. Установлены особенности химико-минералогического состава проб перлита, цеолита и андезита, связанные с генезисом этих пород вулканического происхождения. Проведен аналих энергетического состояния поверхности и лиофильности частиц природного сырья в сопоставлении с продуктом керамического производства - шамотом. Отмечена перспективность практического использования перлита, цеолита и андезита в качестве фракционированных наполнителей для регулирования степени лиофильности и коэффищента фильтрации пористых керамических изделий.

ABSTRACT

Varieties of igneous rocks from Transcarpathian deposits as possible raw materials for the manufacture of porous ceramics were studied. The features of the chemical and mineralogical compositions of perlite, zeolite and andesite samples associated with the genesis of these rocks of volcanic origin are established. An analysis of the surface energy state and the lyophilicity of particles of natural raw materials in comparison with ceramic chamotte