РАСЧЕТ ВЗАИМОСВЯЗАННЫХ ТЕМПЕРАТУРНЫХ ПРОЦЕССОВ В ПОГРУЖНОМ ЭЛЕКТРОДВИГАТЕЛЕ, ГОРНЫХ ПОРОДАХ И ГАЗОВОДОНЕФТЯНОМ ПОТОКЕ В СКВАЖИНЕ Текст научной статьи по специальности «Химические технологии»

ISSN 2079-3316 ПРОГРАММНЫЕ СИСТЕМЫ: ТЕОРИЯ И ПРИЛОЖЕНИЯ т. 13, №3(54), с. 165-177

научная статья ИСКУССТВЕННЫЙ ИНТЕЛЛЕКТ, ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ, НЕЙРОННЫЕ СЕТИ

УДК 519.876.5:532.54

10.25209/2079-3316-2022-13-3-165-177

Расчет взаимосвязанных температурных процессов в погружном электродвигателе, горных породах и газоводонефтяном потоке в скважине

Владимир Михайлович Конюхов1, Иван Владимирович Конюхов2", Альбина Рамиловна Ганиева3

13 Казанский (Приволжский) федеральный университет, Казань, Россия 2Университет Иннополис, Иннополис, Россия

2 i.konyukhov@innopolis.ru (подробнее об авторах на с. 176)

Аннотация. Исследуются взаимосвязанные нестационарные тепловые процессы в погружном электродвигателе насосной установки, расположенной в потоке пластовой водонефтегазовой смеси, обтекающей двигатель в нефтедобывающей скважине и горных породах, окружающих скважину. Для расчета температурных характеристик разработаны математическая, численная и алгоритмическая модели, реализованные в программном комплексе, позволяющем методом вычислительного эксперимента с одновременной визуализацией результатов расчетов изучать температурный режим электродвигателя и тепловые эффекты в трехфазном потоке, движущемся в кольцевом зазоре между обсадной колонной скважины и двигателем, с учетом его теплообмена с горными породами. Показано, что переходные тепловые процессы, возникающие в системе «двигатель — трехфазный поток—породы» при отключении двигателя из-за его перегрева, зависят от физических и геометрических характеристик каждого элемента этой системы. Расчетные оценки продолжительности (десятки минут) стадии охлаждения двигателя после выключения и стадии его нагрева при повторном включении согласуются с реальными временами этих процессов в нефтяных скважинах.

Ключевые слова и фразы: математическое моделирование, метод конечных разностей, компьютерное моделирование, тепломассоперенос, водонефте-газовая смесь, горные породы, электроцентробежный насос, погружной электродвигатель, вычислительный эксперимент

Благодарности:

3 Работа выполнена за счет средств Программы стратегического академического лидерства Казанского (Приволжского) федерального университета («ПРИОРИТЕТ-2030»)

Для цитирования: Конюхов В.М., Конюхов И.В., Ганиева А.Р. Расчет взаимосвязанных температурных процессов в погружном электродвигателе, горных породах и газоводонефтяном потоке в скважине // Программные системы: теория и приложения. 2022. Т. 13. № 3(54). С. 165-177. http: //psta.psiras.ru/read/psta2022_3_165-177.pdf

© Конюхов В.М., Конюхов И.В., Ганиева А.Р. Е-Ш'

This Article in English: http://psta.psiras.ru/read/psta2022_3_179-191.pdf

Введение

Тепловые процессы в нефтяной добывающей скважине, оборудованной погружной установкой электроцентробежного насоса (ЭЦН), обусловлены взаимодействием погружного электродвигателя (ПЭД) насосной установки, водонефтегазового потока в кольцевом пространстве между ПЭД и обсадной колонной скважины и окружающими ее горными породами. Каждый из этих элементов характеризуется собственным строением, геометрическими и физическими параметрами. Спецификой задачи является существенная неоднородность трехфазного потока, который обтекает двигатель и затем поступает на прием насосного узла. Физико-химические свойства (плотность, вязкость, теплоемкость и т. д.) нефти, воды и попутного газа, поступающих в скважину из нефтяного пласта и входящих в состав водонефтегазовой смеси, оказывают существенное влияние как на тепловой режим двигателя, так и на взаимодействие потока с горными породами [1-3]. При неправильном подборе типа насосной установки скорость потока трехфазной смеси может оказаться недостаточной для охлаждения ПЭД, из-за чего может произойти его недопустимый перегрев [1,4-6]. В таких случаях во избежание аварии наземная станция управления автоматически отключает двигатель, что, естественно, приводит к прекращению добычи нефти [1].

Особенно большое значение тепловые процессы приобретают при вводе в эксплуатацию скважин после ремонта подземного оборудования, а также при их переводе на новый квазистационарный режим работы [5, 7,8]. В этих случаях термогидродинамические процессы в скважине и насосной установке нестационарны, и двигатель может длительное время работать в условиях перегрузки или недогрузки при его недостаточном охлаждении многофазным пластовым потоком. На этапе ввода скважины в эксплуатацию станция управления может многократно включать и выключать насосный агрегат для охлаждения двигателя.

Поэтому повышение надежности работы насосной установки и предотвращения работы ее двигателя в нерегламентированных температурных интервалах является актуальной задачей, для решения которой в статье применены методы математического и численного моделирования. Таким образом, настоящая работа посвящена исследованию нестационарных взаимосвязанных тепловых процессов в системе «ПЭД—трехфазный поток—горные породы» с использованием

методов математического и численного моделирования. Отметим также, что результаты исследований ориентированы на их использование в киберфизических системах [7], предназначенных для компьютерного моделирования реальных технологических операций, выполняемых специалистами-нефтяниками.

1. Математическая модель

Как правило, температурный режим погружного электродвигателя рассчитывается для наиболее важных для практики нефтедобычи установившихся условий работы погружной установки [1]. В этом случае можно пренебречь инерционными эффектами, а для расчета теплообмена многофазного скважинного потока с горными породами использовать коэффициент нестационарного теплообмена, см., например, [8].

Однако при исследовании переходных процессов в системе «ПЭД— трехфазный поток—горные породы» необходимо учитывать временные температурные изменения в каждом из ее элементов. Для расчета взаимосвязанных нестационарных процессов теплопроводности в погружном электродвигателе и горных породах, а также конвективного теплопереноса в водонефтегазовом потоке, движущемся в кольцевом зазоре между ПЭД и внутренней поверхностью обсадной колонны, нами разработана математическая модель, которая включает в себя три блока уравнений.

Основным уравнением первого блока является уравнение нестационарного конвективного теплопереноса дТ

~дТ

3 ргфгЬ д (С^)

(1) КС*р— = -Бсас (Т - ) + Бпап (Тт - Т) - 2Ср (Т - Т/):

с; -Е ргфгСрг + 1 - с^ дТ '

г=1

^^^ , д (С^)

Ср - ^ СгСрг + 1 - С^ дТ ■

г=1

Это уравнение описывает изменение средней температуры Т(£) трехфазной смеси, движущейся со средней скоростью ш к приему насоса по кольцевому зазору объемом Уа и площадью Ба между циллиндрическими боковыми поверхностями обсадной колонны и ПЭД радиусами Дс, Ет1 и площадями Бс, Бт соответственно.

Уравнение (1) получено в результате приближенного интегрирования одномерного уравнения энергии водонефтегазовой смеси [8-10] по длине кольцевого зазора. При этом предполагается, что в силу небольшой длины (~10 м) кольцевого участка обтекания смесь движется вдоль ПЭД с одинаковой скоростью всех фаз (иг = и, г = 1, 2, 3) как квазиоднородная среда с эффективными свойствами (плотностью р = Р1Ф1 + Р2Ф2 + Р1фз, динамической вязкостью р и т. д.) при заданных значениях массовых расходов фаз Ог = ргфги8а, г=1,2,3, смеси О = О1 + О2 + О3, давления Р/ и температуры Т/ на приеме двигателя в точке г = г/. Здесь

Ь —время;

Тт(Ь) и в (г, Ь) — температура двигателя и горных пород;

в-ш (Ь) = в (г, £)|г_д — температура на стенке обсадной колонны;

ас, ат — местные коэффициенты теплоотдачи на стенке обсадной колонны и боковой поверхности двигателя;

нижние индексы г = 1,2,3 обозначают параметры нефтяной, газовой и водяной фаз соответственно;

рг, фг, арг, атг и Срг — средние плотность, объемное расходное содержание, коэффициенты теплового расширения, объемной упругости и удельной изобарной теплоемкости г-й фазы;

Ь — скрытая теплота, затрачиваемая на фазовый переход растворенного в нефти газа в свободное состояние при снижении давления ниже давления Ря (Т) насыщения нефти газом, а также в обратном направлении при Р > Р3.

Заметим, что при таких допущениях на участке кольцевого зазора изменение температуры и содержаний фаз определяется как тепловым взаимодействием смеси с двигателем и горными породами, так и скоростью ее движения в кольцевом зазоре, фазовыми переходами и тепловым расширением фаз. Давление Р(г,Ь) во всех фазах одинаково и равно Р/.

Уравнение (1) энергии трехфазной смеси дополняется многочисленными соотношениями, которые позволяют рассчитать важнейшие характеристики отдельных фаз и смеси в целом, процесса разгазирова-

ния нефти, а также объемные концентрации фаз в потоке:

Р1,дР1,а (1 - С,Р) [1 - ар 1 (Т - Тд) + ат 1 (Р - Рд)]

Р1,д (1 - Р) + р1,эР (1 - С,) [1 - ар 1 (Т - То) + ат 1 (Ро - Рд)]' МР

848д^Т' Рз - Рз,л [1 - аР3 (Т - Тд) + атз (Р - Рд)],

Р2^о(Т) ^_С,(1 - Р) С

С, - Г2 ^ У' С -

ш —

ф2 —

Р1,д 1 - С,Р ' Р^а'

_С2Р1Р3_

Рз [Р1^2 + Р2 (С - С2)] + СзР2 (Р1 - Рз) '

Сз (Р1 (1 - ф2) + Р2ф2) 1

Ф3 = ---^-' Ф1 — 1 - Ф2 - ф3.

Рз (С - Сз) + Р1Сз

Здесь

Р1,д и Р°> — плотность дегазированной нефти и газа при нормальных 'условиях (Р = Р0 = 0.1013 МПа, Т = 273 К);

Р1,д и Рз,д — плотность нефти и воды при пластовых давлении Рд и температуре Тд;

Р(Р, Т) — обобщенный коэффициент растворимости газа в нефти, описывающий массообменные процессы между нефтью и газом, Р(Р, Т) = Ф(Р/Р,) + 6Р(Р/Р,) [Т - Тд], где

Ф (Р) — функция F(Р, Т) при характерном значении температуры Т = Тд и

¿р (Р) — эмпирическая зависимость, построенные в [10] на основе обработки экспериментальных данных по разгазированию глубинных проб нефтей;

Ся и С — массовые концентрации газа, растворенного в нефти в пластовых условиях (Рд,Тд) при Рд > Ря(Тд) и в скважинном потоке при Р < Ря (Т);

V (Т) — нормальный объем газа при температуре Т, выделяющийся из раствора при достижении давления Р = 0;

^г — коэффициент сверхсжимаемости реального газа;

М — молекулярная масса газа (метана).

Полное описание всех полуэмпирических зависимостей, аппрок-симационных формул и расчетных соотношений, необходимых для замыкания уравнения (1), можно найти в работах [7,8,10].

Второй блок содержит уравнение для средней температуры электродвигателя Тт(Ь), обобщающее расчетную схему [1, 2]. Это уравнение получено в предположении однородности материала и цилиндричности ПЭД в результате осреднения трехмерного уравнения теплопроводности с распределенным источником тепла, обусловленным потерями энергии при работе двигателя, и с учетом его теплообмена с обтекающим трехфазным потоком дТт

(2) СтУт = -Бтат (Тт - Т) + (1 - Пт)^т, г> 0.

дт

Здесь Ст, Жт и Пт — коэффициент эффективной объемной теплоемкости материала ПЭД, потребляемая мощность и КПД двигателя, а Ут — объем ПЭД.

Третий блок уравнений описывает процесс радиальной теплопроводности в однородных горных породах, окружающих обсадную колонну скважины:

дв 1 д ( дв \

(3) дв = а1дДгдО' *>0' Д <г<

(4) = Т0'

ас(Т - вш),

(5) в(г, 0) = То, Дс <г< то, Тт(0)= Т (0) = То,

где а, Л — коэффициенты температуропроводности и теплопроводности пород и То — заданное значение начальной температуры во всех элементах системы «ПЭД-скважина-горные породы».

Коэффициент теплоотдачи ат на боковой поверхности двигателя определяется как функция ат = 0.5Жи • Л*/(Дс - Дт)(Дс - Дт) числа Нуссельта Ми = сКет Ргп (Рг/Ргш)к по общепринятым полуэмпирическим формулам [11,12] для ламинарного и турбулентного потоков смеси в трубе, где Ие = 2и>(Дс - Дт)р/р и Рг = рСр/Л* — числа Рейнольдса и Прандтля; С** и Л* — коэффициенты эффективной теплоемкости и теплопроводности смеси. Эффективная вязкость р дисперсного трехфазного потока рассчитывается с учетом ее зависимости от концентрации дисперсных фаз в водонефтегазовом потоке по формулам [8,10].

Для ламинарного течения Де < 2300: с = 0.15, т = 0.33, п = 0.43, к = 0.25; для турбулентного течения Де > 10000: с = 0.021, т = 0.8, п = 0.43, к = 0.25. При переходном режиме течения Жи = К0 (Ие) • Рг0 43 (Рг/Ргш)0 25, где К0 (Ие) = 6.1 • 10-3Ке - 9.461.

и

г

Коэффициент теплоотдачи ас на боковой поверхности обсадной колонны вычисляется по аналогичным формулам.

Начальные и граничные условия (4)-(5) замыкают систему дифференциальных уравнений (1)-(3).

2. Численная модель и алгоритм

Полученная система уравнений (1)—(5) является нелинейной и решается численно. Введем узлы tj+l = Ь* + Ьт равномерной сетки с шагом Ьт вдоль оси Ь, ] = 0,1, 2... и аппроксимируем дифференциальные уравнения (1) и (2) по неявной схеме Эйлера с порядком 0(Ьт):

Ь

* = Т* + —* [ - Б^1 (Т^1 - А**1)

ТаСр'

у а^р

+ 5тат+1 (Тт+1 - Т*+1) - 2Ср,*+1 (Т*+1 - Т/) ],

Ь ...

Тт+ = Тт + С Т^ [-Бтап+ (Тт+ - Т*+) + (1 - СтО^т] .

Для решения этой системы уравнений на каждом временном слое [Ь*, ¿¿+1] воспользуемся методом простой итерации: Ь

(6) Т«+1 = Т* + —Т^ [ - Бса, (Т* - )

+ 5тат (Т4+1 - Т») - 2Ср,я (Т* - Т/) ],

(7) Т4+1 = Т* + [-^тат (Т, - Т*) + (1 - пт)Жт],

где в — номер итерации, в = 0,1, 2 ... В качестве нулевого приближения при в = 0 зададим значения функций Тя=0 = Т*, Т^0 = Т* и Т;=0 = Т; с предыдущего временного слоя Ь*. Критерием окончания итерационного процесса на некотором шаге в = Б является условие в = Б шах {|Т^+1 - Т^| , |Т5+1 - Тй|} < £ , где £ —заданная точность. При достижении этого условия искомые функции Т*+1 и Т*+1 определяются значениями Т5+1 и Т^+1 на последнем итерационном шаге.

Решение уравнения теплопроводности (3) находится методом конечных разностей. Преобразуем предварительно уравнения (3), (4),

перейдя к логарифмической системе координат £ = 1п(г/Дс), г = Дсе^. Нетрудно показать, что эти уравнения примут вид

(8)

1 д0

(9) - ARC дс

д0 dt

^ = R2 • , 0 <Z< то, i> о,

3-2С

д 20

dZ

= ас (T - 0w), 0|z

= To

0(C,t)|i=o = T

C=o

где 0w (t) = 0c=o (t).

Приближенное решение поставленной задачи будем искать в конечной области Z € [0, С], где значение Z = ln(jR/Rc) соответствует достаточно большому расстоянию R от стенки обсадной колонны, на котором практически отсутствует влияние тепловых возмущений на начальную температуру пород, т. е. 0^=<; (t) ~ To.

Для аппроксимации уравнения (8) и граничного условия 2-го рода (9) введем узлы Zi = i • h равномерной пространственной сетки с шагом h = Z/N, где N —заданное число узлов, i = 0, N, и те же самые узлы временной сетки {tj} с постоянным шагом hT. Запишем разностную схему, аппроксимирующую эти уравнения в узлах {tj, Zi} сетки с порядком O (hT + h2):

(10) 0j+i - (2 + Ai)0j+1 + 0j±1 = -Ai0j, i = 17N-I,

(11)

0j+1

0.+1 - h^j1 А

^Tj+i - 0j+ij +h2 r2 0j+1 - 0j

2

0j+1 = To,

0i0 = T0

hT

i = 0,N,

где А = ^е2^/(^а), 0О+1 = 0Ш

Систему алгебраических уравнений (10)—(11) с трехдиагональной матрицей решаем методом прогонки, если задано значение температуры смеси То+1. При реализации общего итерационного процесса это значение определяется величиной Т5+1. Численная модель реализована в компьютерном приложении, позволяющем проводить многопараметрические вычислительные эксперименты с целью изучения температурных зависимостей и различных тепловых эффектов в скважине, ПЭД и горных породах наряду с одновременной визуализацией результатов расчетов. С помощью разработанной программы методом вычислительного эксперимента изучена устойчивость и сходимость разностных схем, что позволило выбрать оптимальные шаги сетки для обеспечения необходимой точности расчетов. Дано количественное и качественное

сравнение температурных процессов при использовании двух различных подходов к расчету взаимодействия потока и горных пород, в одном из которых используется решение указанной выше задачи (3)-(5), а в другом — коэффициент нестационарного теплообмена, полученный на основе асимптотического исследования ее решения. Показано, что в обоих случаях незначительное различие между результатами расчетов имеет место лишь при малых временах, а при больших временах на квазистационарном режиме оно практически исчезает.

3. Результаты вычислительных экспериментов

Рассмотрим в качестве примера наиболее интересный с практической точки зрения случай температурных процессов, которые возникают при отключении двигателя в нефтяной скважине, когда его температура Т в результате нагрева достигает предельного значения 130°С, и при повторном его включении после завершения периода охлаждения ПЭД восстанавливается до первоначальной температуры обтекающей смеси Т/ = 30°С. При расчетах значение давления на приеме двигателя Р/=5 МПа задавалось ниже давления насыщения Ря=10 МПа, так что в потоке, обтекающем ПЭД, присутствует свободный газ. Обводненность смеси равна 0.5, суммарный расход смеси О = 100 м3/сут, мощность ПЭД, его радиус и длина равны 90 кВт, 0.06 м и 12 м соответственно. Значения многочисленных параметров фаз и расчетные полуэмпирические зависимости модели (1)-(5) аналогичны [8,10]. Результаты расчётов для одного из периодов работы и охлаждения ПЭД представлены на рисунке 1.

Как видно на рисунке 1а, с момента Ь = 0 включения двигателя происходит рост его температуры Тт и температуры Т водонефтегазо-вой смеси, движущейся в кольцевом зазоре. Примерно через два часа в результате нагрева двигателя температура Т достигает максимально допустимого значения, и станция управления отключает двигатель. После этого начинается его охлаждение обтекающим потоком смеси. Продолжительность этой стадии составляет около часа. За это время происходит постепенное выравнивание температуры двигателя и температуры трехфазной смеси. После охлаждения двигателя его работа может возобновляться.

Рисунок 1б иллюстрирует временные изменения температурных профилей и глубины проникновения температурных возмущений

Т Тт 130

90

70

-Тт

-Т

е

34 33 32 31 30

1 1 после выкл.,

1 1 1_____1 . 1 1 1 1 1 1 1 1 t=15 мин после выкл., t=25 мин

\ 1 \ 1 \ 1 ~~ после вкл., t=30 мин

\ 1 ^ \ I ЛМ 1 11 Л 1 после вкл., t=35 мин

Ч^^Л I |> 1 1 1 -----1------т — I 1 1

0 12 3 t

(а) Тт(Ь) и Т(Ь), время в часах

0.1

0.2

0.3 £

(б) в(£, Ь) после выключения и включения двигателя

Рисунок 1. Результаты расчетов температурных возмущений в горных породах

в горных породах. С момента до момента отключения ПЭД температура горных пород и глубина их прогрева возрастают, достигая максимальных значений к моменту отключения двигателя. На стадии охлаждения происходит постепенное снижение температуры #(£,£), которое в силу инерции процесса теплопроводности значительно запаздывает во времени по сравнению с конвективными изменениями температуры смеси в кольцевом зазоре.

Отметим, что характер временной зависимости температуры двигателя и продолжительность стадий охлаждения и нагрева ПЭД после его отключения и повторного включения (десятки минут) согласуются с промысловыми результатами измерений, а также аналогичными расчетами этих процессов в нефтяных скважинах, представленными в [4,5].

50

0

Заключение

Разработаны математическая модель, алгоритмы и программное обеспечение для расчета нестационарных тепловых процессов, протекающих в системе «ПЭД-трехфазный поток-горные породы». На основе вычислительных экспериментов выполнены численные исследования сходимости и устойчивости численного решения задачи, а

также особенностей нестационарных тепловых процессов, возникающих в погружном двигателе в практике вывода нефтяной скважины на эксплуатационный режим. Показана высокая производительность расчетов с использованием разработанного программного обеспечения. Полученные результаты использованы в компьютерной кибер-фи-зической системе, предназначенной для моделирования и прогноза реальных технологических процессов нефтедобычи, а также обучения специалистов нефтяной отрасли. На основе анализа результатов расчетов, выполненных при различных условиях на приеме погружных двигателей различных типов, показано также, что:

• увеличение доли воды в потоке, обтекающем двигатель, влечет снижение температуры нагрева двигателя, а появление газа в смеси при работе ПЭД в условиях ниже давления разгазирова-ния нефти, напротив, приводит к отрицательному эффекту — снижению охлаждающей способности трехфазного потока и росту температуры двигателя;

• глубина проникновения температурных возмущений при нагреве горных пород трехфазной смесью зависит от характеристик ПЭД, состава смеси и ее расхода. При неизменных условиях решения задачи со временем темп нагрева постепенно стабилизируется, а при больших временах тепловой процесс выходит на квазистационарный режим;

• применение ПЭД большой мощности приводит к значительному его нагреву и при недостаточной скорости охлаждающего трехфазного потока может привести к перегреву двигателя и его отключению контроллером наземной станции управления;

• переходные тепловые процессы, возникающие в рассматриваемой взаимосвязанной системе «ПЭД-трехфазный поток-горные породы» при отключении двигателя из-за его нагрева до максимально допустимой температуры, зависят от параметров каждого из элементов этой системы и характеризуются нетривиальным характером температурных профилей в горных породах. Расчетные оценки продолжительности стадий охлаждения ПЭД после его отключения и его нагрева при повторном включении (десятки минут) соответствуют реальным временам этих процессов в нефтяных скважинах.

Список литературы

[1] Мищенко И. Т. Скважинная добыча нефти.- М.: Нефть и газ.- 2007.-ISBN 978-5-7246-0404-8.- 826 с. i66 i67 17G

[2] Мищенко И. Т., Кокорев В. И., Мальцев Н.В. Методика расчета характеристик УЭЦН при перекачке вязких газожидкостных смесей (продолжение) // Нефть, газ и бизнес.- 2013.- № 1.- с. 62-65. îj^' i66 iro

[3] Шишков С. А., Люстрицкий В. М. Тепловой режим работы установки УЭЦН // Нефтепромысловое дело.- 1997.- № 11.- с. 16-18. 'i66

[4] Пошвин Е. В. Термостойкий погружной электродвигатель // Бурение и нефть.- 2011.- № 11.- с. 42-45.Вкйкыб , Im

[5] Мельниченко В.Е. Моделирование неустановившегося процесса теплообмена системы «ПЭД— скважина» // Территория Нефтегаз.- 2013.-№ 2.-с. 60-63. îfc t i66 ir4

[6] Язьков А. В., Росляк А. Т., Арбузов В. Н. Моделирование процесса теплообмена между трехфазным флюидом и погружным электродвигателем // Нефтепромысловое дело.- 2007.- № 10.- с. 27-34.

[7] Konyukhov I., Konyukhov V. Cyber-physical system for control the heat and mass transfer in the oil reservoir and producing pumping well // Cybernetics and Physics.- 2019.- Vol. 8.- No. 3.- pp. 137-142. ¡¡¡^ d i66 167 i69

[8] Саламатин А. Н. Математические модели дисперсных потоков.- Казань: Издательство Казанского университета.-1987.-172 с. i66 16г i68 i69 17g ira

[9] Bratland О. Pipe Flow 2: Multiphase Flow Assurance.- 354 pp. url i68

[10] Конюхов В. М. Дисперсные потоки в нефтяных скважинах.- Казань: Издательство Казанского университета.- 1990.- 137 с. 168 169 iro 173

[11] Кутателадзе С. С. Основы теории теплообмена.- М.: Атомиздат.- 1979.416 с. irG

[12] Кутателадзе С. С. Теплопередача и гидродинамическое сопротивление. Справочное пособие.- М.: Энергоатомиздат.- 1990.- ISBN 5-283-00061-3.368 с. irG

Поступила в редакцию 18.06.2022;

одобрена после рецензирования 12.08.2022; принята к публикации 28.09.2022.

Рекомендовал к публикации

д.ф.-м.н. А. М. Елизаров

Информация об авторах:

Владимир Михайлович Конюхов д.ф.-м.н., профессор кафедры прикладной математики и искусственного интеллекта Института вычислительной математики и информационных технологий Казанского (Приволжского) федерального университета. Область научных интересов — механика многофазных сред, двухфазная фильтрация, математическое моделирование, численные методы, высокопроизводительные вычисления

™ 0000-0003-0569-2029 e-mail: vladimir.konyukhov@kpfu.ru

Иван Владимирович Конюхов к.ф.-м.н., доцент Лаборатории анализа данных и машинного обучения в нефтегазовой отрасли АНО ВО «Университет Иннополис». Область научных интересов — математическое моделирование, высокопроизводительные вычисления, программирование

™ 0000-0002-9637-4255 e-mail: i.konyukhov@innopolis. ru

Альбина Рамиловна Ганиева

магистрант кафедры прикладной математики и искусственного интеллекта Института вычислительной математики и информационных технологий Казанского (Приволжского) федерального университета. Область научных интересов — математическое моделирование, многофазные течения, программирование

™ 0000-0002-5901-8219 e-mail: albina.ganieva2014@yandex.ru

Все авторы сделали эквивалентный вклад в подготовку публикации. Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.