Расчет вероятностных характеристик для дискретных каналов с памятью Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621.391

РАСЧЕТ ВЕРОЯТНОСТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ДЛЯ ДИСКРЕТНЫХ КАНАЛОВ С ПАМЯТЬЮ

Е. А. Крук,

доктор техн. наук, профессор В. Б. Прохорова,

зам. директора Института компьютерной безопасности вычислительных систем и сетей Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения

Получены формулы для расчета P(m, n)-характеристик (вероятности появления m ошибок среди n принятых канальных символов) дискретного канала с памятью. Указанных характеристик, как правило, достаточно для вычисления вероятности ошибочного декодирования в таких каналах.

Presented are the formulas to compute P (m, n) characteristics (the probability of m errors among n received channel symbols) of a discrete channel with memory. As a rule, these characteristics are sufficient to compute the probability of false decoding in such chanennels.

Рассмотрим канал с состояниями С1; Сь (каждое из состояний двоично-симметричного канала (ДСК), а весь канал - составной ДСК [1, 2]), заданный матрицей переходных вероятностей

P =| Ис, / С, )||

LxL

и вектором

л = п,

(1)

(2)

где Р(СЬ /С-} ) — вероятность перехода из состояния Сі в Сі за один шаг, а пі - вероятность ошибки в состоянии Сг. В такой модели канала каждому канальному вектору длиной п из нулей и единиц соответствует п-вектор С = ((, ..., С^ | состояний канала.

Назовем композицией вектора состояний С вектор а = (11, їь), в котором элемент їі — число раз, которое состояние Сі встретилось в С. Далее, через Рп(а) обозначим вероятность появления вектора состояний с композицией а, а через Рп(т/а) — вероятность появления т ошибок на длине п при условии, что соответствующий вектор состояний имеет композицию а. Тогда выражение для Р(т, п)-характеристик рассматриваемого канала может быть записано в виде

P(m, n) = 2 P(m/a)Pn(а),

(3)

где |а| = £ lj •

j=i

Поскольку в любом из состояний С] канал есть ДСК с вероятностью ошибки п на символ, то веро-

ятность возникновения Ш] ошибок на ^ позициях вектора С, соответствующих состоянию С], равна

Г lj Л

т;

\l, -т,

п: j (1 -п, '1 '

Тогда вероятность одновременного возникновения т1,ть ошибок на позициях соответственно состояний С}, ..., Сь в векторе С равна

п

j=1

т}

V 3 J

j 1л \lj -mj

V ( -j j

Pn(m/a) = Pn(m/li,..., Il) =

lj -mj

’ 2 п

m=mi+...+mL j=1

mj

І1 -п j

(4)

Основную сложность при вычислении формулы (3) представляет вычисление величины Рп(а). Будем вычислять Рп(а) в виде

Рп(а) = £ (к, ..., к /С™, С1п))Р(Сп /Ск )Р(Сг),

¿1 =1 =1

(5)

где Рп(а/С(п)) - вероятность композиции а

при условии1, чтоп первая и последняя компоненты

вектора состояний С равны соответственно С£

и СС . Рп-1( С; / С; ) — вероятность перехода из соп /О, Ьп ¿1 - Л

стояния С в состояние С^ ровно за п - 1 шаг, а Р(С£ ) — вероятность состояния С .

и

a=n

56 f ИНФОРМАЦИОННО-УПРАВЛЯЮЩИЕ СИСТЕМЫ

Каждому вектору состояний C = (С£ ,•••, С^) поставим в соответствие вектор пар

J = ((> ( ) (i2, Ч ),•••, (п-^ ^ )) и обозначим через аар число пар (а, в) в векторе ^ Числа аар будут соответствовать числу переходов из состояния Са в состояние Ср в векторе О. Тогда вероятность вектора состояний О = (С£ ,•••, Сіп) будет равна

(6)

и. и. а

ПП[Р(Са /Ср )] аР •

а=1р=1

Далее, число векторов С, имеющих в качестве первой компоненты Сіі, а в качестве последней — Сіп и обладающих одним и тем же набором величин аар, а, р = 1, Ь, равно

(п - 2 А (п - 2)!

(7)

а11, а12, •••, аЬЬ

а11!а12! ••• аЬЬ !

С учетом (6) и (7) вероятность Рп (а / С*1', С^п))

¿1 п

может быть получена в виде

рп (а^ СС)) = X

{аар}-ЕЬ

( Ь Ь

( п - 2

А

а11,..., аЬЬ

\

ПП[ РС / Са )]'

а=1 р=1

|ааР

(8)

Суммирование в (8) ведется по всевозможным наборам величин {аар}а_— из области наборов Бь, допустимых для композиции а = (^, 1Ь).

Область Бь описывается множеством целочисленных решений системы уравнений

Ь X аар = ^р, р = 1 Ь , а=1 рф к,к; (9)

Ь X ара = ^р, р = 1 Ь , а=1 рф і1,іп; (10)

Ь Ь аі_а = і 1, ааі1 = і ; а=1 а=1 (11)

Ь Ь X ааіп = 1п -1, X а а=1 а=1 па 1п • (12)

Уравнения (9) и (10) представляют собой условия того, что для любого состояния Ср, в Ф ц, Ьп число входов в состояние Ср равно числу выходов из этого состояния и равно компоненте 1р вектора композиций а (переход из состояния С р в себя рассматривается одновременно как вход и как выход из состояния Ср).

Уравнения (11) и (12) представляют собой аналогичные условия на число входов и выходов со-

стояний С и Ск, встречающихся в векторе С со-ответствен1но пер2вым и последним.

Вероятности Рп-1(С^ /С^ ) перехода из состояния С в Сц ровно за п - 1 шаг есть элементы (п - 1)-й степени матрицы марковской цепи Р:

Рп-1(Сп /С ) = X Р(Са /Ск ) Рп-2(Сп /Са), (13)

а=1

а вероятность

X Р(С / С)

РС)=

(14)

X X Р(С} / С,)

І =1,іф іі=1,і ф і

Подставляя формулы (8), (13) в (5), а затем (4) и (5) в (3), мы получим выражение для искомых Р(т, п)-характеристик составного ДСК, содержащее в качестве параметров лишь значения исходных данных — элементы матрицы Р и вектора п.

Вычисления по формулам (3)-(14) являются весьма трудоемкими. Они могут быть значительно упрощены, если заметить, что вероятность перехода из состояния с номером а в состояние с номером р для рассматриваемых нами каналов быстро уменьшается с ростом разности |а - р|, и при |а - р| < т0 заменена на нули (т0 — некоторое число). Суммирование в области Б может вестись по аар, не превышающим некоторой величины т1 при а Ф р. Наконец, при больших п в формулах (9)-(12) можно отказаться от учета условий, связанных с числом входов (выходов) для состояний Сц , Сцп, и считать, что для всех состояний выполня1-ются условия (9), (10).

По Р(т, п)-характеристикам вероятность ошибочного декодирования может быть оценена стандартным образом

(15)

Отметим, что в работе [3] предложены формулы, позволяющие учесть одинаковые члены в выражении (10).

Предложенная методика проведения вероятностных расчетов позволяет вычислять вероятность ошибочного декодирования в каналах с памятью.

Литература

1. Кеннеди Р. Каналы связи с замираниями и рассеянием. М.: Сов. радио, 1973.

2. Коржик В. И., Финк Л. М. Помехоустойчивое кодирование дискретных сообщений в каналах со случайной структурой. М.: Связь, 1975.

3. Крук Е. А. Комбинированное декодирование линейных блоковых кодов / ГУАП. СПб., 2007.

№ 5, 2007

ИНФОРМАЦИОННО-УПРАВЛЯЮЩИЕ СИСТЕМЫ

57

х

2