Расчет установившегося режима электроэнергетической системы с использованием методов Ньютона первого и второго порядков Текст научной статьи по специальности «Математика»

Расчет установившегося режима электроэнергетической системы с использованием методов Ньютона первого и второго порядков

Хачатрян В.С., Бадалян Н.П., доктора техн. наук, Чащин Е.А., канд. техн. наук

Предлагается новый метод расчета установившегося режима электроэнергетической системы с использованием матриц Гессе и Якоби.

Ключевые слова: модель, система, узел, режим, параметр, нагрузка, мощность, функция.

Calculation of being fixed mode electropower system combination of methods of first and second of orders of Newton

Hachatryan V.S., doctor techn. science, Badalyan N.P., doctor techn. science, Chaschin YE.A., cand. techn. science

New method of calculation of being fixed mode is offered with electropower system with use of matrixes of Hesse and Jacobi. Iterative process converges for three - four iteration.

Keywords: model, system, unit, mode, parameter, load, power, function.

c1

В настоящее время для решения задачи расчета установившегося режима электроэнергетической системы (ЭЭС) широко используется У-Z форма задания состояния сети [1-6]. При этом большое практическое значение приобретает случай, когда независимые станционные узлы могут быть одновременно типов Р-Q и Р-U. Для построения соответствующей математической модели применяется следующая система индексов: m(n) = 0, 1, 2,..., С1, где С1 - число станционных узлов типа Р-Q (станционный узел с нулевым индексом, который называется зависимым узлом, выбирается в качестве базисного (балансирующего)); k(l) = С1 + 1, С1 + 2,..., С1 + С2, где С2 - число станционных узлов типа Р-U; ij = С + 1,С + 2,...,С + Н, где Н - число нагрузочных узлов типа Р-Q, причем С = С1 + С2. Общее число независимых узлов - М.

Представляя У-Z расчетную матрицу на основании принятых выше индексов в развернутой форме, можно установить следующие уравнения для активных и реактивных мощностей независимых узлов:

Pm = PUm + Um Z[^m,n cos (um -^Un ) + n=1

+ bm,n sin (um -^Un )) Un +

C

+Um Z [gm,l cos (um -^UI) + bm,l sin (Um -^UI)] Ul, l=C,+1

(1)

Qm = QUm + UmZ [9m,n sin (Um -^Un ) -n=1

-bm,n cos (Um -^Un )] Un +

C

+Um Z [gm,l sin (Um -^UI)- bm,l cos (Um -^UI )l, I=q+1

(2)

C1

Pk = PUk + UkZ[gk,n cos(Uk - X^Un) + n=1

+bk,n sin (Uk - ^Un )] Un +

+Uk Z [gk,l cos(Uk-X^UI) + bk,l sin(Uk-X^UI)]U ,

I=C|+1

(3)

C1

Qk = QUk + UkZ[gk,n sin (Uk -X^Un ) -n=1

-bk,n cos (Uk -^Un )] Un +

C

+Uk Z [gk,l sin(Uk -X^UI)- bk,l cos(Uk -X^UI)]U,

I=C|+1

(4)

M

P = P + Z [R,j (j+i'j)+R j ((( - Щ)], (5)

j=c+1 M

Q = Qbi + Z [ xi, j {'i'j + ) - R, j {'i'j - jj )]. (6)

В выражениях (1)-(6):

РБт = -Х[9т.1 С08 Уит + Ьт,1 8'п Уит] ити0 /=1

М

+ Х [(,(] - Ат,]1"])С08Уит +

у=с+1

+ ( Ат,(] + Ат,/] ) 8'п У ит ] ит ,

(7)

о

0Бт = -Х[9т/ 8'п Уит + V С08Уит] ити0 ' /=1

М

+ Х [(Ат,(] - А”т,]1])Уит -

]=с+1

-{А'т,1/'] + Ат,]1'] ) С08У ит] ит ,

(8)

РБк = -Х [дк,/ С08 У ик + Ьк,/ 8'п У ик ] ики0 /=1

М

+ Х [(/у - Ак,Л )с°з У и

]=с+1

+ (/; + Ак]Г] )п )ик ] ик,

ик

(9)

0Бк = -Х[дк,/ 8'п Уик + Ьк,/ С08 Уик ] ики0 /=1

М

+ Х [(^ - Ак,]/]) У№ +

]=с+1

+ (Ак^/у + Ак,]/] ) С08 У ик ] ит ,

(10)

Рв = /] Ц, -£((; - В]//])

/=1

+Х[(,//] + В”/])С08У и/ -(в;://] - В],//;)з!пУ и/]и/,

/=1

(11)

Об; =-/М) + Х( ( - ВI,/]) + с

Х

/=1

/=1

£[(/; - В]/) С08У и/ + (в;,//] + ВI,/])п у и/ ] и/.

(12)

Представим уравнения активных и реактивных мощностей в виде неявновыраженных функций:

[фрт = Рт -[рБт + Фрт (,Уип,и/,Уи/)] = 0,

[фдт = 0т -[0Бт + фдт (п,Уип,и/,Уи/)] = 0,

(13)

[фрк = Рк -[РБк + фрк (и п,Уип,и/,Уи/)] = 0,

[фдк = 0к -[0Бк + фдк (ип,Уип,и/,Уи/)] = 0,

(14)

ф р/=р -[рб/+Фр/ (/]/; )]=0,

фф= о, -[Об/ +Фф(/]/])] = 0,

(15)

Поскольку при известных аргументах комплексных напряжений станционных узлов типа Р-и можно установить численные значения реактивных мощностей, то из системы уравнений (14) можно исключить вторую систему, и тогда вышеприведенные не-явновыраженные расчетные функции окончательно принимают следующий вид:

Фрт (ип,Уип,и/,У и/) = 0;

Фдт (ип,Уипи,У и/) = 0; (16)

фрк (ип,Чип,и/,У и/) = 0;

ф )=0;

Фф(/]/] )=0;

Порядок систем нелинейных функций (16) характеризуется числом независимых станционных узлов, а порядок системы (17) - числом нагрузочных узлов.

С другой стороны, решения систем нелинейных функций (16) характеризуются медленной сходимостью, тогда как решения системы (17) - быстрой сходимостью.

В силу этого, системы нелинейных функций (16) предлагается решить быстродействующим методом второго порядка, а системы (17) - методом первого порядка.

Сначала рассмотрим решение систем (16) методом второго порядка или методом минимизации.

Согласно теории решения систем нелинейных функций методом минимизации, необходимо построить соответствующую квадратичную функцию, которая в данном случае представляется в виде

р (ит,Уит,Уик) = Х(Ф2рт + Ф^т +Фрк) . (18)

(17)

Введем следующее обозначение:

«=((, Уит, Уик ).

Тогда выражение (18) принимает вид

Р (ю)=Х(

с

ф

рт

Ф

qm

Ф2>к ).

(19)

(20)

Разлагая в ряд Тейлора функцию (20), получим

Р (ю) = Р (со0 ) +

(21)

дР (со)

дю

0 Аю +—Аю

1 Т д2Р (ю)

до2

Аю + Р (ю),

где Р (ю) - члены ряда Тейлора, имеющие производные выше второго порядка; Т - знак транспонирования.

Пренебрегая Р (ю), выражение (21) принимает вид

:(ю) = Р (ю0 )■

дР (ю)

дю

1 т д2Р (ю)

0 Аю +— Аю -------------2—

2

дю2

Аю. (22)

Теперь необходимо найти такое приращение Аю вектора ю , который минимизирует функцию (22).

Для этого необходимо функцию (22) взять в производную по Аю , т.е.

дР (ю) дАю или

дР (ю)

= 0

(23)

дАю

" (ю0 )■

дР (ю)

дю

дю2

Аю

= 0.

Поскольку

дР(ю0)

дАю

= 0,

(24)

(25)

то выражение (24) принимает более упрощенный вид:

д2г

д

дАю

дР (ю)

дю

1 т д Р (ю) 0 Аю + — Аю' ---------22.

дю2

Аю

= 0.

(26)

Рассматривая производные по отдельным элементам, получаем

дР (ю)

дю

д 2Р (ю)

дю2

Аю = 0

(27)

д2Р (ю)

дю2

ние:

дР (ю)

0 Аю =---------^

дю

(28)

Введем также следующее обозначе-

д2Р (ю)'

дю2

= [н (ю)],

(29)

которое называется матрицей Гессе, элементы которой состоят из частных производных второго порядка от заданной функции. Матрица Гессе является квадратной и особенной, в силу чего имеет обратную ей матрицу.

С другой стороны, дР (ю)

дю

= [6 (ю)]

(30)

и является столбцевой матрицей градиента от заданной нелинейной функции.

В результате выражение (28) принимает следующий вид:

Аю=-[Н(ю)]и0 X [б(ю)]ш0. (31)

Выражение (31) изображает приращение вектора ю и является его корректирующим элементом.

Новый вектор можно определить на основании следующего выражения:

[ю]1 = [ю]0 + [Аю]. (32)

Для производного Ы-го шага или итерации выражение (32) представляется как рекуррентное выражение в виде

(33)

Г ПИ+1 г пЛ г * пЛ

[ю] = [ю] +[Аю]

или в регулярной форме

[ю]Л,+1 = [ю]Л-[Н (ю)]-1 х[б (ю)], (34)

где N - номер итерации или шага.

Поскольку вектор ю состоит из трех компонентов: ит,Уит и Уик , то рекуррентное выражение (34) в развернутой форме представляется следующим образом:

или

0

0

ю

0

ю

0

ю

0

ю

"ит ' N+1 "ит "

Уит = Уит

Уик _ Уик .

" д2Р . д2Р . д2Р " " ЭГ '

дитдип дитдУип ЭитЭУи, диит

д2Р . д2Р . д2Р ЭГ

ЭУитЗип 'дУитдУип 'дУитдУи! ЭУ ит

д2Р . д2Р . д2Р ЭГ

дУ ик дип ' дУ ик дУ ип 3 У СО к и У СО к и У со

(35)

Теперь рассмотрим решение системы векторных уравнений (17). Введем следующие обозначения:

ф('ИМад);ф* (ад) ■ (36)

где I = (,/;). (37)

Разлагая (36) в ряд Тейлора, можем написать

ф(|)-ф(|°) + дфг1'041 + рОв, (38>

где Г (I )в - члены ряда Тейлора, имеющие производные выше первого порядка.

Пренебрегая Г (I)в , выражение(38) принимает следующий вид:

5Ф (I) |

ф(/) = ф(l0 )-

дl

\/ Al.

Г0

(39)

Эф(/)

Из этого следует

дl или

Эф (I)

~зГ

Al = ф(/ )-

(l )-Ф(/0) а/ = -[ф(/)]- ф(/0)

(40)

Здесь первый множитель слева является неособенной квадратной матрицей Якоби, которая имеет обратную ей матрицу. Поскольку в точке решения Ф(1) равно нулю, то после обращения матрицы Якоби выражение (40) будет принимать следующий вид:

[а/ ] = -

"Эф " -1 Г» !, 0

X ф(/ 0)

_"ал/0 _ V

(41)

1

Новый вектор тока [I] можно определить с учетом поправки (41):

[I ]1 =[/0 ]° +[А/ ]. (42)

Для произвольного Ы-го шага или итерации выражение (42) также представляется как рекуррентное выражение следующего вида:

[I ]И 1 =[/]И -

Эф

~дГ

' [ф (/)].

(43)

Здесь также вектор I состоит из двух компонентов I' и I", в результате чего рекуррентное выражение (43) в развернутой форме можно представить как

[/"! И+1 [/"! И "5ф Р1 (I). 5фр,- (I) д/" ' д/" -1 "фр"

= - X

_//. Л. 5фя/ (I): ^я! (I) д/" ' д/" %_

.(44)

Теперь необходимо установить выражения частных производных, входящих как в рекуррентное выражение (35), так и в рекуррентное выражение (44).

Частные производные первого порядка, входящие в рекуррентное выражение (35), определяются следующим образом:

ЭГ

дит

, Эф рп Эф

=2!|ф Рп+ф с

ЯП

ви„

яп

ви„

ф

зф

= 2^|фрп дфп

ЭУ

ит

ЗУ

ф

эф,

Яп

ит

Яп

ЗУ

рк

ф

рк

дит

(45)

Эф

ит

рк

рк

ЗУ

ит

= 2у|ф ^

ЗУ ик С ^ рп зу ик

ф

эф

Яп

Яп

ЗУ

ф

(46)

эф

ик

рк

рк

ЗУ

ик

(47)

Частные производные второго порядка определяются на основании (45)-(46) и имеют следующий вид:

\2 \2 ✓ Л2

д2Р

вит

= 2!

эф

рп

дит

Эф,

Яп

дит

Эф

рк

ви„

+ ф

д 2ф

рп

рп зи2

т

ф

э2ф

Яп

яп эи2

т

ф

э2ф

рк

рк' за2

(48)

с

с

д2р

ЗУ'

ит

ЗУ

+ф

д 2ф

рп

рп дУ2

°У ит

ф

ит

Э2ф,

( дф яп Л ЗУ

ит

( дф рк Л2 дУит

яп

Яп 3У 2 °У ит

ф

д 2ф

рк

рк

ЗУ

ит

д2р

ЗУ

ик

зф

рп

ЗУ

ик

зф

яп

ЗУ

ик

зф

(49)

2

рк

ЗУ,

ик

+ ф

д 2ф

рп

рп

ЗУ

ф

д 2ф

яп

яп

ик

ЗУ

ф

э2ф

рк

рк

ик

ЗУ'

ик

(50)

д2Р

дитдип

дф рп дф рп

дфЯп дфяп

дип ди„

дип ди„

дф рк дф рк

дип дип

ф

32ф

рп

рп дитдип

ф

э2ф

яп

Яп дитдип

+ф

д 2ф

рк

рк

дитдип

(51)

д2Р

дитдУип

зф пп зф

рп

рп

дфЯп дфяп

ЗУ

дф рк дф рк

дУ ип дит

ф

дит

рп

ЗУ ип дит

рп дитдУип

ф

32ф

Яп

+ф

32ф

рк

рк

дитдУип

д2Р

дитдУ рк

т“ *■ и,

Зф зф

• = 2!

дф рп дф рп

Яп дитдУип

(52)

дфЯп дфяп +

дУ и, дит

дУ и; дит

+

рк

ЗУ и, дит

ф

э2ф

рп

рп дитдУ и.

ф

э2ф.

яп

+ф

32ф

рк

рк дитдУ

и1

яп дитдУ и.

(53)

д2Р

дУитдип

=2!

дф рп дф рп

дип ЗУ

дфяп дфяп

ит

дип дУ ит

дф рк дф рк

дип дУит

ф

32ф

рп

рп дУитдип

ф

32ф,

яп

яп дУитдип

+ф

д 2ф

рк

рк

дУитдип

д2Р

дУитдУип

=2!

дф рп дф рп

Зф

яп

(54)

Зф

яп

дУ ип дУит

дУит дУ

дф рк дф рк дУ ип дУ

ф

32ф

рп

ит

рп

дУитдУип

ф

д 2ф

ип

яп

яп

дУитдУип

ф

д 2ф

рк

рк

дУитдУип

д2Р

дУитдУи,

=2!

Зф рп Зф

рп

рп

эф

яп

(55)

дфяп

дУ и, дУ,

ит

дУит дУ,

и

дф рк дф рк

дУ и, дУит

ф

32ф

рп

рп дУитдУи,

ф

32ф

яп

+ф

э2ф

рк

рк

дУитдУи,

д2Р

ЗУ ик дип

= 2!

с

дф рт дф рт

ЗУ '

дф

яп дУитдУи,

(56)

дфя

ят

ят

дф р, дф р,

дУ ик дип

ф

ик

32ф

дип

ЗУ

ик

дип

рт

рт дУ ик дип

ф

32ф

ят

ят дУ ик дип

+ф

32ф

р

р

дУ ик дип

д2Р

дУ ик дУ ип

= 2!

дф рт дф

рт

дф

ят

(57)

дф

ят

дУ ик дУ,

ип

дУ ик дУ,

ип

зф ы зф

р

р

дУ ик дУ ип

ф

32ф

рт

рт дУ ик дУ ип

ф

32ф

ят

ф

д 2ф

р

р

дУ ик дУ ип

ят дУ ик дУ ип

с

+

2

с

с

+

С

+

с

+

+

+

+

с

+

d2F

■ = 21

d^ukd^ui с

+^p_ ^ +ф

дф pm дф pm + дф qm дф qm

'зУЦГ дУЦ;'зУЦГ

*®qk - Qk -<! QSk + bk,kUí< + UkX[gk,n sin (uk -^un )-

д 2ф

pm

д2ф.

qm

n-1

C

дУ uk дУ ui Pm дУ uk дУ ui qm дУ^дУ ui

-bk,n cos (У uk -Уип )] un + uk X [gk,l sin (У um -Уи1)-

+ф

д2ф

pi

pi

дУ uk дУ ui

(59)

- bk,l cos (У um -У ui ) ui [

i-C1+1

Частные производные, входящие в правые части выражений (45)-(59), определяются на основании (16), их целесообразно представить в следующем виде:

Г с

ф рт = рт - Г РБт + Зт.т^ + ит ![Эт,п С05 (У ит -У ип ) +

[ п=1

С

+Ьтл Э!П (

ит Уип )] )п + ит ! [0т,, С0Э ( ит У и,) +

,=С1+1

+bm,l sin (um -Уи!) ui [i

(60)

фqm - Qm -\^m + Vm^ + um X [Sm,n sin (um - У un ) -[ n-1

C

-bm,n cos (um -Уun ) un + um X [Sm,l sin (um -Уul )-

i-C1+1

-bm,l cos( um -У ul) ui [i

(61)

фpk - Pk -[^k + gk,kuk + uk X[gk,n cos (uk -Уun ) +

[ n-1

C

+ bk,n sin (yuk -Уun )] un + uk X [gk,i cos (um -Уul )-

i-C1+1

-bk,l sin (um -У^)] uiji

(62)

(63)

На основании (60)-(63) можно установить аналитические выражения необходимых частных производных, входящих в (45)-

(59), при этом учитывая равнозначность индексов т и п, к и ,.

В силу этого, выражения (60), (61) можно переписать также в следующем виде:

Г С

фрп = рп -\ РБп + 9п,пи2п + ип ! [ЭптС0Э(Уип -Уит)

[ т=1,1шп

С

+ Ьп,т З'п (Уип Уит )] ит + ип ! [йЛ, С0Э (Уип -Уи,) +

,=С|+1

+ bn,l sin (un -У^) ui [i

(64)

C|

фqn - Qn - \ ОБп + bn,nun + un X [gn,m sin (un - Уum)-] ' [ m-1

C

bn,m cos (un-^m)] um + un X [9nJ sin (un-Уul )-

l-C1+1

-bn,l cos (un -Уul) ui [.

(65)

С другой стороны, выражения (62),

(63) также можно представить в следующем виде:

Г C

фpi - Pl -\РБ/ + gl,iu? + uiX[gl,n cos((ui - ^^un) +

[ n-1

C

+ bln sin ((ui -Уun )] un + ui X [Si, cos (ui -^k)

k-C1+1

bl,k sin ((u/ -Уuk ) uk [i

+

фя, = О, - \ ОБ, + Ь,,,и,2 + и,! \_9,,п 8'п (Уи, - Уип ) -

п=1

-Ь, п С08 (Уи, -Уип ) ип + и, ! [д,,к 8'п (и, -Уик)-

к=С1+1

-Ь,,к С°Э (У и, - У ик )] ик Г.

(67)

На основании (64)-(67) можно установить аналитические выражения частных производных, входящих в выражения (45)-(59).

Частные производные, входящие в рекуррентное выражение (44), определяются приведенными ниже выражениями.

1. При одинаковых индексах, когдау = ,:

д/"

дРБ

д/"

з м

Б- + 2Ии/" + ! (,( - X,¡Г")

д/""

дРБ

у=с+1 ¡ *, м

5фф =

д/"

дфф

д/""

д/'"

дОБ,

у=С+1 У *,

м

,/ - 2хч/" + ! (я,.л+Ху/;)

и'1 У=С+1

¡*1

м

О -2X,/;- ! (у - X,,¡-/у)

и11 у=С+1

У*,

(68)

где

дРБ

д/\

б- = и0 - ! в"и + !(в; ,/ С08 У и, - В'"{ з!п У иг);

Г=1

,=1

5Рб/

5/;

БТ = -! В"',,и0 + !(в;,, 81п Уи, + В",, С08 Уи,);

50б/

д/"

дО

,=1 ,=1

т-=-! ад+!(,/ 8'п Уи,+ви с08 Уи, ); ■ ,=1 ,=1

С С

д/'"

Б- = и + ! в",,и0 -!(в;,, С08 Уи, - в"", 81п Уи,).

,=1

,=1

При разных индексах:

5ф

д/'

5ф

£ = -(, у + X, у/"');

"

Г = -(, У - X,/");

‘у

Вфя; , *

/я- = -( у1,"+X, у/");

д/'

д/"

5ф

д/

я = -((, у + X, I").

(69)

Как нетрудно заметить, в (69) функционируют следующие соотношения:

дф рI = дф я,; дф рI

д/"

д/у

д/у

5^ ‘ д/

(70)

Заключение

Предложенный новый метод расчета установившегося режима электроэнергетической системы, в котором одновременно независимые станционные узлы могут быть как типа Р-О, так и типа Р-и, отличается высокой сходимостью и уменьшением числа итерации до 3-4.

Список литературы

1. Хачатрян В.С., Хачатрян С.Ц., Сафарян В.С.

Расчет установившихся режимов электрических систем с применением матрицы Гессе при 7-форме задания состояния сети // Известия вузов. Энергетика. - 1983. -№ 1. - С. 20-23.

2. Хачатрян В.С., Этмекчян Э.А., Бадалян Н.П. Решение гибридных уравнений установившегося режима электроэнергетической системы методом декомпозиции // Электричество. - 1999. - № 4. - С. 7-12.

3. Метод коррекции У-7 расчетной матрицы электроэнергетической системы / В.С. Хачатрян, Н.П. Бадалян, К.В. Хачатрян, К.К. Маркарян // Известия НАН и ГИУА Армении Сер. ТН. - 2001. - № 1. - С. 41-46.

4. Бадалян Н.П. Построение «У-7, Р-О» математической модели установившегося режима ЭЭС и ее реализация методом минимизации // Известия НАН и ГИУА Армении Сер. ТН. - 2001. - № З. - С. 372-378.

5. Хачатрян В.С., Бадалян Н.П. Диакоптиче-ская «У-7, Р-и» математическая модель установившегося режима ЭЭС и ее реализация методом минимизации // Известия НАН и ГИУА Армении Сер. ТН. - 2002. -№ З. - С. 392-399.

6. Хачатрян В.С., Бадалян Н.П. Расчет установившегося режима большой электроэнергетической системы методом диакоптики // Электричество. - 2003. - № 6. - С. 13-17.

Хачатрян Варос Саргисович,

Государственный инженерный университет Армении,

доктор технических наук, профессор кафедры электроэнергетики,

адрес: 375000, Армения, г. Ереван, ул. Теряна, д. 105.

Бадалян Норайр Петикович,

ГОУВПО «Ковровская государственная технологическая академия имени В.А. Дегтярёва», доктор технических наук, профессор кафедры электротехники, телефон (49232) 3-20-62,

Чащин Евгений Анатольевич,

ГОУВПО «Ковровская государственная технологическая академия имени В.А. Дегтярёва», кандидат технических наук, доцент, зав. кафедрой электротехники, телефон (49232) 3-20-62, факс (49232) 3-21-60, e-mail: [email protected]