1Расчет усилий в арматуре железобетонной балки с наклонной трещиной методом предельного равновесия
Кущев Иван Евгеньевич
д.т.н., профессор кафедры ПГС Рязанского института (филиала) ФГАОУ ВО «Московский политехнический университет»
Левин Владимир Дмитриевич
к.ф.-м.н., доцент кафедры ПГС Рязанского института (филиала) ФГАОУ ВО «Московский политехнический университет»
Лукин Дмитрий Алексеевич
магистрант кафедры ПГС Рязанского института (филиала) ФГАОУ ВО «Московский политехнический университет»
В статье показана правомерность допущений о линейном изменении перемещений точек трещины по её наклонной длине и о линейной зависимости усилий в арматуре от перемещений по длине трещины. На основе этих допущений получены выражения усилий в арматуре железобетонной балки при упругих деформациях. С использованием диаграммы Прандтля описан алгоритм определения усилий при возникновении пластических деформаций в наиболее нагруженных стержнях арматуры. Ключевые слова: железобетонная балка, наклонная трещина, усилия в арматуре, перемещения, диаграмма Прандтля.
Известно, что любые конструкции в процессе эксплуатации получают прогрессирующие разрушения и деформации [1, 2, 3, 4]. Из теории изгиба балок известно [5], что в поперечных сечениях балки действуют нормальные и касательные напряжения. При этом, касательные напряжения пропорциональны поперечной силе, а нормальные - изгибающему моменту. По мере приближения к опоре балки, изгибающий момент убывает до нуля, а поперечная сила стремиться к реакции опоры. Например, в балке с равномерно распределенной нагрузкой (рис.1) наибольшие касательные напряжения действуют возле опоры. Поэтому возле опоры на оси балки растягивающее главное напряжение, равное касательному напряжению, направленное под углом около 45о к оси балки, вызывает разрыв бетона и приводит к образованию наклонной трещины [6]. При развитии трещины материал бетона все меньше, а в итоге практически не участвует в обеспечении равновесия балки. На этом этапе основную роль в обеспечении равновесия играет поперечная и нижняя продольная арматура, пересекаемая (обнажаемая) трещиной.
С1, оз -главные напряжения
а) главные напряжения, б) эпюра касательных напряжений Рисунок 1 - Напряжения в арматуре балки Рассмотрим шарнирно опертую балку с наклонной трещиной ОТ (рис.2).
ОТ - предполагаемый след наклонной трещины, О1К - положение точек трещины, принадлежащих левой части, О1М - положение точек трещины, принадлежащих правой части балки в результате образования трещины, ААл, ААп - перемещения смежных точек в точке А!
Рисунок 2 - Эпюра относительных перемещений смежных точек наклонной трещины.
<|> о
X
О
г
5
а
с т ■о о
5
т
Ф
а
О"
о т
09
а
Будем считать, что левая и правая части балки поворачиваются относительно друг друга вокруг точки О и перемещения малы по сравнению с линейными размерами балки. Мгновенные центры вращения правой и левой частей находятся в точках В и Р соответственно. В результате поворота частей балки точка О переместится в точку О1 перпендикулярно ВР, при этом выполняется равенство РОфл = ВОфп. Возьмем произвольную точку в трещине А у). Как точка, принадлежащая левой части, она сместится на АiАiл = РАгфл, а как точка, принадлежащая правой части на Ai А = ВАгфп. Расстояние О1 Ал = О1 Ап поэтому треугольник АО1А^ - равнобедренный с углом при вершине фл + фп = фп^/^-О). Угол р в его основании такой, что
sinp =
N
(h/sina)2 — От)2
Asina
1-(-)2
^ 2h J
Н/эта
Таким образом, с достаточной точностью можно считать, что перемещение точки в трещине происходит перпендикулярно левой части треугольника. В целях упрощения расчета совместим точку О1 с точкой О, а точку К с точкой Т. В тоге получим эпюру перемещений точек в месте образования трещины (рис 3).
Рассмотрим равновесие левой части балки по отношению к трещине (рис. 3).
Со - проекция трещины на горизонтальную ось, ао - расстояние от опоры до трещины, х; - расстояние до ¡-го стержня поперечной арматуры в пределах трещины, О - вес части балки, лежащей выше трещины, Мо - момент внешних сил, действующих на левую часть балки относительно точки О, N¡ - суммарная продольная сила в ¡-м стержне поперечной арматуры в пределах трещины, N3 - суммарная продольная сила в стержнях продольной арматуры, а - угол наклона трещины. Рисунок 3 - Расчетная схема для составления уравнения равновесия при опорной части балки.
Единственным уравнением равновесия, не содержащего неизвестные реакции Qb и Ыь, является уравнение моментов сил, действующих на левую часть балки, относительно точки О £М0 = -Я • с + Е?=1 ^(с - х0 + + М0 = 0, (1)
где R - реакция опоры, определяемая из равновесия всей балки;
Ы - суммарные усилия в хомутах поперечной арматуры, пересекающих трещину;
Ns -суммарное усилие в нижней продольной арматуре;
Xi - расстояние от начала координат до силы Ni; Mo -момент внешних сил, действующих на левую часть балки по отношению к трещине, относительно точки О,
n - число хомутов поперечной арматуры в пределах трещины.
В (1) неизвестными являются усилия Ni и Ns, т.е. задача является много раз статически неопределимой. Поэтому следует записать уравнения совместности перемещений точек приложения усилий в стержнях.
Как показано выше, размер трещины в поперечном направлении изменяется пропорционально расстоянию от точки О. Тогда перемещения всех точек приложения сил Ni, можно выразить через размер трещины До в точке приложения силы Ns.
Из подобия треугольников на рисунке 3 находим—= Отсюда выразим A¿=A0 с Xl относи-
Д0 Со Со
тельное перемещение точек приложения сил Ni по нормали к трещине. Относительное вертикальное перемещение точек приложения сил Ni, приложенных к верхней и нижней частям балки по отношению к трещине, равно:
Ayi = А • cosa = Д3 ——— - cosa. (2)
—0
Как следует из рисунка 3 относительное горизонтальное перемещение точек приложения силы Ns равно:
A0 =A0 -sina, (3)
Из (2) относительное вертикальное перемещение точек приложения сил N1 имеем:
Ayl=Av^cosa (4)
Поделив равенство (3) на равенство (4), получим:
—о - tga
Ах0 =A yl
(5)
С - х
Если деформация в месте трещины упругая во всех стержнях поперечной и продольной арматуры, то усилия в них будут изменяться пропорционально расстоянию от точки О также как и удлинения т.е.
= . Отсюда выразим Л^ = Тогда с учетом
(2) и (4) получим:
0=1,2,.,.,п).
(6)
Для усилия в продольной арматуре справедливо
(7)
равенство
Ns _ Дх0 _ 1± _ Л, N i Ду1 I* А
\из (7), с учетом равенства (5), имеем
(8)
С-х1 15 А
где Аs,А - суммарные площади поперечных сечений продольной и поперечной арматуры, соответственно,
/1,Лв - база, на которой происходит деформирование стержней в результате образования трещины
Таким образом, усилия во всех стержнях арматуры выражены через усилие N1.
Подставим равенства (6) и (8) в уравнение равновесия (1), в результате получим уравнение относительной:
(R-C-M0-NT ЕГЛ(С - Xi))C0tga
R • c + ^i^ + i^
С-х± С-х± lsA
Отсюда находим
N _ (Д-С-М0)(С-Ж1)
1 2 ^(c-x^HCotga)2 ^
+М0 = 0.
(9)
После чего, из (6) и (8) находим остальные уси-
лия
М =
Ns =
(R-C-MoXC-xi)
(R-C—M0)C0tga^
(10)
(11
при условии, что в стержнях возникают только упругие деформации.
Далее примем, что материал арматуры подчиняется диаграмме Прандтля [1] рисунок 4.
от - предел текучести материала арматуры Рисунок 4 -Диаграмма Прандтля
Если усилия, определяемые из (10) и (11), в некоторых стержнях окажутся больше предельного
значения N — ОТ • А - для вертикальной арматуры и —ит - а5 - для продольной арматуры, то со-
T ^T
N = A -
гласно диаграмме Прандтля (рис. 4) их надо приравнять к соответствующим предельным значениям. Возможны следующие случаи:
1. Ns < Nst и Ni < Nt.
Этот случай уже описан - все усилия определяются по формулам (10), (11);
2. Ns < Nst и Ni > Nt (i = 1, 2, ..., П1), Ni > Nt (i = П1 + 1, ■■, n)
В этом случае усилия в стержнях, не перешедших в состояние текучести, будут пропорциональны усилиюМ3, т.е. — = — •— или согласно (2) и (3)
Ni &yi ls-А
Nt=Ns£?-j^ctgK, (i = П1+1.....n)
L0 llAS
(12)
При этом, усилия N ( = 1,..., П1) буду равны предельной продольной силе а уравнение равновесия (1) надо переписать в виде
Mn = -RC + Nn
i=l
+ xk) +NsC0tg а +M0 = 0,
из которого с учетом (12) находим
Ns =
(С01дау+^=П1+1(С-Хку1^
после чего из (12) найдем N
3. N3 > №т, N > N 0 = 1, 2,., П1), Ni < N 0 = П1+1, ..., п).
В этом случае усилия в стержнях, не перешедших в состояние текучести, надо определять по отношению к усилию в крайнем левом стержне, не перешедшим в состояние текучести N□1+1,
N.. А,,
А +,
П +1 yt\ +1
Отсюда, согласно (6), находим
C - x
N. = Nn +--— (i=n1+2,...,n).
n +1
C - x
(13)
n+1
Тогда уравнение равновесия (1) надо записать следующим образом:
+
= + хд
¿=1
п
+ ^ Ик{С-хк) + И5ТСо1д<х+М0 = 0,
к=п1+1
где № - следует определять по соотношению (13). В итоге получим уравнение относительно усилия N^+1, из которого найдем
а усилия в остальных стержнях найдем из (13). 4. №> №т, Ni<Nт (¡=1,...,п).
Nt = N±
C-Xi
С-х±
(14)
I
мп = -RC + 2
IL
Z*1
(С-хкУ
+
С — Хл
к=1 1
+М5ТС0£д а +М0 = 0 отсюда выражаем
2 — хк)2 Остальные усилия находим по (14). Полученные значения усилий надо сравнить с их предельным значением Если усилия в некоторых стержнях превысят значение то их надо приравнять N и процесс вычислений продолжить до тех пор, пока на каком-то шаге оставшиеся стержни не перейдут в состояние текучести. Это состояние и будет равновесным. Если же усилия во всех стержнях достигнут предельных значений, то это будет означать, что несущая способность балки исчерпана.
Литература
1. Апкаров Ш.И., Батаев Д.К.С., Газиев М.А, Ма-жиев Х.Н. Оценка трещиностойкости ячеистобетон-ных изделий при влажностных и карбонизационных деформациях с учетом релаксации напряжений // Вестник Дагестанского государственного технического университета. Технические науки, Том 44, № 2, 2017 - С. 124 - 128.
2. Джирма С.А. Трещины в конструкциях из бетона. Технология выполнения работ по устранению
О
о
X
о г s
а
с т ■и о
S
т
о а
Г
о т
го а
трещин // HayKOBi записки, Кировоградский национальный технический Университет вип. 10, част. III № 1 2010. - С. 195 - 200.
3. Леонович С.Н., Рахманов С.К., Щукин Г.Л., Бе-ланович А.Л., Пелюшкевич А.И. Физико-химические основы технологии ремонта железобетонных конструкций // Наука и техника (Вестник БНТУ) № 5, 2008, С. 74 - 78.
4. Чернышов Е.М., Славчева Г.С. Управление эксплуатационной деформируемостью и трещино-стойкостью макропористых бетонов Ч. 1/ Контекст проблемы и вопросы теории // Строительные материалы. 2014, № 1, С. 105.
5. Варданян Г.С., Андреев В.И., Атаров Н.М., Горшков А.А. Сопротивление материалов с основами теории упругости и пластичности. - Из-во АСВ, 1995.- 568 с.
6. Байков В.Н., Сигалов Э.Е. Железобетонные конструкции. Общий курс. М., Стройиздат, 1991.767 с.
Calculation of forces in the reinforcement of a reinforced concrete beam with an inclined crack using the limit equilibrium method
Kushchev I.E., Levin V.D., Lukin D.A.
Moscow Polytechnic University
The article shows the validity of the assumptions about the linear change in the displacements of the points of the crack along its inclined length and about the linear dependence of the forces in the reinforcement on the displacements on the length of the crack. Based on these assumptions, expressions for the forces in the reinforcement of a reinforced concrete beam under elastic deformation are obtained. An algorithm for determining forces when plastic deformations occur in the most loaded reinforcement bars is described using the Pradtl diagram.
Keywords: reinforced concrete beam, inclined crack, reinforcement forces, displacements, Prandtl diagram.
References
1. Apkarov Sh.I., Bataev D.K.S., Gaziev M.A., Mazhiev Kh.N. Assessment of crack resistance of cellular concrete products under moisture and carbonization deformations taking into account stress relaxation // Bulletin of the Dagestan State Technical University. Technical Sciences, Vol. 44, No. 2, 2017 -P. 124 - 128.
2. Jirma S.A. Cracks in concrete structures. Technology for performing work to eliminate cracks // Naukovi zapiski, Kirovograd National Technical University VIP. 10, part. III No. 1 2010. - P. 195 - 200.
3. Leonovich S.N., Rakhmanov S.K., Shchukin G.L., Belanovich A.L.,
Pelyushkevich A.I. Physico-chemical foundations of the technology for repairing reinforced concrete structures // Science and technology (Bulletin of BNTU) No. 5, 2008, pp. 74 - 78.
4. Chernyshov E.M., Slavcheva G.S. Control of operational deformability and crack resistance of macroporous concrete Part 1/ Context of the problem and theoretical issues // Construction materials. 2014, no. 1, p. 105.
5. Vardanyan G.S., Andreev V.I., Atarov N.M., Gorshkov A.A. Strength of materials with the fundamentals of the theory of elasticity and plasticity. - From the DIA, 1995.- 568 p.
6. Baykov V.N., Sigalov E.E. Reinforced concrete structures. General
course. M., Stroyizdat, 1991.- 767 p.
(O СЧ
о
СЧ
