CC BY
36
УДК 621.382.3
РАСЧЕТ ЦИФРОВЫХ РЕГУЛЯТОРОВ В ДВУХКОНТУРНЫХ СИСТЕМАХ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
В. И. Гостев, А. Е. Чуприн, В. В. Гостев
Рассмотрены двухконтурные системы управления, в которых при помощи использования цифровых регуляторов в основном и дополнительном контурах можно получить желаемый переходный процесс, если одноконтурная система управления с цифровыми регуляторами в замкнутом контуре не может обеспечить удовлетворительных динамических характеристик при заданном объекте управления.
Розглянутг двохконтурт системи управлгння, в яких за допомогою використання цифрових регуляторгв в головному та додатковому контурах можна отримати бажаний перехгдний процес, якщо одноконтурна система управлгння з цифровими регуляторами в замкнутому контург не може забезпечити задовыьних динамгчних характеристик при заданому об'ектг управлгння.
The summary. The two-loop control systems are considered, in which it is possible to obtain the desirable transient process, using the digital regulators in the main and additional loops, if the single-loop control system with digital regulators in the closed loop can not provide satisfactory dynamic characteristics for the present object of control.
ВВЕДЕНИЕ
При проектировании цифровых регуляторов в замкнутом контуре одноконтурных систем управления с объектами управления, содержащими, например, форсирующие звенья, часто не удается получить удовлетворительных переходных процессов (переходные процессы могут иметь большое перерегулирование, иногда превышающее сотни процентов). Особенно это характерно для систем, содержащих дискриминатор в качестве элемента сравнения, когда перед замкнутым контуром системы управления нельзя включить дополнительный цифровой регулятор (фильтр). Примером могут служить системы автоматического сопровождения по направлению, в которых элементом сравнения является пеленгационное устройство, а также локальные системы управления летательными аппаратами. В этом случае целесообразно использовать двухконтурные системы управления, в которых при помощи дополнительного цифрового регулятора можно получить желаемый переходный процесс.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассмотрим структурную схему двухконтурной системы управления (см. рис.1), в которой выделим вспомогательный контур, представляющий собой замкнутую систему с цифровыми регуляторами 1 и 2, элементом сравнения, фиксатором и объектом управления. Для такой замкнутой системы методом размещения полюсов
и нулей дискретной передаточной функции (метод подробно описан в работе [1]) произведем расчет регуляторов 1 и 2 с целью получения удовлетворительного переходного процесса. При этом вспомогательный контур при помощи цифровых регуляторов "трансформирует" дискретную передаточную функцию ЯО^) в новую дискретную передаточную функцию ЯОр(z) . Теперь для передаточной функции ИОрф можно спроектировать основной цифровой регулятор 3, обеспечивающий требуемые свойства системы управления.
Проектирование цифровых регуляторов в двухкон-турной системе управления (см. рис.1) рассмотрим на конкретном примере.
Пусть объект управления описывается передаточной функцией:
G( s) = k0K5
T1 s + 1
s ( tV + Ts + 1 )(T2s + 1)
a ( s + r)
я + Ъя + а)( я + а) где г = 1/Т1; Ъ = 2^/Т ; а = 1/I2 ; с = 1 /т2 ;
а = ¿рК^ас/г .
Дискретную передаточную функцию объекта управления с фиксатором нулевого порядка запишем в виде [1]
HG(z) =
3. 2,
= C ( z) = c1z + c 2 z + c 3z + c 4
D (z) 4 + 3 + 2 + + ' z + a^ + ^z + «3z + Я4
где
d1 = -(1 + С + 2JBcosXh) ;d2 = b + C + 2(1 + C)JBcosXh
d3 = - B( 1 + C) - 2CJBcos Xh ; d4 = BC ;
c1 = d1D01 + hD02 - D2( 2 + C) - D3-D4 (2 + 2jB cos Xh) ;
c2 = d2D01 + h( 1 + d1 )D02 + D2( 1 + 2 C) + D3( 2 + C) + + D4( 1 + B + 4,7b cos Xh);
c3 = d3D01 + h(1 + d1 + d2)D02-D2C-D3( 1 + 2C) -- D4( 2B + 2JB cos Xh);
c4 = d4D01 - hd4D02 + D3C + D4B ; D = a tit c - r (a + b c) ; D = a r ;
D01 a 2 ; d02 ac;
(ac)2 ac
_ a ( b - c) + r(a + b c - b )
D2 = a 2 2 a (a - bc + c )
D3 = ^л/В
+ arJB x
a + bc - b2 j^sinXh + (b - c) cos Xh
2
a(a - bc + c )
a - yjc - I(3a - b2)
12
rr sin Xh + (a + bc - b ) cos Xh
X
22 a (a - bc + c )
г. а(г - с) с -Ьй „ -сй , Ь V. = ------; л = е ; С = е ; А = а--.
4 2( Ь + 2) V 4
с (а - Ьс + с )
Числитель передаточной функции г) представим в виде произведения
С(s) = с1 (г - и1 )(г - «2)(г - и3) ,
где п2, п3 - нули передаточной функции НО (г).
Зададим численные значения параметров передаточной функции объекта управления: Т1 = 4, 7667с, Т = 1, 1833с , £ = 0, 3233, т2 = -5, 8333с,
Ф
¿0Кд = 280 . Пусть шаг квантования й = 0, 1с .
Для этих значений параметров получаем следующие значения коэффициентов дискретной передаточной функции объекта управления:
с 1 =-0, 02711; с2 = -0, 08143 ;с3 = 0, 07885 ; с4 = 0, 02633; а 1 =-3, 95717; а2 = 5, 87741; а3 = -3, 88343 ; ¿4 = 0, 96319.
Используя программу определения корней полинома методом Ньютона, найдем нули передаточной функции НО(г) :
п 1 = -0, 2669 ; п2 = 0, 9792 ; п3 = -(3, 7154) . Разложим числитель дискретной передаточной функции НО(г) на множители:
118
C(z) = C (z) С(z) ,
где C (z) = c1(z - «1 )(z - «2) ; C (z) = z - П3
(множитель C+ (z) содержит корни уравнения C(z) = 0 , лежащие внутри единичного круга на плоскости z, а
множитель C (z) содержит корни уравнения, находящиеся вне единичного круга).
Зададим желаемую дискретную передаточную функцию вспомогательного контура в виде
HG0(z) = Cmfl ; C (z) = ^HClOO ; d (z) = zk?(z) , 0 Pi I m - m ' w'
Dm(z) C( 1)
2
где k = 1 ; P(z) = z + P1 z + P2 ;
p>1 = -2e cos^mh//!--^2) ; P2 = e 2.
Выберем коэффициент относительного затухания £, = 0,9 и собственную частоту вспомогательного
замкнутого контура m = 5 c 1 (при этих значениях p1 = -1, 2451 , p2 = -0, 4066 ).
Таким образом, желаемая дискретная передаточная функция вспомогательного контура в числовом виде запишется как
HG ( ) = ( 1 + P 1 + p2 ) (z - n3 ) = 0, 0342 (z + 3, 71 ^^ ) 0( ) 2 2 . (1 - n3 )z(z + p1 z + p2) z(z - 1,2451 z + 0, 4066)
Для получения записанной желаемой дискретной передаточной функции вспомогательного контура произведем синтез цифровых регуляторов 1 и 2 методом размещения полюсов и нулей этого контура. Метод синтеза подробно изложен в работе [1].
Определим степень полинома наблюдателя при 1=1:
degD0 ^ 2degD - degDm - degC + 1 - 1 = 3.
3
Примем полином наблюдателя в виде D0(z) = z .
Определим степени полиномов R1 (z) и S(z):
degR1 = degD0 + degDm - degD - 1 = 1 ; degS < degD + 1 = 5 .
Примем degS = degR = degR1 + degC+ + 1 = 4 . Выберем многочлены R'(z) и S(z) в виде R (z) = (z - 1)R1 (z) = (z - 1)(z + w) ;
S(z) = ^z^ + S1 z3 + s2^ + s3z + S4 .
При этом Диофантово уравнение будет иметь следующий вид:
(z^ + d1 z3 + d2^ + d3z + d4)(z - 1)(z + w) + + (z - n 3)(^z4 + ^z3 + S2 z2 + S3 z) = z (z2 + p^ + p 2) z3. Раскрывая скобки и приравнивая коэффициенты при
"Радюелектрошка, ¡нформатика, управлшня" № 1, 1999
X
одинаковых степенях 7, получим систему линеиных алгебраических уравнении в матричноИ форме:
1 1 0 0 0 0 w p1 - d1 + 1
d -1 -n3 1 0 0 0 s0 p2 - d2 + d1
d2 - d1 0 -n3 1 0 0 s1 d 2 d 3
d3 - d2 0 0 -n3 1 0 s2 d3 - d4
d4 - d3 0 0 0 -n3 1 s3 d4
-d4 0 0 0 0 -n3 s4 0
W.
.(_ № _
R ( z )
4 4 2
5 7, 1 67z - 1 64, 84 5z + 1 88, 286z - 1 0 0 , 0 15z + 2 0 , 6 7
HG0 ( z ) _
-1 -1 -2 C0(z ) -1 c1 z + c2z -1
D0(z 1 )
-1 -2
1 + z + d2z
W ( z ) _
K 0D0 ( z 1 ) _ 6, 1 996 - 7, 7 1 9 1 z 1 + 2 , 5208z 2
-1 -1 1 - K0 C0( z ) z
1 - 0, 212z 2 - 0, 788z 3
Решая систему линейных алгебраических уравнений методом Гаусса, получим следующие значения неизвестных коэффициентов передаточных функций цифровых регуляторов: w _ 2, 162 ;
s0_ 1, 55; s1 _-4, 4697; s2_ 5,1053 ; s3 _-2, 7119; s4_0, 5605.
Теперь находим:
R (z) _ C+ (z)R(z) _ c1 (z - n1 ) ( z - n2)(z - 1 )(z + w) ;
' C (z)
T(z) _ C m(z)D0(z) _ —— D0(z) _ C~ ( z )
P ( 1 ) ( ( 1 + p 1 + p2 ) z
_ ~—D0(z)--T~n-•
C( 1 ) 1 n3
Передаточные функции цифровых регуляторов 1 и 2 определяются как
3
Wt ( z ) _ Ш ___1 , 2 65z_;
^ R(z) (z + 0, 267)(z - 0,979)(z - 1 )(z + 2, 162)'
где К0 = [с1 + с2 ] = 6, 1996 .
На рис.2 показана реакция вспомогательного контура на единичное ступенчатое возмущение, поступающее на вход АЦП1 при отсутствии цифрового регулятора 3 и главноИ единичной обратноИ связи. Реакция контура на на единичное ступенчатое возмущение (переходная функция контура) - апериодический процесс, время регулирования (равное времени установления) = 1 с .
Установившаяся ошибка равна нулю. На этом же рисунке показано управляющее воздействие на входе объекта управления .
(2 + 0, 267)(2- 0,979)(?- 1)^ + 2, 162) При таких передаточных функциях цифровых регуляторов 1 и 2 дискретная передаточная функция вспомогательного замкнутого контура будет равна желаемоИ, которую перепишем в виде
Рисупок 2
На рис.3 показана реакция двухконтурноИ системы управления (см. рис.1) на единичное ступенчатое возмущение при наличии оптимального по быстродеИствию цифрового регулятора 3. Здесь же изображено управляющее воздеИствие на входе объекта
управления . Реакция системы запаздывает на шаг
квантования Ь=0,1е и переходныИ процесс длится 0,3 с.
-1 -2 0, 0342z 1 + 0, 1271z -1
- 1 - 2z . 1 - 1, 2451z 1 + 0, 4066z 2
Теперь для дискретноИ передаточноИ функции Н00( г)
можно определить, например, передаточную функцию цифрового регулятора 3, обеспечивающего оптимальныИ по быстродеИствию переходныИ процесс. На основании формул (1. 77)-(1.79) из [1] передаточная функция цифрового регулятора 3, оптимального для ступенчатых воздеИствиИ на входе системы управления, изображен-ноИ на рис.1, определяется как
Рисупок 3
Без вспомогательного контура для дискретноИ переда-точноИ функции объекта управления с фиксатором нулевого порядка ИО(г) передаточная функция цифрового регулятора 3, оптимального для ступенчатых воздеИ-ствиИ на входе системы управления, на основании формулы (1.77) определяется как
W (z) =
K0D 0 (z~ )
1 - K0C( z-1)
-1 -2 -3
= - 297, 6 1 9 -1177, 738г +1749, 2 26г - 1 1 55 , 774г + 286, 66
1 - 8, 068г-1 - 24, 235г~3 + 23, 467-3 + 7, 362г~4
где К0 = [с 1 + с2 + с3 + с4]= -297, 619 .
Переходный процесс системы с таким регулятором имеет перерегулирование несколько сот процентов, поэтому система, хотя и устойчива, но неработоспособна.
ВЫВОД
Если одноконутная система управления с цифровыми регуляторами в замкнутом контуре не может обеспечить удовлетворительных динамических характеристик при заданном объекте управления, то целесообразно использовать двухконтурные системы управления, в которых при помощи использования цифровых регуляторов в основном и дополнительном контурах можно получить желаемый переходный процесс.
ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК
УДК 629.113.001.2
1. Гостев В.И., Стеклов В.К. Системы автоматического управления с цифровыми регуляторами: Справочник.-К.: "Радюаматор", 1998.-704 с.
Надшшла 04.03.99
ОФЛАЙНОВЫЕ МЕТОДЫ УПРАВЛЕНИЯ КАЧЕСТВОМ
В. И. Дубровин, Г. В. Табунщик
Рассмотрены методы управления качеством, не встроенные в процесс производства. Предложена методика робастного проектирования, позволяющая обеспечить устойчивость изделий и процессов к шумовым воздействиям на основе стоимостного подхода.
Розглянуто методи керування якгстю, не вмонтоваш у процес виробництва. Запропонована методика робастного проектування, що дозволяв забезпечити стшккть вироб1в i процес1в до шумових впливiв на основi варткного тдходу.
Quality Control Methods applied at the product and process design stages are considered. The model of robust design, which can provide less sensitive of product and process to noise influence, is offered in the article.
Концепция "Всеобщего Управления Качеством" (TQM), интегрируя почти вековой опыт, накопленный развитыми странами, представляет собой системный подход к задаче управления качеством, который охватывает весь жизненный цикл изделия. Одним из примеров такой интеграции являются офлайновые методы управления качеством - методы не встроенные в процесс производства, которые позволяют улучшить качество изделий и их технологичность, а также снизить стоимость разработки, изготовления, эксплуатации и ремонта. Эти методы являются техническим средством обеспечения качества на стадии проектирования изделий и разработки технологического процесса.
Офлайновые методы управления качеством являются целостной системой, позволяющей обеспечить выпуск продукции как с заданным номиналом, так и с заданным разбросом вокруг этого номинала, причем, разброс максимально нечувствителен к неизбежным колебаниям внешней среды, износу и неопределенности производ-
ственного процесса.
В основе данного подхода к качеству лежит положение, согласно которому любое отклонение рабочей характеристики от заданного значения наносит потери обществу. Степень отклонения от номинала оценивается с помощью функции потерь, которая является центральным понятием в офлайновых методах, и имеет вид
Ь (у) = к(у - т)2, (1)
где у - показатель качества, измеряемый непрерывно; т - номинал и к - некоторая константа потерь.
Из формулы (1) следует, что, чем больше отклонение у от номинала, тем больше потери потребителей Ь(у) . Константа к может быть определена, если известно значение Ь(у) для некоторого конкретного случая у . Пусть А - расстояние от номинала до границы допуска, и, если у превышает данный интервал, то изделие бракуется и затраты на его ремонт или списание равны А денежных единиц. Подставив А в уравнение (1), по-2
лучим к = А/А . Этот вариант применим, когда конкретная заданная величина является наилучшей, а потери увеличиваются симметрично аналогично отклонению у от т .
Для определения потерь при выпуске партии изделий усредняются потери для всех изделий, входящих в эту партию, после чего функция потерь принимает следующий вид:
Ь = к§2 , (2)
120
"Радюелектронжа, шформатика, управлшня" № 1, 1999
