CC BY
111
УДК 538.945
РАСЧЕТ ТЕМПЕРАТУРНЫХ ЗАВИСИМОСТЕЙ КРИТИЧЕСКОГО ПОЛЯ И ПЛОТНОСТИ КРИТИЧЕСКОГО ТОКА ДЛЯ СВЕРХПРОВОДЯЩЕЙ ПЛАСТИНЫ В РАМКАХ ТЕОРИИ ГИНЗБУРГА-ЛАНДАУ
П. И. Бсзотосный, С. К). Гаврилкин, А.Н. Лыков, А. К). Цветков
Состояние сверхпроводящей пластины с транспортным питом в параллельном ее поверхности магнитном поле изучалось с помощью уравнений Гинзбурга Ландау (ГЛ). Эти уравнения, в одномерном случае решались численными методами, при этом для, параметра, порядка использовались граничные условия, общего вида. В рамках работы, были получены и проанализированы, температурные зависимости плотности критического тока и критического магнитного поля, для, сверхпроводящей пластины, при различных значениях длины экстраполяции Л - параметра, определяющего граничные условия. Было изучено
Л
Ключевые слова: сверхпроводящие плёнки, критический ток. граничные условия, теория Гинзбурга Ландау.
Введение. Теория ГЛ имеет важное значение для изучения электромагнитных свойств сверхпроводящих структур. Численное решение уравнений ГЛ позволяет лучите понять процессы, происходящие в реальных структурах из сверхпроводящих материалов [1 5]. При этом развитие численного моделирования в рамках теории ГЛ заключается. в частности, в учете влияния границы на сверхпроводящие свойства структур конечного размера, таких как тонкие пленки и пластины [6]. Кроме того, учет влияния границы важен при расчетах для высокотемпературных сверхпроводников (ВТСП). ко-торыв обладают слоистой кристаллической структурой [7 9].
В своих исследованиях мы рассматривали процессы, происходящие в сверхпроводящей пластине толщиной порядка длины когерентности Внешнее магнитное поле было
ФИАН, 119991 Россия, Москва, Ленинский пр-т, 53; e-mail: bezpi@sci.lebedev.ru.
направлено параллельно поверхности пленки, а транспортный ток перпендикулярно направлению внешнего магнитного поля. В этом случае задача становится одномерной. Отметим, что даже в рамках одномерной задачи возможно получение решений, соответствующих наличию вихрей в пленке [10]. поэтому в рамках данной работы, в частности, нами были рассмотрены случаи, когда пленка находится в смешанном состоянии. Считалось. что критический ток эквивалентен току распаривания. На основе описанного ниже подхода были получены и проанализированы зависимости критических параметров (критического магнитного поля, плотности критического тока) от температуры, а также от толщины пластины. При этом учитывалось влияние границы, что выражалось в использовании различных значений длины экстраполяции Л.
Формулировка задачи. Ранее мы уже подробно описывали формальную ПОСТсШОВ-ку задачи [6]. В рамках работы численными методами решались уравнения ГЛ для случая длинной и широкой сверхпроводящей пластины толщиной Б в магнитном поле И. Задача рассматриваюсь в декартовой системе координат (х, у, г) с осями у и г, направленными параллельно плоскости поверхности пластины, причем ось г направлена параллельно внешнему магнитному полю, а транспортный ток течет вдоль оси у
плотности критического тока Зс и критического магнитно го поля Ис. Используя обыч-ныи метод выбора калибровки вектора-потенциала А, можно записать уравнения ГЛ в следующем виде:
сРф , , , 3ч и2 ,
-X + (Ф - Ф3) - = 0, (!)
¿2 и ф
2
йХ 2
-Г2 и = 0, (2)
к
где к = А/£ - параметр ГЛ, А - глубина проникновения магнитного поля, £ - длина ф
ф = -
' Фо
где _ параметр порядка в глубине сверхпроводника при нулевом внешнем магнитном поле. При этом векторный потенциал имеет лишь у-компоненту, А = еуА(х). Вместо размерных значений потенциала А, индукции поля В и плотности тока А в сверхпроводнике здесь введены
безразмерные величины
Л = и В = ф0 Ь А = Сф0 А ГОЧ
где ф0 - квант потока.
Для уравнения (1) выберем граничные условия в виде:
вф вху
вф вху
_ ф(0) _ Л
=а
ф(1) Л
(4)
где ху _ | и в _ у. Отметим, что Л _ то соответствует обычно используемым граничным условиям, при которых параметр порядка постоянен и не меняется вдоль оси "х". Поскольку транспортный ток I в пластине создает магнитное поле
Я _
с
полное поле вблизи поверхностей пластины равно Я ± Я1, и граничные условия к уравнению (2) имеют следующий вид:
Ь\х€=0 _ к — к!, ъ\ч=л _ к + кI,
ОДе к _ Я к _ Я! Я _ Ф0
к _ щ ' к! _ щ ' Я ■
Глубина проникновения магнитного поля Л и длина когерентности £ зависят от температуры, поэтому приведенные выражения являются неявными функциями температуры и формально справедливы при любой температуре Т. Однако сами уравнения ГЛ применимы лишь в пределе Т ^ Тс. Остановимся более подробно на области применимости теории ГЛ. Формально такое условие, в области низких температур (в некото-
Тс
в виде Тс — Т ^ Тс. Учитывая относительность понятия "малости", данный критерий дает весьма размытую границу применимости метода. При этом существуют примеры, когда формулы и зависимости, полученные в предельном случае, дают верные результаты в случае, формально не удовлетворяющем рассматриваемому пределу. Ниже будут приведены примеры, когда формула для тока распаривания, полученная в пределе сверхтонких пластин с толщиной много меньше как длины когерентности так и глубины проникновения магнитного поля Л, дает
помимо ограничения на применение теории ГЛ вдали от Тс, существует ограничение на ее использование в непосредственной близости от Тс, связанное с флуктуациями.
результат, практически совпадающий с точным расчетом для пластин толщиной порядка £ и Л. В этой связи в данной работе нами представлены расчеты и для случая температур, достаточно отдаленных от Tc.
Вернемся к вопросу о температурных зависимостях £ и Л. Как правило, при расчетах в рамках теории ГЛ используются следующие температурные зависимости, применимые вблизи Tc:
£ = =-F= ■ (5)
V1- tc у1 - тс
где £(0) и Л(0) - длина когерентности и глубина проникновения магнитного поля при T = 0. Тем не менее, для глубины проникновения магнитного поля Л существует эм-
Л
Л = |Л(о) . (6)
1 - (T
Для реальных сверхпроводящих структур (особенно ВТСП) температурные зависимо-Л£
к, считающийся в теории не зависящим от температуры, может изменяться при ее ва-
Л£
виде (5).
Применялась следующая итерационная процедура нахождения самосогласованных решений системы уравнений (1). (2). Первоначально задавалась некоторая пробная функция параметра порядка ф(х^) и находилось решение уравнения (2) для функции UX)• Найденная U(х%) подставлялась затем в уравнение (1), и с учетом граничных условий (4) находилась новая функция ф(х^). Далее вновь решалось уравнение (2), и вся процедура повторялась, пока функции ф(х^) и U(х%) не переставали меняться и, таким образом, представляли собой самосогласованное решение системы уравнений. Найденное таким методом решение устойчиво, поскольку оно не меняется при малых первоначальных возмущениях. Значения плотности критического тока Jc и критического поля Hc сверхпроводящей пластины принимались равными значениям плотности транспортного тока Jt или внешнего поля H, при которых параметр порядка становился равным нулю, ф(х^) = 0. Таким методом находилась зависимость плотности критиче-
Jc Hc
Отметим. что все приведенные выше значения длины (в том числе на графиках), представлены в единицах £(0) магнитного поля представлены в единицах
Не 0 где Не 0 = -—чо . Значения тока (плотности критического тока) в рамках 2пк2^ (0)2
модели представляются через Н1 (см. выше), и поэтому, также как и магнитное поле, представлены в единицах Н^0.
Результаты численных расчетов. Примеры зависимостей плотности критического тока от температуры Зс(Т/Тст) приведены на рис. 1. Здесь Тст - критическая температура массивного образца, в котором границы оказывают малое влияние на его сверхпроводящие свойства. На рис. 1 приведены зависимости Зс(Т/Тст), рассчитанные при следующих параметрах: к = 2 (сверхпроводник второго рода); Л = 10 и Л = о; значения толщины сверхпроводящей пластины й — 1, 2 и 4. Из приведенного рис. 1 видно, что критическая температура пластин для Л = 10 меньше, чем для Л = оо, а также то, что при каждой температуре значение плотности критического тока для случая Л = 10 меньше плотности тока распаривания ГЛ. Стоит отметить, что при расчетах Л=о
совпадает с плотностью тока распаривания ГЛ.
Рис. 1: Зависимость плотности критического тока в единицах Не0 (см. текст) от отношения Т/Тст для сверхпроводящих пластин различной толщины с параметром границы Л = о (сплошная линия) и Л = 10 (пунктирная линия). В этом случае к = 2.
Аналогичное влияние граничных условий наблюдается и для параллельного поверхности пластины критического магнитного поля. Примеры зависимостей Нс(Т/Тст) при-
к=2
Представленный рис. 2 показывает уменьшение критической температуры пластины
по отношению к критической температуре массивного образца Тст для случая Л = 10. При этом чем меньше толщина пластины, тем ее критическая температура ниже. Для каждого конкретного значения толщины пластины и каждого конкретного значения температуры критическое поле, рассчитанное при значении Л = 10, меньше, чем рассчитанное при значении Л = оо.
сш сш
(а) (б)
Рис. 2: Зависимость параллельного поверхности пластины критического магнитного поля от отношения Т/Тст для сверхпроводящих пластин различной толщины с параметром границы Л = о (а) и Л = 10 (б). В этом сл у чае к = 2.
Таким образом, при учете влияния границы наблюдается подавление сверхпроводящего состояния в пластине, что оказывает влияние на ее критические параметры (критическую температуру, критическое поле и плотность критического тока). При этом чем пластина тоньше, тем подавление сверхпроводящего состояния сильнее. Подавление сверхпроводящего состояния в пленках при конечных значениях параметра Л
Остановимся на виде температурных зависимостей плотности критического тока и критического поля тонкой сверхпроводящей пластины. Из теории известно, что вблизи критической температуры данные зависимости ведут себя как (Тс — Т)3/2 и (Тс — Т)1/2 соответственно. Эти зависимости получены в предположении постоянства параметра порядка по толщине пластины. При конечных значениях Л (в нашем случае Л = 10), как показывают расчеты, вид температурной зависимости сохраняется. Здесь стоит отметить, что данный результат является не совсем тривиальным. Вид температурной зависимости задается температурными зависимостями глубины проникновения магнитного поля Л и длины когерентности а точнее, связан с тем, как данные длины расхо-
дятся вблизи Тс. В случае учета влияния границы (конечные значения А) критическая температура пластины уменьшается, а температурные зависимости параметров Л и £ расходятся не вблизи критической температуры пластины, а вблизи критической температуры массивного сверхпроводника Тст. В работе [14] такой характер зависимостей Нс (Т) объясняется с помощью учета дополнительного поверхностного члена в функционале свободной энергии ГЛ, который и приводит к граничным условиям вида (4). В этой работе получено следующее соотношение в обычных размерных единицах для температурной зависимости параллельного поверхности пластины критического магнитного поля вблизи критической температуры:
УЭФо Г 1 2 I0'5 У3Ф гТ ТпО.5
Нс =
пБ
(Т) ЛБ
пБ£ (0)
Тс - Т Т ■
-1- с.г
(7)
где Ф0 - квант магнитного потока. Формула получена в предположении, что толщина
Л
ности Наши численные расчеты показывают, что такой корневой характер зависимости Нс(Т) сохраняется в широком диапазоне температур и толщин пленок.
Рис. 3: Зависимость плотности критического тока от отношения Т/Тст для сверхпроводящих пластин различной толщины с параметром границы Л = (сплошная линия) и Л = 10 (пунктирная линия). В этом случае к = 0.5.
Для пластин толщиной 4 отчетливо видно наличие перегиба на кривой температурной зависимости критического поля. Данный перегиб представляет собой переход
Тс
Рис. 4: Зависимость параллельного поверхности пластины критического поля от отношения Т/Тст для сверхпроводящих пластин различной толщины с параметром границы Л = го (сплошная линия) и Л = 10 (пунктирная линия). В этом случае к = 0.5.
зависимость продолжена на рис. 2 пунктирной линией. Данный перегиб наблюдается как при Л = го, так и в случае конечных Л. Его наличие связано с тем, что, начиная с некоторого значения температуры, толщина пластины в единицах £ становится меньше диаметра кора вихря (1.81 для Л = го и более 1.81 при конечных Л) и вихри перестают проникать в пластину, таким образом, в ней реализуется мейснеровское состояние. При этом температурная зависимость критического поля ведет себя по корневому закону, как и положено для этого состояния. Учитывая, что для точки перегиба отношение толщины пластины к длине когерентности при данной температуре равно определенному значению порядка 2-3, анализ таких зависимостей для пленок из произвольных сверхпроводников может позволить оценить длину когерентности £ для таких пленок. Отметим, что наличие на реальных пленках особенности, связываемой с проникновением вихрей в образец для случая параллельного поверхности магнитного поля, наблюдалось экспериментально [15].
Температурные зависимости плотности критического тока и критического поля были получены и для сверхпроводника первого рода (рис. 3 и 4). Здесь, как и для сверхпроводников второго рода, наблюдается описанное выше подавление сверхпроводящего состояния при учете влияния границы, выраженное в уменьшении критических температуры, плотности тока и поля. Отличием данного случая является то, что плотность критического тока, полученная для случая Л = го и пластин толщиной более 1, отли-
чается от тока распаривания Г Л при понижении температуры. Данное обстоятельство связано с тем. как упоминалось выттте. что аналитическая формула для тока распаривания ГЛ получена для случая, когда толщина пластины много меньше глубины проникновения магнитного поля А и длины когерентности £, и, следовательно, может быть неприменима для толщин порядка А и £ [16].
Заключение. Основные результаты данной работы можно сформулировать следующим образом:
подтверждено подавление сверхпроводящего состояния в пластине при учете влияния границы на ее сверхпроводящее состояние;
вид температурных зависимостей плотности критического тока и критического магнитного поля сохраняется при использовании обобщенных граничных условий, в том числе с конечными значениями Л;
для случая сверхпроводника второго рода и пластин толщиной более 1.81 наблюдается перегиб на расчетной кривой температурной зависимости критического поля, параллельного поверхности пластины. Данный перегиб связывают с началом проникновения вихрей в пластину. Такая особенность наблюдается на эксперименте и может быть использована для оценки длины когерентности £ образца.
ЛИТЕРАТУРА
[1] G. F. Zharkov, V. G. Zharkov, and A. Yu. Tsvetkov, Phys. Rev. В 61, 12293 (2000).
[2] Г. Ф. Жарков, В. Г. Жарков, А. К). Цветков, Краткие сообщения по физике ФИАН, № 11, 35 (2001).
[3] Г. Ф. Жарков, В. Г. Жарков, А. К). Цветков, Краткие сообщения по физике ФИАН, № 12, 31 (2001).
[4] А. К). Цветков, Г. Ф. Жарков, В. Г. Жарков, Краткие сообщения по физике ФИАН, № 2, 42 (2002).
[5] А. Н Лыков, А. К). Цветков, Г. Ф. Жарков, ЖЭТФ 128, 392 (2005).
[6] П. И. Б езотосныи, С. К). Гаврилкин, А. Н. Льтков, А. К). Цветков, Краткие сообщения по физике ФИАН 41(6), 8 (2014).
[7] Е. А. Андрютпин, В. Л. Гинзбург, А. П. Силин, УФН 163, 105 (1993).
[8] A. Lykov, Phys. Lett. А 372, 4747 (2008).
[9] A. Lykov, Int. J. Mod. Phys. В 23, 4269 (2009).
[10] М. Tinkham, Introduction to superconductivity (McGraw-Hill Book Company. 1975), p. 149-151.
[11] Sreeparna Mitra, J. H. Clio, W. C. Lee, et al., Phys. Rev. В 40, 4 (1989).
[12] X. Sluchanko, S. Gavrilkin, Iv. Mitsen, et al., J. Supercond. Nov. Magn. 26, 1663 (2013).
[13] Iv. Flachbart, S. Gabani, Iv. Gloos, et al., J. Low Temp. Phys. 140, 339 (2005).
[14] J. Simonin, Phys. Rev. В 33, 7830 (1986).
[15] H. П. Шабанова, С. И. Красносвободцев, А. В. Варлаттткин, А. И. Головаттткин, ФТТ 49, 990 (2007).
[16] А. К). Цветков, Г. Ф. Жарков, А. Н. Льтков, Краткие сообщения по физике ФИАН, № 6, 25 (2004).
Поступила в редакцию 23 апреля 2014 г.
