Расчет статистик критерия Граббса для арксинусоидальных законов распределения Текст научной статьи по специальности «Науки о Земле и смежные экологические науки»

СИСТЕМЫ И

ПРОЦЕССЫ

УПРАВЛЕНИЯ

УДК006.91

РАСЧЕТ СТАТИСТИК КРИТЕРИЯ ГРАББСА ДЛЯ

АРКСИНУСОИДАЛЬНЫХ ЗАКОНОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

при уровне значимости а = 0,05 для выявления одного, двух и трех аномальных наблюдений (выбросов).

Проверка на один выброс

При проверке на выброс наибольшего выборочного значения проверяется гипотеза, заключающаяся в том,

что наблюдение Xi, X2 , ...,Xn — из построенного по выборке вариационного ряда Xi, X2 ,..., Xn принадлежит арксинусоидальному закону распределения, а наибольшее наблюдение Xn принадлежит другому закону распределения, существенно сдвинутому вправо. В этом случае статистика критерия Граббса имеет вид

САФАРЯН Г.Г., СЕРГИЕНКО М.П.________________

Исследуется возможность применения критериев типа Граббса для выявления аномальных наблюдений, принадлежащих выборкам из генеральной совокупности, распределенной по закону арксинуса. Получены распределения статистик Граббса для случаев существенного отклонения наблюдений в сторону как больших, так и меньших значений, а также процентные точки для различных объемов выборки при уровне значимости 0,95.

Актуальность исследования

В метрологической практике при осуществлении этапа предварительной обработки данных необходимым является использование статистических критериев выделения аномальных наблюдений (выбросов). Игнорирование этой процедуры приводит, как правило, к некорректным результатам, поскольку в большинстве случаев используемые классические статистические методы чувствительны к имеющимся аномальным наблюдениям.

Наиболее часто для проверки наблюдений на аномальность используют простые критерии Граббса [1-4]. Эти критерии предусматривают возможность проверки наличия в выборке одного (наибольшего или наименьшего) либо двух (двух наибольших или двух наименьших) аномальных наблюдений и применяются для проверки на аномальность наблюдений, распределенных по нормальному закону. Однако многие физические величины не подчиняются нормальному закону распределения, и использование [2] в этих случаях не является корректным. Особый интерес в связи с этим вызывают величины, имеющие арксину-соидальное распределение (погрешности при измерениях параметров круговых величин, погрешности от наводок и помех на выходе средств измерительной техники, от силовых цепей промышленной частоты и т.п.). Поэтому необходимо исследовать распределение статистик критерия Граббса при арксинусоидаль-ных законах распределения наблюдений.

Целью данной работы является нахождение и исследование распределений статистик типа Граббса для выборок, принадлежащих арксинусоидальной генеральной совокупности. В связи с поставленной целью выделены основные задачи: расчет процентных точек

G (Xn - X) S , (1)

где — 1 n X = - Е Xj, nj=1 (2)

S = і 1 n 2 —-Е (Xj - X)2 n - 1j=i . (3)

При проверке наименьшего выборочного значения X1 на выброс проверяется гипотеза, предполагающая, что X1 принадлежит другому закону распределения, существенно сдвинутому влево. В этом случае статистика Граббса имеет вид

^ (X - X1)

G = ^-^. (4)

Максимальное или минимальное наблюдение считается выбросом, если значение соответствующей статистики превысит критическое: G > Gi-a, где а -заданный уровень значимости.

Распределение статистик (1) и (4) в [1-3] не приводится. Вид условных распределений F(G) этих статистик в зависимости от объема выборки при арксинусои-дальном законе распределения наблюдаемых величин показан на рис. 1. Статистики (1) и (4) распределены одинаково.

F(G)1

0,9

0,8

0,7

0,6

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

0

n = 5 /

10

20

40

0 0,5

1,5 2 2,5 G 3

1

Рис.1. Зависимость распределения статистик (1) и (4) критерия Граббса от объема выборки

Поскольку решение об аномальности проверяемого максимального или минимального выборочного значения принимается по правой части распределения

РИ, 2006, № 3

25

статистики, были рассчитаны верхние процентные точки для различных объемов выборки.

Процентные точки для всех рассматриваемых случаев были построены по моделируемым выборкам статистик. Объем каждой выборки составлял 105 смоделированных значений статистики с усреднением 50 раз. СКО полученных процентных точек не превысило 10 4.

Для уровня значимости а = 0,05 (доверительная вероятность P = 0,95 ) верхние точки G 0,95 в зависимости от объема выборки п показаны на рис. 2.

Г--------------------------------------

0 50 100 150 п 200

Рис.2. Зависимость статистики G0,95 от объема выборки п

Зависимость статистики G0 95, показанная на рис.2, существенно отличается от аналогичной зависимости, построенной для выборок, принадлежащих нормальной генеральной совокупности [2], которая монотонно возрастает с увеличением числа наблюдений

п.

Проверка на два выброса

В этом случае проверяется гипотеза о том, что некоторому другому закону принадлежат наблюдения: 1) Xn и Xn-1; 2) X1 и X2; 3) Xn и X1.

При проверке на выброс одновременно двух наибольших наблюдений статистика критерия Граббса имеет вид

G =

S

2

п-1,п

S

2,

0

(5)

где

2 п — 2 s° = z (Xi - X)2, (6)

i=1

п-2

S°-1,n = Z (Xj - Xn-1,n)2 (7)

j=1

в которых

Xn—1, п

1

п - 2

п-2

Z Xj

j=1

(8)

а X определяется из выражения (2).

При проверке на выброс одновременно двух наименьших наблюдений X1 и X2 статистика критерия Граббса принимает вид

G=

S2

где S2 определяется из выражения (6):

s2,2 = z (Xj - Xu)2

j=3

(9)

(10)

X1,2 =

1

п-2

п

Z Xj.

j=3

(11)

Оба значения Xn, Xn- или X1, X2 считаются выбросами, если значение соответствующей статистики окажется ниже критического G < G а.

Вид условных распределений F(G) статистик G (5) и (9) в зависимости от объема выборки показан на рис. 3.

Рис. 3. Зависимость распределения статистик (5) и (9) критерия Граббса от объема выборки п

Решение об аномальности одновременно двух наибольших или двух наименьших наблюдений принимается по левой части распределения статистики. Для уровня значимости а = 0,05 (доверительная вероятность P = 0,95 ) нижние точки G0 05 в зависимости от объема выборки п показаны на рис.5 линией 1.

При проверке на выброс одновременно наибольшего и наименьшего наблюдений статистика Граббса имеет вид

G=

S1,n

So

где S° определяется из выражения (6):

(12)

S2 = S1,n = n-1 Z (Xj - X1,n)2 , (13)

j=2

1 n-1

Xu n - 2 z Xj. j=2 (14)

Xn и X1 считаются выбросами при

заданном уровне доверия а, если значение соответствующей статистики, вычисленное по выборке, окажется ниже критического G < G а.

26

РИ, 2006, № 3

Вид условных распределений F(G) статистики G (12) в зависимости от объема выборки показан на рис. 4.

Рис. 4. Зависимость распределения статистик (12) критерия Граббса от объема выборки n

Решение об аномальности одновременно наибольшего и наименьшего наблюдений принимается по левой части распределения статистики. Для уровня значимости а = 0,05 нижние точки G0 05 в зависимости от объема выборки n показаны на рис. 5 линией 2.

0 и-------------------------------------

0 50 100 150 n 200

Рис. 5. Зависимость статистики G0,95 от объема выборки n

S1,2,3 G = 2 2 S0 (18)

где S° определяется из выражения (6):

s2,2,3 = Z (Xj _ X1,2,3)2 j=4 (19)

— 1 n X1,2,3 = _ 3 ZXj . n _ 3 j=4 (20)

Три значения Xn , Xn_1 и Xn _2 или X1, X2 и X3

считаются выбросами, если значение соответствующей статистики окажется ниже критического G < G а.

Вид условных распределений F(G) статистик G (15) и (18) одинаков и показан на рис.6 в зависимости от объема выборки.

Решение об аномальности одновременно трех наибольших или трех наименьших наблюдений принимается по левой части распределения статистики. Для уровня значимости а = 0,05 нижние точки G0 05 в зависимости от объема выборки n показаны на рис.6.

Проверка на три выброса

В случае проверки наблюдаемой выборки на три выброса проверяется гипотеза о том, что некоторому другому закону, отличному от закона арксинуса, принадлежат наблюдения: 1) Xn,Xn — и Xn_2; 2) X1,X2 и X3; 3) Xn,Xn_1 и X1; 4) X^X и X2.

При проверке на выброс одновременно трех наибольших наблюдений статистика критерия Граббса имеет вид

G =-

S

n _ 2,n _1,n

S02

(15)

где S° определяется в соответствии с выражением (6):

S

2

n _2,n _1,n

n _3

Z

j=1

(Xj _ Xn_2,n—1, n )

2

X

n—2,n—1,n

1

n — 3

n—3

Z Xj.

j=1

(16)

(17)

При проверке на выброс одновременно трех наименьших наблюдений X1 , X2 и X3 статистика критерия Граббса принимает вид РИ, 2006, № 3

Рис. 6. Зависимость распределения статистик (15) и (19) критерия Граббса от объема выборки n

При проверке на выброс одновременно двух наибольших и одного наименьшего наблюдений статистика критерия Граббса имеет вид

S2 ~ Sn—1,n, 1 G = 2 2 S0 (21)

где s2 определяется в соответствии с выражением (6):

2 n—2 2 Sn—1,n,1 = Z (Xj — Xn—1,n,1)2 j=2 (22)

1 n—2 Xn—1,n,1 = 3 ZXj n — 3 j=2 . (23)

При проверке на выброс одновременно одного наибольшего и двух наименьших наблюдений статистика критерия Граббса

S2 - S1,2,n G = 2 2 S0 (24)

27

где S2 определяется из выражения (6):

S

2

1,2,n

n-1 — 2

Z (Xj - Xi,2,n)2 j=3 ’

X1,2,n

1

n - 3

n-1

Z Xj.

j=3

(25)

(26)

Три значения Xn, Xn-1 и X1 или X1, X2 и Xn

считаются выбросами, если значение соответствующей статистики окажется ниже критического для заданного уровня а : G < Gа.

Вид условных распределений F(G) статистик G (21) и (24) одинаков и показан на рис.7 в зависимости от объема выборки.

Выводы

Полученные результаты позволяют обнаруживать до трех наблюдений в исследуемой выборке, не принадлежащих арксинусоидальному закону распределения и существенно сдвинутых в сторону наибольших или наименьших значений.

Научная новизна исследований заключается в получении распределения статистик типа Граббса для выявления аномальных наблюдений при арксинусои-дальном распределении генеральной совокупности.

Практическая значимость результатов заключается в том, что проведенные исследования позволяют выявлять до пяти аномальных наблюдений при различных комбинациях их отклонений в сторону больших и малых значений. Получены процентные точки статистик критерия Граббса для уровней значимости а = 0,05 .

Литература: 1. Frank E. Grubbs, Glenn Beck. Extension of sample sizes and percentage points for significance tests of outlying observations// Technometrics, 1972. Vol. 14, No.4. P. 847-854. 2. ГОСТ Р ИСО 5725-2-2002. Точность (правильность и прецезионность) методов и результатов измерений. Часть 2. М.: Изд-во стандартов. 51 с. 3. Большее Л.Н., Смирное Н.В. Таблицы математической статистики. М.: Наука, 1983. 416 с. 4. Frank E. Grubbs. Procedures for Detecting Outlying Observations in Samples// Technometrics, 1969. Vol. 11. No.1. P. 1 - 21.

Рис. 7. Зависимость распределения статистик (21) и (24) критерия Граббса от объема выборки n

Решение об аномальности одновременно двух наибольших и одного наименьшего или одного наибольшего и двух наименьших наблюдений принимается по левой части распределения статистики. Для уровня значимости а = 0,05 нижние точки G0 05 в зависимости от объема выборки n показаны на рис. 8 линией 2.

0 и-------------------------------------

0 50 100 150 n 200

Рис. 8. Зависимость статистики G0,95 выборки n

от объема

Поступила в редколлегию 13.07.2006

Рецензент: д-р техн. наук, проф. Крюков А.М.

Сафарян Григорий Гагикович, инженер кафедры МИТ ХНУРЭ. Научные интересы: исследование погрешностей вычислительных операций при цифровой обработке сигналов, статистическая обработка результатов измерений. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина,14, тел. 702-1331.

Сергиенко Марина Петровна, канд. техн. наук, с.н.с. кафедры МИТ ХНУРЭ. Научные интересы: динамические измерения. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Лени-на,14, тел. 702-1331.

28

РИ, 2006, № 3