Расчет резонансных частот ультразвуковой многослойной камеры с пьезоэлектрическим излучателем Текст научной статьи по специальности «Физика»

ISSN 0868-5886

НАУЧНОЕ ПРИБОРОСТРОЕНИЕ, 2007, том 17, № 3, c. 65-74 ОРИГИНАЛЬНЫЕ СТАТЬИ

УДК 534

© В. Е. Курочкин, Е. Д. Макарова, Б. П. Шарфарец

РАСЧЕТ РЕЗОНАНСНЫХ ЧАСТОТ УЛЬТРАЗВУКОВОЙ МНОГОСЛОЙНОЙ КАМЕРЫ С ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКИМ

ИЗЛУЧАТЕЛЕМ

В работе предложен подход, позволяющий рассчитывать характеристики ультразвуковых резонансных камер, состоящих из пьезоэлектрического излучателя и многослойной жидкой камеры, граничащей в общем случае с жидким полупространством. Предложенный подход позволяет получить исчерпывающую информацию о физических процессах в камере. В качестве примеров рассмотрены ненагруженный излучатель, а также излучатель, нагруженный на акустическое сопротивление с постоянным и с частотно зависимым им-педансами.

ВВЕДЕНИЕ

В работе [1] рассматривались различные аспекты звуковых полей в многослойных ультразвуковых жидких резонаторах. Большое внимание уделялось рассмотрению резонансных явлений в камере. Однако при этом остался в стороне вопрос влияния излучателя как системы с распределенными параметрами на частотный характер поля во всей системе, включая и излучатель. В настоящей работе в качестве такового рассматриваются пьезоэлектрические излучатели, нашедшие широкое применение в ультразвуковых технологиях. Ранее подобная проблема рассматривалась в целом ряде работ [2-5 и др.]. В настоящей работе метод, предложенный для систем с идеальными границами [2, 5], адаптируется к случаю произвольных граничных условий.

Как известно, колебания в пьезоэлектриках, являющихся существенно анизотропными как с точки зрения механических, так и с точки зрения пьезоэлектрических и диэлектрических свойств, описываются сложной системой электромеханических уравнений. Эти уравнения однако существенно упрощаются в некоторых случаях, когда система уравнений становится одномерной. В настоящей работе рассматривается пьезоэлектрический излучатель в виде тонкой пластинки, осуществляющей только продольные колебания по толщине пластины. Все функции, описывающие электромеханические процессы такой пластины, зависят только от одной переменной x, ориентированной по толщине пластины, а тензоры преобразуются в константы. В этом случае линейные уравнения пьезоэлектричества описываются следующими уравнениями [2, 6]:

_ d2u(x, t) dx, t) _ d2u(x, t) c ^ + e ^ ^ p

dx2

dx2

dt2

(p(x, t) _ — u (x, t) + фx + ф0, £

T (x, t) _ c + e MM,

dx dx

D( x, t) _ e du(xll-£d?( x,t)

(1) (2)

(3)

(4)

дx дx

Здесь u — смещение; р — электрический потенциал; T — напряжение; D — диэлектрическое смещение; р, С , e , £ — плотность, упругая жесткость пластины и ее пьезоэлектрическая и диэлектрическая постоянные соответственно, остающиеся неизменными в пределах пластины (здесь под диэлектрической постоянной в системе СИ понимается произведение электрической постоянной £0 = 8.85418782 -10-12 Ф/м и безразмерной диэлектрической проницаемости материала); ф0, ф — неопределенные константы.

Объединяя (1) и (2), имеем:

_ е\ д 2и (х, г) д 2и(х, г) (с + —)——— = Р-£ '

dx2

dt2

(5)

Решение (5) при установившихся гармонических колебаниях и(х, г) = и(х)е~ш имеет вид

u (x) _ A cos kx + B sin kx.

(6)

Здесь А, В волновое число; с

ю

неопределенные константы; к =--

с

скорость продольной волны

c =

c + ele

Р

(6а)

Из (2), (3) и (5) имеем: T (X) = k (c + e2 le)-A sin kx + B cos kx) + еф . (7)

Из (2) и (4) имеем:

D( X) = -ф. (8)

Пусть толщина пластинки — l, и величина x меняется в интервале x £ [0, l ]. Для нахождения четырех неопределенных коэффициентов A, B, ф0 и фф необходимо удовлетворить краевым условиям, например на границе x = 0 для всех искомых функций положить:

u( x)l x=0 = uo; р( x)| x=0 =(0;

T (x)| x=0 = T.; D( x)| x=0 = D0.

(9)

A = u0, B =

(c+e2le)k

ф =^0--^

e

T +- D0

1

e

Ф = — D0.

Muu MuT 0 MuD Л (u(0) ^ (u (0)

MTu MTT 0 MTD T (0) = M p T (0)

M pT M pD

M pu 1 Р(0) p Р(0)

0 0 0 1 , V D(0) y V D(0)

(14)

Последняя строка матрицы следует из (8). Найдем остальные элементы переходной матрицы, ис-

ходя из (2)-(4), (6) и (10)—(13). Окончательно имеем:

(15)

(16)

Muu = MTT = cos kx ,

ъ„иТ sin kx

MT =-,

yk

MTu =-yk sin kx ,

M Р = MTD = e (cos kx -1), (18) e

(17)

M pT = MuD =

e sin kx e yk

M pD =

e2 sin kx x

e2 yk Y = c + e2le,

(19)

(20) (21)

В работе [2] приведены выражения, связывающие условия (9) с неопределенными коэффициентами. Применительно к рассматриваемому случаю они равны:

(10) (11)

(12) (13)

Пусть к обеим сторонам пластины приложены идеальные электроды, механические свойства которых могут быть проигнорированы. В этом случае искомые величины на разных сторонах левого электрода связаны соотношением [2]

(u > T Р

KDJ

После определения констант(10)-(13) можно использовать метод переходных матриц для расчета значений и(х), Т(х), (р(х) и О(х) в любой точке х е (0,1] [2]:

(u(x) ^ T (x) Р( x) D( x)

(1 0 0 01 (u 1 (u 1

0 1 0 0 T T

0 0 1 . 2F 0 Р = M E Р

0 V 0 1 ~mS 1 y V d x = x~ V d J

(22)

Здесь х — координата электрода; верхний индекс + или - относится к правой или левой стороне тонкого электрода соответственно; S — площадь электрода; У = I / и — адмитанс (проводимость) цепи из двух электродов с находящейся между ними пьезоэлектрической пластиной; и и I — напряжение и ток в этой цепи. Как видно из (22), все величины, кроме электрического смещения О, в точке расположения электрода не меняют своих значений. Смещение О меняется скачком.

Если рассматривается система электрод— пьезоэлектрическая пластина—электрод, то совокупная переходная матрица М * равна произведению [2]

М * = М Е • М п • М Е ,

а (14) преобразуется к виду

œu(x) ö T ( x) j ( x) D( x)

' M *uu M *Tu M *ju M

M *uT M *TT M*jT M 'DT

M *uj M T

M j

M *Dj

*uD öf

M

M *TD M *jD M *DD

u(0) 0 j (0)

0

л

= M *

(23)

T (l, t ) = -Zc

8u(l, t ) dt

или с учетом временного фактора е ш

Т (I) = ¡ю2аи(1). (24)

Здесь Ха — волновое сопротивление акустической нагрузки на правом торце пластины.

Начальный потенциал электрического поля определим через подаваемое на электроды напряжение ие-ш

j(0)=U

Соответственно, исходя = j (0) - j (l ), имеем

из

условия U =

œ u(0) ö T (0) j (0) v D(°) 0

Матрица M * в отличие от матрицы M в (14)

в общем случае не имеет специального вида с нулями и единицами в четвертой строке и третьем столбце.

В работах [2-4] функция Y (w) определялась из характеристического уравнения, полученного из условия того, что левая и правая границы системы излучатель—жидкий резонатор являются свободными, т. е. значения упругого напряжения на этих границах равны нулю. В работе [1] рассматривался жидкий резонатор с потерями, когда правая граница не свободная, а на ней задано импедансное условие. В настоящей работе также предполагается наличие импедансного условия на правой границе резонансной системы, поэтому предлагается иной алгоритм расчета электрического адмитанса Y(w).

Поставим краевые условия. На левой обкладке левого электрода и на правой обкладке правого электрода электрическое смещение равно нулю

D(0) = D(l) = 0 .

Кроме того, примем, что левая граница свободная, т. е.

T(0) = 0 .

Напряжение на правой границе должно удовлетворять краевому условию (см., например, [7, с. 155])

т и

9(1) = -у

Очевидно, что последнее равенство при подстановке в (22) обеспечивает скачкообразное падение электрического смещения В до нуля на правой стороне правого электрода.

После этого совокупность известных краевых условий можно записать так

D(0) = D(l ) = 0, T (0) = 0, T (l ) = iwZau (l),

j(0)=j(l) = -U

(25)

С учетом (25) выражение (23) на границе x = l можно переписать в виде

œ u(l ) ö iwZau(l )

-U/2

0

œ

M *uu M *uT M *uj M *uD ö œ u(0)

M *Tu M *TT M *Tj M *m 0

M M *jT M j M j j (0)

M M *DT M *Dj M *DD , 10

= M *

œ u(0) ö 0

U/2 0

(26)

Для решения задачи (26) необходимо задание неизвестных пока значений начального смещения и(0) и адмитанса У(ю). Вытекающая из (26) система четырех уравнений для определения двух неизвестных и(0) и У (ю) переопределена. Анализ показывает, что для однозначного определения величин и(0) и У(ю) можно использовать любое из вытекающих из (26) линейно зависимых уравнений:

г*, и _о

М * Оии (0) + М *

или

М^и(0) + М— _-— 2 2

и уравнение

М *Тии (0) + М

_ 1ю2 и ( I).

(27)

(28) (29)

О0 _ I

уи

соБ

(30)

то выражения (10)—(13) могут быть переписаны так:

Будем использовать для определения искомых величин уравнение (29) и, например, (27). Для этого предварительно выразим коэффициенты (10)-(13) через искомые величины. Поскольку наличие электродов изменяет только электрическое смещение, а фигурирующая в (11) и (13) величина О0 есть электрическое смещение на правой стороне левого электрода, которое равно [2]

А _ и(0),

1

у к 1

В _—\ Т0 +-О0 | _ I—

1 е и

у к £ юБ

У ((,

а е и е

Ф _Фо — и0 _ — — и(0), £ 2 £

Ф О0 1 иУ((.

£ £ (Од

(10а) (11а)

(12а)

(13а)

Учитывая (6) и (10а)-(13а), решим систему (27), (29):

и(0) _

У (о) _

еи £(ку(соъ к1 -1) - 1Таючш к1)

-2е2 ку+ ку(2е2 + ¡^а£(о)соъ к1 + (к 21у2£- 1е2 Хаш)ът к1 '

кБу£2а>( Хаюсоъ к1 - ¡ку ът к1) -2е2ку+ ку(2е2 + [\Та£ю)соък1 + (к21у2£ - 1е2Таю)ъшк1

(31)

(32)

Таким образом, матричное уравнение (26) с граничными условиями (25) позволяет найти недостающие значения начального смещения и(0) и адмитанса пластины У (о) в виде (31), (32), а затем с помощью уравнений (2), (6)-(8) и коэффициентов (10а)-(13а) найти далее все искомые величины при произвольных значениях х е [0,1 ].

Отметим, что вычисление входного импеданса многослойной камеры, рассмотренной в [1], позволяет определять резонансные частоты системы вибратор—камера, если в (24) в качестве волнового сопротивления акустической нагрузки Та принять входной импеданс камеры . Тогда очевидно, что выражение (32) для адмитанса может быть использовано для определения резонансных и антирезонансных частот согласно изложенной в [2, 8] методике. При Та = 0 (32) опишет адмитанс пьезопластины со свободными границами

У (О) _

1кБу£2юъ,т к1

-2е2 + 2е2 соъ к1 + Иу£ ът к1

1кБу£2ю

-2е + к1у£

(32а)

что совпадает с обратной величиной выражения (3.105), приведенного в работе [9, с. 279] для им-

педанса плоской пластины со свободными границами, совершающей продольные колебания, где однако принята несколько иная скорость звука в пластине.

Отметим, что нерассмотренный здесь случай количества электродов больше двух также может быть принципиально учтен [5 и др.].

ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕЗОНАНСНЫХ ЧАСТОТ

Выше отмечалось, что резонансные частоты могут быть получены из выражения (32), однако приведем более прозрачные, идеологически примыкающие к работе [1] методы.

Пусть правый электрод при х _ I граничит с жидким полупространством плотностью р и скоростью звука с1 (р1, с1 — характеристики слоя жидкости, примыкающего к пластине). Граничные условия при х _ I требуют непрерывности напряжения Т и смещения и :

Тх _ -_ Т|х_1 +_- Р(1 ^

_ и

-I+

(33)

(34)

В краевом условии (33) учтена противоположность знаков напряжения и давления в жидкости.

В установившемся режиме амплитуда колебательной скорости с учетом временной зависимо-

сти e ш равна

V (x) = -iwu( x)

(35)

и связана с давлением в жидкости известным соотношением

V (x) = -

1 dP(x)

iwp1

dx

(36)

Объединяя (35) и (36), имеем окончательно для краевого условия (34):

(37)

1 CP

- 2 w P1 dx x=l+

Давление в жидкости будем искать в виде

P(x) = A cos k x + B1 sin k x, (38)

где k = w/c1 — волновое число жидкости. Неопределенные коэффициенты A1 и B1 находятся из условий (33), (37).

Таким образом, получены все выражения для расчета акустических волн в системе пьезоизлуча-тель—жидкое полупространство.

Перейдем теперь к определению резонансных частот реальной многослойной ультразвуковой камеры, разобранной в работе [1] и облучаемой рассмотренным пьезоэлектрическим излучателем. Напомним, что ультразвуковая камера состоит из N жидких слоев, сопряженных справа с однородным жидким полупространством. Для определения резонансных частот необходимо воспользоваться одним из предложенных в [1] методов.

Метод вронскиана

В этом случае строятся два решения y12 (x),

удовлетворяющие соответственно левому и правому краевым условиям. В качестве решения y1( x) берется решение (38) в любой точке x, расположенной в первом водном слое, примыкающем к излучателю и имеющем акустические параметры р1, c1. В качестве решения y2 (x) берется решение, удовлетворяющее правому граничному условию в резонансной камере (см. [1]). После этого рассчитываются резонансные частоты wl как суть решения задачи:

\w(a>¡ )| = min |w(w)| =

1 1 w 1 1

= min I y (x, w) yx2 (x, w) - y'X1 (x, w) y2 (x, w)|. (39)

w i i

Метод дисперсионного соотношения

Согласно [1], резонансные частоты соответствуют решениям дисперсионного соотношения

где х — некоторая точка, в частности, в первом жидком слое. Примем х = l (поверхность вибратора). Тогда V_ ^, f) — коэффициент отражения плоской волны, падающей справа налево на вибратор из однородного полупространства х е^, да) с акустическими характеристиками примыкающего к поршню слоя; V+ ^, f) — коэффициент отражения плоской волны, падающей слева направо из однородного полупространства a е (-да, Т\ с акустическими характеристиками примыкающего к поршню слоя на систему слои—примыкающее к ним однородное полупространство.

Здесь, однако, оба этих метода использоваться не будут, а будет рассматриваться частотное поведение адмитанса, а также значений напряжения T ^) и смещения u ) на границе с жидкостью.

Таким образом, получены все выражения для вычисления резонансных частот резонаторной ультразвуковой камеры, состоящей из пьезоэлектрического вибратора и системы слоев, сопряженных с однородным полупространством.

Табл. 1. Характеристики резонаторной камеры

№ слоя Ск. звука, м/с Плотность, кг/м3 Толщина слоя, м

1 1500 1000 5 10-3

2 5570 2600 1 10-4

3 1500 1000 3 10-4

4 5570 2600 1 10-4

5 1500 (330) 1000 (1.3) да

Табл. 2. Характеристики пьезоэлектрического вибратора

arg(V- (x, f )V+ (x, f)) = 2mp,

m = 0,1,2,

(40)

Параметры Данные

Материал Sonox P4

Толщина, м 1.01 10-3

Плотность р , кг/м3 7800

Скорость звука c, м/с 4460

Диэлектрическая постоянная £ , 6.02 10-9

Ф/м

Упругая жесткость (модуль уп- 11.6 1010

ругости) , н/м2

Пьезоэлектрическая постоянная e, к/м2 15.3

u

ЧИСЛЕННЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ

Для иллюстрации полученных выражений был проведен численный эксперимент. Характеристики резонаторной камеры представлены в табл. 1. В качестве полупространства (слой № 5) принимался воздух либо вода. В табл. 2 приведены характеристики пьезоэлектрического вибратора. Данные заимствованы из работы [3].

Отметим, что скорость звука (продольная) в пьезопластинке в данном случае рассчитывается по формуле (6а). Вначале были рассчитаны точки резонанса некоторых характеристик пьезопластин с параметрами, указанными в табл. 2. Результаты представлены в табл. 3. Для сравнения в первой строке таблицы приведены резонансные частоты

\и(1)\ , м

Рис. 1. Резонансная кривая модуля смещения нагруженной пластины, Ха _

в пластине с параметрами из табл. 2, но при £ = 0 (без пьезоэффекта). Во второй строке представлены резонансные частоты пластины без нагрузки, в последующих строках приведены резонансные частоты адмитанса, а также напряжения и смещения на границе х _ I с нагрузкой. Сравнение первых двух строк подтверждает известные факты о том, что, во-первых, пьезоэффект понижает частоту резонанса, а во-вторых, наличие пьезоэффекта устраняет четные гармоники. Анализ строк 2, 3 также подтверждает известный факт понижения частоты резонанса при наличии нагрузки, однако частоты резонанса напряжения Т (I) и смещения и (I) при наличии нагрузки остаются практически неизменными и совпадают с частотами без нагрузки.

Ие и (I), 1т и (I), м

Рис. 2. Резонансная кривая действительной (И) и мнимой (I) составляющих смещения нагруженной пластины, ^ _ ^

Табл. 3. Точки резонанса

№ Резонанс Первая Вторая Третья

п/п гармоника, МГц гармоника, МГц гармоника, МГц

1 Пластина без пьезоэффекта, напряжение Т (1) 2.208 4.416 6.624

2 Пьезопластина без нагрузки, Za _ 0, адмитанс У (/) 1.957 — 6.548

3 Пьезопластина с нагрузкой Za _ адмитанс У (/) 1.953 — 6.537

4 Упругое напряжение Т (1) 1.957 — 6.548

5 Смещение и (1) 1.957 — 6.548

Re T (l), Im T (l), н/м2

10000

1

2

3

4

V

5 6 7 f , МГц

-10000

-20000

-30000

Рис. 3. Резонансная кривая модуля напряжения нагруженной пластины, 2 = 7,

' а М

8000

ЙЮ0

4000

2000

Y (f)

Рис. 4. Резонансная кривая действительной (R) и мнимой (I) составляющих напряжения нагруженной пластины, Za = z1

Arg Y (f)

1.5 1 0.5

f , МГц

4-

1

2

3

4

5

6

7

f , МГц

Рис. 5. Резонансная кривая модуля адмитанса ненагруженной пластины, Z = 0

Рис. 6. Резонансная кривая аргумента адмитанса ненагруженной пластины, Z = 0

Arg Y (f) 1

0.5

f , МГц

1234567

Рис. 7. Резонансная кривая модуля напряжения нагруженной пластины, 2 = 7

' а М

-0.5

-1.5

f , МГц

Рис. 8. Резонансная кривая аргумента адмитанса нагруженной пластины, ^ = 7

3

4

5

6

7

На рис. 1-4 приведены резонансные кривые модулей и реальных и мнимых составляющих смещения и (I) и напряжения Т (I) пластины с нагрузкой. Видно, что на резонансе реальная составляющая смещения и мнимая составляющая напряжения равны нулю, в то время как другая составляющая принимает максимальное значение.

На рисунках 5-8 приведены резонансные кривые для модуля и фазы импеданса ненагруженной и нагруженной на 2 а = ^ пластины. Видно, что нагрузка на порядок уменьшает модуль импеданса и размывает фазовую кривую.

Далее были произведены расчеты при 2а = для резонатора с жидким полупространством (см. табл. 1). Результаты приведены на рис. 9-15. На рис. 10, 12 и 14 представлены соответственно те же зависимости и в том же диапазоне, что и на рис. 3, 7 и 1 для случая постоянного импеданса на-

грузки Ъа = ¿1. Видно, что при частотно зависимом импедансе появляется целое множество резонансных максимумов, обусловленных этой зависимостью. Наиболее значимые из этих максиму -мов по-прежнему концентрируются в окрестностях собственных частот пластины. Более детально резонансные кривые представлены для реальных и мнимых составляющих напряжения и смещения на границе с жидкостью соответственно на рис. 9, 11 и 13, 14. По ним, а также по резонансной кривой для модуля адмитанса были просчитаны значения резонансных частот для двух наиболее значимых максимумов в окрестностях первого резонанса ненагруженной пластины /1 = 1.957 МГц (см. табл. 3). Расчеты по всем трем кривым дали идентичный результат (округление с точностью до сотен Гц): / = 1.927 МГц и / = 1.999 МГц.

Ре Т (I), н/м2 200 ООО

1.7

\Т(I)|, н/м2 500 000

400000 300 000

2.2 200000 / , МГц

100000

2 3 4 5 6 7

/ , МГц

Рис. 9. Резонансная кривая действительной составляю- Рис. 10. Резонансная кривая модуля напряжения на-щей напряжения нагруженной пластины, 2 а = груженной пластины, Ха = Хв

а вх

1

1.7

1.8

1т Т (I), н/м2

400000 200000

1.9 V

-200000

-400000

\Г (/)|, н/м2 7000 '

2.1Т 2.

I / , М

6000

5000

^ 4000 2.2

/ , МГц 3000 2000 1000

А-г, 7

Рис. 11. Резонансная кривая мнимой составляющей напряжения нагруженной пластины, 2 = 2

а вх

/ , МГц

Рис. 12. Резонансная кривая модуля адмитанса нагруженной пластины, 2 = 2

вх

2

3

4

5

6

Ие и (I), м

Рис. 13. Резонансная кривая действительной составляющей смещения нагруженной пластины, 2 = 2

1 2 3 4 5 6 7

f , МГц

Рис. 14. Резонансная кривая модуля смещения нагруженной пластины, 2 = 2

1ти(1), м

2.5-10-8 2.0-10-8 1.5-10-8 1.010-8

5.0-10

-9

1

1.7

1.8

1.9

2.1

2.2

f , МГц

Рис. 15. Резонансная кривая мнимой составляющей смещения нагруженной пластины, 2 = 2 .

При этом очевидно, что экстремумы на кривых соответствуют именно резонансным, а не антирезонансным частотам, т. к. в этом случае максимальны значения амплитуд смещения и напряжения на границе с жидкостью, что максимизирует проходящую в резонатор энергию. Отметим также, что на резонансах реальные и мнимые составляющие напряжения и смещения на границе с жидкостью ведут себя "резонансным" образом. А именно, если одна составляющая равна нулю, то вторая принимает экстремальное значение.

Аналогичные расчеты были произведены для случая, когда полупространством является воздух (см. табл. 1, слой № 5). Качественно характер зависимостей остается тем же, что и для водного полупространства. Однако значения рассмотренных функций растут на 4-5 порядков в окрестностях резонансов, что является следствием более высокой добротности в этом случае. Кроме того, значения резонансных частот для воздушного полупространства увеличиваются на величину порядка 300 Гц, что также является естественным (см. [1]).

ВЫВОДЫ

Таким образом, в работе предложен подход, позволяющий рассчитывать характеристики ультразвуковых резонансных камер, состоящих из пьезоэлектрического излучателя и многослойной жидкой камеры, граничащей в общем случае с жидким полупространством. Предложенный подход позволяет получить исчерпывающую информацию о физических процессах в камере.

Работа выполнена при поддержке РФФИ, грант № 05-03-33108.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

фонда

1. Курочкин В.Е., Макарова Е.Д., Шарфарец Б.П. О подборе параметров многослойной резонансной ультразвуковой камеры // Научное приборостроение. 2007. Т. 17, № 1. С. 15-26.

2. Nowotny H., Benes E. General One-Dimensional Treatment of the Layered Piezoelectric Resonator with Two Electrodes // J. Acoust. Soc. Am. 1987. V. 82, N 2. P. 513-521.

3. Groschl M. Ultrasonic Separation of Suspended Particles. Part I. Fundamentals // Acta acustica (Acustica). 1998. V. 84. P. 432-447.

4. Groschl M. Ultrasonic Separation of Suspended Particles. Part II. Design and Operation of Separation Devices // Acta acustica (Acustica). 1998. V. 84, N 4. P.632-642.

5. Nowotny H., Benes E. Layered Piezoelectric Resonators with an Arbitrary Number of Electrodes (General One-Dimensional Treatment) // J. Acoust. Soc. Am. 1991. V. 90. N 3. P. 12381245.

6. IEEE Standard on Piezoelectricity. 1978. N 176.

7. Пьезоэлектрические преобразователи. Справочник. Л.: Судостроение, 1984. 256 с.

8. IEEE Standard Definitions and Methods of Measurement for Piezoelectric Vibrators. 1966. N 177.

9. Физическая акустика / Под ред. У. Мэзона. Т. 1, ч. А. "Методы и приборы ультразвуковых исследований". М.: Мир. 592 с.

Институт аналитического приборостроения РАН, Санкт-Петербург

Материал поступил в редакцию 16.04.2007.

CALCULATION OF RESONANCE FREQUENCIES OF AN ULTRASONIC MULTI-LAYER CHAMBER WITH A PIEZOELECTRIC RADIATOR

V. E. Kurochkin, E. D. Makarova, B. P. Sharfarets

Institute for Analytical Instrumentation RAS, Saint-Petersburg

The paper suggests an approach to calculation of characteristics of an ultrasonic resonance chamber consisting of a piezoelectric radiator and multi-layer liquid chamber adjacent, generally, to the liquid half-space. The method suggested allows one to get exhaustive information on intra-chamber physical processes. For instance, a non-loaded radiator and a radiator loaded with acoustic resistances with both constant and frequency-dependent impedances have been considered.