CC BY
52
УДК 621.31
Ю.А. Сиротин
РАСЧЕТ РЕАКТИВНЫХ ПРОВОДИМОСТЕЙ КОМПЕНСАТОРА ДЛЯ ТРЕХПРОВОДНОЙ СЕТИ
Розглянуто задачу компенсації неактивної потужності у трипровідній трифазній мережі з несиметричною синусоїдальною напругою. Запропоновано алгоритм обчислення реактивних провідностей А-компенсатора за складовою повного струму, активна потужність якої дорівнює нулю. Розглянуто приклади розрахунків.
Рассмотрена задача компенсации неактивной мощности в трехпроводной трехфазной сети с несимметричным синусоидальным напряжением. Предложен алгоритм вычисления реактивных проводимостей А-компенсатора по составляющей полного тока, активная мощность которой равна нулю. Рассмотрены примеры расчетов.
ВВЕДЕНИЕ
Активная мощность характеризует безвозвратную (необратимую) передачу и потребление электроэнергии электроприемниками (нагрузкой). Наличие реактивной мощности (мощности сдвига и/или несбалансированной мощности), пульсации мгновенной мощности в точке подключения нагрузки к трехфазному несимметричному синусоидальному напряжению указывает на неоптимальность передачи электроэнергии. В точке подключения напряжение и активная мощность нагрузки определяют так называемый активный ток для данной нагрузки [1, 2]. Такой активный ток с минимальным действующим значением поставляет в эту нагрузку энергию с полной активной мощностью. Ток, дополняющий активный ток до полного тока нагрузки (неактивный ток), приводит к дополнительным потерям в цепи источника. Однако неактивный (реактивный) ток требуется для нормальной работы нагрузки (например, временной сдвиг между током и напряжением для вращающихся машин) и может создаваться компенсирующим устройством (КУ) в точке подключения нагрузки. Компенсатор удаляет (частично или полностью) неактивный (реактивный) ток из цепи источника и уменьшает (или полностью устраняет) дополнительные потери.
Активная мощность неактивного тока (или его части) равна нулю и компенсатор может быть реализован как нагрузка с чисто реактивными элементами.
Задача состоит в том, чтобы по требуемому току компенсатора при несимметричном напряжении рассчитать его ЬС реактивные элементы. В работе показано, как в трехпроводной системе по заданному 3-проводному току, активная мощность которого равна нулю, найти соответствующую нагрузку (типа треугольник) с чисто реактивными элементами.
НЕСБАЛАНСИРОВАННЫЙ И НЕУРАВНОВШЕННЫЙ РЕЖИМЫ
В синусоидальном режиме локальное энергетическое состояние в точке присоединения несимметричной нагрузки к 3-фазной сети контролируется измерениями векторов комплексных действующих значений (3-комплексов) тока и напряжения в сечении <А,В,С> ее трех фаз
и = (йа,йь,ис)т = (иае™° ,иье]^ ,исе^< )т , (1) I = (1а, I ь, 1с )Т = (1ае]*а , Ье]Щ , !се3^с )Т , (2)
здесь и дальше т - символ операции транспонирования векторов.
В 3-проводной сети напряжения трех фаз измеряются относительно искусственной точки заземления [1]. Токи удовлетворяют I закону Кирхгофа. Это приводит к выполнению условий
ia + ib + ic = 0, Ua + Ub + Uc = 0. (3)
Токи и напряжения (1, 2), удовлетворяющие (3) не содержат 0-последовательности (0-уравновешенны).
Стандартная комплексная мощность (СКМ)
S = UaC + Ubit + üX, S = P + jQ (4)
дополнительно к активной мощности, определяет реактивную мощность (мощность сдвига) синусоидального режима
• 1 fT •
Re S = P = t £ p(t)dt, Q = Im S, (5)
где знак - знак комплексного сопряжения, Т - основной период (Тю=2я).
В синусоидальном режиме мгновенная мощность (ММ) определена формулой
p(t) = Re[S + Nej2at ] = P + N cos(2ro t + arg N) (6)
Если комплексная мощность пульсаций_(МП)
N = Ne! argN = Uai a + Ubi b + Uci c (7)
не равна нулю, то режим неуравновешен.
3-комплексы тока и напряжения (1, 2) определяют эквивалентные проводимости фаз
Yk = i jUk , k e{a, b, c}. (8)
Если эквивалентные проводимости фаз (8) не равны между собой, то режим несбалансирован. Несбалансированный режим характеризуется мощностью небаланса [1]. В 3-проводной сети мощность небаланса вычисляется по формуле
Do = jj[ia (Ub - Uc ) + ib (Uc - Ua )] + ic (Ua - Ub ). (9)
При несимметричном напряжении мощности (7) и (9) не равны, и входят в разные уравнения мощности (квадратичные разложения кажущейся мощности):
• уравнение несбалансированного режима [1]
S'b = P2 + Q2 + Do2, (10)
• уравнение неуравновешенного режима [1]
SB = N2 + K o2. (11)
© Ю.А. Сиротин
Комплексная непульсирующая мощность [1] в 3-проводной сети вычисляется по формуле
1 • * * • *
К =-3[1а(и* - и*) +1ь (ис - иа)] +I *(Па - иь)].
Кажущаяся мощность определена как произведение
Бв = и • I (12)
действующих значений напряжения (1) и тока (2)
U = yj\ü\2 +1 Üb \2 +\ÜC\2 ,1 = yl\îa |2 +\ІЬ |2 +|/с|2 .
1211 Т&ъ |2 +|UC|2, / -д/|4 I2
Коэффициент мощности (КМ)
P P
Х =
sb <Jp 2 + Q2 + D
(13)
характеризует дополнительные потери.
КУ метода оптимального непульсирующего режима (ОНР) [2] в цепи источника формирует 3-комплекс тока
1S =-
P
U 2п
Uл ; ( п = -п X
(14)
X -п - (1-кЦ)2)/(1 + k
Активная мощность тока КУ
U 2
).
(15)
IK = I -1 s
равна нулю.
МАТРИЧНАЯ ФОРМА ЗАКОНА ОМА И КИРХГОФА В НАГРУЗКЕ ТИПА ТРЕУГОЛЬНИК В нагрузке типа треугольник выберем последовательность обхода ветвей (рис. 1).
Рис. 1. Д-нагрузка
Определим 3-комплексы межфазных токов и напряжений
ІЛ = [І ab, î bc, î ca Г, (17)
ил= [U ab ,Ubc ,Uca Ґ . (18)
I закон Кирхгофа определяет связь 3-комплексов
фазных (2) и межфазных (17) токов
I - MI л ,
где
^ 1 0 -1
M -
-1 1
0 -1
(19)
(20)
I л= Y л^л■.
где ил - 3-комплекс межфазных напряжений; П - комплексный множитель, характеризующий не-симметрию напряжения [2] .
Ток цепи источника (14) поставляет активную мощность Р исходного несбалансированного и неуравновешенного режима без пульсаций с минимальными потерями [2]. КМ нового уравновешенного режима не зависит от несимметрии нагрузки и определен модулем комплексного множителя, X = П = \П \-КМ представляется через коэффициент ки2 асимметрии напряжения по обратной последовательности
■ 2
- матрица инцидентности схемы типа треугольник.
3-комплексы межфазных токов и напряжений связаны матричной формой закона Ома
(21)
где Ул = diag{YAB ,YBC ,Yqa\ - диагональная матрица межфазных проводимостей: Yab = Gab + JBab ,
YBC = Gbc + JBBC , yca = Gca + JBCA
3-комплексы фазных (1) и межфазных (18) напряжений связаны матрично-векторным соотношением
ил = MTU, (22)
где Mт - транспонированная матрица инцидентности.
С учетом (21) и (22) цепочка преобразований 3-комплекса тока
i=Mi л = M(yaua )=M (#л M2U ) = (MYaM т )u = Yu
^~гЛ^ U Л ' Y '
дает векторно-матричную связь
I = Yu (23)
между 3-комплексами линейных токов и фазных (узловых) напряжений.
Матрица узловых проводимостей Д-нагрузки
(16) yab - yab - yca
Y = MYK Mт = - yab о і 0 1 (24)
- yca 1 Y о YBC + yca
определяет матричную форму закона Ома (23) для Д-нагрузки в фазовых координатах.
Связь матричных форм законов Ома и Кирхгофа в фазных и межфазных координатах представляются следующей диаграммой
U
Ул
л ■
л
і M
(25)
КОМПЛЕКСНЫЕ МОЩНОСТИ В ТОЧКЕ ПРИСОЕДИНЕНИЯ Д-НАГРУЗКИ Комплексная мощность Д-нагрузки
¿Л = SAB + SBC + SCA (26)
вычисляется через 3-комплексы межфазных токов и напряжений (17-18)
*J* -г 'i' Л т *** ^ ***
¿л = 1Лил = (YUЛ)т ил = иЛ Г^л . (27)
С учетом закона Ома (21) имеем
¿Л = YAB I Uab |2 +YBC I Ubc |2 +YCA I Uca P . (28)
Справедлива цепочка преобразований
¿Л = U\ 1*л = (МХ3)Х 1*л = UтМ1*л = UтI* = S .
ил ґ
Тем самым комплексная (активная) мощность в точке присоединения нагрузки (в сечении <A, В, C>) равна комплексной (активной) мощности А -нагрузки S = Si\ ^ P = Re[S] = Re[SЛ ] = Рл . (29)
Из (28) следует, что активная мощность А - нагрузки обусловлена ее активными элементами и равна потребляемой из сети активной мощности
РЛ = Re[SA] = GAB I Uab |2 +GBC I Ubc |2 +GCA I U ca P Чисто реактивная А-нагрузка не потребляет активную мощность
Gab = Gbc = Gca = 0 » P = Рл . (30)
РЕАКТИВНЫЕ ПРОВОДИМОСТИ Д-КОМПЕНСАТОРА КУ выполняется как чисто реактивная Д-нагрузка и не потребляет из сети активную мощность. При чисто реактивной Д-нагрузке 3-комплексы межфазных токов
к
компенсатора /д и 3-комплексы межфазных напряжений (6) связаны матричной формой закона Ома (21)
(31)
jLKbi = t/Л I
к
(36)
IK = jBK ил..
ВЛк Uл= илЬК .
Уравнение (32) запишется как
Iк = jMUлЬК .
(34)
(35)
Умножим уравнение (35) слева на комплексно сопряженную матрицу иЛ = diag{Uдв, Пвс, иСА}.
Имеем систему линейных алгебраических уравнений в стандартной форме
Матрица
" Ulb 0 b a c •b -
JLa = jU лM U л = j a - UabUbc 0
0 * 8 b c b •b - U2 ca
известна, ее диагональные элементы чисто мнимые. Искомые неизвестные вещественны. Применим операцию нахождения реальной части к левой и правой части. Имеем систему вещественных уравнений
0 0 \т[исаи*аЬ ]
!т[иаЬи;с ] 0 0
0 М^сЦа ] 0
которая распадается и дает следующие формулы
1ш[ЦаЬиЬс]
Re[/ ки*л ] Re[1 Kubc ] Re[1 KU*a ]
bK
BAB
bK
BBC
bK
BCA
bK = BAB =
Re[iKul ]
bK = Im[UbcUca]
bbc =-----K“*—
Re[/cKUCa ]
BK = Im[UcaUab] BCA =-----K~*
Re[lKUab ]
(37,а)
(37,б)
(37,в)
Л К к к к
где В л = diag{Bав , Ввс, ВСА } - диагональная матрица
межфазных реактивных КУ.
Согласно (19) и (31) ток компенсатора в фазах 1К (в точке присоединения нагрузки) через его межфаз-ные проводимости записывается как
1К = М1Л = ]МВ\ и л (32)
В уравнении (32) ток компенсатора соответствует требуемой цели компенсации, и, например, может компенсировать один из токов [2]:
• полный неактивный ток (метод Фризе);
• - полный пульсирующий ток + реактивный ток + частично несбалансированный ток (метод ОНР);
• - несбалансированный ток (метод сбалансированной мощности);
• чисто реактивный ток (мощность сдвига), а также любую часть полного тока, с единственным требованием - активная мощность тока, который надо компенсировать, равна нулю.
Преобразуем уравнение (32). Введем вектор меж-
К К К К Т
фазных проводимостей Ьл = [ВАВ, ВВС, ВСА ] и диагональную матрицу межфазных напряжений
ил = Л^{иав, иВС, иСА} . (33)
Воспользуемся векторно-матричным равенством
для вычисления реактивных проводимостей Д-компенсатора, по требуемому 3-комплексу линейного тока компенсатора 1К и измеренному 3-комплексу несимметричных напряжений (1).
ЧИСЛОВОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ Для расчета и моделирования выбран метод ОНР. Моделирование проводились в среде MathCad. В рассматриваемых ниже примерах все величины приведены в относительных единицах, I и I = 1. 3-комплекс напряжения и = (0,616, 0,557е'236,4 ,
0,557е1123,6) имеет симметричные координаты
¿1=0.998, ¿2=0.07. Коэффициент несимметрии напряжения ки2 = 7%, п = 0,99. Д-нагрузка задана меж-фазными проводимостями.
Таблица 1
Параметры Д-нагрузки
№ 1 2 3
yab 1 1-j4 0.3-j0.1
YBC 0 0 0.6-j0.3
yca 0 0 0.22-/0.2
Во всех трех примерах нагрузка выбрана так, что обеспечивается передача энергии с одинаковой активной мощностью Р = 1,07о.е. Параметры исходных режимов сведены в табл. 2. Межфазные реактивные
проводимости вА^в , ВВс , В£а компенсатора, рассчитанные согласно (37), и параметры нового ОНР приведены в табл. 3. Суммарные межфазные проводимости "нагрузка+КУ" определены диагональной
матрицей У Л = У л+ }ВЛ .
Пример 1. Модифицированная схема Штейнте-ца. Одноплечевая активная нагрузка ОАв =1 включена между фазами А и В. Суммарные проводимости "на-
K
nK
грузка+КУ" Y}B = 1 + J0.122 , Y^c = J0.624,
• v
Yca = - j 0.624 отличаются от проводимостей
Steinmetz ’ circuit при симметричном напряжении
( yAb = i , YBC = -YCA =
JOB л/3 = J0.577 ).
Таблица 2
Исходный несбалансированный режим без КУ
№ 1 2 3
Sb 1.463 6.031 1.343
P 1.07 1.07 1.07
Q 0 4.279 0.579
D 0.998 4.113 0.595
N 0.64+/0.86 4.07-/1.7 -0.27+/0.13
À 0.741 0.177 0.825
Пример 2. Индуктор. Одноплечевая нагрузка включена между фазами A и B. Коэффициент мощности cosфAB = Gab/VGAb + bab = 0243. Структурная несимметрия такая же, как и первом примере и компенсируется межфазными проводимостями
( Bkb= 0.122, B§C = 0.624 , BcA =-0.624). Дополнительная индуктивная проводимость (BAB= -4) в
K "
плече AB компенсируется емкостью КУ ( Bab = 4,
BAB = BAB + BAB ).
Пример 3. Типовая 3-фазная несимметричная нагрузка. Три однофазные активно-индуктивные нагрузки (cosфAB=0,894, cosфBC=0,919, cosфAC=0,447) формируют трехфазную несимметричную нагрузку.
Таблица 3
_______Параметры ОНР после компенсации_______
№ 1 2 3
Sb 1.07 1.07 1.07
P 1.07 1.07 1.07
Q 0 0 0
D 0.15 0.15 0.151
N 0 0 0
bK BAB 0.122 4.122 -0.027
bK BBC 0.624 0.624 0.350
bK BCA -0.624 -0.624 0.287
X 0.99 0.99 0.99
Метод ОНП обеспечивает полную компенсацию реактивной и пульсирующей мощности и частичнонесбалансированной мощности при Х«1.
3
2.4
L\A h 1 S
ІВВИ 0 6
LCCk 0 -o.i
PPk “1.Î
”2.4
50 100 150 200
а
50 100 150 200
в
Рис. 2. Поведение кривых тока в фазах и ММ до и после компенсации для рассмотренных примеров
ВЫВОДЫ
При несимметричном синусоидальном напряжении для 3-проводной схемы получены формулы для вычисления реактивных проводимостей .О-компенсатора, активная мощность тока которого равна нулю. Результаты проверены числовым моделированием для метода ОНР.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Сиротин Ю.А. Энергетические режимы трехфазной трехпроводной цепи // Вісник НТУ "ХПГ. - 2013. - № 17. -С. 129-143.
2. Сиротин Ю.А. Оптимальная компенсация пульсаций при несимметричном напряжении // Технічна електродинаміка. - 2013. - № 3. - С. 73-80.
Bibliography (transliterated): 1. Sirotin Yu.A. Jenergeticheskie rez-himy trehfaznoj trehprovodnoj cepi. Bulletin of NTU "KhPI", 2013, no.17, pp. 129-143. 2. Sirotin Yu.A. Optymal'naya kompensatsyya pul'satsyy pry nesymmetrychnom napryazhenyy. Technical electrodynamics, 2013, no.3, pp. 73-80.
Поступила (received) 16.09.2013
Сиротин Юрий Александрович, к.т.н., доц.,
Національний технічний університет "Харківський політехнічний інститут", кафедра "Автоматизація енергосистем",
61002, Харків, вул. Фрунзе, 21,
тел/phone +38 057 3433682, e-mail: [email protected] Yu.A. Sirotin
National Technical University "Kharkiv Polytechnic Institute"
21, Frunze Str., Kharkiv, 61002, Ukraine
Calculation of compensating susceptance for a three-wire net.
A problem of inactive power compensation in a three-wire three-phase network under asymmetrical sinusoidal voltage is considered. An algorithm for calculating susceptance of a Д-compensator for the total current component active power of which equals zero is introduced. Examples of calculation are given.
Key words - three-phase network, compensation, asymmetrical voltage, reactive power.
