Ортогональные составляющие трехфазного тока при ассиметричной активно-реактивной нагрузке в четырехпроводной цепи Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 621.31 Ю.А. Сиротин

doi: 10.20998/2074-272X.2016.3.10

ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СОСТАВЛЯЮЩИЕ ТРЕХФАЗНОГО ТОКА ПРИ АССИМЕТРИЧНОЙ АКТИВНО-РЕАКТИВНОЙ НАГРУЗКЕ В ЧЕТЫРЕХПРОВОДНОЙ ЦЕПИ

Для 3- фазноТ схеми електропостачання розглянуто синусоТдальний несиметричний режим. При асиметричнш на-npy3i i асиметричному активно-реактивному навантажент для 4- провiдноТ мережi отримано ортогональне розкла-дання трифазного струму. Чотири складовi розкладання класифжоваш актившстю/реактивнктю та симетрi-ею/асимешрiею навантаження та мають однозначний електроенергетичний змкт. Для 4- провiдного ланцюга з не-симетричним навантаженням при несиметричнш напрузi отримане рiвняння потужност1 розвивае теорт струмо-вих ф^зичних складових (Currents' Physical Components - CPC). Бiбл. 8, рис. 1.

Ключовi слова: трифазне коло, активна i реактивна потужшсть, потужшсть зсуву, рияшиия потужноси, незбалансо-ваний струм та режим, активно-реактивне несиметричне навантаження, Currents' Physical Components (CPC).

Для 3- фазной схемы электроснабжения рассмотрен синусоидальный несимметричный режим. При несимметричном напряжении и ассиметричной активно-реактивной нагрузке для 4- проводной сети получено ортогональное разложение трехфазного тока. Четыре составляющие разложения классифицированы активностью/реактивностью и симметрией/асимметрией нагрузки и имеют однозначный электроэнергетический смысл. Для 4- проводной цепи с несимметричной нагрузкой при несимметричном напряжении полученное уравнение мощности развивает теорию токовых физических составляющих (Currents' Physical Components - CPC). Библ. 8, рис. 1.

Ключевые слова: трехфазная цепь, активная и реактивная мощность, мощность сдвига, уравнение мощности, несбалансированный ток и режим, активно-реактивная несимметричная нагрузка, несимметричное напряжение, Currents' Physical Components (CPC).

Введение. Активно-реактивная несимметричная нагрузка потребляет не только электроэнергию (ЭЭ) активной мощности, но и ЭЭ неактивных составляющих полной мощности (ПМ), что приводит к дополнительным потерям. Эффективным решением задачи сокращения потерь и повышения точности учёта ЭЭ является совместное применение компенсирующих устройств и дифференцированных средств учета потребляемой ЭЭ. Однако, даже в синусоидальном режиме, существующие средства учета измеряют ЭЭ, обусловленную только симметрией активных и реактивных элементов нагрузки (активную мощность и реактивную мощность сдвига). В реальных условиях асимметрии напряжения составляющие ПМ, обусловленные асимметрией активно-реактивных элементов нагрузки, приводят к дополнительным потерям, однако не измеряются, не учитываются и не компенсируются.

Постановка проблемы. Компенсация, измерение и учет составляющих ПМ - связанные, дополняющие друг друга задачи эффективного потребления ЭЭ. Эти задачи с единых позиций должны решаться в рамках общей теории мощности, используя ортогональное разложение 3-фазного тока [1-6] Взаимная ортогональность компонент разложения позволяет однозначно оценить потери независимо ими обусловленные. Широко применяемая теория мощности Currents' Physical Components (CPC) [2, 4-6] использует методологию ортогонального разложения. В синусоидальном несбалансированном режиме 3-фазный ток содержит две ортогональные компоненты: сбалансированную и несбалансированную. Сбалансированная компонента (обусловлена симметрией активно-реактивных элементов нагрузки) ортогонально содержит активный и реактивный ток как для трех, так и для 4-проводной цепи. Асимметрия активно-реактивных элементов нагрузки, как при симметричном, так и при асимметричном напряжении приводит к возникновению тока небаланса.

К сожалению, даже в синусоидальном режиме CPC теория разработана либо для 3-проводных схем, либо для 4-проводных схем при симметричном на-

пряжении [2, 4-6]. Так, для 3-проводной схемы при несимметричном напряжении в СРС теории мощности ток небаланса раскладывается на две компоненты, используя метод симметричных компонент [6], что не разделяет асимметрию активных и реактивных элементов нагрузки в явном виде.

Цель работы - для несбалансированного режима при несимметричном напряжении в 3-фазной 4-проводной схеме получить ортогональное 4-компонентное разложение 3-фазного тока, классифицируемое симметрией/асимметрией отдельно активных и отдельно реактивных элементов нагрузки.

Периодические энергетические процессы. При рассмотрении 3-фазной 4-проводной цепи полагаем, что напряжения в фазах измеряются относительно нейтрали (рис. 1).

I a

U a

B

Ib 1

Ub

—» C

I с V. \u с

Рис. 1. 3-фазная 4-проводная схема электроснабжения с несимметричной нагрузкой - синусоидальный режим

В каждый момент времени мгновенные значения (м.з.) напряжений (относительно «нейтрального» проводника) и м.з. токов в фазах рассматриваются как 3-мерные вектора (матрицы столбцы) арифметического 3-мерного пространства Я(3

н(/) = [па(?) иъ(?) ис(0]Т , 1«) = [1а(?) 1Ь(?) 1С(¿)]г,(1) здесь и дальше г- знак транспонирования.

Установившийся энергетический режим в 3-фазном сечении <А, В, С> определен 3-мерными Г-периодическими кривыми тока и напряжения:

и(0 = и(/ + Т ^ ¿(г) = /(/ + Т) .

© Ю.А. Сиротин

A

n

Множество 3-мерных (3-фазных) Г-перио-дических векторных кривых

x(t) = [xfl (t) xb (t) xc (t)], t e (v, V + T) (2) с конечным действующим значением (д.з.) - root mean square (rms)

i|x !!=

v+T

1 J x(tfx(t)dt

< œ

(3)

образуют гильбертово пространство

43)(Т) = (х(4 Г е (V, V + Т ):||х||<»}. (4) Для векторных кривых х(/), у(/) е ¿(23)(Т) определено скалярное произведение (СП)

V+T V+Т

< х, у >= т |х(гУ у(Г)Ж = Т |(х(/), у^))А (5)

V V

как интегральное среднее скалярных произведений

м.з. в 3-мерном пространстве R(3).

В частности, для активной мощности

v+T v+T

< i,u >= - Ji{t)Tu(t)dt = T J(i(t), u(t))dt = P . (6)

v p(t) v

Мгновенная мощность p(t) = iTu = ia (t )ua (t) + ib (t )Ub (t) + ic (t)uc (t) (7) равна скорости передачи электроэнергии через сечение <A, B, C>. В пространстве (4) справедливо неравенство Коши-Шварца

< x,j ><||x||.||j||. (8)

В частности, активная мощность не превосходит кажущуюся (полную) мощность

P = < i,u > < || u || • || i ||.

Синусоидальный режим и 3-комплексы.

3-мерные кривые м.з. синусоидальных процессов напряжения и тока

u(t) = 42^e[Ue]at], i(t) = Ie]at]. (9)

Г-периодичны (Тю = 2 я) и полностью определены 3-комплексами напряжения и тока

U —

Ua ~Uae>Wa ' la T jva a

Ub — Ube]Wb , I — h — Ibe]vb

Uc Uceiwc Ic T Ij ^

(10)

U — -

I— v

JH(t)e-iatdt, I — T Ji(t)e-]atdt. (11)

Xmxm — 'У xm —i X |2 — X2

(X, Z) = Xх г = Ха2а + Х^ь + Х^с . (12)

Здесь и дальше * - знак комплексного сопряжения. При этом для гшб справедливо

,с =

1 — / , ^ т ~ / ,

В частности,

|| и ||=|и | = и , ||/||=|/| = I. (13)

Для пары синусоидальных процессов х(Г),

z(t) е ¿(23)(Т) справедливо равенство

< х,г >= Яе[ХТгс] = Яе[гтХс]. (14) Тем самым, если 3-комплексы ортогональны, то ортогональны и соответствующие 3- мерные кривые. Обратное утверждение не верно.

Из (14) следует, что в синусоидальном режиме активная мощность адекватно представляется в терминах 3-комплексов напряжения и тока

Р = < 1,и > = Яе[Гис] = Яе[иг/с]. (15) Временной сдвиг 3-мерной кривой м.з. синусоидального напряжения ^) = и^ - Т/ 4) равносилен повороту 3-комплекса напряжения в пространстве С(3) на 90°

и±(0 = ^Í2^.e[U1e]Юt] = л/2ЭТе[-jUeJЮt]. (16) При этом || и± || = || и || . Так как

< и±,и > = ЧЯе[-ити*] = Ыe[-j | и |2] = 0 , то 3-мерные кривые напряжения ортогональны (и ± и± ).

Интегральное определение реактивной мощности (известное как мощность сдвига) представляется в терминах 3-комплексов напряжения и тока

Q =< и > = Шe[-jUгI*] = Ы[ит1 *]. (17) Мощности (15) и (17) связаны комплексной мощностью - СП 3-комплексов напряжения и тока

£ = ит1с = Яе[иг1 *] + j 1ш[иг1 *] = Р + jQ . (18) В синусоидальном режиме при симметричной нагрузке справедливо уравнение мощностей

Р2 + Q2 =||»'||-||и||. (19)

Эквивалентные проводимости тока нагрузки. В синусоидальном режиме 3-комплексы тока и напряжения позволяют определить эквивалентные проводимости тока в сечении <А, В, С>

Y — G - jB — -i^-, m e(a, b, c}

m m J m rV ^ '

Um

(20)

и представить 3-комплекс 3-фазного тока в матричном виде

I —

UaYa 'Ya 0 0 " ~Ua '

UbYb — 0 Yb 0 Ub

UcYc 0 0 Ya _ Uc

— YU

(21)

- векторами комплексных д.з. (complex rms) напряжения и тока.

3-комплексы (10) вычисляются по 3-мерным кривым м. з. синусоидальных процессов напряжения и тока

4Г+Т ^v+T

Т

Множество 3-комплексов образует 3-мерное комплексное пространство С(3) с комплексным СП

с помощью диагональной матрицы

Y = diag{Ya ,Yb ,YC }. (22)

Для 4-проводной цепи с нагрузкой типа звезда эквивалентные проводимости (20) тока в сечении <A, B, C> равны проводимостям фаз нагрузки.

Активная мощность и мощность сдвига адекватно представляются квадратичными формами

3-комплекса напряжения

P = Re[tfr7V], Q = Jm[UrY? V]. (23) Активная мощность (мощность сдвига) зависит только от проводимостей активных (реактивных) элементов нагрузки

P = É Gm\Ûm\2, Q = ^Bm\Ùm\2. (24) Потери полного 3-фазного тока на один Ом

\| i \\2 = Re[Г1*] = V (G2 + B2) \ Ûm \2 . (25)

m

Активный и реактивный ток. Для 3-мерной кривой синусоидального тока (9) справедливо

i(t) = 42Ke[YUejat], I = YU . (26)

Алгебраическая форма комплексных эквивалентных проводимостей (20) позволяет разложить диагональную матрицу (22)

Y = G - jB, (27)

G = diag{Ga, Gb, Gc } , B = diag{Ba, Bb, Bc } (28) и разделить 3-комплекс тока на две составляющие, ассоциированные с активными и реактивными элементами нагрузки

I = Ia + Ir , Ia = GU, IR = - jBU = BU1. (29)

Разложение 3-мерной кривой тока (26)

i(t) = iA (t) + iR (t) (30)

на активный ток и реактивный ток

iA (t) = V2«e[G Ue]at ], iR (t) = V2^e[B U1ejat ] (31) ортогонально в пространстве 3-мерных кривых (4).

Так как величина

I\iR = (GU)A(- jBU)* = j £ UlGmBm (32)

< m

чисто мнимая, то 3-мерные кривые (31) ортогональны

< iA,iR >= Re[ГАIR] = 0 ^ iA 1 iR . (33)

В силу ортогональности разложения (29) для потерь на один Ом справедливо равенство Пифагора

l|i||2 =l|iAl|2 + II iR IP. (34)

Потери активного и реактивного тока

HiA, ||2 = Re[IAI*A] = У GlUm |2, (35)

|iR, ||2 = Re[IAI*R ] = У BlUm |2 (36)

определяют потери полного тока (25). При этом

|| iA ||2 ^ || i |Р , |l iR ||2 ^ U |Р.

Активный ток обеспечивает поставку ЭЭ с активной мощностью полного тока (24)

< u,iA >= Re[UAlA] = Re[UAGU*] =

= Y.Gm | Um P =< iU >= P . (37)

< *m

Реактивный ток обеспечивает передачу ЭЭ мощности сдвига полного тока (24)

< iR,u1 > = Re[- jUAlR ] = Jm[UAB U*] =

= BiUi? =< i,Ui>= Q . (38)

m

В разложении (30) активный (реактивный) ток обусловлен суммарно симметрией и асимметрией активных (реактивных) элементов нагрузки.

Сбалансированная компонента тока. Синусоидальный режим сбалансирован, если 3-комплексы тока и напряжения (10) коллинеарны (параллельны I || U ) [7, 8]

IllU » I = PU (р = р + jp, РФ 0). (39)

Режим реально сбалансирован [7, 8], если Jm[P] = Р" = 0. Если нагрузка симметрична, то режим сбалансирован при любом несимметричном напряжении.

Для несбалансированного режима 3-комплекс компонентов тока, сбалансированного с 3-фазным напряжением, равен проекции 3-комплекса тока на 3-

комплекс напряжения в пространстве С(3)

(40)

. ,.т (ги )и

IS = (ITv )v = --■

\и\2

Здесь и дальше:

и = Ù Ùb ùc г, \ и \2 =и2а + ù2b + Ù2c = 1 (41) - орт 3-комплекса напряжения

U = | U\ и , Um = Uvm (m e{a,b,c}). (42) В терминах проводимостей 3-комплекс тока баланса (40)

т *

(iUU = (S*/u2 )• U = y U. \U\2 ^-'

Is =

(43)

Здесь и дальше:

ys = S 7 U2 = Taù2a + Ybùl + Yùù

(44)

- эквивалентная комплексная проводимость сбалансированной компоненты тока;

5 * = (иг1 *)* = 1ги * = игУи *

- комплексно-сопряженная комплексная мощность.

В терминах орта 3-комплекса напряжения (42) активная и реактивная мощность имеют эквивалентные формы представления:

Р = Яе[5] = игди* = и2У Gmu2m■; (45)

^^т

е = 1ш[5] = игВ и* = и2 УтВт02т. (46)

Эквивалентная комплексная проводимость (44) 3-кривой тока баланса

^(?) = л/2^у], = узи (47) во всех фазах одинакова и равна средневзвешенной сумме эквивалентных комплексных проводимостей фаз (20). Весовые множители определены ортом 3-комплекса напряжения (42).

Если напряжение симметрично прямой последовательности (ММ), то

о = (1/л/3)[1 а* а]г, о2а = о2ь = ос2 = 1/3 , (48)

где а = е;120° = -1/2 + .

Если нагрузка асимметрична

Уз* ¿а, Уз * Уъ, Уз * Уъ, (49)

то режим несбалансирован при любом напряжении. Комплексная проводимость тока баланса (47)

у8=д8-./ь8, (5°)

определяет проводимости, ассоциированные с симметрией активных и реактивных элементов нагрузки

(51)

9s = Ga°2 + Gb°b + Gc°2 ;

^ = BaOl + Bbûl + Bcol.

(52)

Эти проводимости равны средневзвешенным суммам проводимостей фаз. Если нагрузка асимметрична, то

9s * Ga, 9s * Gb , 9S * Gc ; (53)

bs * Ba, bs * Bb , bs * Bc. (54)

Проводимости (51, 52) характеризуют симметрию активных и реактивных элементов нагрузки по фазам для 3-фазного напряжения.

3-комплекс (43) сбалансированной компоненты имеет две составляющие: активную и реактивную

IsA =g SV, IsR =- jti U = b U (56)

и обеспечивает разложение сбалансированного тока

h (t) = isA (t) + isR (t) (57)

на составляющие, ассоциированные с активными и реактивными элементами нагрузки:

iSA (t) = j2Ke[ I6Aej}t ] = Jine[Q Ueim ], (58)

îsr (t) = 4ÎKe[ISReiat] = Jme[b^^^]. (59) 3-кривые (58) и (59) ортогональны, так как

< isA,isR > = Re[j^ = 0. (60)

^^m

В силу ортогональности разложении (57) для компонент тока справедливо равенство Пифагора

Ц) 1 ^) ^ 1]А + 1]к = I2; (61)

12а =д и2, 4=ь и2.

Из (58) следует < и,цА >= ^е[ит1*А] = Яе[и^дзис] = Р . (62)

Так как сбалансированный активный ток реально параллелен напряжению (1А || и ^ IsA=Qэи), то он обеспечивает поставку электроэнергии активной мощности (62) с минимальными потерями [7]

Р*А||^РА №"||. (63)

При этом Р = < и,^А > =|| и || • || Ча ||.

Сбалансированный реактивный ток обеспечивает поставку ЭЭ мощности сдвига

< u±,iSR > = Re[- jUTISR ] = < u±,i >= Q.

'УО a 0 0 " U a

Id = Ъ U = 0 YD Ь 0 Ub . (68)

0 0 Yd c _ U c

iu (t) = 4lKe[ IDeim ];

(72)

который ортогонален напряжению

ч*т ^ гг г2

u,iu > = Re[U{ УdU)*] = Re[U2У o2m(Ym-ys)] =

^^m

= Re[U2(У olYm)-ys)] = 0. (73)

При этом из (67) следует разложение

I = I„ + 1В , ^) = ^ ^) + 1и (t). (74)

Рассеяние (небаланс) по фазам раздельно активных и реактивных элементов нагрузки

9 От = °т - 9з , Ь От = Вт - , т е {а Ь, С} (75)

представляется диагональными матрицами проводи-мостей активных и реактивных элементов нагрузки: д0 = diag{QD а ь с},

^d b c}.

(64)

Так как сбалансированный реактивный ток реально параллелен напряжению Iк ^

= Ьзи1 , то он обеспечивает поставку электроэнергии реактивной мощности сдвига с минимальными потерями || 1,,к || < || ||< || i ||. При этом

^| = |< и^ >| =|| и || • || ^ ||. (65)

Несбалансированный ток и асимметрия про-водимостей нагрузки. В несбалансированном режиме несбалансированная составляющая 3-комплекса тока (ток небаланса) определена как ортогональное дополнение сбалансированной составляющей (40)

1В = I -15, (1В 115). (66)

Несбалансированная компонента (66) может быть представлена с помощью векторного произведения в пространстве 3-комплексов С(3) [7, 8].

Из (21) и (47) следует

^ = I - ^ = Г и - у и = (7-^/ = у° и . (67)

Уо

Матричная форма 3-комплекса тока небаланса

bD = diag{bD a

Небаланс по фазам (асимметрия проводимостей фаз) отдельно активных и реактивных элементов нагрузки определяет разложение 3-комплекса тока небаланса на две компоненты

Id = Ida + Idr , (76)

Ida= 9d U = [gD aUa ЭиЛ Qbfic ], (77)

Idr =-jbDU = -j[bVaUa b DbU Dcf. (78) Справедливо разложение несбалансированного тока iu (t) = iuA (t) + iuR (t), (79)

где iuA(t) = 4lKe[ IDAejM ] = V2sRe[bD Ue'm ],

iuR (t) = V2^e[ IDRe]at ] = V2«e[yD U±e

(80) ] (81)

- составляющие, обусловленные асимметрией активных и реактивных элементов нагрузки.

3- мерные кривые (80) и (81) ортогональны, так как

< КА'кя > = М^ЭА] = Ке[/У и1гЗит^От ] = 0 •

В силу ортогональности разложения (79) справедливо тождество Пифагора

i(t) 1 iuR (t)

^ 1 DA + 1 DR = 1D ,

¡Da = U 2(OaQo a +029d b +OcQd c ) =

использует комплексную диагональную матрицу

у0 = diag{yD а ,у0 ь ,У Ос} (69)

эквивалентных проводимостей тока небаланса

О = ^т ~ Уэ, т е {а, Ь, с}. (70)

Если напряжение симметрично ПП, то (48) и

О = (^т V3, т е {a, ь, с}. (71)

Комплексные проводимости (70) характеризуют рассеяние по фазам проводимостей нагрузки относительно проводимости баланса. Небаланс (асимметрия) определяет несбалансированный ток

(82) (83)

12ш = и2 (^ а + оуо ь + с). (84)

Таким образом, для разложения тока использованы два дихотомических фактора:

• один фактор обусловлен активностью и реактивностью элементов нагрузки;

• другой фактор обусловлен симметрией и асимметрией элементов нагрузки по фазам.

Разложение 3-фазного тока и уравнение мощности несбалансированного режима. Сочетание значений двух факторов, классифицирующих нагрузку:

• («активность/реактивность» - первый фактор)

I = 1а + 1-К ;

• («симметрия / асимметрия» - второй фактор)

i = К + ^ ,

позволило получить четыре взаимно ортогональных составляющих 3-фазного тока

Ьа , 1-иА, Ьк, 1иК , которые обеспечивают разложение на четыре взаимно ортогональные 3-фазные компоненты тока

i = ^ + ^ = ((А+ 7 ) + 7 ) . (85)

Так как разложение тока (85) ортогонально, то справедливо тождество (уравнение потерь на один Ом)

l|i||2 =l|iSA ||2 + ^иА ||2 + l|iSR ||2 + П^ ||2 . (86)

Умножение уравнения (86) на квадрат д.з. (гшб) напряжения || и ||2 дает уравнение для мощностей синусоидального несбалансированного режима

S2 = P2 + Q2 + DG + DB . (87)

Здесь:

St =||i|M|u|| (88)

- (total) кажущая мощность;

P = || isA || * || U || = < i,U > (89)

- активная мощность баланса, обусловленная симметрией активных элементов нагрузки;

| Q |= || isR || * || Ui || = |< i,Ui>| (90)

- реактивная мощность баланса, обусловленная симметрией активных элементов нагрузки;

Dg =I|iuAlI*I|u|| (91)

- мощность небаланса, обусловленная асимметрией активных элементов нагрузки;

Dg = II iuR II * II u || (92)

- мощность небаланса, обусловленная асимметрией реактивных элементов нагрузки;

Уравнение мощности (87) обобщает уравнение для синусоидального несимметричного режима [7]

/2 *U2= P2 + Q2 + Du2, (93)

так как D2 = D2a + D\ .

Практическая ценность полученного ортогонального разложения тока и уравнений мощности заключается в возможности их использования не только для разделительного измерения и учета неактивных составляющих ПМ, но и для решения задачи компенсации в синусоидальном несбалансированном режиме.

Выводы. Для 3-фазной 4-проводной сети с синусоидальным несбалансированным режимом, при несимметричном напряжении получено 4-х компонентное ортогональное разложение 3-фазного тока. Компоненты, имея явный энергетический смысл, независимо классифицируют состояние нагрузки. Полученное разложение расширяет теорию CPC на 4-проводные схемы с несимметричным напряжением путем разложения тока небаланса на две составляющие, обусловленные активностью и реактивностью асимметрии элементов нагрузки.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. 1459-2010 IEEE Standard definitions for the measurement of electric power quantities under sinusoidal, nonsinusoidal, balanced, or unbalanced conditions. doi: 10.1109/ieeestd.2010.5439063.

2. Czarnecki L.S. Orthogonal decomposition of the currents in a 3-phase nonlinear asymmetrical circuit with a nonsinusoidal voltage source // IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement. -1988. - vol.37. - no.1. - pp. 30-34. doi: 10.1109/19.2658.

3. Ferrero A., Superti-Furga G. A new approach to the definition of power components in three-phase systems under nonsinusoidal conditions // IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement. -1991. - vol.40. - no.3. - pp. 568-577. doi: 10.1109/19.87021.

4. Lev-Ari H., Stankovic A.M. A decomposition of apparent power in polyphase unbalanced networks in nonsinusoidal operation // IEEE Transactions on Power Systems. - 2006. -vol.21. - no.1. - pp. 438-440. doi: 10.1109/tpwrs.2005.860903.

5. Czarnecki L.S., Haley P.M. Unbalanced power in four-wire systems and its reactive compensation // IEEE Transactions on Power Delivery. - 2015. - vol.30. - no.1. - pp. 53-63. doi: 10.1109/tpwrd.2014.2314599.

6. Czarnecki L.S., Bhattarai P.D. Currents' physical components (CPC) in three-phase systems with asymmetrical voltage // Przegl^d Elektrotechniczny. - 2015. - no.6. - pp. 40-47. doi: 10.15199/48.2015.06.06.

7. Сиротин Ю.А. Векторная мгновенная мощность и энергетические режимы трехфазных цепей // Техшчна електро-динамжа. - 2013. - №6. - С. 57-65.

8. Sirotin Iu.A. Non-pulsed mode of supply in a three-phase system at asymmetrical voltage // Przegl^d Elektrotechniczny. -2013. - no.7. - pp. 54-58.

REFERENCES

1. 1459-2010 IEEE Standard definitions for the measurement of electric power quantities under sinusoidal, nonsinusoidal, balanced, or unbalanced conditions. doi: 10.1109/ieeestd.2010.5439063.

2. Czarnecki L.S. Orthogonal decomposition of the currents in a 3-phase nonlinear asymmetrical circuit with a nonsinusoidal voltage source. IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement, 1988, vol.37, no.1, pp. 30-34. doi: 10.1109/19.2658.

3. Ferrero A., Superti-Furga G. A new approach to the definition of power components in three-phase systems under nonsinusoidal conditions. IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement, 1991, vol.40, no.3, pp. 568-577. doi: 10.1109/19.87021.

4. Lev-Ari H., Stankovic A.M. A decomposition of apparent power in polyphase unbalanced networks in nonsinusoidal operation. IEEE Transactions on Power Systems, 2006, vol.21, no.1, pp. 438-440. doi: 10.1109/tpwrs.2005.860903.

5. Czarnecki L.S., Haley P.M. Unbalanced power in four-wire systems and its reactive compensation. IEEE Transactions on Power Delivery, 2015, vol.30, no.1, pp. 53-63. doi: 10.1109/tpwrd.2014.2314599.

6. Czarnecki L.S., Bhattarai P.D. Currents' physical components (CPC) in three-phase systems with asymmetrical voltage. Przeglqd Elektrotechniczny, 2015, no.6, pp. 40-47. doi: 10.15199/48.2015.06.06.

7. Sirotin Iu.A. Vectorial instantaneous power and energy modes in three-phase circuits. Tekhnichna elektrodynamika -Technical electrodynamics, 2013, no.6, pp. 57-65. (Rus).

8. Sirotin Iu.A. Non-pulsed mode of supply in a three-phase system at asymmetrical voltage. Przeglad Elektrotechniczny, 2013, no.7, pp. 54-58.

Поступила (received) 29.02.2016

Сиротин Юрий Александрович, д.т.н., проф., Национальный технический университет «Харьковский политехнический институт», 61002, Харьков, ул. Фрунзе, 21, e-mail: yuri_sirotin@ukr.net

Iu.A. Sirotin

National Technical University «Kharkiv Polytechnic Institute», 21, Frunze Str., Kharkiv, 61002, Ukraine. Orthogonal components of the three-phase current at asymmetrical active - reactive load in 4-wire circuit. Purpose. For the unbalanced sinusoidal mode with asymmetric voltage in 3-phase 4-wire circuits to receive the orthogonal 4-component decomposition of 3-phase current, are classified symmetry/asymmetry of active and reactive load elements separately. Methodology. The methodology is based on the vector approach, which with one voice allows to analyze the energy characteristics of a 4-wire and 3-wire circuits as balanced and unbalanced modes. At asymmetrical voltage the matrix representation methodology of the equivalent conductivities is used. Results. For 3-phase 4-wire network with a sinusoidal unbalanced mode with asymmetric voltage obtained 4-component orthogonal decomposition of the 3-phase current. The components have a clear electro-energetic sense and are classified irrespective by the load condition. Originality. The resulting decomposition current develops the theory Currents' Physical Components (CPC) for 4-wire circuit with asymmetric voltage. For the first time the unbalanced current is classified by activity and reactivity of asymmetry load elements. Practical value. Practical value of the obtained orthogonal decomposition current and the power equation is a possibility of their utilization for the increase both quality of delivery and quality of consumption of electrical energy. References 8, figures 1. Key words: three-phase circuit, active and reactive power, power shift, power equation, unbalanced current and mode, active-reactive asymmetrical load, asymmetrical voltage, currents' physical components (CPC).