CC BY
252
УДК 539.3
И.Х. БАДАМШИН
РАСЧЕТ ПРЕДЕЛА ТЕКУЧЕСТИ БЕЗДЕФЕКТНЫХ МОНОКРИСТАЛЛОВ
Приведена формула расчета предела текучести для металлических и неметаллических монокристаллов. Формула выведена на основе фундаментальных закономерностей: закона Кулона и закона Гука. Новизна подтверждена патентом. Полученные результаты могут быть применены для расчета предела текучести нитевидных (бездефектных) монокристаллов, а значит и в эвтектических композитных материалах, недеформированных поликристаллах, а также применимы в некоторых направлениях нанотехнологий. Бездефектный монокристалл;эвтекти-ческий композитный материал;предел текучести; нанообъем монокристалла; нанотехнологии
Решение задачи моделирования прочностных характеристик монокристаллов предполагает проведение теоретических исследований взаимосвязи механики твердого тела и физики твердого тела.
Одним из направлений решения этой задачи является расчетное определение предела текучести — основной характеристики для многих прочностных расчетов.
Расчет предела текучести позволит существенно сократить объем дорогостоящих экспериментов (в некоторых случаях на уникальном оборудовании), что значительно снижает экономические и временные затраты в процессе проектирования элементов машин и оборудования, изготовленных, в частности, из эвтектических композитных материалов с нитевидными монокристаллами в виде армирующей фазы.
Кроме того, одним из направлений развития нанотехнологий является полное трехмерное управление структурой материалов на атомном уровне с целью размещения каждого атома на сво-
ем месте. В этих условиях важно заранее знать прочностные свойства нанообъемов монокристаллов с бездефектной структурой, откуда следует необходимость наличия расчетных формул определения прочностных характеристик, в частности, предела текучести.
В настоящее время наибольшее распространение нашли экспериментальные методы определения предела текучести.
Экспериментальная зависимость изменения напряжения от деформации для нитевидных монокристаллов — «усов» — имеет вид (в частности, для монокристалла Си), представленный на рис. 1.
Характер кривой (рис. 1) является типичным для бездефектной кристаллической решетки [1,2]. На кривой «напряжение-деформация» имеется ярко выраженный зуб текучести (стадия I). По достижению максимального напряжения сттах, соответствующего вершине зуба текучести, в кристалле начинается пластическая деформация: зарождаются и размножаются дислокации, образуются линии скольжения (Чернова-
И. X. Бадамшин • Расчет предела текучести бездефектных монокристаллов
155
Людерса); увеличивается плотность дислокации, они выходят на поверхность, и, как следствие, напряжение резко падает до значений ат. Пики напряжений свидетельствуют о зарождении новых линий скольжения, а минимумы — об их выходе на поверхность. С увеличением степени деформации наступает стадия деформационного упрочнения (III) [2].
Рис. 1. Диаграмма растяжения нитевидного монокристалла меди [2,3]
В работе предлагается математическая модель диаграммы «напряжение-деформация» нитевидных монокристаллов, основанная на электростатической природе упругости.
В основу расчета положены следующие допущения.
1. Рассматриваются бездефектные кристаллические решетки металлов, исследованные экспериментально в виде нитевидных кристаллов — «усов», которые деформируются пластически [1].
2. Используется геометрическая часть модели Я. И. Френкеля [2].
3. Максимальное напряжение сдвига (или скалывающее напряжение) определяется одним из известных способов, например, по модели Маккензи [2].
4. Под пределом текучести понимается определение, общепринятое для металлов. Причем для нитевидных монокристаллов принимается среднее значение предела текучести по отклонениям на диаграмме «напряжение-деформация» (рис.1).
5. Связь между нормальной и тангенциальной проекциями напряжения сдвига бездефектного монокристалла определяется по формуле [2]
= Тгг
к/(сова • сое /в),
(1)
Теоретическая зависимость изменения напряжения от деформации для нитевидных кристаллов — «усов», предложенная автором, представлена на рис. 2.
а 2
1
Рис. 2.Теоретическая модель диаграммы растяжения нитевидного монокристалла
В основе сил упругости лежат межатомные взаимодействия электростатической природы [4,5].
Поэтому участок 2-3 на рис. 2 моделируется с помощью закона Кулона и определяется степенной функцией с целым отрицательным показателем вида у = с/ж2, так как
-^кул — ^1^2/47Г£()^ ч
где ^кул — кулоновская сила взаимодействия между атомами; , — взаимодействующие заря-
ды, Кл; £о = 8,85-10_12 Кл2/нм2 — электрическая постоянная; — расстояние между взаимодей-
ствующими зарядами. Но напряжение пропорционально силе, т. е. ст (или г) ~ ^Кул, следовательно, в окончательном виде (в соответствии с патентом ИИ 2235986, автор И. Х. Бадамшин) участок 2-3 на рис. 2 определяется функцией
= с/{х/а0)2
(2)
где — угол между горизонтальной плоскостью и плоскостью сдвига; [5 — угол между плоскостью сдвига и направлением нормального напряжения.
где — период кристаллической решетки; х/ао — угловая деформация при сдвиге простой кубической решетки.
Из соотношения (1) определяется нормальная проекция напряжения сдвига — предела текучести.
В точке 2 напряжение а = сттах (соответственно тангенциальное напряжение т = ттах) — это так называемый «зуб текучести». В точке 3 напряжение равно пределу текучести а = сгт (соответственно ), при котором монокристалл
переходит в поликристалл за счет формирования дислокаций.
Таким образом, зная координаты точки 2 (значения и , например, по Маккензи) и вид функции (2), вычисляют коэффициент с, а затем определяют координаты точки 3 , т. е. значение по величине деформации , определяемой
по Френкелю. В соответствии с моделью Френкеля в точке с координатой теоретическое
значение напряжения сдвига равно нулю ,
Таблица 1
Наименование элемента, плоскость скольжения Величина Тток, МПа Погрешность, % Источник
расчетная экспериментальная
Си(ГЦК)(100) 58,7 18* ...60 - [1.3]
Аё (ГЦК) (100) 36,0 40 (32,3 отожжен.) 10 [1.6]
са(гп)(ооо1) 10 5* (9,81) - [1.6]
Ре(ОЦК)(ЮО) 148 (177 технич.) (123 отожжен.) — [6]
*В экспериментальных данных не указана кристаллографическая плоскость скольжения, поэтому погрешность не рассчитывалась; в скобках указаны экспериментальные значения для недеформированных, с точки зрения технологии изготовления, поликристаллов (технических и отожженных).
т. е. атомы находятся в неравновесном состоянии, но на практике (рис. 1) [2] пластическое течение происходит при некотором постоянном значении напряжения (или ).
Таким образом, участок 2-3 имеет координаты [0,07ао; 0,5ао] по оси абсцисс.
Результаты расчета напряжения сдвига в точке
3, т. е. предела текучести ттек, приведены в табл. 1.
В соответствии с диаграммой «напряжение-деформация» (рис. 1), начиная с предела текучести, вследствие зарождения дислокаций монокристалл переходит в поликристалл, поэтому значения предела текучести монокристалла и поликристалла одинаковы. Это позволяет сравнивать результаты расчета для монокристаллов с экспериментальными значениями предела текучести поликристаллов. Данное сравнение допустимо, в частности, для недеформированных поликристаллов (технических и отожженных).
Как видно из таблицы, результаты расчета удовлетворительно сходятся с результатами экспериментов.
Таким образом, зная значение максимального напряжения сдвига, можно рассчитать величину предела текучести для монокристаллов как металлов, так и неметаллов, например, карбидов и нитридов. Результаты работы можно использовать в практических расчетах на прочность бездефектных монокристаллов, в частности, для эвтектических композиционных материалов с нитевидными монокристаллами, используемых в рабочих лопатках газовых турбин, а также для недеформи-рованных (с точки зрения технологии изготовле-
ния) поликристаллов и в некоторых направлениях нанотехнологий.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Бережкова, Г. В. Нитевидные кристаллы / Г. В. Бережкова. М.: Наука, 1969. 160 с.
2. Гольдштейн, М. И. Металлофизика высокопрочных сплавов : учеб. пособие для вузов / М. И. Гольдштейн, В. С. Литвинов, Б. М. Бронфин. М.: Металлургия, 1986. 312 с.
3. Светлов, И. Л. Машина для механических испытаний нитевидных кристаллов (усов) / И. Л. Светлов // Заводская лаборатория. 1964. № 9. С. 1133-1136.
4. Китель, Ч. Металлофизика высокопрочных сплавов : учеб. пособие для вузов / Ч. Китель. М.: Наука, 1965. 366 с.
5. Лахтин, Ю. М. Материаловедение : учеб. для вузов / Ю. М. Лахтин, В. П. Леонтьев. 3-е изд. М.: Машиностроение, 1990. 528 с.
6. Свойства элементов : справочник. Ч. 1. Физические свойства. 2-е изд. М.: Металлургия, 1976. 600 с.
ОБ АВТОРЕ
Бадамшин Ильдар Хайдарович,
доц., докторант каф. авиац. двигателей. Иссл. в обл. металлофизики и материаловедения.
