CC BY
9
НАУЧНАЯ СТАТЬЯ / RESEARCH PAPER
УДК 517.392 : 517.583 : 556.301
DOI: 10.22227/1997-0935.2022.10.1381-1388
Расчет полных эллиптических интегралов третьего рода в прикладных исследованиях
Кошкинбай Назирович Анахаев
Институт прикладной математики и автоматизации Кабардино-Балкарского научного центра Российской академии наук (ИПМА КБНЦРАН); г. Нальчик, Россия
АННОТАЦИЯ
Введение. При проведении теоретических и прикладных исследований по моделированию гидрогеофизических фильтрационных процессов и других потенциальных потоков нередко возникает необходимость аналитического определения значений «неберущихся» эллиптических интегралов, что связано с трудоемкими математическими подсчетами, перекрестным нелинейным интерполированием данных специальных таблиц и графиков и др. Использование при решении прикладных задач для их определения компьютерных программ дает только дискретные результаты в «цифрах» (а не в «символах») без возможности их последующих преобразований для получения общего аналитического решения в элементарных функциях.
Материалы и методы. Несмотря на наличие различных вычислительных программ, аналитические решения востребованы до настоящего времени, поскольку имеют большие возможности по выявлению внутренних физических причинно-следственных связей в решаемых задачах и последующего их использования в математических преобразованиях.
Результаты. Предложены расчетные зависимости в элементарных функциях по определению значений полного эллиптического интеграла 3-го рода с достаточной точностью (~ << 2-4 %) для проведения прикладных (и теоретических) исследований. v п Выводы. Выполнено сравнение полученных результатов с точными данными программы Mathcad для широкого ® Ф интервала изменений параметра интеграла и теоретических решений Л. Милн-Томсона. Приведенный анализ по- n н зволяет рекомендовать полученные расчетные зависимости в элементарных функциях для определения значений ^ | полного эллиптического интеграла 3-го рода как в прикладных, так и теоретических исследованиях в различных об- ^ ластях науки и техники. g 3
М С
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: потенциальные потоки, эллиптические интегралы, полный эллиптический интеграл 3-го • у рода, модулярный угол, параметр интеграла, таблицы эллиптических интегралов м I
о S
Благодарности. Работа выполнена в рамках темы государственного задания ИПМА КБНЦ РАН № 122041800015-8. h <
< 9
ДЛЯ ЦИТИРОВАНИЯ: Анахаев К.Н. Расчет полных эллиптических интегралов третьего рода в прикладных ис- О ю следованиях // Вестник МГСУ. 2022. Т. 17. Вып. 10. С. 1381-1388. DOI: 10.22227/1997-0935.2022.10.1381-1388 Г 0
—J t-J
< 3
Автор, ответственный за переписку: Кошкинбай Назирович Анахаев, anaha13@mail.ru. о <
оЗ о
To calculation of full elliptic integrals third sortsin applied researches
Koshkinbai N. Anakhaev
Institute of Applied Mathematics and Automation of the Kabardino-Balkarian Scientific Center of the Russian
Academy of Sciences; Nalchik, Russian Federation
со со
n i^J
r 6
ABSTRACT
e 3
Introduction. When carrying out theoretical and applied researches on modeling of hydrogeophysical filtrational processes • ■
and other potential streams quite often there is a need of analytical determination of values of "impossible" elliptic integrals < •
that is connected with labor-consuming mathematical calculations, cross nonlinear interpolating of these special tables and 1 °
schedules, etc. Use at the solution of applied tasks for their definition of computer programs yields only discrete results in § 3
"figures" (but not in "symbols") without a possibility of their subsequent transformations for receiving the common analytical 3 7
decision in elementary functions. 1 ■
Materials and methods. Therefore, despite existence of various computing programs, analytical decisions are demanded ■ ^
so far as they have great opportunities for identification of internal physical relationships of cause and effect in solvable tasks S n
and the subsequent their use in mathematical transformations. u 0
Results. In work estimated dependences in elementary functions by determination of values of full elliptic integral 3rd sorts Q K
with a sufficient accuracy (~ << 2-4 %) for carrying out applied (and theoretical) researches are offered. 0 0
Conclusions. L. Milne-Thomson is brought comparison of the received results with exact data of the Mathcad program for - -
a wide interval of changes of parameter of integral and theoretical decisions. 0 0
KEYWORDS: potential streams, elliptic integrals, full elliptic integral 3 sorts, modular corner, parameter of integral, table 10 M of elliptic integrals
© К.Н. Анахаев, 2022
Распространяется на основании Creative Commons Attribution Non-Commercial (CC BY-NC)
Acknowledgments. The work was carried out within the framework of the State Assignment of the Institute of Applied Mathematics and Automation of the Kabardino-Balkarian Scientific Center of the Russian Academy of Sciences No. 122041800015-8.
FOR CITATION: Anakhaev K.N. To calculation of full elliptic integrals third sortsin applied researches. Vestnik MGSU [Monthly Journal on Construction and Architecture]. 2022; 17(10):1381-1388. DOI: 10.22227/1997-0935.2022.10.0000-13811388 (rus.).
Corresponding author: Koshkinbai N. Anakhaev, anaha13@mail.ru.
N N
N N
О О
N N
о о
г г
¡г (V
U 3
> (Л
с и
2 "7
U N
<D <D
о ё
<л ел
.E о
DL ° ^ d Ю о
S ]S
о EE
CO ^
T- ^
£
22 J
■8 El
О И
ВВЕДЕНИЕ
При проведении теоретических и прикладных исследований по моделированию гидрогеофизических фильтрационных процессов и других потенциальных потоков нередко возникает необходимость аналитического определения значений «неберущих-ся» эллиптических интегралов 3-го рода, что связано с трудоемкими математическими подсчетами, перекрестным нелинейным интерполированием данных специальных таблиц и графиков, и др. В частности, эллиптические интегралы 3-го рода возникают при расчете:
• напорной фильтрации под заглубленным прямоугольным флютбетом при ограниченной мощности основания [1, с. 153];
• напорной фильтрации под флютбетом с двумя шпунтами [2];
• напорной фильтрации под несимметричным флютбетом с двумя шпунтами [3];
• напорной фильтрации под заглубленным несимметричным флютбетом с двумя шпунтами разной длины [4];
• напорной фильтрации под заглубленным прямоугольным флютбетом на двухслойном основании с сильнопроницаемым нижним слоем [5];
• напорной фильтрации в котлован, огражденный шпунтами при сильнопроницаемом подстилающем слое основания [6];
• безнапорной профильной фильтрации из источника в почвенном слое при сильнопроницаемом подстилающем слое основания [7];
• безнапорной обходной (плановой) фильтрации в месте сопряжения бетонной и грунтовой плотин с несимметрично расположенным противофильтра-ционным элементом [8].
При этом полные эллиптические интегралы 3-го рода П(п/а) в тригонометрической форме Лежандра имеют вид [9-12]:
я/2
П(п/а) = J
dф
о (1 - n ■ sin2 - sin2 а • sin2 ф
(1)
При этом известные приближенные зависимости по вычислению этих интегралов не охватывают всей области определения аргументов, представлены громоздкими формулами по аппроксимации различных рядов или сводятся к вычислениям с использованием таких же «неберущихся» (но табулированных) эллиптических интегралов 1-го и 2-го родов [12-15]. Кроме этого, в существующих таблицах прямого определения [11, 16, 17] значения эллиптического интеграла 3-го рода представлены либо только для единичного интервала параметра п (с отсутствием отрицательных значений), либо с недопустимо крупным шагом его разбиения [14] и др.
МАТЕРИАЛЫ И МЕТОДЫ
Использование при решении прикладных задач для определения значений эллиптических интегралов различных компьютерных программ позволяет получать только дискретные значения интегралов для каких-то отдельных точек или фрагментов задачи в «цифрах», а не в математических символах с возможностью последующих их преобразований (дифференцирования, интегрирования). То есть при этом мы не можем получить общее аналитическое решение в элементарных функциях для всей области задачи и ограничены в возможностях выявления причинно-следственных связей (в виде аналитических формул) исходных факторов и оценке их влияния на итоговые результаты. В связи с этим в настоящей работе излагается новое прямое приближенно-гидромеханическое решение указанной задачи с представлением итоговых результатов в элементарных функциях.
РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЯ
Ниже приводятся усовершенствованные аналитические зависимости по расчету значений полных эллиптических интегралов 3-го рода П(п/а) в элементарных функциях, позволяющие получать достаточно точные результаты (в основном << 2-4 %) на базе формулы [18]:
где п — параметр (характеристика) интеграла; а — модулярный угол; ф — амплитуда интеграла.
Рассматриваемый интеграл (1) является «небе-рущимся» и аналитическое определение его значений связано с трудоемкими математическими подсчетами, необходимостью перекрестного нелинейного интерполирования данных специальных таблиц и графиков и др.
П(п/а) =
K (а)
vm
1 + п
1 I1 - (1 + 3П)' 180,
(2)
как для прикладных, так и теоретических исследований, основанные на предыдущих работах [19-22] для дифференцированных интервалов изменения параметра п.
Значения параметра 0 < п < 1
Интервал значений 0 < п < Бт2а — гиперболический случай [11].
Для данного случая значения полного эллиптического интеграла 3-го рода П(п/а) рекомендуется определять по зависимостям:
• при значении модулярного угла (в градусах) 0 < а < 65 (т.е. 0 < п < 0,821):
П(п/а) = ^^ + п VI-I
1 ^ I1 - (1 + 3П) "ш
К (а) =- +
1п(соб а)
2 1п [0,35 • (1 - 0,2 • соБа) ]
(4)
где hl — коэффициент, определяемый по зависимостям:
Ь = 1 - (1 - /1)77,
65
& = 1 - 0,0035П;
(5)
¿2 = /2 - (/2 - /1X1 -
а - 65 25
& = 1 + 0,12П;
(6)
Ь = /4 - (/4 - /3у -
Е(ао)
2
а - а0
,90 - ао у
/з =
соБ2(а0) • П(п/а0) /4 = 2,6-1,4^1 - (5п -4)2,
(7)
где а0 = агсБш 4п — угол на кривой п = 8ш2а, соответствующий заданному значению параметра п; £(а0) — полный эллиптический интеграл 2-го рода, определяемый для угла а0 по формуле [18-20, 22]:
Е(а0) = 1пу] вж - (ек - е2) бш2 а0.
(8)
Ь1,(3)
где К(а) — полный эллиптический интеграл 1-го рода, находится по формуле [18-22]:
В выражении (7) величина П(п/а) находится по формуле (2), подсчитанная, как и значение полного эллиптического интеграла 1-го рода К^) по формуле (4) при угле а0.
Интервал значений Бт2а < п < 1 — круговой случай [11].
Для данного интервала значений полный эллиптический интеграл 3-го рода П(п/а) определятся по зависимостям:
• при значениях модулярного угла 0 < а < 65 и параметра Бт2а < п < 0,821 величина эллиптического интеграла П(п/а) находится по формуле (3), в которую вместо hl подставляется коэффициент h4. равный:
• при значениях модулярного угла 65 < а < 90 и параметра 0 < п < 0,821 величина эллиптического интеграла П(п/а) также находится по формуле (3), в которую вместо hl подставляется коэффициент равный:
¿4 = 1 - (1 - /5)77, 65
& = 1 - 0,01п(1 + пп);
(9)
• при значениях модулярного угла 0 < а < 65 и параметра 0,821 < п < 1 для определения эллиптического интеграла П(п/а) в формулу (3) вместо h1 подставляется коэффициент h5, равный:
¿5 = 1 - (1 - /б)77, 65
/б = 1,11 - 0,135^1 - (5п - 4)2;
(10)
• при значениях модулярного угла 65 < а < 90 и параметра 0,821 < п < 1 в формулу (3) вместо h1 подставляется коэффициент равный:
• при значениях модулярного угла 65 < а < 90 и параметра 0,821 < п < 1 в формулу (3) вместо h1 подставляется коэффициент h6, равный:
¿6 = /з - (/з -/б\1 -
2
а -65
" а0 -65
(11)
Частные значения параметра п = 0; 1; Бт2а. Для частных значений параметра п величина полного эллиптического интеграла 3-го рода П(п/а) определяется по зависимостям:
. г 1п(с0ва)-,, П(0/0) = П;
2 1п [0,35 • (1 - 0,2 • сова)] 2
при п = 0 П(0/а) = К (а) = - + при п = 1 П(1/а) =
• V Ч п • 2 / Ч Е(а) 1п^еп- (еп- е2) • в1п2 а при п = бш (а) Щбш а/а) =---
соб2 а
соб2 а
< П
88
О Г и 3
О СО
п со
< -»
о СО
и
Г 1
< 3 О
о5
О п
со со
м со
0 ^
1
со со о о
(12)
< )
® . л *
■ч п
1 г
И □ (Л У С о Ф Ж
оо
О О
2 2 2 2
Значения параметра 1 < n < 100 ем следующие расчетные зависимости для опреде-
(,гтерб°жческш случт [11]) ления значений полного эллиптического интеграла
Для данного интервала изменений 1 < n < 100 з-го рода П(П/а) в виде: с учетом замены параметра n на величину [11]
N1 = (sin2а) / n и последующих преобразований име- П(п/а) = [Да) - П(^/а)] Cj, (13)
где
П( Nj/а) =
K (а)
71-ñt
1+Nr
Г - 1 - (1 + 3Ni)
180°
(14)
Величина коэффициента о1 в выражении (13) определяется по формулам. Для параметра 1 < п < 20:
при 0 < а < 30 о1 = 1;
при 30 < а < 65 ^ = 1 + а—30(и0'025 -1,042);
при 65 < а < 90 а1 = 1,04п0'025
0,91 + — (п0'050 - 0,91) 25
(15)
Для параметра 20 < n < 100:
N N
N N
О О
N N
О О
г г
¡É (V
U 3 > (Л
С И
2 "7
ta n
üi
<D <D
o %
при 0 < а < 65 а1 = 1 + — (1,025п0'0055 -1); 65
при 65 < а < 90 а1 = 1,025п0'0055
1 + ^^ (1,20п0'0055 -1) 25
(16)
Значения параметра -100 < п < 0
(круговой случай [11])
Для данного интервала изменений -100 < п < 0 с учетом замены параметра п на величину [11] Ы2 = фп2а - п) / (1 - п) и последующих преобразо- п(и/а) = ваний имеем следующие зависимости для определе-
К (а)
ния значений эллиптического интеграла П(п/а) в виде:
-п• cos а • П(Ж2/а) +sin а • К(а)
(1 - n)(sin а - п) sin а - п
где
П( Щ/а) =
1 + N
1 -, 1 - (1 + 3N2)
180°
02, (17)
(18)
Величина коэффициента с2 в выражении (17) рассчитывается по формулам: при 0 < а < 65 о2 = 1+ (л- 3)
<л w
.Е о
dl °
^ с
ю о
S !
о ЕЕ
а> ^
т- ^
4S J
>> А £ w
Е!
О (Я
1 -и+
при 65 < а < 90 о2 = 1 + . 1 -I 1+-
2 к i 100
1,5
л -1 - 2
1-
100
а - 65
25
0,575
(19)
В таблице приводится сравнение значений полного эллиптического интеграла 3-го рода П(п/а), подсчитанных по предлагаемым элементарным аналитическим зависимостям (3)-(19) с точными данными, полученными по программе МаШсай
Как следует из таблицы, сравнение расчетных значений полного эллиптического интеграла 3-го рода П(п/а), подсчитанных по предлагаемым элементарным аналитическим зависимостям (3)-(19), с точными данными (программы МаШсаф дает вполне приемлемое совпадение результатов (~ << 2-4 %).
Некоторое завышение расхождений данных проявляется при п ^ 1 и а ^ 90, при которых значения эллиптического интеграла стремятся к бесконечности П(п/а) ^ ® и требуется их корректировка [14].
Кроме этого, сопоставление расчетных значений П(п/а) с точными аналитическими подсчетами Л. Милн-Томсона для полных эллиптических интегралов 3-го рода [11, с. 420, примеры 16 и 18] П(0,0625/30) = 1,74306 и П(0,0625/30) = 2,80099 дало практически полное совпадение результатов, соответственно 1,74375(+0,04 %) и 2,80050(-0,02 %).
Сравнение расчетных значений полного эллиптического интеграла 3-го рода П(и/а) с точными данными (в скобках) Comparison of the calculated values of the total elliptic integral 3rd genera П(и/а) with exact data (in parentheses)
Значения полного эллиптического интеграла 3-го рода П(и/а) Values of the total elliptic integral of genus 3rd П(и/а)
Параметр n
Модулярный угол а, град. Modular angle а, degrees
raïameiei « 10 30 45 60 75 88
Значения параметра 0 < n < 1 — расчет по формулам (3)—(12) Parameter values 0 < n < 1 — calculation by formulas (3)—(12)
0,1 1,668 ~ 0 % 1,781 ~ 0 % 1,967 + 0,2 % 2,474 + 0,6 % 2,985 + 0,5 % 5,124 - 1,4 %
(1,669) (1,780) (1,963) (2,460) (2,966) (5,155)
0,25 1,828 - 0,1 % 1,956 - 0,1 2,175 + 0,4 2,767 + 0,7 3,368 + 0,5 5,909 - 2,7
(1,829) (1,957) (2,168) (2,747) (3,343) (5,958)
0,5 2,238 - 0,1 % 2,413 ~ 0,0 2,712 + 0,4 3,580 + 2,0 4,459 + 1,6 8,222 - 3,9
(2,241) (2,414) (2,701) (3,511) (4,366) (8,243)
0,75 3,165 - 0,3 % 3,450 - 0,1 3,947 + 0,4 5,482 + 2,8 7,054 + 2,4 13,958 - 3,3
(3,174) (3,454) (3,931) (5,330) (6,886) (14,429)
0,9 5,026 ~ 0 % 5,570 + 0,6 6,500 + 1,1 9,156 - 0,3 12,240 - 1,9 29,656 - 2,1
(5,025) (5,536) (6,426) (9,180) (12,464) (30,304)
0,95 7,141 + 0,4 % 8,013 + 1,5 9,463 + 2,0 13,596 - 0,9 18,630 - 3,4 29,656 - 2,1
(7,113) (7,895) (9,279) (13,721) (19,293) (30,304)
n = 0,030 n = 0,25 n = 0,5 n = 0,821 n = 0,933 n = 0,9988
sin2(a) 1,609 + 0,1 % 1,970 + 0,7 2,726 + 0,9 6,502 - 0,1 15,924 - 0,9 822,099 - 1,1
(1,607) (1,957) (2,701) (6,508) (16,067) (831,333)
Значения параметра 1 < n < 20 — расчет по формулам (13)—(15) Parameter values 1 < n < 20 — calculation by formulas (13)—(15)
1,5 -0,016 ~ 0 % -0,167 ~ 0,0 -0,460 + 0,8 -1,446 + 1,8 -2,582 + 4,1 -6,398 - 4,0
(-0,016) (-0,167) (-0,457) (-1,420) (-2,481) (-6,665)
2 -0,012 ~ 0 % -0,121 ~ 0,0 -0,314 + 0,3 -0,879 + 1,1 -1,477 + 4,3 -3,455 - 1,0
(-0,012) (-0,121) (-0,313) (-0,870) (-1,416) (-3,492)
5 -0,0048 ~ 0 % -0,045 ~ 0,0 -0,109 ~ 0,0 -0,261 - 1,2 -0,412 + 2,6 -0,911 - 0,6
(-0,0048) (-0,045) (-0,109) (-0,264) (-0,402) (-0,916)
10 -0,002 ~ 0 % -0,022 ~ 0,0 -0,052 ~ 0,0 -0,121 - 1,4 -0,189 + 3,1 -0,415 + 1,9
(-0,002) (-0,022) (-0,052) (-0,123) (-0,183) (-0,412)
20 -0,001 ~ 0 % -0,011 ~ 0,0 -0,026 ~ 0,0 -0,059 ~ 0,0 -0,092 + 4,9 -0,204 + 4,0
(-0,001) (-0,011) (-0,026) (-0,059) (-0,088) (-0,196)
Значения параметра 20 < n < 100 — расчет по формулам (13), (14), (16) Parameter values 20 < n < 100 — calculation by formulas (13), (14), (16)
25 -0,001 ~ 0 % -0,009 ~ 0,0 -0,021 + 1,4 -0,047 ~ 0,0 -0,073 + 4,9 -0,158 + 1,6
(-0,001) (-0,009) (-0,020) (-0,047) (-0,070) (-0,155)
30 -0,0008 ~ 0 % -0,007 ~ 0,0 -0,017 ~ 0,0 -0,039 + 0,3 -0,061 + 4,8 -0,131 + 1,5
(-0,0008) (-0,007) (-0,017) (-0,037) (-0,058) (-0,129)
50 -0,0005 ~ 0 % -0,004 ~ 0,0 -0,010 ~ 0,0 -0,023 ~ 0,0 -0,036 - 4,8 -0,077 + 1,5
(-0,0005) (-0,004) (-0,010) (-0,023) (-0,034) (-0,076)
100 -0,0002 ~ 0 % -0,002 ~ 0,0 -0,005 ~ 0,0 -0,011 ~ 0,0 -0,018 + 5,0 -0,038 ~ 0,0
(-0,0002) (-0,002) (-0,005) (-0,011) (-0,017) (-0,038)
Значения параметра -100 < n < 0 — расчет по формулам (17)-(19) Parameter values -100 < n < 0 — calculation by formulas (17)-(19)
-0,1 1,509 ~ 0 % -1,606 + 0,2 -1,768 + 0,6 -2,200 + 1,5 2,652 + 2,0 4,585 + 4,2
(1,509) (-1,604) (-1,761) (-2,180) (2,601) (4,400)
-0,25 1,415 ~ 0 % -1,506 + 0,3 -1,657 + 0,9 -2,057 + 1,9 2,446 + 2,2 4,193 + 5,4
(1,415) (-1,502) (-1,642) (-2,018) (2,392) (3,979)
< П
tT
iH
О Г s 2
0 со
n CO
1 <
< -»
J CD
U I
r I
n °
< 3 o
§i
СЛ '
CO CO
l\J со
0
1
со со о о
< )
n ® . л ' -J 00 I T
s У с о <D Ж 1 1 О О
M 2 О О 10 10 10 10
Окончание таблицы / End of the Table
Значения полного эллиптического интеграла 3-го рода n(n/a) Values of the total elliptic integral of genus 3rd n(n/a)
Параметр n Parameter n Модулярный угол a, град. Modular angle a, degrees
10 30 45 60 75 88
-0,5 1,292 ~ 0 % -1,374 + 0,5 -1,507 + 1,3 -1,850 + 2,3 2,171 + 2,2 3,653 + 5,8
(1,291) (-1,366) (-1,488) (-1,808) (2,125) (3,451)
-1 1,119 + 0,1 % -1,187 + 0,8 -1,296 + 1,8 -1,561 + 2,5 1,795 + 1,8 2,919 + 5,6
(1,118) (-1,177) (-1,273) (-1,522) (1,764) (2,763)
0,645 + 0,2 % -0,677 + 1,4 -0,722 + 2,4 -0,808 + 1,4 0,870 - 1,4 1,245 + 2,2
-5 (0,644) (-0,668) (-0,705) (-0,797) (0,882) (1,219)
-10 0,476 + 0,2 % -0,496 + 1,4 -0,521 + 2,1 -0,565 + 0,5 0,593 - 2,7 0,798 + 0,5
(0,475) (-0,489) (-0,511) (-0,563) (0,610) (0,794)
-50 0,221 + 0,2 % -0,226 + 0,2 -0,232 + 1,5 -0,241 ~ 0,0 0,247 - 1,6 0,291 ~ 0,0
(0,220) (-0,224) (-0,229) (-0,241) (0,251) (0,291)
-80 0,175 ~ 0 % -0,179 + 1,1 -0,183 + 1,4 -0,188 ~ 0,0 0,194 ~ 0,0 0,218 - 0,8
(0,175) (-0,177) (-0,180) (-0,188) (0,194) (0,220)
-100 0,157 + 0,1 % (0,156) -0,160 + 1,0 (-0,158) -0,163 + 1,2 (-0,161) -0,166 - 1,3 (-0,167) 0,172 ~ 0,0 (0,172) 0,187 - 2,7 (0,192)
N N N N О О
сч сч о о
т- т-
К (V U 3 > (Л С И
2 "7
ВО N
ij <U <D
о ё
Примечание: Жирная линия в интервале значений 0 < n < 1 разделяет области параметров со значениями 0 < n < sin2a и sin2a < n < 1.
Note: The bold line in the value range 0 < n < 1 separates the parameter areas with the values 0 < n < sin2a and sin2a < n < 1.
со "
CO E —
^ СЛ
.E §
DL ° с
Ю О
S 1
о EE
CO ^ t- ^
E
22 J >> A
о и №
Вышеизложенный анализ позволяет рекомендовать полученные расчетные зависимости в элементарных функциях (3)-(19) для определения значений полного эллиптического интеграла 3-го рода П(п/а) как в прикладных, так и теоретических исследованиях в различных областях науки и техники.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ И ОБСУЖДЕНИЕ
При проведении теоретических и прикладных исследований по моделированию гидрогеофизических фильтрационных процессов и других потенциальных потоков нередко возникает необходимость аналитического определения значений «неберущих-ся» эллиптических интегралов, что связано с трудоемкими математическими подсчетами, перекрестным нелинейным интерполированием данных специальных таблиц и графиков и др. Использование при решении прикладных задач для их определения компьютерных программ дает только дискретные результаты в «цифрах» (а не в «символах») без возможности их последующих преобразований для по-
лучения общего аналитического решения в элементарных функциях. Поэтому, несмотря на наличие различных вычислительных программ, позволяющих с высокой точностью рассчитать значения «неберу-щихся» интегралов, аналитические решения востребованы до настоящего времени, поскольку имеют большие возможности по выявлению для всей области задачи внутренних физических причинно-следственных связей в виде простых формул, их использованию в математических преобразованиях и оценке влияния на итоговые результаты.
В работе предложены аналитические зависимости в элементарных функциях, позволяющие определять значения полного эллиптического интеграла 3-го рода с достаточной точностью (~ << 2-4 %) при проведении прикладных (и теоретических) исследований. Приводится сравнение полученных результатов с точными данными программы Mаthcаd для широкого интервала изменений параметра интеграла -100 < п < 100 и теоретических решений Л. Милн-Томсона.
СПИСОК ИСТОЧНИКОВ
1. Павловский Н.Н. Собрание сочинений. Т. 2. Движение грунтовых вод. М.-Л. : Изд-во АН СССР, 1956. 771 с.
2. Chawla A.S. Stability of structure wich two cutoffs founded on pervious strata of finite depth // Irrigation and Power. 1985. Vol. 42. Issue 2. Pp. 155-160.
3. Сенков А.М., Фильчаков П.Ф. Приближенные методы расчета стационарного движения грунтовых вод под гидротехническими сооружениями. Киев : Изд-во Акад. наук Украинской ССР, 1952. 228 с.
4. Козлов В. С. Гидромеханический расчет флютбетов. М.-Л. : Госэнергоиздат, 1941. 278 с.
5. Дидковская Т. В. Об одном случае фильтрации под заглубленным флютбетом // Украинский математический журнал. 1974. Т. 26. № 1. С. 74-77.
6. Дегтярь В.Г. Решение одной задачи фильтрации в котлован, огражденный шпунтами // Гидравлика и гидротехника. 1981. № 33. С. 93-97.
7. ЭмихВ.Н. Фильтрация из подпочвенных источников // Известия Российской академии наук. Механика жидкости и газа. 1999. № 2. С. 72-85.
8. Дьогтяр В.Г. Гидромехатчний розруханок обхшдно1 ф 1 льтрацп на д 1 лянщ спряження водозливно1 гребл1 з русловою земляною греблею // Доповщ АН УкССР. Сер1я А: физ.-тех. и мат. науки. 1968. № 10. С. 889-891.
9. Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции. М. : Наука, 1977. 342 с.
10. Лаврик В.И., Савенков В.Н. Справочник по конформным отображениям. Киев : Наукова думка, 1970. 252 с.
11. Милн-Томсон Л. Эллиптические интегралы // Справочник по специальным функциям / под ред. М. Абрамовица и И. Стиган. М. : Наука, 1979. С. 401-441.
12. Нельсон-Скорняков Ф.Б. Фильтрация в однородной среде. М. : Советская наука, 1949. 568 с.
13. Антонюк В.М., Ульшин В.А. Расчет взаимной индуктивности двух круговых контуров с помощью приближенных формул для эллиптических интегралов // Известия вузов. Электромеханика. 1977. № 10. С. 1073-1076.
14. Пархомовский Я.М. Приближенные формулы для эллиптических интегралов 3-го рода // Ученые записки ЦАГИ. 1979. Т. 10. № 3. С. 78-86.
Поступила в редакцию 22 июля 2022 г. Принята в доработанном виде 4 октября 2022 г. Одобрена для публикации 4 октября 2022 г.
Об авторе : Кошкинбай Назирович Анахаев — доктор технических наук, профессор, главный научный сотрудник отдела математического моделирования геофизических процессов; Институт прикладной математики и автоматизации Кабардино-Балкарского научного центра Российской академии наук (ИПМА КБНЦ
РАН); 360000, г. Нальчик, ул. Шортанова, д. 89а; РИНЦ ID: 144946, Scopus: 6602403743, ResearcherlD: B-4652-2016, ORCID: 0000-0003-4357-4349, JRJD: 38853246; anaha13@ mail.ru.
15. Симонженков С.Д. О вычислении эллиптических интегралов третьего рода // Математические структуры и моделирование. 2000. № 5. С. 40-43.
16. Беляков В.М., Кравцова Р.И., Раппопорт М.Г. Таблицы эллиптических интегралов. Т. 1. М. : Изд-во Акад. наук СССР, 1962. 656 с.
17. Беляков В.М., Кравцова Р.И., Раппопорт М.Г. Таблицы эллиптических интегралов. Т. 2. М. : Изд-во Акад. наук СССР, 1963. 786 с.
18. Анахаев К.Н. О полных эллиптических интегралах 3-го рода в задачах механики // Доклады Академии наук. 2017. Т. 473. № 2. С. 151-153. DOI: 10.7868/S0869565217080072
19. Анахаев К.Н. Эллиптические интегралы в нелинейных задачах механики // Доклады Российской академии наук. Физика. Технические науки. 2020. Т. 491. № 2. С. 24-29. DOI: 10.31857/ S2686740020020042
20. Анахаев К.Н. О методах расчета потенциальных (фильтрационных) потоков на основе эллиптических интегралов Якоби // Гидротехническое строительство. 2008. № 8. С. 7-9.
21. Анахаев К.Н. О совершенствовании гидромеханических методов расчета потенциальных (фильтрационных) потоков // Инженерные системы. 2009 : тр. Междунар. науч.-практ. конф. 2009. С. 588-595.
22. Anakhaev K.N. On methods of calculating potential (seepage) flows on the basis of Jacobi elliptic integrals // Power Technology and Engineering. 2008. Vol. 42. Issue 5. Pp. 273-276. DOI: 10.1007/s10749-009-0052-0
REFERENCES
1. Pavlovsky N.N. Collected works. Vol. 2. Groundwater movement. Moscow-Leningrad, Publishing House of the USSR Academy of Sciences, 1956; 771. (rus.).
2. Chawla A.S. Stability of structure wich two cutoffs founded on pervious strata of finite depth. Irrigation and Power. 1985; 42(2):155-160.
3. Senkov A.M., Filchakov P.F. Approximate methods for calculating the stationary movement of groundwater under hydraulic structures. Kyiv, Publishing House of the Academy of Sciences of the Ukrainian SSR, 1952; 228. (rus.).
< П
tT
iH О Г
0 CO n CO
1 <
< -»
J CD
U
r I
n °
< 3 o
oi
О n
CO CO
l\J со
0
1
CO CO о о
4. Kozlov V. S. Hydromechanical calculation of flutes. Moscow-Leningrad, Gosenergoizdat, 1941; 278. (rus.).
5. Didkovskaya T.V. On one case of filtration under a deep flutbet. Ukrainian Mathematical Journal. 1974; 26(1):74-77. (rus.).
6. Degtyar V.G. Solution of one problem of filtration into a pit fenced with piles. Hydraulics and hydraulic equipment. 1981; 33:93-97. (rus.).
7. Emich V.N. Filtration from subsurface sources. Proceedings of the Russian Academy of Sciences. Fluid and gas mechanics. 1999; 2:72-85. (rus.).
< )
ft
л ' -J 00
1 T
s У с о
<D X ff
oo
2 2 О О 2 2 2 2
tv N N N
o o
tv tv
o o
T- T* (V U 3 > (A C M 2
BO N <u <D
o ä
8. Degtyar V.G. Hydromechanical calculation of bypass filtration at the interface of a weir dam with a channel earthen dam. Reports of the Academy of Sciences of the Ukrainian SSR. Series A: physical-technical and mat. sciences. 1968; 10:889-891.
9. Janke E., Emde F., Loesch F. Special functions. Moscow, Nauka, 1977; 342. (rus.).
10. Lavrik V.I., Savenkov V.N. Guide to conformal displays. Kyiv, Naukova Dumka, 1970; 252. (rus.).
11. Milne-Thomson L. Elliptic integrals. Reference to special functions / Edited by M. Abramowitz and I. Stygan. Moscow, Science, 1979; 401-441. (rus.).
12. Nelson-Skornyakov F.B. Filtration in a homogeneous medium. Moscow, Soviet Science, 1949; 568. (rus.).
13. Antonyuk V.M., Ulshin V.A. Calculation of the mutual inductance of two circular circuits using approximate formulas for elliptic integrals. Izvestiya vuzov. Electromechanics. 1977; 10:1073-1076. (rus.).
14. Parkhomovsky Ya.M. Approximate formulas for elliptic integrals of the 3rd kind. TsAGI Scientific Notes. 1979; 10(3):78-86. (rus.).
15. Simonzhenkov S.D. On the calculation of elliptic integrals of the third kind. Mathematical Structures and Modeling. 2000; 5:40-43. (rus.).
16. Belyakov V.M., Kravtsova R.I., Rappo-port M.G. Tables of elliptic integrals. Vol. 1. Moscow,
Received July 22, 2022.
Adopted in revised form on October 4, 2022.
Approved for publication on October 4, 2022.
B i o n o t e s : Koshkinbai N. Anakhaev—Doctor of Technical Sciences, Professor, Chief Rresearcher of the Department of Mathematical Modeling of Geophysical Processes; Institute of Applied Mathematics and Automation of the Kabardino-Balkarian Scientific Center of the Russian Academy of Sciences; 89a Shortanov st., Nalchik, 360000, Russian Federation; ID RISC: 144946, Scopus: 6602403743, ResearcherlD: B-4652-2016, ORCID: 0000-0003-43574349, JRJD: 38853246; anaha13@mail.ru.
Publishing house Acad. sciences of the USSR, 1962; 656. (rus.).
17. Belyakov V.M., Kravtsova R.I., Rappo-port M.G. Tables of elliptic integrals. Vol. 2. Moscow, Publishing house Acad. sciences of the USSR, 1963; 786. (rus.).
18. Anakhaev K.N. On complete elliptic integrals of the 3rd kind in problems of mechanics. Reports of the Academy of Sciences. 2017; 473(2):151-153. DOI: 10.7868/S0869565217080072 (rus.).
19. Anakhaev K.N. Elliptic integrals in nonlinear problems of mechanics. Reports of the Russian Academy of Sciences. Physics. Technical sciences. 2020; 491(2):24-29. DOI: 10.31857/S2686740020020042
20. Anakhaev K.N. On methods of calculation of potential (filtration) flows based on jacobi elliptic integrals. Hydrotechnical Construction. 2008; 8:7-9. (rus.).
21. Anakhaev K.N. On Improvement of hydrome-chanical methods for calculation of potential (filtration) flows. Engineering Systems. 2009: works international. scientific-pract. conf. 2009; 588-595. (rus.).
22. Anakhaev K.N. On methods of calculating potential (seepage) flows on the basis of Jacobi elliptic integrals. Power Technology and Engineering. 2008; 42(5):273-276. DOI: 10.1007/s10749-009-0052-0
M
w
.E o
dl °
c
LT> o
s 1
o EE
CD ^
T- ^
w w
■8 I
El
o in
