Расчет полей смещений и деформаций у клиновидного двойника на основании мезоскопической дислокационной модели Текст научной статьи по специальности «Физика»

ЕСТЕСТВЕННЫЕ И ТОЧНЫЕ НАУКИ

УДК 548.24

РАСЧЕТ ПОЛЕЙ СМЕЩЕНИЙ И ДЕФОРМАЦИЙ У КЛИНОВИДНОГО ДВОЙНИКА НА ОСНОВАНИИ МЕЗОСКОПИЧЕСКОЙ ДИСЛОКАЦИОННОЙ МОДЕЛИ

Докт. физ.-мат. наук, проф. ВАСИЛЕВИЧЮ. В., канд. физ.-мат. наук, доц. ОСТРИКОВ О. М.

Белорусский национальный технический университет

Развитие теории заклинившихся двойников оправдано тем, что на практике часто приходится иметь дело с двойникующимися материалами, предварительно обработанными давлением. В таких твердых телах уже сформирована система двойников, которые выступают в качестве статических концентраторов напряжений, оказывающих существенное влияние на физические свойства материала [1-3]. Целенаправленно изменять свойства двойникующихся материалов удобно при использовании теоретических расчетов, основанных на представлениях о дислокационной природе процесса двой-никования [4].

На мезоскопическом уровне расстояние между двойникующими дислокациями нельзя считать пренебрежимо малым. Поэтому в математической модели двойников на этом уровне должен присутствовать параметр, определяющий данное расстояние. Напряжения, смещения и деформации в модели двойника рассматриваемого уровня находятся в результате суммирования напряжений, смещений и деформаций, сформированных каждой из двойни-кующих дислокаций двойниковых границ [5].

На мезоскопическом уровне возможно не только рассмотрение микродвойников, но и изучение отдельных двойников длиной до десятых долей микрометра. Такие двойники характеризуют начальную стадию развития двой-никования и в некоторых случаях могут рассматриваться как зародыши двойников.

Целью данной работы стал расчет на основании мезоскопической дислокационной моде-

ли смещений и деформаций у клиновидного двойника.

Постановка задачи. Представим клиновидный двойник формы, близкой к виду равнобедренного треугольника, состоящим из имеющего вид клина скопления двойникующих дислокаций с вектором Бюргерса Ь (рис. 1). Так как двойникующие дислокации являются частичными [6-8], их вектор Бюргерса можно разложить на две составляющие: винтовую Ьв и краевую Ькр. Пусть краевая составляющая вектора Бюргерса направлена вдоль оси ОХ (рис. 1) вдоль положительного ее направления, а винтовая - перпендикулярно плоскости рис. 1 (вдоль оси ОТ). Среду, в которой находятся дислокации, будем считать однородной и изотропной.

®—► Ьв Ькр А1

1 + И

01 X 11

Рис. 1. Схема взаимного расположения дислокаций, их компонент вектора Бюргерса и декартовой системы координат для расчета полей напряжений и деформаций у клиновидного двойника

Проведем расчет на основании принципа суперпозиции смещений и компонент тензора деформаций, создаваемых такой совокупностью дислокаций. Для этого воспользуемся из-

вестными соотношениями для смещении у единичных краевых и винтовых дислокаций [6, 9]:

иХ: (X, У)= ^ 2 п

arctg I —

ху

х ) 2(1 ^)(х2 + у2)

К

иХ (х, у) = X 2п

1 - 2у

4(1 -V)

1п(х2 + у2)-

х2 - у2

4(1 х2 + у2)

(1)

и: (х, у) = ^агс^ ( у |.

2п V х )

Тогда на основании принципа суперпозиции [4-6, 9] смещения, возникающие вокруг рассматриваемого скопления дислокаций, в общем виде могут быть представлены как:

и, (х, у) = 2 иОА (х - пё, у + пН) +

п

+2 и?В (х - тё, у - тН), (2)

или

их (х, у) = ^ 2п

у + пН х - пё

(х - пё )(у + пН)

2(1 -v)[(x -пё )2 + (у + пН)2]

arctg

+-

у - тН х - тё

(х - тё)(у - тН)

2(1 - v)[(x - тё)2 + (у - тН)2]

иу (х, у) =

2 п

2 ( ^Т-^1п((х - пё)2 +

п=01 4(1 -V)

+(у + пН)2)-

(х - пё)2 - (у + пН)2 4(1 - v)((x - пё)2 + (у + пН)2)

\

м I 1- 2V

^-71п((х - тё )2 + (у - тН)2)-

т=1 V 4(1 V)

(х - тё)2 - (у - тН)2

+

4(1 - v)((x - тё)2 + (у - тН)2)

(3)

иг (х, у) = -в- X 2п

| у + пН ^ м I у - тН

X аН 1+2 агс^1

х - тё

_п=0 V / т=1

Результаты расчетов смещений представлены на рис. 2. Принимались следующие параметры расчетов: -15 < х < 15; -15 < у < 15 (мкм); N = 100; М = 99; ё = 0,15 мкм; Н = 0,05 мкм; V = 0,33. Без ущерба общности полученных результатов для исключения необходимости учета численных значений величин Ькр/2п и Ь в/2п рассчитывались безразмерные распределения

и, (х, у)

X,(х у) = :

В,

(4)

имеющие аналогичный вид, что и распределения и,- (х, у).

у, мкм

-10

у, мкм 10 ■

"-148.05 --. \-204.60 '/

^-91.51 ^

--34.96 = -6.69 С

7.45 —

/35.73 7.45 -6.69

■ 92.27 \\

148.82 205.37

-10 о

б

10

0

-10

у, мкм 10

-10

10 х, мкм

0

-10

Вестник БНТУ, № 4, 2011

53

а

х, мкм

0

в

х, мкм

-10 0 10 Рис. 2. Распределения: а - %х(х, у); б - %у(х, у); в - %г(х, у) (аналогичный вид имеют распределения смещений их(х, у), иу(х, у), иг(х, у) В (4) принималось: Вх = —кр/2п; Вг = —в/2п. Конфигурация распределения смещений их и и2 имеет идентичный вид. Отличие заключается в величине значений изолиний в одних и тех же областях конденсированной среды относительно клиновидного двойника. Следует отметить, что данные смещения знакоперемен-ны относительно оси ОХ (рис. 2а, в), а также оси, параллельной оси ОУ и проходящей у устья двойника.

Смещения иу отрицательны и имеют высокое численное значение также в удалении от вершины двойника.

Расчет деформаций и обсуждение результатов расчета. Из соотношений (3) могут быть определены и компоненты тензора деформаций иу. Для этого необходимо найти частные производные [1, 6, 9]

1

иг] = -у 2

ди< ди —L + —-

дху дxi

\

]

(5)

Тогда получим:

ихх (х, у) = ^ 2 п

у + пИ

Е О-* -

п=012(1 -у)(х -пё )2 +(у + пИ)2 (х - пё )2 (у + пИ)

(1 -у)[(х -пё )2 +(у + пИ)2]2

+

1 - 2у

у - тИ

( м

Е,

т=1 ^ 2(1 - V) (х - тё)2 + (у - тИ)2 (х - тё)2 (у - тИ)

(1 - у)[(х - тё)2 + (у - тИ)2]2

иуу (х, у) =

2 п

1 - 2у

у + пИ

Е,

1 2(1 -V) (х-пё)2 + (у + пИ)2

(у + пИ)[(х - пё)2 - (у + пИ)2] 2(1 - у)[(х - пё)2 + (у + пИ)2]2

+

Е

1 - 2у

у - тИ

11 2(1 -V) (х-тё)2 + (у -тИ)2

(6)

(у - тИ)[(х - тё)2 - (у - тИ)2] 2(1 - у)[(х - тё)2 + (у - тИ)2]2

иХу (х, у) = ^ 2п

игг (х, у) = 0;

■Д [ 1 х - пё

Е [ 4(1 -у)(х -пё )2 +(у + пИ)2

(х - пё)[(х - пё)2 - 3(у + пИ)2] 4(1 -у)[(х -пё )2 + (у + пИ)2]2

+

+

1

х - тё

Е,

^ 4(1 - V) (х - тё )2 + (у -тИ)2

(х - тё)[(х - тё)2 - 3(у - тИ)2]^ 4(1 - у)[(х - тё)2 + (у - тИ)2]2

ихг (х, у) =

4п

Е

у + пИ

м

+ЕЕ

=0 (х - пё)2 + (у + пИ)2

у - тИ

= (х - тё)2 + (у - тИ)2

иуг (х, у) =

4п

Е

х - пё

м

+ЕЕ

=0 (х - пё)2 + (у + пИ)2 х - тё

= (х - тё)2 + (у - тИ)2

Результаты расчетов представлены на рис. 3 в виде конфигурации распределения величин

X у(x, у) =

иу (х, у) Ву ''

(7)

где

В = В = В = —— • В = В = Ьв

-^хх ^ху уу ~ ' -^хг ^уг •

2п 2п

В отличие от смещений ui (рис. 2), у распределений тензора деформаций четко прослеживается локализация деформаций у границ двойника (рис. 3). Нормальные деформации ихх (х, у) и и^ (х, у) знакопеременны относительно оси ОХ,

а также относительно двойниковых границ, т. е. у каждой границы клиновидного двойника нормальные деформации снаружи и внутри двойника имеют разный знак. Вдоль оси ОХ данные деформации близки к нулю.

Деформации иху (х, у), как и иу2 (х, у), вдоль

двойниковой границы локализуются в трех областях (рис. 3в, д): у вершины, у устья и сред-

ней части клиновидного двойника. Знак данных деформаций одинаков, и они равны нулю внутри двойника на оси ОХ.

у, мкм

ю.

о-

5.34 -10

8.36

-10

у, мкм

10-

0-

-10-

у, мкм

10

-10

10 х, мкм

-10

-10

5.64 7.69 8.71 \10.76 -

J_\ I у \. "

0 10 х, мкм

у, мкм

10

0

-10

10 х, мкм

10 х, мкм

-10

10 х, мкм

Рис. 3. Распределения: а - уСх, у);

б - Хуу<л у); в - хА у); г - Ус^

у); д - Ууг(х, у); (аналогичный вид имеют распределения деформации

«хх(х, у), иуу(х, у), иху(х, у), Чх2(х, у)

и Чу2(х, у)

б

а

в

0

о

д

о

Конфигурация полей деформаций иХ1 (х, у) схожа с конфигурацией деформаций ихх (х, у). Отличие заключается в численных значениях этих деформаций в одинаковых областях конденсированной среды по отношению к клиновидному двойнику.

В Ы В О Д

Таким образом, на основании мезоскопиче-ской дислокационной модели рассчитаны смещения и деформации у клиновидного двойника. У распределений тензора деформаций четко прослеживается локализация деформаций у границ двойника

Л И Т Е Р А Т У Р А

1. Полухин, П. И. Физические основы пластической деформации / П. И. Полухин, С. С. Горелик, В. К. Воронцов. - М.: Металлургия, 1982. - 584 с.

2. Остриков, О. М. О возможности формирования фазовых дифракционных решеток на основе явления двойникования монокристаллов / О. М. Остриков // Пись-

ма в журнал технической физики. - 2000. - Т. 26, № 21. -С. 49-52.

3. Остриков, О. М. Влияние облучения ионами бора, азота, углерода и циркония на процесс генерации двойни-кующих дислокаций в монокристаллах висмута / О. М. Остриков // Изв. высш. учеб. заведений. Черная металлургия. - 2001. - № 8. - С. 45-46.

4. Остриков, О. М. Распределение легирующего компонента в полисинтетических двойниках и теоретический прогноз формирования слоистых материалов с использованием явления полисинтетического двойникования / О. М. Остриков // Материалы. Технологии. Инструменты. - 2006. - Т. 11, № 3. - С. 54-56.

5. Остриков, О. М. Напряженное состояние у клиновидного двойника при дисбалансе плотностей двойнику-ющих дислокаций / О. М. Остриков // Прикладная механика и техническая физика. - 2002. - Т. 43, № 4. -С. 180-182.

6. Хирт, Дж. Теория дислокаций / Дж. Хирт, И. Лоте. -М.: Атомиздат, 1972. - 600 с.

7. Классен-Неклюдова, М. В. Механическое двойни-кование кристаллов / М. В. Классен-Неклюдова. - М.: АН СССР, 1960. - 262 с.

8. Пинчук, А. И. Влияние электромагнитного поля на пластическую деформацию двойникованием кристаллов висмута: автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук: 01.04.07 / А. И. Пинчук. - Минск, 1998. - 18 с.