CC BY
233
Последовательное применение результатов теоретико-экспериментального исследования процесса выстрела легкодеформируемой пулей из табельного оружия позволило разработать надульные устройства для оружия газоотводного типа (автоматы, автоматические винтовки), обеспечивающие травмобезопасный уровень дульной скорости пули с сохранением надежной работы автоматики оружия.
Список литературы
1. Огнестрельное оружие: пат. Рос. Федерация № 2325053 от 07.05.2008.
2. Руководящие технические материалы. Оружие стрелковое. Методы термогазодинамических расчетов. Тула, 1974. 160 с.
E.N. Patrikova
MATHEMATICAL MODELING OF THE PROCESS OF THE OPERATING THE TIME WEAPON IN MODE NELETALINOGO ACTIONS
In persisting work are presented results of mathematical modeling of the process of the operating the time weapon in additional mode neletalinogo actions with use special device, providing reliability of the functioning(working) the automation of the weapon and performing the requirements on safe action.
Key words: special device, neletalinoe action, safe action, legkodeformiruemay bullet, staff weapon.
Получено 17.10.12
УДК 629.78
А.И. Стрельцов, асп., 8-929-981-28-94, [email protected] (Россия, Королев, ОАО «РКК «Энергия» им. С.П.Королева»)
РАСЧЕТ ПЕРЕЛЕТОВ КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ НА ГЕОСТАЦИОНАРНУЮ ОРБИТУ С МАЛОЙ ТЯГОЙ
Представлен инженерный метод расчета некомпланарных перелетов космических аппаратов с низкой околоземной орбиты на геостационарную орбиту с малой тягой.
Ключевые слова: Геостационарная орбита; космические аппараты; малая тяга; инженерный метод.
Выбор оптимальных траекторий перелёта является одной из важных задач, решаемых на этапе проектирования космических систем. К настоящему времени опубликовано множество работ, посвященных проблемам оптимизации траекторий полета космических аппаратов (КА) с электроракетными двигательными установками (ЭРДУ) [1-6]. При этом одной
из центральных проблем является выбор оптимальной траектории полёта КА, в то время как их анализ и получаемых законов управления (ЗУ) вектором тяги КА, как правило, в них не проводится.
Для ряда стандартных задач может оказаться целесообразным создание некоторого инженерного метода решения, который и позволял бы определять близкие к оптимальным законы управления тягой КА с ЭРДУ без решения соответствующих задач оптимального управления.
1. Методика расчета траекторий перелёта КА с малой тягой
При проведении расчётов критерием оптимальности траектории считалось время перелёта. В рамках методики задача расчёта траектории перелёта КА с малой тягой разбивается на две подзадачи: определение оптимальной «опорной» траектории; выбор упрощённых ЗУ вектором тяги КА и расчёт траектории перелёта.
1.1. Выбор опорной траектории
Опорная траектория строится на основе решения задачи Эдельбау-ма, дополненной Кечичианом [1]. В общем виде решение задачи Эдель-баума предназначено для оценки затрат характеристической скорости и полного времени перелета КА с малой тягой между круговыми некомпланарными орбитами.
Алгоритм расчета.
1. Нахождение известных начальных и конечных орбитальных скоростей У0 и УГ из известных начальных и конечных больших полуосей орбиты соответственно а0 и аГ
V) =
1
- V, =
а0
а
(1)
/
где ^ - гравитационная постоянная.
2. Вычисление начального угла курса во
Б1П
^п Д) = —л
v / у
ж
V 2 у
'А 1/
соб
Ж
V 2 у
'А /
(2)
где а / - разница между наклонениями начальной и конечной орбиты.
3. Расчет затрат характеристической скорости на перелет
^ ■ бт
АУхар = ^ ' д0
1ап
ж
2
А
I/ +Д0
v 2 у
(3)
4. Время перелета
lf
&Ухар
~г
(4)
где f - ускорение тяги.
5. Изменение скорости по времени
6. Изменение наклонения по времени
¡(t )= ¡o - - ■ ж
arctan
Г f ■ t - Vo ■ cos ^оЛ
V
Vo ■ sin Po
ж О + ж-р0
(5)
(6)
где ¡o - наклонение начальной орбиты.
7. Изменение угла курса по времени
' Vo ■ sin Po cos Po - f ■ t,
8. Изменение эксцентриситета по времени:
Pit) = arctan
VVo ■'
(7)
) = 0. (8) Из уравнений (1) и (5) выразим зависимость изменения большой полуоси по времени
«) =
И
Vo2 - 2 ■ Vo ■ f ■ t ■ cos Po + f2 ■ t2
(9)
В качестве опорной траектории в данном случае принимаем изменения большой полуоси, эксцентриситета и наклонения, монотонно изменяющегося по всей траектории.
Выведем зависимости орбитальных элементов от наклонения. Из уравнения (6) выразим зависимость времени от наклонения орбиты
Vn
f ТГ тг\
Ж /. . \ ж
t(, )=
sin Po ■tan --Po +(¡ - ¡o )
V 2 2
f
(io)
Подставим выражение для времени (10) в уравнение зависимости большой полуоси от времени (9):
a
(¡ ) =
И
VA
sin2 Po
sin
Po + ж ■ (¡o - ¡)
(ii)
Эксцентриситет
в(1 )= 0. (12) Для принятых исходных данных решению этой задачи соответствует траектория, состоящая из двух характерных сегментов (рис.1).
На первом сегменте происходит постепенное увеличение большой полуоси орбиты КА до некоторого максимального значения, которое пре-
вышает значение большой полуоси геостационарной орбиты (ГСО). На втором сегменте большая полуось орбиты КА постепенно уменьшается до требуемого конечного значения большой полуоси ГСО. Наклонение орбиты КА по траектории полёта при этом изменяется монотонно, эксцентриситет орбиты КА для рассматриваемых опорных траекторий остаётся нулевым по всей траектории полёта.
Рис.1. Траектория
Относительное изменение наклонения
г + V ■ * - уо ■ соБ роЛ
агСап
А К* )= -
Ж
Ж о
-ро
(13)
ч ч уо ■ 8111 Ро у у
Для нахождения скорости изменения параметров орбиты в зависи
мости от наклонения продифференцируем уравнения (11) - (12)
Ж Ц БЮ (2 ■ Ро +Ж-А I),
Ша ^
ш 2 ■ Уо2 ■ бю 2 Р0
Т (А ' )=0.
ш
Вторая производная по наклонению
ж2 ■ ^ ■ соэ(2 ■ ро + ж■ а /)
Ш 2 а
Ш
2
(а ; )=
Уо2^2 Ро
Ш 2 е
Ш
: 2
(а * )= о.
(14)
(15)
(16) (17)
1.2. Модификация задачи Эдельбаума. Построение опорной траектории
Опорная траектория разбивается на две части: первая строится на основании формул (1) - (9), вторая - на основе предположения о постоян-
стве ускорения тяги. При этом появляется возможность варьировать величиной максимума большой полуоси для того, чтобы траектория соответствовала целому числу витков (см. далее п. 1.3.2).
1.2.1. Первая часть опорной траектории: - нахождение величины заброса большой полуоси
а
тах
а
з з
аном +Ла •
М
ном
¥02 • вт2 До
2
где л а - варьируемая величина;
- величина наклонения / з, при котором достигается значение заброса большой полуоси, определяется из условия
da
da
( л Ж^М ■ (с \
~Т (л 1 ) = ^Г2-Г^г • 8т(До + жл 1Л
1ап Д0 =
2 • ¥0 • эт2 Д вт(ж^д/)
V
- со^ж^д /)
отсюда получаем
2
I з = 1о---агееоб
ж
с -Л
ао
и а1)
(18)
- построение первой части опорной траекторий до достижения значений атах и /з происходит в соответствии с п. 1.1.2. 1.2.2. Вторая часть опорной траектории
Вторая часть опорной траектории является параболой, которая строится из условия
&2 а
•2
= С - const.
Значение величины С находится из условия — = 0, что обеспечивает гладкую стыковку обеих частей опорной траектории, отсюда получим
с=2 ^(аI - а тах )
• 2
Скорость изменения большой полуоси по времени
¥ = С ^ =С •(/ -1,)
3
з
Проинтегрировав полученное уравнение, найдем
с •(' -'312.
a ГСО - a max + ~
Построение второй части опорной траектории
C
a(i 1 - amax + — • (i - i3 )2 W max 2 V ' , (20)
e(i)- 0.
1.3. Выбор ЗУ вектором тяги ЭРДУ
1.3.1. Выбор законов
Используем ЗУ вектором тяги ЭРДУ, предложенные Клювером [2]. Но при этом считаем угол тангажа функцией истинной аномалии, угол курса - функцией аргумента широты. Указанные углы задаются в орбитальной системе координат.
Угол тангажа
р- Ap- sin 3. (21)
Угол курса для первого сегмента траектории
p-- Ap• cos u. (22а)
Угол курса для второго сегмента траектории
Р--Ж + Ap- cos u, (226)
где Аф и Ав - амплитуды изменения углов тангажа и курса на текущем витке; 3 - истинная аномалия КА (изменяется от 0 до 360° на витке траектории); u - аргумент широты КА (изменяется от 0 до 360° на витке траектории).
При расчёте траекторий перелёта считалось, что амплитуды изменения углов на каждом витке постоянны и меняются скачкообразно от витка к витку (значения амплитуд для каждого витка рассчитывались таким образом, чтобы получаемая при этих амплитудах траектория КА соответствовала заданной опорной траектории).
1.3.2. Принцип отслеживания опорной траектории
В течение полета параметры орбиты колеблются в некотором диапазоне на витке, по этой причине появляется необходимость привязки к реперным точкам, в которых прогнозируемая траектория сравнивается с опорной. Ими служат точки с нулевым аргументом широты. Из этого условия следует, что траектория перелета с низкой околоземной орбиты на ГСО должна соответствовать целому числу витков.
Два ограничивающих уравнения, которые отслеживают опорную траекторию, имеют вид
4 (Л9, (Л9, Ар) = 0;
А1 А1
*
Ар)--^— (.Ау, Ар)= 0,
(23)
где
^ (Ау, Ар)-Аа
А1 А1
А/ - изменение наклонения за виток при заданных амплитудах;
Да*, Ае*- изменение большой полуоси и эксцентриситета опорной траектории на витке; Да, Ае - изменение большой полуоси и эксцентриситета реальной траектории на витке.
2. Исходные данные и описание результатов
Исходные данные, использовавшиеся при проведении расчётов: начальная масса - 40000 кг; тяга ЭРДУ - 20,4 Н; скорость истечения газов -71 км/с. Параметры начальной орбиты: высота - 800 км; наклонение -51,7о.
В результате решения построены следующие графики: сравнение опорной траектории с реальной (рис. 2); изменение большой полуоси по времени для различных методов расчета (рис. 3); изменение наклонения по времени для различных методов расчета (рис. 4); угол тангажа от времени полёта для траектории перелёта с РБО на ГСО (инженерный метод) (рис. 5); угол курса от времени полёта для траектории перелёта с РБО на ГСО (инженерный метод) (рис. 6).
А
30 ООО
Наклонение, градусы
Рис. 2. Сравнение опорной траектории с реальной
*
■
23 ООО V
15 000
5 ООО О 1 ю г 0 1 0 к •о 1а
Рис. 3. Изменение большой полуоси по времени
Время (сут)
Рис. 4. Изменение наклонения по времени
МО 160 180
Рис. 5. Угол тангажа от времени Рис. 6. Угол курса от времени полёта для траектории перелёта полёта для траектории перелёта с РБО на ГСО с РБО на ГСО
табл. 1.
Сравнение результатов расчета для различных методов приведено в
Таблица 1
Сравнение результатов расчетов
Затраты характеристической скорости (м/с) Время перелета (сут)
Решение задачи Эдельбаума 7615 (2,3%) 8056 (8,3%) 172 (7,8 %)
Инженерный метод 7725 (3,8%) 165,7 (3,6 %)
Принцип максимума Понтрягина (оптимальное решение) 7441 160,1
* Первое значение затрат характеристической скорости при решении задачи Эдельбаума получено по формуле (3), а второе значение получено по формуле Циолковского исходя из известных времени перелета и секундно-массовом расходе рабочего тела.
Заключение
Представленный инженерный метод расчета траекторий перелета с малой тягой с низкой околоземной орбиты на ГСО позволяет получать траекторию и законы управления, близкие к оптимальным.
Список литературы
1. Kechichian J.A. Reformulation of Edelbaum's Low-Trust Transfer Problem Using Optimal Control Theory // Journal of Guidance, Control and Dynamics, September-October 1997. Vol. 20. № 5. P. 988-994.
2. Kluever C.A. Low-Trust Orbit Transfer Guidance Using an Inverse Dynamics Approach // Journal of Guidance. 1995. Vol. 18. № 1. P. 187-189.
3. Conway B.A. Spacecraft trajectory optimization. Cambrige, 2010.
312 p.
4. Ulybyshev Y.P. Continuous Thrust Orbit Transfer Optimization Using Large-Scale Linear Programming // Journal of Guidance, Control, and Dynamics, March-April 2007. Vol. 30. № 2. P. 427-436.
5. Понтрягин Л.С. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1976. 372 с.
6. Улыбышев Ю.П. Концепция множеств псевдоимпульсов для оптимизации траекторий космических аппаратов // Полёт. 2008. № 2. С. 5260.
A.I. Streltsov
THE METHOD FOR COMPUTING LOW-THRUST TRANSFERS TO GEOSTATIONARY ORBIT
The article considers engineering method for computing noncoplanar low-thrust transfers from low-Earth orbit to geostationary orbit.
Key words: Geostationary orbit; spacecraft; low-thrust; engineering method.
Получено 17.10.12
