CC BY
66
Машиностроение U компьютерные технологии
Сетевое научное издание
http://www.technomagelpub.ru ISSN 2587-9278 УДК 621.91.01
Расчет отклонений формы, размера и расположения плоских поверхностей
Кравченко И.И.1'* Киселев B.JI.1 'knigigvandexju
1МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Россия
В статье рассмотрена математическая модель расчёта отклонений от плоскостности, размера и взаимного положения поверхностей, описываемых векторным полем. Плоскостность нормируется при необходимости ограничить отклонения формы всей поверхности или ее участка, если достаточно ограничить отклонения в сечении поверхности заданного или другого направления. Предлагается методика их определения не от прилегающей поверхности, а от средней плоскости, положение которой определено по методу наименьших квадратов. Рассматриваются обоснования такого подхода с позиций известной базы для отсчета векторов в заданных точках.
Ключевые слова: торцовое фрезерование; силы резания; упругие деформации технологической системы; отклонения от плоскостности, размера; взаимного расположения, векторное поле; математическая модель
1. Введение
Форма поверхности характеризуется взаимным расположением ее точек и описывается уравнением в выбранной системе координат. Различают геометрические и реальные поверхности, определения которых установлены ГОСТ 2789-73. Чертежом определяется геометрическая поверхность, удовлетворяющая заданному уравнению, положение которой относительно другой поверхности (базы) задается значением размера и предельными его отклонениями, представляющих величину допуска Тр . Векторное поле Ф, полученное в результате моделирования процесса обработки, описывает с соответствующим приближением реальную поверхность. Для количественной оценки отклонений формы, размера и расположения недостаточно наличия поля Ф, векторы которого определены от геометрической плоскости, заданной номинальным размером Вн, необходимо установить базу для их отсчета. Вопрос об установлении баз для отсчета имеет не только принципиальное значение, так как при различных базах могут быть получены разные величины отклонений. Поэтому ГОСТ 10356-63 определяет отклонение формы - отклонение от плоскостности от прилегающей поверхности, которая касается реальной поверхности, проходит вне мате-
Ссылка на статью:
// Машиностроение и компьютерные технологии. 2018. № 11. С. 1-10.
Б01: 10.24108/1118.0001437
Представлена в редакцию: 13.10.2018
© НП «НЭИКОН»
риала детали и направлена так, что расстояние от нее до наиболее удаленной точки реальной поверхности меньше, чем при любых других положениях касательных плоскостей на нормируемом участке (рис.1). Отклонение от плоскостности ограничивается допуском плоскостности.
Прилегающая плоскость Допуск плоскостности 7ТБ -0,01
Рис. 1. Отклонения от плоскостности по ГОСТ 10356 - 63 (ГОСТ 24643 - 81)
Если прилегающую плоскость можно материализовать при измерении отклонений, применяя метод, рекомендованный в части (3) ГОСТ 10356-63, то ее аналитическое определение при известных величинах векторов отклонений поверхности, необходимых для оценки погрешностей обработки требует сложных, громоздких, непроизводительных расчетов, трудно поддающихся алгоритмизации. ГОСТ 10356-63 был заменен на ГОСТ 24643 - 81 «Основные нормы взаимозаменяемости. Допуски формы и расположения поверхностей. Числовые значения», в котором остались понятия прилегающих поверхностей [1]. Несколько иной подход к оценке точности обработки плоских поверх-ностей представлен в работе проф. Колесова И.М. [2], согласно которого им введены следующие характеристики оценки точности: 1. точность формы - отклонение реальной поверхности детали от касательной плоскости, проходящей через три наиболее выступающие точки поверхности детали; 2. точность относительного поворота - углы в и 0 (рис.2), указывающие величину и направление поворота касательной плоскости в системе координат, которая построена на поверхностях, используемых в качестве технологических баз детали; 3. Точностью расстояния - отрезок оси Z выше указанной системы координат, отсекаемый касательной плоскостью. Такой подход оценки точности поверхностей позволяет однозначно оценить все три параметра качества обработанной плоскости, но отсутствие на сегодня измерительных средств и приборов не позволяет применить такую методику оценки погрешностей на практике. Сегодня допуски формы и расположения поверхностей определяют нивелирами ГОСТ 10582, плоскомерами, поверочными линейками ГОСТ 8026, компараторами и т.д., но в результате получают некоторое косвенное число, так как прилегающая плоскость не материальна т.е. не тактильна.
к
Рис. 2. Схема определения текущего значения вектора упругих перемещений технологической системы в
продольном сечении детали
Развитие вычислительной техники, автоматизированных измерительных средств и приборов позволяет в настоящее время широко использовать для отсчета отклонения от средней поверхности или профиля, имеющие определенные преимущества по отношению к прилегающим поверхностям. Одним из условий сдерживающих стандартизацию средних поверхностей и профилей являлось отсутствие соответствующих программно - аппаратных измерительных приборов, автоматизирующих отсчет отклонений. Существующие же сегодня измерительные приборы позволяют значительно сократить время измерения поверхностей для образцов и небольших по габаритам тел вращения, а оптическая измерительная линейка ИС-49, в частности, позволяет получать отклонения формы непосредственно от средней плоскости. В международной практике принято две системы отсчета отклонений: от средней линии система М и от огибающей линии система Е, которая корреспондируется с отсчетом отклонений формы от прилегающих. Стандарт СТ СЭВ 30176, который заменен на ГОСТ 24642-81, допускают также количественную оценку отклонений формы относительно среднего элемента [3]. Согласно стандарту средний элемент -поверхность (профиль), имеющая форму номинальной поверхности и расположенная по отношению к реальной поверхности так, чтобы сумма квадратов отклонений точек реальной поверхности от средней была бы на нормируемом участке минимальной. Тогда, при расчете отклонений формы от средней плоскости, отклонение формы равно сумме абсолютных значений наибольших отклонений точек реальной поверхности по обе стороны от средней плоскости [8,9].
2. Математическая модель расчета отклонений формы, размера и расположения плоских поверхностей
Математическая модель предусматривает обработку заготовок партиями на фрезерных станках торцовым фрезерованием.
Векторное поле Ф отклонений точек реальной поверхности от номинального положения [4,5] позволяет оценить отклонения формы и расположения плоскости, используя в качестве базы для отсчета отклонений среднюю плоскость. Уравнение этой плоскости в системе координат
А В Б 1 = ~СХ ~~СУ г или2 = Ь0 + Ь±х + Ъ2у,
Нам необходимо найти параметры Ъ0, Ъ1 и Ъ2 при выполнении предыдущего условия. Для этих целей применяется метод наименьших квадратов [11].
Запишем модель, представляющую реальную поверхность, в виде:
I = F(x, у),
где:
7, — ... 2т)
У = (Уъ-УтУ
X — (^1. ■■■ хт)
Введем обозначения:
X =
1*1 У\
1*2 У2
ъ =
Ь0
Ъг
ь2J
1 хт ут
Вектор оценок, полученный методом наименьших квадратов, имеет вид
ъ = (х,ху1хг.
Тогда уравнение средней плоскости в матричной форме
2 = хъ.
Разность двух матриц представляет матрицу текущих значений от-
клонений точек реальной поверхности от средней плоскости. Сумма абсолютных значений наибольших отклонений по обе стороны от средней плоскости даст отклонение формы (рис.1)
| А 1тах | + | А 1тт | = А Ф (1)
Считая известными уравнение геометрической плоскости, заданной номинальным размером
А' В' Б
2 =--X--У--= ВН
С' С' С' н
и уравнение полученной средней плоскости
А В Б 2 = —¿X--У--,
С с
можно определить угол между их нормалями [53]
С
AN + BB' + CC
cosy
Учитывая, что
л/Л2 + В2 + С2^{А')2 + (В')2 + (С'У
._. D ^ А _ В
cosy
~ 2 —2 1 + ъг +ъ2
Отклонение расположения
Л в. Р . = * ^ К = / Л I 6 12 + Ь22. (2)
где 1 - длина нормируемого участка. Сумма квадратов отклонений
50 = (ХТХ)~1ХТ1.
Тогда, среднее квадратическое отклонение точек реальной поверхности от средней плоскости
о =
ш — 3'
где m - число точек поверхности, в которых определены отклонения Л Zt.
Если m> 100, то погрешность расчета равна
Л p = ±J= = ± 0 , О 1 а . (3)
Согласно стандартному определению поля допуска размера по действующему ГОСТ 7713-62, размер можно контролировать в любой точке рассматриваемой поверхности, если последняя не имеет отклонений формы и расположения. В противном случае, размер В должен контролироваться во всех точках рассматриваемой плоскости. Отклонение размера в каждой точке реальной поверхности будет определяться модулем вектора Л Zt . разность между двумя средними плоскостями (рис. 3)
Ар = Z max(min) — Zmin.
Суммарная погрешность обработки в общем случае с учетом отклонений формы и расположения может быть представлена следующей зависимостью:
Лх = [ (Z max ( mi n) - Zm i n ) + Lt,)W + 0, 5 (ЛФтах + Л Фт^п) ] . (4)
Если полагать, что распределение нормальное, (векторы отклонений нормально распределены и , то можно провести проверку существенности,
тесно связанной с построением средней плоскости. После получения оценок Ъ можно установить взаимосвязь между наблюдаемыми и предсказуемыми их значениями по коэффициенту корреляции р. Коэффициент корреляции характеризует меру линейной зависимости между величинами Z и Z. Это означает следующее, если Ъ0 + Ъ1 х + Ъ2у есть линейная функция наилучшего среднеквадратического приближения к величине Z, то мате-
матическое ожидание М [г — (Ъ 0 + Ъ ^ х + Ъ 2 у ) ] 2 достигает наименьшего значения. Ошибка этого приближения будет равна
Л2 = 2 -{Ъ0+Ъ1х + Ь^у).
Тогда математическое ожидание случайной величины равно нулю, а отношение ее дисперсии к дисперсии величины Z определяется только величиной коэффициента корреляции по формуле:
о2Л
о2!
= 1 -р'.
Рис. 3. Схема для определения отклонений формы размера и расположения плоскости
Коэффициент корреляции может быть записан в одной из следующих форм:
где
1 > - дисперсия величин Z и А х .
Абсолютное значение коэффициента корреляции находится в интервале
О < \р\ < 1.
Чем ближе | р| к 1, тем теснее линейная зависимость между величинами Z и 2, т.е. тем меньше (относительно) средняя квадратическая ошибка представления каждой из величин с помощью линейной функции другой величины.
Для отвержения гипотезы о некоррелированности рассматриваемых Z и 2 необходимо проверить значимость коэффициента корреляции.
Значимость коэффициента корреляции проверяется путем сравнения абсолютной его величины, умноженной на V т — 1 ,
Н = |р|л/т — 1,
с его критическими значениями при заданной надежности вывода Р . Значения H для различных значений надежности вывода приведены в [12].
Если для вычисленного р произведение | р | л/ш — 1 окажется больше критического значения Н при заданном Р, то с надежностью вывода Р следует отвергнуть гипотезу о некоррелированности рассматриваемых Ъ и 2.
Необходимо отметить, что наличие векторного поля Ф отклонений точек поверхности от номинального положения позволяет использовать различные методики оценки отклонений от плоскостности, но наиболее целесообразно, с точки зрения аналитических и метрологических соображений, применение в качестве базы отсчета отклонений, средней плоскости. Методика, реализующая разработанные положения, представлена в виде блок-схемы на рис.4
Рис. 4. Блок-схема расчета погрешностей обработки плоскости
Следовательно, уравнения (1, 2, 3, 4) описывают суммарную погрешность обработки, а также отклонения формы, расположения и размера обрабатываемых плоскостей, используя в качестве базы для их отсчета среднюю плоскость.
3. Заключение
1. Погрешности от упругих перемещений технологической системы, определяющие точность обработки плоскостей, являются функцией одного линейного перемещения шпиндельного узла относительно оси Z, двух угловых его перемещений по осям X и Y, а также поворотного стола относительно оси Y.
2. Для нахождения вектора отклонений от номинального положения каждой точки рассматриваемой поверхности следует использовать разработанную математическую модель торцового фрезерования, учитывающую анизотропные упругие свойства технологической системы.
3. Оценку погрешностей обработки плоскости целесообразно производить с помощью векторного поля Ф, описывающего отклонения точек реальной поверхности от номинального положения. В качестве базы определения векторов отклонений рекомендуется использовать среднюю плоскость.
Список литературы
1. ГОСТ 24643-81. Основные нормы взаимозаменяемости. Допуски формы и расположения поверхностей. Числовые значения. Введ. 1981-07-01. М.: Изд-во стандартов, 1991. 14 с.
2. Колесов И.М. Исследование связей между формой, поворотом и расстоянием плоских поверхностей деталей машин: дис. ...докт. техн. наук. М., 1967.
3. ГОСТ 24642-81. Основные нормы взаимозаменяемости. Допуски формы и расположения поверхностей. Основные термины и определения. Введ. 1981-06-30. М.: Изд-во стандартов, 1996. 68 с.
4. Кравченко И.И. Математическое моделирование торцового фрезерования плоских поверхностей корпусных деталей // Главный механик. 2016. № 2. С. 40-44.
5. Кравченко И.И., Киселев В.Л. Влияние силового нагружения технологической системы на точность обработки плоских поверхностей при торцовом фрезеровании // Машиностроение и компьютерные технологии. 2018. № 10. С. 16-29.
DOI: 10.24108/1018.0001435
6. Справочник технолога-машиностроителя: В 2-х тт. / В.Н. Андреев, А.Н. Афонин, В.Ф. Безъязычный и др.; под ред. А.С. Васильева, А.А. Кутина. 6-е изд. Т. 2. М.: Инновационное машиностроение, 2018. 817 с.
7. Технология машиностроения: учеб.: в 2 т. / Под ред. А.М. Дальского, А.И. Кондакова. 3-е изд. М: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011.
8. Хегт Д. Обработка данных измерения непрямолинейности и неплоскостности с помощью ЭВМ: дис. ...канд. техн. наук. М., 1974. 234 с.
9. Палей М.А. Отклонения формы и расположения поверхностей. 2-е изд. М.: Изд-во стандартов, 1973. 244 с.
10. Адлер Ю.П., Маркова Е.В., Грановский Ю.В. Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий. 2-е изд. М.: Наука, 1976. 279 с.
11. Бронштейн И.Н. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. 13-е изд. М.: Наука, 1986. 544 с.
12. Румшиский Л.З. Математическая обработка результатов эксперимента. М.: Наука, 1971. 192 с.
Mechanical Engineering & Computer Science
Electronic journal
http://www.technomagelpub.ru ISSN 2587-9278
Mechanical Engineering and Computer Science, 2018, no. 11, pp. 1-10.
DOI: 10.24108/1118.0001437
Received: 13.10.2018
© NP "NEICON"
Calculation of deviations of shape, size and location of flat surfaces
I.I. Kravchenko1'*, Kiselev V.L.1 ''kniggiyandexju
:Bauman Moscow State Technical University, Moscow, Russia
Keywords: face milling, cutting forces, elastic deformation of the technological system, deviations from flatness, size, relative position, vector field, mathematical model
The development of computerization allows the development of mathematical models of physical processes with different methods of blade machining of machine parts. Modern programmable CNC machines have the ability to produce parts in an automated cycle, ensuring the requirements of the drawing. Control of the quality of processing of the main flat surfaces, which are technological and Assembly bases, should be considered in more detail. Their accuracy in accordance with the standards is determined by the shape deviations from the adjacent planes, size and relative position. The standards have instructions on how to create a virtual adjacent plane using adjustable supports and further scan the ordinates of its individual points to calculate the deviation of the form. To quantify the deviations of shape, size and location is not enough to have a field f, the vectors of which are defined from the geometric plane, given the nominal size, it is necessary to establish a base for their reference. The question of establishing bases for reference is not only of fundamental importance, since different bases can be obtained different values of deviations. The paper proposes a mathematical model for determining the named parameters of accuracy from the middle planes, which are determined by the calculated vectors at specific points of the treated surface when processing batches of blanks on milling machines face milling.
References
1. GOST 24643 - 81. Osnovnye normy vzaimozameniaemosti. Dopuski formy i raspolozheniia poverkhnostej. Chislovye znacheniia [GOST 24643-81. Basic norms of interchangeability. Tolerances of form and position of surfaces. Numerical values. 1981-07-01]. Moscow: Standard Publ., 1991. 14 p. (in Russian).
2. Kolesov I.M. Issledovanie sviazej mezhdu formoj, povorotom i rasstoianiem ploskikh poverkhnostej detalej mashin [Study of the relationship between the shape, rotation and distance of flat surfaces of machine parts. Doct. diss.]. Moscow, 1967 (in Russian).
3. GOST 24642-81. Osnovnye normy vzaimozameniaemosti. Dopuski formy i raspolozheniia poverkhnostej. Osnovnye terminy i opredeleniia [Basic norms of interchangeability. Tolerances of form and position. Basic terms and definitions. 1981-06-30]. Moscow: Standard Publ., 1996. 68 p. (in Russian).
4. Kravchenko I.I. Mathematics simulating end box-type workpiece's flat faces. Glavnyj mekhanik [Chief Mechanical Engineer], 2016, no. 2, pp. 40-44 (in Russian).
5. Kravchenko I.I., Kiselev V.L. Technological system strength load influence on the flat surface machining accuracy in face milling. Mashinostroenie i komp'yuternye tekhnologii [Mechanical Engineering and Computer Science], 2018, no. 10, pp. 16-29. DOI: 10.24108/1018.0001435 (in Russian)
6. Spravochnik tekhnologa-mashinostroiteliia [Handbook of mechanical engineer: In 2 vol.; V.N. Andreev, A.N. Afonin, V.F. Bez'iazychnyj a.o.; ed. by A.S. Vasil'ev, A.A. Kutin]. 6th ed. Vol. 2. Moscow: Innovatsionnoe Mashinostroenie Publ., 2018. 817 p. (in Russian).
7. Tekhnologiia mashibostroeniia [Engineering technology: a textbook: in 2 volumes] / Ed. by A.M. Dalskij, A.I. Kondakov. 3rd ed. Moscow: Bauman MSTU Publ., 2011 (in Russian).
8. Hegt D. Obrabotka dannykh izmereniia nepriamolinejnosti i neploskostnosti s pomoshch'yu EVM [Data processing measuring misalignment and flatness by computer. Cand. diss.]. Moscow, 1974. 234 p. (in Russian).
9. Palej M.A. Otkloneniia formy i raspolozheniia poverkhnostej [Deviations of the form and arrangement of surfaces]. 2nd ed. Moscow: Standard Publ., 1973. 244 p. (in Russian).
10. Adler Yu.P., Markova E.V., Granovskij Yu.V. Planirovanie eksperimenta pri poiske opti-mal'nykh uslovij [Planning an experiment to find optimal conditions]. 2nd ed. Moscow: Nauka Publ., 1976. 279 p. (in Russian).
11. Bronshtein I.N. Spravochnikpo matematike dlia inzhenerov i uchashchikhsia vtuzov [Handbook of mathematics for engineers and university students]. 13th ed. Moscow: Nauka Publ., 1986. 544 p. (in Russian).
12. Rumshiskij L.Z. Matematicheskaia obrabotka rezul'tatov eksperimenta [Mathematical processing of experimental results]. Moscow: Nauka Publ., 1971. 192 p. (in Russian).
