Расчет оболочек в трехмерной постановке с учетов геометрической нелинейности на основе МКЭ Текст научной статьи по специальности «Физика»

РАСЧЕТ ОБОЛОЧЕК В ТРЕХМЕРНОЙ ПОСТАНОВКЕ С УЧЕТОМ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ НЕЛИНЕЙНОСТИ НА ОСНОВЕ МКЭ

А.П. КИСЕЛЁВ, канд. техн. наук, доц. А.П. НИКОЛАЕВ, доктор техн. наук, проф. Волгоградская государственная с.х. академия (г. Волгоград)

В расчетах оболочек, упругие перемещения которых соизмеримы с другими ее геометрическими параметрами, для достижения приемлемого результата, необходим учет нелинейных членов в соотношениях между перемещениями и деформациями. Оболочка представляется как трехмерное тело [1]. При использовании в расчетах соотношений нелинейной теории упругости наиболее естественным подходом является использование метода шагового нагружения.

При выводе основных соотношений рассматриваются три состояния системы. Первое - начальное или исходное, второе - деформированное состояние после / - шагов нагружения и третье состояние системы, близкое ко второму, деформированное после (/'+1)-го шага нагружения.

Перемещение произвольной точки упругого тела из первого состояния во второе характеризуется суммарным вектором перемещения за у шагов нагружения V , а из второго состояния в третье - шаговым вектором

перемещения А V .

Положение произвольной точки сплошной трехмерной среды в исходном недеформированном состоянии в декартовой системе координат определяется радиус-вектором

а° =хк(вт%, со

где хк ,гк - координаты и орты декартовой системы координат; 0" - координаты криволинейной системы координат; (к, т = 1,2,3).

Положение произвольной точки после у шагов нагружения определяется радиус-вектором Я

И = Е° + Г. (2)

Дифференцированием (1) и (2) определяются ковариантные векторы локальных базисов в исходном и деформированном состояниях

¿т=Ят; Ст = 1,2,3).

Вектор перемещения произвольной точки сплошной среды за у - шагов нагружения определяется в исходном базисе контравариантными компонентами ит выражением

У = ита°т, (3)

Ковариантные компоненты тензора деформаций определяются на основе соотношения механики сплошной среды

где а® = а,0 • а°, ау =а1-а] — ковариантные компоненты метрического тензора в исходном и деформированном состояниях, соответственно. Соотношение (4) с учетом (3) можно привести к виду

(5)

где Ут = 2ктаак — производные векторов перемещений по криволинейным координатам; 2кт — функции компонент вектора перемещения и их производные.

В случае трехмерного напряженно-деформированного состояния векторы деформаций и напряжений содержат по шесть компонент, соответственно

Ы = к 1. *22> £ъг ,2е2г ,2е3] ,}г и {<т} = {сги, <х22, аъъ ,.ап, ■сг23,}г. Соотношения между контравариантными компонентами тензора напряжений и ковариантными компонентами тензора деформаций [2] можно представить в матричном виде

М=Ш (6)

где [с] - матрица упругости размером 6x6.

Закон сохранения энергии статически нагружаемого тела в приращениях на {¡+1)-м шаге записывается в виде

([{етГ +к{Ао}Т\е}<1У= |{Ду}г[И +*{Д/>}]Л, (7)

V з

где {<т}г,{Дсг}г- векторы контравариантных компонент тензора напряжений за} - шагов нагружения и их приращений;

{Дг} - вектор приращений ковариантных компонент тензора деформаций; {Ду}г = {Ди, Ду, ДЦ - вектор приращений перемещений;

{р\ {ДР} векторы сил за у - шагов нагружения и их приращений.

Значение коэффициента к принимается равным 1/2. Вектор приращений перемещений {Ду} внутренней точки конечного элемента, который определяется через вектор приращений узловых пере-

мещений, а также соотношения между вектором приращений напряжений и вектором приращений деформаций на шаге нагружения могут быть представлены в матричном виде

{ДуН4\Куг}; М = №?}, (8)

где [А] - квазидиагональная матрица, элементами которой являются векторы-строки аппроксимирующих функций;

|дКу ] - вектор приращений узловых неизвестных конечного элемента.

Вектор приращений деформаций (8) можно представить в виде суммы матриц, выделяя линейную ) и нелинейную {д^" | части матрицы

{А^} - }+ ¡Л^"}, (9)

где элементы матрицы } зависят от компонент вектора перемещений {Ду} и не зависят от компонент вектора перемещений {V} за предыдущие шаги нагружения, элементы матрицы зависят от всех указанных

компонент.

Используя (8) матрицу |\гл ] можно представить в виде

(Ю)

С учетом (9,10) левую часть равенства (7) можно привести к виду

/¡V К )Г м+К )Г К Е) *=

(П)

- ¡(Ь"}+ )Г \вТ [с][4< })*

Пренебрегая в (И) произведениями пользуя (8) можно получить

{< }Г к ¡[ВТ [С\в\ ¿V {<}+ Г № =

\ , (12) - {< Г И - Г ^

1 V

Вторые интегралы левой и правой частей можно представить выражениями

V V

С использованием (13) выражение (12) можно преобразовать к виду

P№JKrl=H (14)

где

[ффГМФг,

Литература

1. Николаев А.П., Киселёв А.П. К расчету оболочек на основе метода конечных элементов// Вестник Российского университета дружбы народов, сер. Инж. исследования. - 2002.

2. Седов Л.И. Механика сплошной среды. - М.: Наука, 1976. - т. 1-2.

ANALYSIS OF SHELLS IN THREE-DIMENSIONAL POSING WITH THE ACCOUNT OF GEOMETRICAL NONLINEARITY

ON A BASE FEM

A.P. Kiselyov, A.P. Nicolaev

The base proportions of the theory of elasticity with the account geometrically of nonlinear terms in proportions between displacements both warps and shaping of a stiffness matrix of volumetric finite elements for analysis of shells.