CC BY
40
УДК 539.3
А. И. Голованов, М. К. Сагдатуллин
НЕЛИНЕЙНАЯ ЗАДАЧА О ГИПЕРУПРУГОМ ДЕФОРМИРОВАНИИ ПОЛИЛИНЕЙНОГО КОНЕЧНОГО ЭЛЕМЕНТА ОБОЛОЧКИ СРЕДНЕЙ ТОЛЩИНЫ
Аннотация. Предлагается алгоритм решения задачи о больших деформациях гиперупругих оболочек средней толщины с использованием метода конечных элементов. Базовым является тензор деформаций Альманси. Используется физическая модель материала Сетха. Решена тестовая задача.
Ключевые слова: оболочечный конечный элемент, гиперупругие деформации, метрический тензор, тензор Альманси, метод двойной аппроксимации.
Abstract. The algorithm of the solving of a problem about the large deformations of hyperelastic shells of average thickness with use of a finite elements method is offered. Base is tensor deformations Almansi. The physical model of material of Seth is used. The test problem is solved.
Keywords: shell finite element, hyperelastic strains, metric tensor, tensor of Al-mansi, method of double approximation.
Введение
В последнее время все чаще исследуют нелинейные задачи теории упругости, в частности задачи теории пластин и оболочек. Работы прошлых десятилетий по данному направлению были резюмированы в [1-3]. Было предложено большое количество методик, в частности теория, численные модификации и обобщения вырожденного оболочечного элемента представлены в [1-4], применение метода сокращенного интегрирования отмечено в работах [1-3, 5] и т.д.
В первой части данной статьи представлены определяющие кинематические соотношения в нелинейной постановке нового восьми-узлового полилинейного изопараметрического конечного элемента (КЭ), где в качестве степеней свободы в рассматриваемом КЭ фигурируют узловые степени свободы на лицевых поверхностях. Определяются ковариантные и контравари-антные компоненты метрического тензора, тензоров деформаций (Коши -Грина и Альманси) и истинных напряжений Коши в исходном и текущем состоянии. Используется метод двойной аппроксимации по точкам суперсходимости для устранения «ложных деформаций» поперечного сдвига. Идейно близкие методики были предложены в [1-14].
Вторая часть посвящена использованию вариационного уравнения в скоростях напряжений в актуальной конфигурации. Вывод данного вариационного уравнения описан в [15] и в многочисленных журнальных публикациях. Был рассмотрен материал Сетха, где в качестве тензора конечных деформаций используется тензор деформаций Альманси. Описание этого материала представлено в [16, 17]. Проведена линеаризация данного вариационного уравнения, дискретизация полученных соотношений (матрицы жесткости, матрицы геометрической жесткости). Полученные выражения записываются в виде системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).
В третьей части рассматривается тестовая задача изгиба балки в кольцо. Данная задача сначала решается аналитически, исходя из кинематических и
физических соотношений. Далее на данной тестовой задаче апробируется методика, предложенная в предыдущих главах. Приведенный числовой пример демонстрирует возможность настоящей методики в решении нелинейных задач теории оболочек.
1. Определяющие соотношения
Определим исходную конфигурацию
где
х1 (е, е, е ) = 2 ВД (е, е, ), (1)
г=1
(^ ) = 8(1 + ^ )(1 + ^2^ )(1 + ^г3^3) - функция (^р^
-1 <^,^2,< 1
По аналогии с [7] получаем
— эх1
к>-ЦЦё=^ (2)
Я = — ё —и є>т" ¿т X Я„ = , (3)
дХ1 1 2^0 т "
где єкт" - символы Леви - Чевита;
40 = ¿1 • [ ¿2 X ¿3 ]; (4)
метрический тензор:
(О) = ву (¿'я' ) = О1 (Щ) (5)
Текущую конфигурацию на к-м шаге нагружения определим в аналогичном виде:
кГ = кх
где
кх
Г = 1
Соответственно вычисляем
к, дV
(51,52,53) = 2 кх^г (і;1,%2,%г). (7)
Г' =~:гтё1, (8)
кГ> ё, —к- єт кГт X кГ" = кГ>%; (9)
дх- 2Ікі
метрический тензор:
(кё )= Ч- (кГ1кГ' ) = к¿' (кГкГ1),
где
= кГ • кгі
дкхт дкхт
(10)
(11)
Если ввести в рассмотрение ковариантные компоненты, то тензор деформации Альманси записывается следующим образом:
Ґ д кхт д кхт дхт дхт Л
д^1 д^ д^1 д^
(12)
Так как компоненты тензоров деформаций Коши - Грина и Альманси в криволинейных базисах совпадают между собой, получаем тензор деформаций Коши - Грина
(кЕ ) = кЧ у (кя1кя'
и тензор деформаций Альманси
(кА) = к2у (кГ1кГ'
Введем в рассмотрение вектор приращения перемещений: дки = к+1г - кг = Д& (^,£2,)ви
где используются аппроксимации типа (1) , (7), т.е.
д ки (^, ^2, ^3 ) = ^ Д киЖ (^, ^2, ^3).
| = (к Аи^Г1
Аналог тензора пространственного градиента скорости
(а Ч ) = ('
будет представлен в виде
'дА* и к -
(а Ч)
д^1 ,
д кхт дА кит
^АКттт^Кт,
= 2 дА и д х (кГ'кГ1) =
д^1 д^
т д^1 0^ V ' 4
Симметричная часть этого тензора имеет вид
(а Ч )=12
дАкит дкхт дкхт дАкит д£ д^' д^1' д^'
(13)
(14)
(15)
(16)
(17)
(18)
(кГ1кГу) = АкЧ1}("). (19)
"
т
Аналогично можем записать вариации. Имеем
(8 Ч )= -1
д8ит дкхт дкхт дЪит д£г' д£/ д^г' д£ц
(кгікгц ) = 8к 2Ц (к г *к г Г). (2 0)
Здесь имеют место соотношения
Д к2 ц = -у 2
А к ац +Дк а ц
(2-)
8к2Ц = -
8к ац + 8к а Ц
Тензор истинных напряжений Коши определяется в виде
/к^\ к^ Ік —і к— А кііік— к— \
( ст)= ац( г ^)= а^( г гц),
где введены ковариантные и контравариантные компоненты тензора напряжений.
2. Алгоритм расчета
Запишем известное вариационное уравнение в скоростях напряжений [6] без учета массовых сил. Это уравнение будет иметь вид
дк „л
д к
V,
/Кка)+^ (ка)"(8к"
(ка)- (ъкИ)•(кИ) + (кИ)Т-(ъкИ)Т
=
/ к—П •8UdSk -
' '
Ж к °)-(5‘^)’ dVk - / T*8UdS
¥к sа
Теперь сделаем переход от (к (7) и к1п к приращениям
(22)
(Д к а) и Д кп*.
Получим следующее соотношение: /((А к *)••(
• •[8к <і^ ) +
V,
д к А и дкхі
(ка) "(
••(8kdR
(к1(8%)^(а%) + (а%)Т \8кНК)
- (к
=
/ Ак—П •8UdSk - <
' '
/[( а)"(5Ч)' dVk - / ТП -8 UdS
¥к Sk
(23)
т
В качестве физической модели используем материал Сетха, для которого справедлив закон Гука для тензора деформаций Альманси [16, 17]:
(а)_ 2^(А) + А(£ )1Ы.
(24)
(25)
Распишем для приращений напряжений к-го состояния:
(дка) = 2ц(дкл)+л(ке)[(ке)-(дкЛ) ,
Т
где (дкл) = (дкёК) — (дкИК) •( кл)-( кл)-(дкй^), либо в дискретном случае, используя (18), (19), можно написать в виде
(дкл) = % (к?>кР)—дк аыклк1 — Ч- дк ъц
Распишем первое слагаемое (25):
(дка1) = 2ц (дкл) = 2ц ^(д кйК) — (д% ) • (кл) — (кл) • (дкИК
Используя (14), (18) и (19), запишем (28) в виде
д к а1- = 2ц(д%. — дк ашкЛк] — кЛл дк а-).
Учитывая, что
(к£) • • (дкл) = ^ к/ (д^- — дкаы кЛ- — кЛкдка-
распишем второе слагаемое (25):
к ао2.=л5ц.;
где
А к2 ц _ Е АkUmkE¡¡n;
(26)
(27)
(28)
(29)
Е кёП (Ак2п - Ак ак1кАкп - кЛ1кАк аы), (30)
I ,п
(3-)
к е рп _ — к хП
дЫг дЩ дЩ дЫг д^г' д^' д^г' д^'
(32)
С технологией введения метода двойных аппроксимаций для использованного в настоящей работе КЭ можно ознакомиться в работе [7].
Если ввести обозначения
к лгт _ дЩг ^ кхт Щ _ дЩг гі
■Аї і ■ / л Хі ■ ■ Гп
д^г д^
то (32) можно записать в виде
к^гт _ — У _ 2
к лгт . к лгт
АіЦ + Аіі
(33)
(34) 43
т
Запишем второе слагаемое вариационного уравнения (23). Оно представлено в виде
\Т ,_и \Т'
2(k°)" (S%)-(ЛkhR) + (дЧ)' \bkhR)'
(35)
где
(k о) = k о«/( kf‘kP), k о« = A kg,klu + 2v.kAtj, klu = kgi/kA/ (36)
Распишем квадратную скобку в (35):
(S^R )-(ДkhR ) + (ДkhR ) -(SkhR )
Sk Дk an/ kgmn + Дk am S a k ~nm
vm«^ ^v/n
9Sk^5 Эkxs ЭДkUp Эkxp k mn ЭДkUp Эkxp dSkUs Эkxs
k nm
Э£« э^ э^п э^'
Э^ Э£ Э^' Э^и
Skus kxst ^дkup kxp N^ k^
r t э^« э^ q z Э1п э^
kUpkxp Э^ Э-^ Skus kxs N ^^±k gnm
+ДІіи PkxP
q z Э^ Э^«
r At
Э^ э^п
krTP^krTs / ^„s Э^г^^[^k xp Э~^? Э^z k gmn
:Z[ д kuq Skus (;
s, P
Э1« Э^ э^п э^
kxp Э^ Э^ kxs Э^г Э^ k.
Y
+ x
=z
s, p
Д^ Skusr
Э^ Э^« Э^ э^п
k rs ЭNr krp ^^±kgmn ^ k «p k rs Э^г k.
rm Э? r э^п
Э^ Э^
Z|"ДkUpSkUsr (^ kAqp kgmn + kA«qp kAnj kgnm
(37)
s, p
В результате матрица геометрической жесткости второго слагаемого запишется в виде
D qrs = --k о« ps 2
Ч" kAqp kgmn + Ч® A ‘g"m ш (38)
/n «m n/
Запишем третье слагаемое вариационного уравнения (23):
, ЭДkUl
Z*k„, k„ skv kmnki/
Д all °imS Zn/ g ^ =
l
Zxk„. k„ 1/sk^, . sk^, \kmnki/_
Д all °im 2(S anj +S ajn ) g g =
l2
-I (
, ЭДkUp Эkxp
k о mkErj SkUskgmnkgij =
Z э^1 э^1 ^«m "r
= Z Д kup N kxp ^Nr k о im kEj SU kgmn kgij =
= Z ДkUp krp N k Oim kE^S'U kgmn kg« = l <4
= ZДkUpSkU’r kAf kOim kEj kgmn kgij.
l
(39)
Тогда матрица геометрической жесткости третьего слагаемого запишется в виде
D% = k °m,kAqpkE/kgm"kg'jJg.
(40)
В результате описанной конечно-элементной дискретизации получим систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ):
K
{Д ^} = {д 1p}-{1H },
(41)
lK
матрица
где |а^м| - вектор приращения узловых перемещений;
левых частей, |д^р| - вектор приращения узловых сил; |^И| - вектор невязки.
Решая систему линейных алгебраических уравнений (41) и определяя приращения перемещений, находим (I + 1) конфигурацию
и напряжения
l+1У = ly« + Д luu
k+1 —. k . \k
о = о + Д о.
(42)
(43)
3. Тестовая задача
Рассматривается тестовая задача изгиба балки в кольцо (рис. 1). Рассмотрим радиус-вектор начальной конфигурации:
Я _аё>1 + у?2 + Р^з,
(44)
где 0 <a<L, 0 <у<Ь, <Р< —.
Для деформированной конфигурации (рис. 2) справедливо r = a[Sin ф? + (1 - Cosф) ] + ye2 + Р[—Sinф? + Cosф?з ].
(45)
в
а
Ъ
■ а
Рис. 1
Рис. 2
После очевидных преобразований получим ковариантные и контрава-риантные компоненты метрического тензора:
£п _ (1 - | ; ^22 _ &зз _1; ёц _ 0і *ц;
Л-2
_ 1; ёу _ 0, і * ц.
Тогда тензор Альманси будет иметь вид
ё1 _|1 -ГрI ;.
л,
1-2ГР+(!Р 1 -1
1 - гР1 -1
_-рІ -1 + —р Г I 2 Г
Остальные Ац _ 0.
У
Для рассматриваемого материала Сетха справедливы соотношения (36): а11 _^?11 Л11 + 2МАу ;
11А _ Аіц;
тогда
т11 _^ё11А11+ 2^А11 _Аиёц+^п ]_"гр( р
Г 2
-1
2ц + Х| 1 - гР
Вычислим а^ и ат1ах в узлах на свободном краю балки:
ШІП _ лН ( лН 1 І11 _-------------1-----------1
11 2 ГI 4 Г
лН
2Г
отах ^h f ^h + і
оіі =----------1 ----+ 1
11 2 L[ 4 L
2ц + Х| 1 + 2L
Для геометрии оболочки учтем 4L << 1, тогда
от=-§ (+2^); оітах = § (+2^);
о22 =^g22 A11 + 2^A22 =^A11 =^“L“ [-1 + ;
о33 =^g33A11 + 2MA33 =^A11 (суіетом о33 = 0).
Задача рассчитана с использованием предложенной выше методики. Длина балки L = 200 см, высота h = 1 см , ширина b = 5 см, модуль упругости
E = 20000
кг
коэффициент Пуассона v = 0. На рис. 3,а приведена балка
см
при 100 шагах нагружения, на рис. 3,б - при 300 шагах нагружения, на рис. 3,в -при 500 шагах нагружения, на рис. 3,г - при 1000 шагах нагружения. На рис. 4 изображено деформированное состояние балки и несколько промежуточных этапов нагружения.
в)
Рис. 3
Рис. 4
Заключение
Предложенная в настоящей работе методика построения трехмерного восьми-узлового изопараметрического КЭ нелинейной теории упругости, использование материала Сетха позволяет получить специальный КЭ, при помощи которого вполне реально рассчитывать оболочки средней толщины с использованием однослойной аппроксимации по толщине. Приведенный числовой пример демонстрирует работоспособность предложенной методики.
Список литературы
1. Голованов, А. И. Современные конечно-элементные модели и методы исследования тонкостенных конструкций / А. И. Голованов, А. В. Песошин, О. Н. Тюленева. - Казань : КГУ, 2005. - 442 с.
2. Голованов, А. И. Метод конечных элементов в статике и динамике тонкостенных конструкций / А. И. Голованов, О. Н. Тюленева, А. Ф. Шигабутдинов. — М. : ФИЗМАТЛИТ, 2006. - 392 с.
3. Yang, H. T. Y. A survey of recent shell finite elements / H. T. Y. Yang, S. Saigal, A. Masud, R. K. Kapania // Int. J. for numerical methods in engineering. - 2000. -V. 47. - P. 101—127.
4. Ahmad, S. Analysis of thick and shell structures by curved finite element / S. Ahmad, B. M. Irons, O. C. Zienkiewicz // International Journal for Numerical Methods in Engineering. — 1990. - V. 2. — P. 419—459.
5. Hughes, T. J. R. Reduced and selective integration techniques in finite element analysis of plates / T. J. R. Hughes, M. Cohen, M. Haroun // Nuclear Engineering and Design. — 1978. - V. 46. — P. 203—222.
6. Голованов, А. И. Трехмерный конечный элемент для расчета тонкостенных конструкций / А. И. Голованов, М. К. Сагдатуллин // Ученые записки Казанского государственного университета. - 2009. - Т. 151. — Кн. 3. — С. 121—129. — (Физико-математические науки).
7. Сахаров, А. С. Метод конечных элементов в механике твердых тел / А. С. Сахаров, В. Н. Кислоокий, В. В. Киричевский [и др.]. - Киев : Вища школа, 1982. -480 с.
8. Бережной, Д. В. Искривленный конечный элемент пластин и оболочек средней толщины с учетом обжатия / Д. В. Бережной // Труды XVII междунар. конф. по теории оболочек и пластин. — Казань : Изд-во КГУ, 1996. — Т. 2. - С. 94-99.
9. Гуриелидзе, М. Г. Расчет толстостенных оболочек с учетом больших деформаций / М. Г. Гуриелидзе, А. И. Голованов // Труды XVII междунар. конф. по теории оболочек и пластин. - Казань : Изд-во КГУ, 1996. — Т. 2. - С. 118-123.
10. Голованов, А. И. Пошаговая постановка решения геометрически нелинейной задачи МКЭ / А. И. Голованов, М. Г. Гуриелидзе // Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред. - М., 1998. - С. 82-87.
11. Баженов, В. А. Моментная схема метода конечных элементов в задачах нелинейной механики сплошной среды / В. А. Баженов, А. С. Сахаров, В. К. Цыханов-ский // Прикладная механика. — 2002. — Т. 38. — № 6. - С. 24-63.
12. Kara, N. Three-dimensional finite element for thick shells of general shape / N. Kara, N. Kumbasar // Int. J. for Physical and Engineering Science. - 2001. —V. 52. - P. 1—7.
13. Alves de Sousa R. J. A new one-point quadrature enhanced assumed strain (EAS) solid - shell element with multiple integration points along thickness: Part I - geometrically linear applications / Ricardo J. Alves de Sousa, Rui P. R. Cardoso, Robertt A. Fontes Valente [et al.] // Int. J. for numerical methods in engineering. - 2005. -V. 62. - P. 952-977.
14. Sze, K. Y. Three - dimensional continuum finite element models for plate/shell analysis / K. Y. Sze // Prog. Struct. Engng Mater. — 2002. - V. 4. - P. 400—407.
15. Голованов, А. И. Математические модели вычислительной нелинейной механики деформируемых сред / А. И. Голованов, Л. У. Султанов. — Казань : Изд-во Казан. гос. ун-та, 2009. - 465 с.
16. Лурье, А. И. Нелинейная теория упругости / А. И. Лурье. - М. : Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1980. - 512 с.
17. Новожилов, В. В. Основы нелинейной теории упругости / В. В. Новожилов. -М. : ОГИЗ. Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1948. - 212 с.
Голованов Александр Иванович
доктор физико-математических наук, профессор, Казанский федеральный университет
E-mail: [email protected]
Сагдатуллин Марат Камилевич аспирант, Казанский федеральный университет
E-mail: [email protected]
Golovanov Alexander Ivanovich Doctor of physical and mathematical sciences, professor,
Kazan Federal University
Sagdatullin Marat Kamilevich Postgraduate student,
Kazan Federal University
УДК 539.3 Голованов, А. И.
Нелинейная задача о гиперупругом деформировании полилинейного конечного элемента оболочки средней толщины / А. И. Голованов, М. К. Сагдатуллин // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2010. - № 4 (16). - С. 39-49.
