Расчет нижней границы предельной нагрузки для многослойных волокнистых композитов при двухосном нагружении Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 621.002

Расчет нижней границы предельной нагрузки для многослойных волокнистых композитов при двухосном нагружении

© Б.С. Сарбаев МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, 105005, Россия

Предложен способ расчета прочностных характеристик многослойных композиционных материалов (КМ) с различными схемами армирования при двухосном нагружении. Монослой из волокнистого КМ подчиняется критерию максимальных напряжений. Основное внимание уделено расчету нижней границы предельной нагрузки на основе статической теоремы метода предельного равновесия. Расчет предельной нагрузки рассмотрен как задача линейного программирования, предложен численный способ ее решения. Для ряда частных случаев методом неравенств получены аналитические решения, в том числе для КМ со сложной схемой армирования при использовании нитяной модели однонаправленного волокнистого КМ. Предложена модель, не учитывающая несущую способность монослоя при чистом сдвиге в плоскости армирования. Приведены примеры, в которых выполнен анализ прочностных характеристик КМ для многослойных стекло- и углепластиков с различными схемами армирования. Построены предельные кривые, удовлетворительно согласующиеся с известными экспериментальными данными.

Ключевые слова: многослойный композиционный материал, предельная нагрузка, линейное программирование, критерий максимальных напряжений.

При разработке элементов конструкций из многослойных волокнистых композиционных материалов (КМ) необходимо располагать данными о прочностных характеристиках материала. Получение исчерпывающей информации экспериментальным способом затруднено в связи с многообразием возможных схем армирования многослойных КМ и вариантов их нагружения. Поэтому на этапе предварительного проектирования полезно использовать расчетно-теоретические способы прогнозирования прочностных характеристик многослойных КМ.

В настоящее время на практике утвердился подход, в соответствии с которым расчет предельной (разрушающей) нагрузки для многослойных КМ предполагает анализ напряжений и деформаций в монослоях в течение всего процесса нагружения. В этом случае необходимы модель нелинейного деформирования однонаправленного волокнистого КМ и критерий разрушения. Типичным примером такого подхода является способ расчета прочностных характеристик многослойных КМ, изложенный в работах [1, 2]. В нем для монослоя используют

модель идеально-пластического ортотропного тела и критерий максимальных напряжений. Расчету пределов прочности многослойного КМ с заданной схемой армирования при различных видах нагружения предшествует численный анализ диаграмм деформирования.

На этапе предварительного проектирования некоторых видов конструкций из КМ (например, для ракетно-космической техники) такой подход представляется избыточным, так как в этом случае достаточно располагать данными о схеме армирования и численных значениях пределов прочности монослоя. В этой связи перспективен расчет прочностных характеристик многослойных КМ, основанный на методе предельного равновесия. Как известно [3], в этом случае конструкцию рассматривают в предельном состоянии и нет необходимости в нелинейном анализе процесса деформирования материала. Применительно к многослойным КМ такой подход был реализован в работе [4], в которой на основе метода конечных элементов разработан способ оценки предельной нагрузки конструкции снизу и сверху. Материал при этом рассматривают как жестко-пластический с условием пластичности, изображаемым в пространстве напряжений гладкими и негладкими предельными поверхностями, а задачу расчета предельной нагрузки — как задачу нелинейного программирования.

В работах [5, 6] метод предельного равновесия был применен для расчета прочностных характеристик многослойных КМ с симметричным перекрестным армированием, а также КМ, содержащих изотропный слой. В отличие от работы [4] акцент сделан на применении критерия максимальных напряжений для монослоя и критерия Треска — Сен-Венана для изотропного слоя. В такой постановке задача расчета предельной нагрузки для многослойного КМ с заданной схемой армирования сравнительно проста и может быть рассмотрена как задача линейного программирования. Кроме того, в ряде случаев такой подход позволяет получить обозримые аналитические результаты, которые хорошо согласуются с экспериментальными данными и удобны в практических расчетах. Отметим, что в этих же публикациях можно найти краткий обзор литературы по применению метода предельного равновесия в механике композитов.

Рассмотрим многослойный КМ с заданной схемой армирования при плоском напряженном состоянии. Вектор приложенных к КМ средних напряжений {ac} = (ах, oy, 0) , т. е. имеет место двухосное нагружение (рис. 1). Координаты изображающей точки на плоскости напряжений охОоу, задающие текущее напряженное состояние, определим в соответствии с формулами ох = S cos а и oy = S sin а (рис. 2). Здесь S > 0 — модуль вектора напряжения; а — угол, характеризующий кривую нагружения многослойного КМ. При построении предельной кривой на плоскости ох Ооу угол а изменяется от 0 до 2л.

X

Рис. 1. Многослойный КМ и монослой при плоском напряженном состоянии

Уравнения статики для рассматриваемого КМ имеют следующий вид:

n

S cos а = ^(о( 1 cos2 ф; +а(22 sin2 ф; + о(2 §1п2фг- ;

i=1 n

Ssinа = ^(оЦ sin2 фг- + 022 cos2 фг- - о(2 sin2фг-) 5i;

i=1

n

22 -а(1)sinФicosФi + а(г^2фi

ô, = 0,

(1)

Ji ) — (i ) — (i )

Рис. 2. Текущее напряженное состояние многослойного КМ на плоскости а*Оа„

напряжения в г-м монослое (индекс «1» соответствует направлению вдоль волокон, «2» — поперек волокон (см. рис. 1); фг и 5 г — соответственно угол армирования и относительная толщина г-го монослоя.

Как следует из формулы (1), параметром нагрузки в данном случае является положительная величина

Далее предполагаем, что г-й монослой подчиняется критерию максимальных напряжений, т. е. справедливы следующие нестрогие неравенства:

- F( г') < а( г') < F( г')-

1 -i — uii —1 +15

- F(i) < а (i ) < F(

- F(i) < а (i) < F(i)

12 12 12

)

(2)

Здесь F+(1), F-(1),F+(2), F-2) — пределы прочности монослоя при растя-

<i )

Г1 (i )

жении—сжатии вдоль и поперек волокон; f12 — предел прочности

монослоя при сдвиге в плоскости армирования. Отметим, что при выполнении равенств происходит разрушение монослоя.

Из первых двух формул (1), а также неравенств (2) для многослойных КМ с произвольной схемой армирования следует неравенство

-I(() + ^2))8г < ах + а„ < £(() + ^(2))8г,

г=1 i=1

а если все монослои изготовлены из одного материала, то

-^ -¥_г <ах +а„ <¥+х + ¥+г. (3)

Согласно статической теореме метода предельного равновесия, нижней границей предельной нагрузки для многослойного КМ является наибольшая из нагрузок, удовлетворяющих уравнениям статики (1) и условиям (2). Следовательно, для отыскания нижней границы предельной нагрузки необходимо найти максимальное значение параметра £ при выполнении условий (1) и (2), выражаемых линейными зависимостями относительно переменных а(г1), а(22, а(2),Таким образом, получаем задачу линейного программирования.

Как известно [7], в задачах линейного программирования функция цели должна зависеть от неотрицательных переменных. В связи с этим введем вспомогательные переменные

X 1(1) -a( i) 11 + F_(Í

Y (i) Y 22 II 22i + F-2:

Y (i) Y 12 - а0') 12

При любом значении напряжений переменные X^-1, X) будут неотрицательными. При этом вектор переменных имеет вид

Y -( Y (!) Y(1) Y(1) Y(2) Y(2) Y(2) Y(") Y(") Y(" ЛТ (4)

Y - ^Y 11 , Y 22 5 Y 12 5 Y 11 , Y 22 5 Y 12 , ..., Y 11 5 Y 22 5 Y 12 j . (4)

Целевую функцию запишем в виде

F (Y 5 S) - S. (5)

Тогда для определения нижней границы предельной нагрузки следует определить Max [ F (Y 3 S)] при выполнении условий

n

2 (yY 1(1") cos2 фг + Y22) sin2 фг + Y12) sin 2фг) 5г - C(1) - S cos а - 0;

i-1

2 (xY 1(i) sin2 фi + X22) cos2 фi - X« sin 2фi) 5i - C22) - S sin а - 0;

i-1

5 . - C(2) = 0;

Ё[(22 - X(1))sinфг cosг ф + X« С082ф,.

i=1

0 < X11) < F+(1) + F-10 < X22} < F+(2) + F-20 < X12) < 2F2S > о

(6)

где

Ci(1) = ¿ (() cos2 ф. + F-(2) sin2 ф. + ) sin2ф.)5.;

i=1

с22) = ¿(F-(1) sin2 ф. + F-(2) cos2 ф. -Fi(2) ¡¡т2ф.)5.;

C12) = ¿ [(() - F-(1)) sin ф. cos. ф + F« cos 2ф.

5 i.

Отметим, что данная формулировка задачи аналогична формулировке задачи расчета предельной нагрузки для стержневых конструкций, предложенной в работе [8]. Рассматриваемая здесь задача линейного программирования может быть решена численно с помощью стандартных программ, например встроенной функции Maximize в пакете МаШСАО. Следует учитывать, что для схем армирования многослойных КМ, наиболее часто используемых на практике, количество компонент вектора X относительно невелико. При этом ограничения (6) существенным образом упрощаются, а целевая функция (5) остается неизменной. Рассмотрим ряд примеров.

Выполним анализ прочностных характеристик многослойного КМ с симметричным перекрестным армированием. В этом случае имеем n = 2; 61 = 82= 0,5; ф1 = ф, ф2 = -ф. Здесь и далее угол ф отсчитывается от оси ОХ (см. рис. 1). Из третьего равенства (1) получаем

a °) 11 = a (2) = 11 an;

a (1) 22 = a (2) = 22 a 22;

a (1) 12 = -a (2) 12 = a12

Тогда вектор переменных (4) будет иметь вид X = (Xn,X22,X12) , что приводит к упрощению условий (6):

X11 cos2 ф + X22 sin2 ф + X12 sin2ф-C11 -S cos a = 0; X11 sin2 ф + X22 cos2 ф- X12 sin2ф-C22 -S sin a = 0; (7)

0 < Xn < F+1 + F-!, 0 < X22 < F+2 + F-2, 0 < X12 < 2F-,2, S > 0, где Сц, С22 — константы, вычисляемые по формулам

i=1

C11 - F-1 cos2 ф + F-2 sin2 ф + F12sin2ф;

C22 - F-1 sin2 ф + F-2 cos2 ф- F12sin2ф.

Проведем расчет предела прочности Fx данного КМ в зависимости от угла армирования ф. Для этого в условиях (7) примем а = 0. Аналитическое решение данной задачи методом неравенств приведено в работе [5]. На рис. 3 показана кривая3 полученная для углепластика на основе волокон Т700 и эпоксидного связующего. В расчете были приняты следующие значения пределов прочности: F+i = 1 770 МПа; F_i = = 670 МПа; F+2 = 6539 МПа; F-2 = 7335 МПа; F12 = 57Д МПа. Отметим3 что полученные численные результаты совпали с расчетами выполненными по формулам из работы [5].

Fx, МПа

1 600

1 200 Г 1

800

400 2 V V ■. ---•

0 20 40 60 80 Ф, °

Рис. 3. Зависимость предела прочности при одноосном растяжении (1, в ) и сжатии (2,о) для многослойного углепластика с симметричным перекрестным армированием от угла армирования ф: линии — расчет; точки — эксперимент [9]

Построим предельную кривую для стеклопластика марки Е-01а88/МУ750/НУ917/БУ063 с углами армирования ф = ±55°. Соответствующие экспериментальные данные представлены в работе [10]. В статье [5] показано, что область допустимых напряжений определяется следующими неравенствами:

- Р-2 < а11с +а22с < Р+1 + Р+2;

-2^ф - (2ф -1) < а„с - а2^2Ф < 2^ф + ^ (2ф -1); -2^!2Й§ф - (1 - с^2ф) < а„с - а22сй§2ф < 2^12й§ф + (1 - с%2ф).

(8)

На рис. 4 область, соответствующая неравенствам (8), ограничена штриховыми линиями, а ее границей является искомая предельная кривая. Определенная в результате численного решения задачи линейного программирования предельная кривая практически совпала с кривой, полученной из неравенств (8). В расчетах использованы следующие прочностные характеристики монослоя: F+1 = 1 150 МПа; F-i = 750 МПа; F+2 = 40 МПа; F-2 = 150 МПа; F12 = 80 МПа. Как видно на рис. 4, теоретические результаты (сплошные линии) в целом удовлетворительно соответствуют экспериментальным данным (точки).

Рис. 4. Предельная кривая для многослойного стеклопластика с углами армирования ф = ±55° на плоскости напряжений ax Оау

Рассмотрим многослойный КМ со схемой армирования [0/90°/±ф]. Здесь схема армирования такова: n = 4; ф1 = 0, ф2 = л/2, фз = -ф4 = ф; относительные толщины монослоев ô1, ô2, ô3, ô4 известны, причем S3 = S4 = 5/2, где ô — толщина двойного спирального слоя. Из третьего равенства (1) получаем соотношения

а(1) -12 -а (2) 12 - 0;

О (3) -11 а(4) _ 11 = °ii;

Q3 - О(4) _ 22 = а22;

О (3) -12 -а (4) 12 -а12

Вектор переменных принимает вид

Х Х(1) Х(1) Х(2) Х(2) У У У Х _ ^Х 11 , Х 22 5 Х 11 5 Х 22 5 Х 11, Х 22 5 Х 12 ^ •

Тогда ограничения (6) можно записать так:

Х1(11)51 + X22°52 + (X jj cos2 ф + X22 sin2 ф + X12 sin2ф)5-C11 -S cos a = 0; X22)51 + X1(12)52 + (X11sin2ф + X22cos2ф-X12sin2ф)5-C22 -Ssina = 0;

0 < Xjj < F+1 + F-1, 0 < X22 < F+2 + F-2, 0 < X12 < 2F12, S > 0;

0 < X(к) < F+j + F-i, 0 < X22) < F+2 + F-2, k = 1,2,

где

Cn = F-151 + F-252 +(F-1 cos2 ф + F-2 sin2 ф + F12sin2ф)5; C 22 = F-251 + F-15 2 + (F-1 sin2 ф + F-2 cos2 ф - F12 sin 2ф)5.

На рис. 5 изображена предельная кривая, полученная в результате численного решения задачи для квазиизотропного углепластика марки AS4/5301-6 со схемой армирования [90°/±45°/0], т. е. при ф = л/4; 5( = = 52 = 53 = 54 = 0,25. При расчете были приняты такие прочностные характеристики монослоя: F+1 = 1 500 МПа; F_1 = 800 МПа; F+2 = 40 МПа; F-2 = 135 МПа; F12 = 40 МПа. По-прежнему точками обозначены экспериментальные данные из работы [10]. Как и следовало ожидать, предельная кривая в соответствии с неравенством (3) расположена между двумя параллельными прямыми aх = F+1 + F+2 -ay и ax =-F_1 --F-2 - ay, которые на рис. 5 показаны штрихпунктирными линиями.

ах, МПа

800 600 400 200 0

-200 -400

-600 -400 -200 0 200 400 600 ау,МПг

Рис. 5. Предельная кривая для квазиизотропного углепластика со схемой армирования [90°/±45°/0] на плоскости напряжений axOay

Проведем анализ прочностных характеристик многослойного КМ со схемой армирования [90°/±ф]. В этом случае имеем n = 3; ф( = л/2, ф2 = -ф3 = ф; относительные толщины монослоев 5(, 52, 53 известны, причем 52 = 53 = 5/2. Аналогично предыдущему случаю здесь также можно получить частный случай ограничений (6). При этом вектор переменных будет иметь следующий вид:

Х = (хХ1(1), X22), Х1Ъ Х22 , Х12 ) •

Результаты расчета для стеклопластика марки Б-01а88/ЬУ556/ НТ907/БУ063 со схемой армирования [90°/±30°], для которого 81 = 0,172; 8 = 0,828, приведены на рис. 6. Экспериментальные данные (точки) заимствованы из работы [10]. Характеристики прочности монослоя таковы: ¥+1 = 1 150 МПа; ¥-1 = 750 МПа; ¥+2 = 40 МПа; ¥-2 = 150 МПа; ¥12 = 80 МПа. Предельная кривая получена расчетным путем, прямые а х = ¥+1 + ¥+2 - а у и а х = -¥-1 - ¥-2 - ау показаны штрихпунктиром.

Од., МПа 1 000

500

0

-500

-1 000

-500 -300 -100 0 100 300 ау, МПа

Рис. 6. Предельная кривая для стеклопластика со схемой армирования

[90°/±30°]

Следует отметить одно из достоинств предлагаемого подхода к определению нижней границы предельной нагрузки. В ряде случаев, согласно методу неравенств, из соотношений (1) и (2) следуют аналитические решения, которые могут быть востребованы при выполнении проектных расчетов. Однако при большом числе переменных решение задачи по методу неравенств приводит к чрезвычайно громоздким преобразованиям и его применение становится нерациональным. Существенные упрощения получают при использовании дополнительных гипотез относительно физико-механических свойств волокнистых КМ. В частности, относительно простое решение можно получить при введении в расчет нитяной модели монослоя, в соответствии с которой параметрами ¥+(2), ¥-2), ¥1(2г) можно пренебречь по сравнению с ¥+(1), ¥-1) и принять, что а^ ~о(2 ^0.

В качестве примера воспользуемся нитяной моделью монослоя для рассмотренного выше КМ со схемой армирования [0/90°/±ф]. Тогда из соотношений (1) имеем

a x =a(11)51 + an5 cos2 ф; a y = a(f5 2 + a(15 sin2 ф.

Неравенства (2) упростятся и примут вид

- F < a (1) < F •

1 -i — uii —1 +i J

-F-i < a(2) < F+j;

- F-i <aii < F+j .

Применяя в соответствии с методом неравенств процедуру исключения переменных a(1), a(2), an, после преобразований получаем следующие условия:

-51F-1 sin2 ф - 52F+1 cos2 ф < ax sin2 ф - ay cos2 ф <

< 51F+1 sin2 ф + 52 F-1 cos2 ф;

-F-1 (5( + 5cos2 ф) < ax < F+1 (5( + 5cos2 ф);

-F-1(52 +5sin2 ф) < ay < F+1(52 +5sin2 ф).

(9)

Граница области на плоскости axOay, определяемая этими неравенствами, есть искомая предельная кривая. Тогда для рассмотренного выше квазиизотропного КМ будем иметь

F , + F+1 F , + F+1

—--—<a -a < —-•

4 _ x y" 4 '

< a x < F±l; (10)

2 x 2

F 1 F+1

—- < a y

2 y 2

Предельная кривая, построенная в соответствии с неравенствами (10), показана на рис. 5 штриховой линией.

Рассмотрим еще вариант аналитического решения. Некоторые виды многослойных КМ с тканым наполнителем обладают сравнительно малой жесткостью и прочностью при сдвиге в плоскости армирования [11, 12]. Например, для углерод-углеродных КМ на основе углеродной ткани со структурой 2D предел прочности элементарного слоя при сдвиге в плоскости армировании может быть на порядок меньше пределов прочности при растяжении и сжатии вдоль основы и утка. Для таких материалов при теоретическом анализе по аналогии с нитяной моделью монослоя целесообразно пренебречь величиной F/2) по сравнению с F+(1i), F-1), F+2), F-2) и допустить, что

a(2) - 0.

В качестве примера получим зависимость предела прочности при одноосном нагружении КМ со схемой армирования [0/±ф] от угла ф. Выполним расчет для случая 51 = 52 = 53 = 1/3. Из формул (1) при а12 = 0 имеем

о(11) + 2(ап cos2 ф + а 22 sin2 ф) = 3а x;

а (212) + 2(a11sin2 ф + а 22cos2 ф) = 0.

(11)

Из условий (2) следует

- F < а (1) < F • 1 -1 — и11 —1 +1^

- F-2 < а ^ < F+2; -F-1 <ап < F+1;

- F-2 < а 22 < F+2 .

(12)

Исключая из соотношений (11) и (12) переменные о®, а(212), оп,а22, после преобразований (в связи с громоздкостью не приводим) получаем следующие ограничения для напряжения ох:

_ F_l(Ъ - 21в2ф) + ^+21в2ф <о < ^+1(3 - 21в2ф) + ^_21в2ф

- и у -

к

при 0 <ф< —;

2F-2(1 -ctg» + F+2Ctg2ф + F-1 <а < 2F+2(1 -ctg» + F-2Ctg2ф + F+

— U г —

к к при — < ф< —. 4 2

(13)

На рис. 7 приведены результаты расчета для КМ со следующими характеристиками: F+1 / F12 = 12, F-1 / F12 = 11, F+2 / F12 = 10, 2 / F12 = 9. Сплошной линией показана кривая, полученная числен-РХ!Р12

12 10

чч \ \ \ ------

\ \ \ N \ \ у"" У /

V

20

40

60

80 <р,°

Рис. 7. Зависимость предела прочности при одноосном растяжении для многослойного КМ со схемой армирования [0/±ф] от угла ф

но с учетом предела прочности F12, штриховой линией — приближенная кривая, рассчитанная по формулам (13). Видно, что последняя кривая качественно и количественно верно прогнозирует изменение предела прочности в зависимости от угла армирования ф. При этом приближенное значение меньше, чем точное, полученное с учетом предела прочности F12 при сдвиге.

Отметим, что при выполнении проектных расчетов, количество исходных данных, как правило, ограничено. В этом случае приближенные соотношения вида (9), (13) могут быть полезными на этапе предварительного анализа прочностных характеристик многослойного КМ.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Алфутов Н.А., Зиновьев П.А., Попов Б.Г. Расчет многослойных пластин и оболочек из композиционных материалов. Москва, Машиностроение, 1984, 263 с.

[2] Zinoviev P.A., Grigoriev S.V., Lebedeva O.V., Tairova L.P. The Strength of Multilayered Composites under a plane-stress State. Composite Science and Technology, 1998, vol. 58, pp. 1209-1223.

[3] Ходж Ф.Г. Расчет конструкций с учетом пластических деформаций. Москва, Машгиз, 1963, 380 с.

[4] Терегулов И.Г., Каюмов Р.А., Сибгатуллин Э.С. Расчет конструкций по теории предельного равновесия. Казань, Изд-во ФЭН, 2003, 180 с.

[5] Сарбаев Б. С. Анализ несущей способности слоистых волокнистых композиционных материалов. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Машиностроение, 2000, № 4, с. 59-72.

[6] Сарбаев Б.С. Анализ несущей способности слоистых композитов и конструкций из них методом предельного равновесия. Образцов И.Ф., Яновский Ю.Г., ред. Композиционные материалы. Сб. тр. Школы-семинара, посвященной 80-летию со дня рождения академика И.Ф. Образцова. Москва, ИПРИМ РАН, 2000, с. 3-11.

[7] Гасс С. Линейное программирование (методы и приложения). Москва, Физматгиз, 1961, 303 с.

[8] Чирас А.А. Методы линейного программирования при расчете упругопла-стических систем. Ленинград, Стройиздат, 1969, 197 с.

[9] Смердов А.А., Смердова О.А., Таирова Л.П., Цветков С.В., Тащилов С.В., Магнитский И. В. Экспериментальное исследование жесткостных и прочностных характеристик углепластика. Конструкции из композиционных материалов, 2009, № 3, с. 68-82.

[10] Soden P.D., Hinton M.J., Kaddour A.S. Biaxial Test Results for Strength and Deformation of Range of E-glass and Carbon Fiber Reinforced Composite Laminates: Failure Exercise Benchmark Data. Composite Science and Technology,, 2002, vol. 62, pp. 1489-1514.

[11] Белов Г.В., Ерохин Б.Т., Киреев В.П. Композиционные материалы в двигателях летательных аппаратов. Москва, Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1998, 344 с.

[12] Соколкин Ю.В., Вотинов А.М., Ташкинов А.А., Постных А.М., Чекал-кин А.А. Технология и проектирование углерод-углеродных композитов и конструкций. Москва, Наука, Физматлит, 1996, 240 с.

Статья поступила в редакцию 06.07.2013

Ссылку на эту статью просим оформлять следующим образом: Сарбаев Б. С. Расчет нижней границы предельной нагрузки для многослойных волокнистых композитов при двухосном нагружении. Инженерный журнал: наука и инновации, 2013, вып. 7. URL: http://engjournal.ru/catalog/ machin/rocket/856.html

Сарбаев Борис Сафиулович окончил МВТУ им. Н.Э. Баумана в 1977 г. Д-р техн. наук, профессор кафедры «Космические аппараты и ракеты-носители» МГТУ им. Н.Э. Баумана. Автор более 40 научных работ в области механики композитов, теории пластичности, нелинейного деформирования композитных материалов и конструкций, выполненных из них. e-mail: bssarbayev@mail.ru