Проектирование цилиндрических оболочек из многослойных композиционных материалов при ограничениях по прочности и устойчивости Текст научной статьи по специальности «Технологии материалов»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

То м IX 1 9 7 8 № 1

УДК 629.76.015.4 023.2

ПРОЕКТИРОВАНИЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК ИЗ МНОГОСЛОЙНЫХ КОМПОЗИЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ ПРИ ОГРАНИЧЕНИЯХ ПО ПРОЧНОСТИ

И УСТОЙЧИВОСТИ

Ю. Ф. Крашаков, А. Л. Рубина, Г. П. Сухобокова

Дается методика проектирования тонкостенных оболочечных конструкций минимального веса из композиционного материала в случае осевого сжатия при удовлетворении требований прочности и устойчивости. Задача решается комплексно: находится оптимальная схема ориентации слоев в многослойном композиционном материале с минимальной толщиной оболочки, при которой возникающие напряжения не превышают критических и предельных напряжений.

Приводится пример проектирования круговой цилиндрической оболочки из углепластика.

Улучшение технико-экономических показателей летательных аппаратов может быть достигнуто за счет широкого использования наряду с металлами новых высокомодульных композиционных материалов [1].

Расчет конструкций минимального веса из композиционных материалов отличается от расчета конструкций из металла тем, что необходимо решать одновременно две задачи — задачу проектирования композиционного материала и задачу проектирования конструкции из этого материала, подчиняя их требованию наименьшего веса при известных ограничениях по прочности и устойчивости [2].

Рассмотрим задачу оптимального проектирования тонкостенной цилиндрической оболочки минимального веса из композиционного материала в наиболее часто встречающемся случае осевого сжатия. Расчетная схема оболочки показана на фиг. 1. Задача формулируется следующим образом. При заданной геометрии оболочки (радиусе R и длине L) и заданной величине действующей погонной сжимающей силы Nx найти схему армирования, обеспечивающую минимум функции веса конструкции G (h), т. е. минимум толщины оболочки h, при одновременном выполнении условий прочности и устойчивости:

схема армирования -+minG(/i) при

ах °пр А°х< акр) 0)

где ах — напряжения, возникающие в оболочке под действием нагрузки, апр — предельное напряжение материала оболочки, окр — критическая величина напряжения, соответствующая потере устойчивости оболочки.

Композиционный материал, из которого изготавливается оболочка, представляет собой многослойный пакет, собранный из однонаправленных монослоев, уложенных под различными углами к оси оболочки. Весь многослойный пакет рассматривается как

ортотропный материал, определяемый четырьмя жесткостными характеристиками Ех, Еу, вху и рху или \>.ух, расчет которых основан на макромеханическом анализе поведения волокнистых композитов. При симметричном расположении различно ориентированных слоев относительно срединной плоскости пакета значения эффективных модулей упругости Ех, Еу в направлениях образующей и окружности цилиндра, модуля сдвига вху и коэффициентов Пуассона \>.ху и \ьух определяются по формулам [3]:

где кк — толщина й-слоя, к — толщина слоистого пакета, с?.— упругие постоянные £-слоя, зависящие от жесткостных характеристик слоя Еу ,Е2, <3]2, ^ и угла ориентации слоя 6.

Каждый монослой рассматривается как квазиоднородная упругая среда с осями ортотропии в направлениях вдоль и поперек волокон.

Фиг. 1

Здесь

(2)

ск _______________________1__________

11 1 — ¡4 1>ц

гк_________________________1

22 1 — (1-1 [¿2

[ех соэ4 6 + Ег эШ4© -+- бШ2 2 б) -}- вШ2 20,

{е1 вШ4 0 -)- Е2 сое4 0 -т£- ^1Е2 б1п2 2 0^ + б12 вт2 2 0,

СЬ —__________________________!___________

12 1 — (X, (1.2

— [-4- {Ех -(- £2) 2 0 -{-1^1 Е2 (сое4 0 + йш4 0) —

I1! I 1

(3)

— 012 эШ2 2 0,

^ э]И ы и

себ = 4(1 -^2)

(Ех + Е2 - 2 ^ Еъ) + 012 С052 2 0.

81'п2 2 0

Жесткостные характеристики однонаправленных композиционных материалов определяются упругими свойствами составляющих (волокон и матрицы), их количественным соотношением, а также структурой расположения волокон и их ориентацией. Характеристики однонаправленного слоя — модули упругости вдоль волокон

и поперек волокон Е2, модуль сдвига в плоскости слоя б12,

£

коэффициенты Пуассона ^ и ¡і, = ^-=2--------считаются заданными

в паспорте материала или определяются экспериментально.

Характеристики прочности слоистого композиционного материала определяются через прочностные характеристики однонаправленных слоев, причем считается, что несущая способность всего пакета исчерпывается, когда хотя бы в одном слое достигается предельное напряженное состояние.

В качестве аналитического критерия предельного состояния монослоя используется энергетический критерий прочности [4]:

2

°В 1 з_в 1

Здесь оь о2, х12 — внутренние напряжения, возникающие в монослое вдоль и поперек волокон, и напряжения сдвига соответственно;

ов, о._в, тв — предельные напряжения для однонаправленного

слоя соответственно при растяжении, сжатии и сдвиге; индексы 1 и 2 указывают направление вдоль и поперек волокон соответственно.

Предельные напряжения для однонаправленного слоя задаются в паспорте материала или определяются экспериментально.

В случае простого нагружения действующие напряжения возрастают пропорционально некоторому параметру нагрузки о0, который находится из условия (4). При этом действующие усилия можно представить в виде

Nх = г х А^о, = гу ЛГо, НХу = гХуМй,

а соответствующие им напряжения

3х == Тх °0» == Гу 00, 1Ху = ГХу О0)

где А^0 = /го0; гх, гу, гху — известные коэффициенты нагружения.

Тогда напряжения оь а, и т12 в каждом монослое будут определяться соотношениями:

°1 — /і °0> °2=!/2 30! 'с12==:Уі2а0>

где/,, /2, /12 — известные функции, зависящие от упругих постоянных монослоя и пакета в целом и коэффициентов гх, гу, г ху.

Методика определения прочностных характеристик симметричного многослойного композиционного материала изложена в [4].

Величина критической нагрузки, соответствующей общей потере устойчивости цилиндрической оболочки из ортотропного композиционного материала при осевом сжатии вычисляется по формуле, полученной в [5] с помощью энергетического метода:

12

1 2 —в 2

-‘-В 2 '

О, ■

1.

11 —в 1

(4)

Л'кр = К^УЕХЕУ,

У З (1 — цхііу)

Ех ¡Ху + V Ех Еу + 2 вху (I — цх ;ху)

------------ , ^У

V Ех Еу Еу Р-Х + 2

где Ех, Еу, йху, \хх, ¡ху —упругие характеристики многослойного пакета толщиной к, определяемые в соответствии с выражениями (2) и (3).

Как показали многочисленные расчеты, в случае нагружения оболочки осевой силой главные направления, по которым следует ориентировать монослои, — это направления с углами 0 = 0, +45°,

— 45°, 90° к образующей цилиндра. Укладка слоев должна производиться симметрично относительно срединной поверхности многослойного пакета. Управление структурой композиционного материала с целью получения конструкции наименьшего веса предполагает варьирование процентным содержанием слоев (1/е, %) в пакете, ориентированных под углами 6=0, +45°, 90°, при выполнении условия

Критические напряжения окр = Д^/Акр.

Проведенные расчетные исследования показали, что укладка всех слоев материала с направлением волокон вдоль образующей цилиндрической оболочки (1/0 =100%) обеспечивает максимальную прочность конструкции и толщина Н в этом случае будет определяться из расчета на устойчивость.

Укладка слоев по типу перекрестного армирования (1/±45=100%) обеспечивает максимальную статическую устойчивость оболочки, и толщина ее определяется из расчета на прочность. Оптимальное армирование в конструкции минимального веса определяется из совместного расчета на прочность и устойчивость, согласно условию (1).

В качестве примера рассмотрено проектирование цилиндрической оболочки из слоев однонаправленного углепластика при следующих паспортных данных: упругие характеристики:

Е1 — 17 500 кгс/мм2; Е2 — 700 кгс/мм2; = 350 кгс/мм2; Р4 = 0,27; предельные напряжения:

ов1==Ю0 кгс/мм2; ав2 = 2 кгс/мм2; тв = 3 кгс/мм5; а-в\~40 кгс/мм2;

Расчеты проведены по программе, составленной для ЭЦВМ БЭСМ-6.

Результаты представлены графиками, которые отражают зависимость оптимальных параметров У0, У±45, <*х и А, удовлетворяющих условию (1), от величины сжимающего усилия Ых и радиуса оболочки R. Как видно из графиков, увеличение действующей

У0 + ^±45+ 1/90= 100%.

Толщина оболочки находится из условия прочности

^пр = Nх!<3 пр

и из условия устойчивости (5)

(6)

(7)

(8)

0_в2= 10 кгс/мм3.

6—Ученые записки № 1

81

нагрузки /V* требует увеличения процентного содержания (1/0) слоев с расположением армирующих волокон вдоль образующей оболочки (фиг. 2) И уменьшения процентного содержания (У±45) слоев, уложенных перекрестно (фиг. 3). Для одной и той же действующей нагрузки с уменьшением радиуса оболочки должно возрастать 1/0 и соответственно уменьшаться У±&. При этом величина 1/90= 100 — IV— У±45 почти не меняется с изменением Ых и /?, оставаясь в пределах 10 — 20%, т. е. слои, ориентированные в направлении окружности цилиндра, практически не влияют на его несущую способность.

100

80

60

40

20

. I 11=100 мм

00мм

А

л ЮС Омм

и

Уч5

100

80

60

40

20

50 100 150 200

Ях, кгс/мм

,%

\Я- 1000мм

'\400мм

^100мм

50 100 150 200 Ях, иге/мм

Фиг. 2

Фиг. 3

30

го

т

, кге!* 1М2

,

— -

50 100 150 200

кг с/мм

Фиг. 4

50 100 150 200

. кгс/мм

Фиг. 5

На фиг. 4 показана зависимость допустимых .расчетных напряжений ах от величины действующей нагрузки А/х для оболочек радиуса /?. Значения ах определяются из условий прочности или устойчивости, либо из условия одноврёменного удовлетворения требованиям прочности и устойчивости. С увеличением нагрузки напряжения ах возрастают до максимальной величины ах=а_вХ =40 кгс/мм2, которая характеризует предельное разрушающее напряжение однонаправленного углепластика при сжатии вдоль волокон. Таким образом, при больших нагрузках исчерпывается возможность варьирования ориентацией слоев и несущая способность всего слоистого пакета, составляющего толщину оболочки, определяется предельным напряжением однонаправленного композиционного материала с укладкой волокон под углом 0 = 0. Наибольший интерес представляют кривые зависимости оптимальной толщины оболочки Л от и Я, приведенные на фиг. 5.

Весь диапазон изменения этих параметров подразделяется на три области. Область / ограничивается небольшими нагрузками, при которых толщина оболочки определяется из условия устойчивости, заведомо удовлетворяя условию прочности (оЛ. = окр<;зпр). Для этой области изменения толщин и нагрузок слои следует ориентировать под углами 0 = + 45°.

Уравнение пунктирной прямой, ограничивающей область I,

может быть записано в виде А=—, где ол — предельное напряже-

аА

ние в слое, уложенном под углом 0 — + 45°. На этой прямой имеет место равенство акр = зпр. Область II охватывает больший диапазон нагрузок Ых и отличается иным законом изменения толщины А, которая определяется здесь из соотношения (8) для заданного радиуса оболочки /?. Оптимальный вариант процентного содержания слоев находится с помощью графиков фиг. 2 и 3, а оптимальная толщина Л определяется из условия акр = апр. Кривые

области II вырождаются в прямую /г = —, представляющую собой

°Б

ограничение по прочности. Это означает, что, начиная с некоторой нагрузки, толщина оболочки радиуса /? определяется только из условия прочности, когда критические напряжения, соответствующие потере устойчивости, превышают предельные напряжения при сжатии (зкр>опр).

Величина аБ — это предельное напряжение-в слое, ориентированном под углом 0 = 0 к образующей оболочки. Положение точки перехода от кривой в области II к прямой, отделяющей область II от области III, зависит от геометрических параметров оболочки. Для оболочек с большим радиусом /? переход происходит при больших нагрузках Ых. В реальных случаях рптимальная толщина оболочки находится в области II и достигается при акр = аПр.

ЛИТЕРАТУРА

1. Кутьинов В. Ф., Андриенко В. М., Сухобок о-в a Г. П., Р у б и н a А. Л. Применение композиционных материалов в силовых конструкциях летательных аппаратов. Сб. .Композиционные металлические материалы*. Труды научно-технической конференции. М., ОНТИ, 1972.

2. С h а о С. С., Sun С. Т., К о h S. L. Strength optimization for cylindrical shells of laminated composites. I. of Composite Materials, vol. 9, 1975.

3. Сухо бокова Г. П. Расчет характеристик жесткости и прочности однонаправленных слоев и многослойных материалов с перекрестным армированием. В сб. „Проектирование, расчет и испытания конструкций из композиционных материалов“, вып. I. ЦАГИ, 1973.

4. Андриенко В. М., СухобоковаГ. П. Методика расчета характеристик прочности слоистых композиционных материалов при плоском сложнонапряженном состоянии с учетом пластических свойств монослоя. В сб. »Проектирование, расчет и испытания конструкций из композиционных материалов, вып. IV, ЦАГИ, 1975.

5. Б е л о з е р о в Л. Г., Рубина A. JI. Устойчивость стеклопластиковых оболочек при осевом сжатии. .Ученые записки ЦАГИ“, т. I, № 1, 1970.

Рукопись поступила 6jXlf 1976 г.