CC BY
24
тем самым возможности участвовать в противостоянии потере устойчивости. Добавление же новых связей к конструкции с односторонними связями может привести к отключению некоторых из них, в результате чего критическая сила уменьшается. Вероятность такого рода дестабилизации выше вероятности дестабилизации, обусловленной исключением из работы растянутых стержней конструкции. Более подробно эти проблемы здесь не обсуждаются.
Литература
1. Ляхович А. С. Метод отделения критических сил и собственных частот упругих систем. - Томск: Изд-во ТГУ, 1970. - 192 с.
2. Шулъкин Ю. Б. Об устойчивости систем с односторонними связями // Исслед. по теорет. основам расчета строит, конструкций: Межвуз. темат. сб. тр. ЛИСИ. — Л.: Изд-во
ПЫ/Ч/1 lOy i _ 1~ ">й_ ч 1
J inv r 1, 1 J V-J . ~ V-. zc-j :.
3. Шулькин Ю. Б. Влияние односторонних связей на величину критической нагрузки // Исслед. по механике строит, конструкций и материалов: Межвуз. темат. сб. тр. ЛИСИ. -Л.: Изд-во ЛИСИ, 1985. - С. 56-63.
4. Перельмутер А. В., Сливкер В. И. Расчетные модели сооружений и возможность их анализа. - Киев: Сталь, 2002. - 598 с.
5. Городецкий А. С. , И. Д. Евзеров. Компьютерные модели конструкций. — Киев: Факт, 2005. - 384 с.
6. Гольдштейи Ю. Б. Динамика стержневых конструкций с односторонними связями. - ПетрГУ. Петрозаводск, 2008 - 35 с. - Деп. в ВИНИТИ 30.09.08, № 781-В2008.
7. Черников С. Н. Линейные неравенства. - М: Наука, 1968. - 488 с.
CRITICAL LOAD FOR A CONSERVATIVE SYSTEM WITH UNILATERAL CONSTRAINTS
Yu. B. Goldshtein
The algorithm of calculation of a critical force for a beam structure with unilateral constraints is presented. The algorithm is based on the construction of the total set of the working systems of this structure.
Численные методы расчета конструкций
РАСЧЕТ НЕЛИНЕЙНО ДЕФОРМИРУЕМЫХ ПОЛОГИХ СЕТЧАТЫХ ОБОЛОЧЕК ВАРИАЦИОННО-РАЗНОСТНЫМ МЕТОДОМ
С.И. ТРУШИН, д-р техн. наук, проф. A.B. МИХАЙЛОВ, аспирант ЦНИИСК им.В.А. Кучеренко, Москва
Рассмотрим сетчатую оболочку, представляющую собой регулярную систему, образованную из п семейств часто расположенных ребер (рис.1). Заменим регулярную систему ребер сплошным слоем с некоторыми приведенными жесткостями из условия статической эквивалентности исходной сетчатой структуры и гладкой оболочки.
Предположим, что оболочка состоит из одного семейства ребер и обозначим через а и т нормальные и касательные напряжения в них. Пред- рис.1. Пологая сетчатая оболочка
I у
N,f
N,4
71
/1
/ ./1
N..
/
,N„
/¿1._
Рис. 2. Геометрия сетчатой оболочки, состоящей из одного семейства ребер
ставим сетчатую оболочку в виде некоторой гладкой однослойной оболочки, отнесенной к декартовым координатам х и у, вырежем из нее элемент со сторонами с1а1 и сЬ2 (рис. 2).
ТЛ~ ---------
лгх^ \ ч-ЛОоюл раопчлэ^-
сия прямоугольного элемента со сторонами сЬ\ и /1^2 получим спедующие соотношения; связывающие нормальные о и касательные х напряжения с на-
пряжениями в гладкой оболочке:
ах = (S/ a)crcos2 а ■ о v = (S / а)а $т2 a; fxv=(S/a)<7sinacosa;
тхг - (S / а)т cos а ; а)т sin а, (1)
Если оболочка содержит п семейств ребер, то соотношения (1) преобразуются к виду:
~ " 1 " 1 " 1
от - У —о 8, cosа.; о = У —о ,8. sin а,; т = Е- о ,8, sin а, cas а,;
, /1 J J J J J J Ay „ J J J J
j=\aj m aj M a J
"I " 1
% = E—Ti5 ; Xvz = E~X/8, Л'ша/ ' (2)
На/ / I /
где я число семейств ребер а , - расстояние между ребрами j -го семейства; 8 , -
толщина ребер j -го семейства; а . - угол между осью х и осью ребра у" -го семейства ребер. Для определения физических соотношений сетчатой оболочки используется метод множителей Лагранжа. При построении функционала используется выражение для потенциальной энергии деформации, записанное через напряжения, дополнительные условия статической эквивалентности исходной сетчатой структуры и гладкой оболочки вводятся с помощью множителей Лагранжа ex,ev,...,evz, представляющих собой деформации. Построенный
функционал должен иметь стационарное значение. В результате получены следующие зависимости между напряжениями и деформациями в приведенной континуальной модели:
= Ахе, + Aiеу; C.V = АА + АгСу ; ^ = Аъгеху; Xjn = Gx:exz; - Gyzevz. (3) Соотношения (3) соответствуют некоторому ортотропному материалу у которого нагружение вдоль осей ортотропии х и у не вызывает сдвиговых деформаций в плоскости хОу, а касательные напряжения не вызывают удлинений в направлениях осей х и у .
Жесткостные параметры, входящие в (4), определяются по формулам:
1 Л 1 Я ]
1 А 1 1 i
А1 = Е—K/S, cos a J; А22 = У—Е,8. sin а,; Gzx = Е—G,8, cqí2 а
/=1 а
=1 а,
"1 "1 = = ^33 = Е—1ЕЛ aJcosl aJ; = Е-43 A sin2 or ,, (4)
где E¡ G: - модуль упругости и модуль сдвига ребра. После интегрирования по толщине с учетом (4) усилия в оболочке запишутся в виде:
Nx = в\ \ех + в\2еу; Nv = вг\ех + в12еу ; Nxy = в^ху > = ; (?!2 - S2eyz,
М, = DUKX + Dnку; Му = Dlx кт +1>22к,; Мху = Д3кп,; (5)
» Е16, , « Е,А,-5, , 9
где gn = Z со.? а,; = Z sin a j cos а
М а! ' >1 "у
и Е /г § л F, A .fi.
S22 = ^ ,шз4а у; 533 = YJ~J~jLJ~sin¿ ajcos¿ aj;
,/=i а/ J=i aj
« E /г3,8, . jl I; ,A3,5, „ jl G,k .5,. ,
_ V / / ч . гч \ ' ./ y ~™ • v ч ■ J J J rv •
¡i — У --COS Üf. , , 1Ур — / -Л t?í v. ¡ сил и. , Uj -----COo (X j ,
H 12a, ' " 71 12a, ' y-1 а,-
» Е,/г38 ■ , , , "Gikibi ,
D22 = У .vi« а,; D33 - \--LJ-J-sin а, ras а,; S2 = У J 3 1 sin а,.
/=i 12а;. ■ 12а, " " af
Физические соотношения (5) используются при формировании полной потенциальной энергии оболочки и дальнейшей реализации численного решения задачи. Приведенные жесткости (6) являются элементами матрицы упругости, входящей в подъинтегральное выражение полной потенциальной энергии оболочки. Для получения функционала Лагранжа теории ортотропных оболочек в геометрически нелинейной постановке следует свести трехмерную задачу теории упругости к двумерной задаче теории оболочек. Вариация полной потенциальной энергии запишется в виде:
5II = 6U - ЬА = ||(л'х5е, + Nybey + Nxvben. + Мх 5кх + МуЪку + + М„5кст + QJex:: + Qa8e„ )ds - Д(?г5и + q> + qzbw + mxQx + m ,..9v = 0
(7)
Поскольку в работе для анализа напряженно-деформированного состояния и устойчивости оболочечных конструкций используется вариационно-разностный метод представим (8) в матричном виде, введя следующие обозначения: N ~ (Nx Nv Nxv Мх MY Mxv Qx: Qyz)T вектор усилий, определяемых формулой (5); £ - e¡ кт к,, ktv ехг eyz вектор, компонентами которого являются деформации оболочки; D - матрица упругости, связывающая усилии и деформации; q = \qx qv q, mx mvf - вектор внешней нагрузки, компонентами которого являются составляю!Цие нагрузки по направлениям соответствующих обобщенных перемещений; и = (и v w Вх 0V)[ вектор обобщенных перемещений. Тогда учитывая симметрию матрицы D можно записать:
6П = 5
f\ Л
v2s
\\eyDsds-\\qJuds -0 , (8)
где П представляет собой функционал Лагранжа теории ортотропных оболочек, в котором компоненты вектора £ должны быть записаны через перемещение по формулам [1]:
Э и w if dwV dv w 1
=--1-— + — -— ■ p =—-+—+—
Э v д и dwdw
■ e =----h-
> -xy ^ T ^ T
dx i?, 2 V 3bc J k Эy R2 ) " дх ду дх дy
Э0, эе2 эе, эе, dw п dw n
Kv=ir; 1С =—+ei; eK =— f-92.
dx ay ox ó у ox ó у
Для пологих оболочек в декартовой системе координат лс,у коэффициенты первой квадратичной формы поверхности А\=Аг=\. В этом случае функционал Лагранжа с учетом геометрических (9) и физических (5) соотношений может быть представлен в развернутом виде следующим образом:
гт 1 rr it sr E/hfb 4 , Эи W 1/ dw ч2 \
*L,Ejh О 2 2 t dv w 1 , dw ч2 \ \ + х ^LJ^Lsin¿ а cos а А — + —■+—( — ) ) )х
tí /7 Л1; /?. Í ' ' '
/=i - ¡ -у --¿ - -.■
i ди w 1 / Зи' 42 \ / ХЕ hb, , , , Эи w 1 / Эн- 42 4
х( ^ + т + ) )+( ««-«,( ^ + Т + ^ ) )+
ил JVJ w /1=| J- vr-v «и» v»>-
Д E.hjb 4 , dv w 1 / 9w 42 4 4
JTi a, J dy R2 2 dy
i dv W 1 / Sw Ш \ , , ¡ Bu 3« 3H'3w 47
x( — +— + _( — j+y 1 1 J Mn a c^sr a A -•+—-+• ) +
3y i?2 2 Э}' j-i a, dy dx dx dy
t * E)h]b) 4 Эе, I EJh)b] . 2 2 Э07 4 30, + ( Y^-^-^cos a¡—+ sin'a. cos a )——+ (10)
/=i 12a; 3r j=1 12а. Эу 3x
, * , эе, ¿¿A^ . 4 зе, 4зе2
+ ( 2, sin-CUjeos- ot.—1 + X - .v/w (X¡ —-=- +
/=1 12a; 3x 12а; 3y 3y
Л . . 2 7 , 36, 30,' 42
+ > ' J J sin a, cos' a A —^ + —- ) +
¿ 12aj J ' 3x 3v
/-i dj dx (ij dy
Краевая задача теории пологих сетчатых оболочек, построенная на основе континуальной модели, решается вариационно-разностным методом (ВРМ). В качестве ведущего параметра используется длина дуги кривой равновесных состояний. На каждом шаге т, которому соответствует значение параметра продолжения sm, искомые функции u(sm) и p(sm) находятся путем последовательных приближений к точному решению с использованием итерационных формул метода Ньютона-Рафсона и вспомогательного уравнения [2].
Для оценки разработанного численного алгоритма решен ряд тестовых задач. В качестве одной из них рассмотрен расчет пологой сетчатой оболочки на квадратном плане в линейной и геометрически нелинейной постановках по дискретной и континуальной моделям. Рассматривалась квадратная в плане пологая сетчатая оболочка, жестко закрепленная по контуру с параметром кривизны &I =¿2=0,1 м"1 (рис. 1). Остальные исходные данные следующие: модуль упругости материала £=2,110и Па; коэффициент Пуассона v=0,3; длина сторон l\=h~ 1 м; площадь поперечного сечения ребер первого и второго семейств А=\0'4 м2; расстояние между ребрами а- 0,07071 м; угол наклона ребер первого и второго семейств а!2г"±45с. Оболочка находится под действием поперечной равномерно распределенной нагрузки интенсивностью qz= 103 Па. Граничные условия: m-v~6]=62=w=0 при jc=0; !¡ и при у~0; /2.
Расчет по дискретной схеме в линейной постановке выполнялся с помощью программного комплекса Лира 9.4. Использовался пространственный стержневой конечный элемент с шестью степенями свободы в каждом узле. Общее ко-
личество конечных элементов - 1648. Расчет по континуальной модели в линейной постановке выполнялся с помощью предложенного алгоритма вариационно-разностного метода. В силу симметрии задачи рассматривалась четверть пологой оболочки, на которую накладывалась сетка элементов размером N1 хА/2=9х9. Симметрия задачи учитывалась при формулировке граничных условий. В приведенной ниже табл. 1 даны максимальные значения вертикальных перемещений м в центре оболочки, полученные с использованием двух подходов и методов решения.
Модель Метод решения Прогиб W, м Относительная разность значений. %
ДиСЮ^СТНаЯ МКЭ (ПК Липа) 2,614104 г г - i 1
| континуальная БРМ 2,754-10"
100
Первый расчет по дискретной схеме в нелинейной постановке выполнялся с помощью вычислительного комплекса Лира 9.4. Использовался геометрически нелинейный пространственный стержневой конечный элемент с шестью степенями свободы в каждом узле. Задача решалась на основе пошагового на-гружения с итерационным уточнением решения на каждом шаге (количество шагов по нагрузке составляв! 100). Второй расчет по дискретной модели выполнялся в программном комплексе Nastran.
При расчете по континуальной модели применялся метод продолжения решения по параметру по схеме Крисфилда в сочетании с итерациями метода Ньютона на каждом шаге. Кривая равновесных состояний рассмотренной оболочки, полученная по континуальной расчетной модели, приведена на рис.3.
В табл. 2 даны максимальные значения вертикальных перемещений XV в центре оболочки при максимальном значении нагрузки, полученные с использованием двух подходов и методов решения.
_Таблица 2
Рис. 3. Кривая равновесных состояний сетчатой оболочки
Модель Метод решения Прогиб W, см
Дискретная МКЭ (ПК Лира) 4,17
Дискретная МКЭ (ПК Nastran) 3,63
Континуальная ВРМ 3,90
Проведенные численные исследования пологой сетчатой оболочки на основе двух моделей (дискретной и континуальной) с помощью различных программных средств показывает достаточно хорошую согласованность результатов расчета, что подтверждает их достоверность. Анализ результатов решения тестовых задач позволяет сделать вывод о том, что предлагаемая континуальная расчетная модель сетчатой пологой оболочки, а также алгоритм решения нелинейной задачи достаточно корректны и могут быть использованы для исследования деформированного состояния и устойчивости рассматриваемых пространственных систем.
Литература
1. Милейковский И.Е., Трушин С.И. Расчет тонкостенных конструкций. - М.: Строй-издат, 1989. - 200 с.
2. Трушин С.И. Метод конечных элементов. Теория и задачи. - М.: Изд-во АСВ, 2008. - 256 с.
