Расчет напряженно-деформированного состояния в двойникующемся материале при наличии в нем двух параллельных встречных двойников Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.21

РАСЧЕТ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ В ДВОЙНИКУЮЩЕМСЯ МАТЕРИАЛЕ ПРИ НАЛИЧИИ В НЕМ ДВУХ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ВСТРЕЧНЫХ ДВОЙНИКОВ

Т. В. ДРОБЫШЕВСКАЯ, О. М. ОСТРИКОВ

Учреждение образования «Гомельский государственный технический университет имени П. О. Сухого» Республика Беларусь

Введение

Процесс эксплуатации деталей машин характеризуется сложнонапряженным состоянием, при котором в двойникующихся материалах образуются не единичные двойники, а их группы. В. М. Финкель, В. А. Федоров и А. П. Королев [1] выделили наиболее опасные варианты взаимодействия двойников, одним из которых является взаимодействие встречных параллельных двойниковых прослоек. В узлах встречи данных двойников возможно образование каналов Розе и микротрещин [1]. При этом поля напряжений группы двойников оказывают влияние на напряженное состояние материала, а соответственно, и на возникновение, характер развития и форму двойников и трещин. Именно поэтому изучение взаимодействия двойников является важным и актуальным. Данный вопрос уже достаточно широко изучен такими авторами, как О. М. Остриков [2]-[5], Л. Е. Карькина, А. Б. Ноткин [6], Л. А. Доросин-ский [7], И. С. Ясников, Д. А. Денисова [8], В. С. Савенко, В. В. Углов [9] и др. При этом имеется ряд вопросов, ранее не рассматривавшихся.

Целью данной работы является изучение напряженно-деформированного состояния, обусловленного наличием двух параллельных встречных двойников в двойни-кующемся материале.

Основная часть

Рассмотрим объем поликристалла, находящийся вдали от поверхности двойни-кующегося материала, содержащий группу из п двойников. Примем, что распределение дислокаций на границах каждого двойника задается тензором плотности дислокаций (а. , где ^ - номер двойника. Тогда в случае ненагруженного твердого

тела с п клиновидными двойниками с учетом методики, разработанной С. П. Киселевым [10], [11], условие равновесия группы клиновидных двойников может быть записано в виде:

да.. ~ --2 2

ат = 0 ~ - = 0 ~А < 3

а. = - р0. + Б., р = -Щк, Б. = 2м4, К = \ + ^;

1 1 (ди. ди. Л

е е Л- е с е А см-, .

е. = в. —в,,о., в.. = —

V . 3 кк у . 2

-+ —7

Кдх. дх . у

3

в р, вр = 2 (р. +Р.);

~ Г Г Г 1 Г Г I

= + > = Оу " 3Окк5 у , Оу = "СБ ]к1 ;

^ Р ^ ( ) (1)

а я = 8яр , ау = Е(аУ-I,,, ^ í=1

где о у - тензор напряжений; 8у - девиатор полных напряжений; - напряжения сил трения покоя; У!1 - предел текучести материала; р - давление; 5у - символ Кронекера; - тензор девиатора напряжений; К - модуль объемного сжатия; индекс е обозначает упругие деформации; д - модуль сдвига; еу - тензор девиатора деформаций; бу - тензор деформаций; ui - компоненты вектора перемещений; индекс р обозначает пластические деформации; Ру - тензор пластической дисторсии; 8 ум, 8 - абсолютно антисимметричные тензоры Леви-Чивиты; а у - тензор плотности дислокаций в рассматриваемом объеме; о У - вихревые самоуравновешенные напряжения, определяемые по следующей формуле:

Оу="Сб = "Сб 81°р ~дххрх~' (2)

где С - константа.

В соответствии с исследованием, проведенным Ш. К. Ханнановым, С. П. Ника-норовым и С. И. Бахолдиным [12], тензор плотности дислокаций границы ,-го двойника в группе определим по формуле

(ау I,, = I,, (Ь1, (Л I,, (3)

д

где (тд , - единичный вектор, направленный по касательной к дислокационной линии; (ьд - вектор Бюргерса; ()к( - функция распределения дислокаций;

д обозначает сорт дислокаций, и суммирование ведется по всем их типам. При этом плотности дислокаций на границах двойника соответствует формула [12]:

р *,, = £(/' к,. (4)

д

Рассмотрим группу двойников, состоящую из двух двойников (п = 2), образованных в результате внешнего нагружения изучаемого материала и развивающихся в параллельных плоскостях навстречу друг другу (рис. 1 и 2). Анализ сложнонапря-женного состояния материала будем проводить без учета напряжений, создаваемых концентраторами напряжений, обусловившими зарождение рассматриваемых двойников. Таким образом, будем учитывать лишь те напряжения, которые создаются двойникующими дислокациями. Пусть форма границ клиновидных двойников в плоскости ХОУ описывается функциями /¿шДх0), где , - номер рассматриваемого двойника, ш (ш = 1 или 2) - номер границы в рассматриваемом двойнике (рис. 1) [13], [14]. В рамках рассматриваемой задачи примем двойникующие дислокации параллельными друг другу и оси 02 (рис. 1). Плотность двойникующих дислокаций на границах клиновидных двойников равна р(Ш).

Рис. 1. Схематическое изображение двух параллельных встречных двойников

Так как в рассматриваемой задаче источники внутренних напряжений неподвижны, то при определении смещений и напряжений, создаваемых двойниками, правомерно использование принципа суперпозиции компонент тензоров смещений и напряжений [13]. Соответственно, смещения, создаваемые рассматриваемыми двойниками, могут быть определены по следующей формуле:

и =

I I (и(т !>, у),

(5)

í=1 т=1

где . принимает значения х, у или г; (ы(т ^¿(х, У) - смещения, создаваемые соответствующими двойниковыми границами. Данные смещения определяются с помощью криволинейного интеграла вдоль профилей соответствующих границ:

(т) = |рй(и(т,01,А

(6)

где - т-я граница ¿-го двойника; (ы|т,0))^ . - смещения, создаваемые отдельными

дислокациями на двойниковых границах.

Криволинейные интегралы (6) в соответствии с [14] сводятся к следующим определенным интегралам:

-%0 1 ^ / Л2

(ы(т!>,У)= | ^+ Ш(х0^рЦ(ы<т,°))),,(х,У, Х0К, (7)

где х. 0 - координата крайней левой точки двойника по оси ОХ ¿-го двойника (рис. 2); Ц - длина ¿-го двойника.

в

Рис. 2. Схема взаимного расположения дислокаций, их компонент вектора Бюргерса и декартовой системы координат для расчета полей напряжений и смещений у двух параллельных встречных двойников

При расчетах будем учитывать представленную на рис. 2 ориентировку винтовой и краевой составляющих векторов Бюргерса. При условии нахождения рассматриваемого объема вдали от поверхности смещения, создаваемые единичными двойни-кующими дислокациями, расположенными на соответствующей границе, в соответствии с [15] и [16] могут быть определены из соотношений:

((ш,0))^

Ъ1Л

2л

t у -/^Х)

arctg--ъ-

(у - /Ц(Х00 ))(х - Х0 )

2(1 -V) ((-/$(Х0))2 + (х-Х0)2

(ш,0)) V у

^,1

2л

1 - 2v

2л

4 - Я (х$ + (х - Х0)2) + ( - Х0)2-(( - ^ (Х0))2

4(1 -V) (( - /Ш (х$ +(х - Х0)2

У^0) 1л

Ь'ы t У - /^ (Х0) arctg- ■

2л

(8)

2л

t У - (Х0) arctg--ъ

(У - /МЫ)(х - Х0)

2(1 -V) ( - /$ (Х0))2+(х - Х0)2

е

е

Ь

Ы>,2

(иТ0))

V У >Ш,2

2л

1 - 2у

2л

1 (( / М ( ^ + ( )2 ), (( - Х0 )2 (0 ))2

1пК-(х0V + (х-х0) )+-/---=---:

4(1 -4у - № X)! + ( - х0 )2)_

(и!-0))

2л

агс^

У - /$ (х0)

(9)

где Ъеш , - модуль краевой составляющей вектора Бюргерса двойникующей дислокации ¿-го двойника; , - модуль винтовой составляющей вектора Бюргерса двойникующей дислокации ¿-го двойника; V - коэффициент Пуассона.

Аналогичным образом определяем поля напряжений. Для этого используем следующее соотношение:

22

где г, ] принимает значения х, у или г; (а

í=1 т=1

, у или г; (а(ту)

(10)

напряжения, создаваемые

соответствующими двойниковыми границами. Данные напряжения определяются с помощью криволинейного интеграла вдоль профилей соответствующих границ:

(т Ч, = 1рЙ(°г1А

(11)

где (а(т,0)) - смещения, создаваемые отдельными дислокациями на двойниковых границах.

Криволинейные интегралы (11) в соответствии с [14] сводятся к следующим определенным интегралам:

х, ,0+Ц

(¿ЛАу)= / ^+/?(хЯ] к. (12)

х ,0

Напряжения (о(т,0) ) , создаваемые отдельными двойникующими дислокация-

ми, расположенными на соответствующей границе, с учетом принятого направления составляющих вектора Бюргерса и при условии нахождения рассматриваемого объема вдали от поверхности в соответствии с [15] и [16] определяются следующим образом:

(аМ) )

хх Л^,1

|Ъ,1 (у - /ЙЫ) 3(х - х0) 2 + (( - /-т ) М2.

2л(1 -V) (х - ^+(у - /т х). 2

е

Ъ

Ы>,2

Ь

!Ъ1Л (у -/«М (х - х0)2-(( - М2'

2л(1 -V) (х х0 )2 +(( - /й (х0)1 2

V хУ

(х - хо (х - хо)2-(- /т (хо) )2]

2*(1 -V) (х - -о)2+(- /т (хо)Г 2

(а(т'о))

V гг Л»,1

(а(т'о))

V хг Л»,1

(с(т'о) ) V Уг Л»д

У - /$(хо)

*(1 - V) (х - -хо)2+(у - /Ут ) (хо)

У - /Ц(хо)

2* (х - -хо)2+(- /£} (о)Г

х - хо

(а(т'о))

V хх Лу

V УУ >У,2

(х - хо)2 +(у - /Я (хо))2' ^ (У - /$(хо))[з(х - хо)2 +(( - /« (хо) )2

V хУ Лж2

2*(1 -V) ^ (у - /У (х - х 2 (хо)) о)2 + ( - /й (хо))2 (х - хо)2-(у -/Ы 2 (хо)]

2*(1 -V) (х - хо)2 + (у - (хо))2. 2

е

^,2

(х - хо) [(х - хо)2-(( - /Ы (хо))2

2*(1 -V) [(х - х^2 +(( -/« (хо)

(а(т'о))

V гг )у

(с(т '0) )

V хг )у

(с(т'°) )

V Уг Пм>,2

^ у - /т(хо)

*(1 - V) (х - хо)2+(- /$(хо))2

У - (хо) .

2* (х - -о)2+(- /т (хо)'

х - хо

2* (х - хо)2 +(у - /!т1 (хо)Г

(13)

(14)

где д - модуль сдвига.

В качестве исследуемых двойников принимаем двойники, характеризующие начальную стадию развития клиновидных двойников в бездефектной области кристалла. Как правило, такие двойники имеют форму правильного клина, т. е. их границы прямолинейны. При этом пусть двойники имеют форму равнобедренных прямоугольников с вершинами в точках 0 и шириной у устья И{, соответственно. В таком случае форма границ двойников описывается следующими функциями [2]:

f (О (x ) = El С

x

v1" L J;

m (x0)=-E1; (15)

С x >

0

2

Li J

fl,) (xo) = л + f С

4

fl22 (xo) = h -i^M^], (16)

L0

2

где Л, с - параметры, определяющие взаимное расположение рассматриваемых двойников (см. рис. 2).

Для последующего анализа необходим также расчет полей гидростатических напряжений ай и комбинированных касательных напряжений т. Указанные напряжения рассчитываются по формулам [16]:

а = Еог/з; (17)

(18)

Результаты расчетов и их обсуждение

Все расчеты проводим для железа (bs1t= b1t = 0,124 мкм [17]; д = 81 ГПа [18]; V = 0,29 [17]), имеющего в своем объеме два встречных параллельных двойника (см. рис. 1, 2) (Н1 = 10 мкм, Ll = 100 мкм, H2 = 15 мкм, L2 = 170 мкм, h = 10 мкм, c = 15 мкм). Изучим случай, когда плотности дислокаций на двойниковых границах постоянны и равны, т. е. p^j = const = Cj, р^ = const = C2.

Результаты расчета полей напряжений представлены на рис. 3, где четко просматриваются двойниковые границы, являющиеся концентраторами напряжений. Из рис. 3 видно, что максимальные нормальные напряжения axx и azz и скалывающие напряжения a zx локализованы на двойниковых границах, а нормальные напряжений ay и скалывающие напряжения a^, axy - в узловых точках двойников.

Нормальные напряжения axx (рис. 3a), a (рис. 3б) и azz (рис. 3в) знакопере-

менны относительно осей OXl и OYl. Таким образом, у одной из границ клиновидных двойников (в первой и третьей четвертях) нормальные напряжения имеют характер сжимающих, а у другой (во второй и четвертой четвертях) - растягивающих. На изображениях полей скалывающих напряжений axy (рис. 3г) и azy (рис. 3d)

четко просматриваются узловые точки двойников. При этом у вершин двойников имеют место сжимающие напряжения, а у устьев - растягивающие. Следует отметить, что максимальные значения сжимающих напряжений, отмеченных у вершин двойников, в несколько раз превышают значения максимальных растягивающих напряжений у устьев. Также имеют место участки, свободные от скалывающих напря-

жений ау и а2у, которые расположены в средних частях двойников (в местах перехода напряжений от растягивающих к сжимающим).

Напряжения о2Х (рис. Зе), как уже было отмечено выше, локализованы на двойниковых границах и знакопеременны относительно осей ОХ\ и ОУ\. Они отрицательны в первой и третьей четвертях, а положительны - во второй и четвертой.

Местом концентрации гидростатических и комбинированных касательных напряжений т являются двойниковые границы (рис. Зж, Зи). При этом поле гидростатических напряжений ай (рис. Зж) имеет конфигурацию, аналогичную компонентам тензора напряжений, их определяющих (ахх, а и агг (рис. За-Зв)), - они знакопеременны относительно осей ОХ\ и ОУ\ (в первой и третьей четвертях ай отрицательны, а во второй и четвертой - положительны). Максимальные значения касательных напряжений т наблюдаются у вершин двойников (рис. Зи).

Рис. 3а. Распределение напряжений, обусловленных наличием двух параллельных встречных двойников а хх (х, у)

м

Рис. 3б. Распределение напряжений, обусловленных наличием двух параллельных встречных двойников а (х, у)

Рис. 3в. Распределение напряжений, обусловленных наличием двух параллельных встречных двойников а = (х, у)

Рис. 3г. Распределение напряжений, обусловленных наличием двух параллельных встречных двойников ах (х, у)

100

200

0

X. мкм

200

X. мкм

0

0

00

200

х. мкм

х. мкм

-50 0

Рис. 3д. Распределение напряжений, обусловленных наличием двух параллельных встречных двойников ст (х, у)

г. мкм

Рис. 3ж. Распределение напряжений, обусловленных наличием двух параллельных встречных двойников стл (х, у)

Рис. 3е. Распределение напряжений, обусловленных наличием двух параллельных встречных двойников ст (х, у)

Рис. 3и. Распределение напряжений, обусловленных наличием двух параллельных встречных двойников т( х, у)

Численные значения рассмотренных выше напряжений могут быть определены из (1о)-(18) при соответствующих значениях х и у.

Для более полного изучения сложно-деформированного состояния, обусловленного наличием двух параллельных встречных двойников в двойникующемся материале, проведем анализ зависимости гидростатических (ст И) и комбинированных касательных (т) напряжений и компоненты тензора сдвиговых напряжений стху от

различных параметров, характеризующих рассматриваемую пару двойников. Так, в качестве варьируемых параметров принимаем расстояние между вершинами двойников по горизонтали (с) и вертикали (И), а также отношение между длинами двойников (¿1/£2). В качестве базовых параметров принимаем взаимное расположение рассматриваемых двойников, определяемое размерами Н1 = 1о мкм, Ь1 = 1оо мкм, И 2 = 15 мкм, Ь2 = 17о мкм, И = 1о мкм, с = 1о мкм. Расчеты проводим для железа. Результаты расчетов представлены на рис. 4-6. Анализ рассматриваемых компонент напряжений проводим вдоль осей 0Хи 0У\ (см. рис. 2).

На представленных на рис. 4-6 графиках четко просматриваются элементы двойников, характеризующиеся экстремальными значениями напряжений.

о

200

ж. мкм

с=0 с=10 мкм , с=З0 мкм с=50 мк] с=70 мкм с=100 мкм

<Ун, Па'

а)

б)

Па'

Ь1/12=2.0 Ь1/12=1.7 Ь1/12=1.З

Ь1/12=0.6^ Ь1/12=0.З

в)

г)

Па

д)

е)

Рис. 4. Зависимость гидростатического напряжения от параметров, характеризующих взаимное расположение двойников: а - определенная вдоль оси ОХ от расстояния по горизонтали между вершинами двойников; б - определенная вдоль оси ОХ от расстояния по вертикали между вершинами двойников; в - определенная вдоль оси ОХ от отношения длин двойников; г - определенная вдоль оси О71 от расстояния по горизонтали между вершинами двойников; д - определенная вдоль оси О71 от расстояния по вертикали между вершинами двойников; е - определенная вдоль оси О71 от отношения длин двойников

Па

8

8

6

6

4

4

2

2

8

6

4

2

1о

=7о мкм

с=1оо мкм

т, Па

а)

Ь1/Ь2=2.о

1оо 2оо

б)

3оо х, мкм

в)

г)

7о мкм И=1 оо мкм

Lv/L5=1.7

д)

е)

Рис. 5. Зависимость касательного напряжения от параметров, характеризующих взаимное расположение двойников: а - определенная вдоль оси 0Х от расстояния по горизонтали между вершинами двойников; б - определенная вдоль оси 0Х от расстояния по вертикали между вершинами двойников; в - определенная вдоль оси 0Х от отношения длин двойников; г - определенная вдоль оси 071 от расстояния по горизонтали между вершинами двойников; д - определенная вдоль оси 071 от расстояния по вертикали между вершинами двойников; е - определенная вдоль оси 071 от отношения длин двойников

т, Па

2о

2о

1о

т, Па

2о

1о

а) б)

Рис. 6. Зависимость компоненты тензора напряжений сху от параметров, характеризующих взаимное расположение двойников: а - определенная вдоль оси ОХ от расстояния по горизонтали между вершинами двойников; б - определенная вдоль оси ОХ от расстояния по вертикали между вершинами двойников; в - определенная вдоль оси ОХ от отношения длин двойников; г - определенная вдоль оси О71 от расстояния по горизонтали между вершинами двойников; д - определенная вдоль оси О71 от расстояния по вертикали между вершинами двойников; е - определенная вдоль оси О71 от отношения длин двойников

Анализируя зависимости рассматриваемых напряжений (ст И, т, ст у) от расстояния между вершинами двойников по горизонтали (с), можно отметить следующее. Вдоль оси 0Х характер кривой при рассматриваемых значениях параметра с не изменяется. Так, например, не изменяются экстремальные значения стИ, имеет место лишь сдвиг площадки максимальных значений вдоль оси 0Х на величину с. Для напряжений т и стху экстремальные значения изменяются, однако они соответствуют

одной точке на всех графиках, расположенной вблизи вершины первого двойника. Гидростатические напряжения вдоль оси 0Х являются растягивающими, а напряжения оху - сжимающими (рис. 4, а, рис. 5, а, рис. 6, а). Графики рассматриваемых зависимостей вдоль оси 071 также имеют схожий характер, за исключением случая, когда вершины двойников находятся на одной линии по вертикали (с = о). В данном случае на всех кривых имеет место разрыв функции в точках, расположенных вблизи вершин двойников. Экстремальные напряжения вдоль оси 0У1 можно отметить на участках, расположенных между вершинами двойников, при этом при увеличении параметра с абсолютные значения напряжений вдоль оси 0У1 уменьшаются и график становится более пологим (рис. 4, г, рис. 5, г, рис. 6, г).

Влияние расстояния между вершинами двойников по вертикали (И) на рассматриваемые компоненты напряжений ст И, т, ст ху можно охарактеризовать следующим

образом. В случае, когда вершины двойников находятся на одной прямой по горизонтали (И = о), характер кривых, определенных вдоль оси 0Х, отличается от всех других вариантов. Так, напряжения оИ вдоль оси 0Х равны нулю, напряжения т и сху имеют два локальных минимума, расположенных вблизи вершин двойников. В остальных случаях кривые зависимостей стИ, т, стху вдоль оси 0Х имеют схожий

характер при различных значениях параметра И (рис. 4, б, рис. 5, б, рис. 6, б). Вдоль оси 0У1 характер кривых практически не изменяется при изменении параметра И. Изменяется лишь положение локальных экстремумов функций, соответствующих вершине второго двойника (рис. 4, д, рис. 5, д, рис. 6, д).

Варьирование отношения длин путем изменения длины второго двойника не оказывает влияния на форму зависимостей рассматриваемых напряжений как вдоль оси 0Х, так и вдоль оси 0Уь Изменяются лишь численные значения напряжений (рис. 4, в, рис. 4, е, рис. 5, в, рис. 5, е, рис. 6, в, рис. 6, е).

В целом можно отметить, что максимальные значения напряжений наблюдаются вдоль осей 0Х и 071 при таких значениях варьируемых параметров, как И = 1о мкм, с = о мкм, Ц/ Ь2 = 2 (см. рис. 4-6).

Также был проведен расчет экстремальных значений гидростатических (ст И) и комбинированных касательных (т) напряжений и компоненты тензора напряжений ст ^ для рассмотренных выше варьируемых параметров (с, И, во всем рассмат-

риваемом объеме поликристалла. Полученные результаты свидетельствуют о несущественной зависимости максимальных и минимальных значений от взаимного расположения двойников.

Заключение

Таким образом, изучено напряженно-деформированное состояние, обусловленное наличием пары встречных клиновидных двойников в двойникующемся материале. Изучена зависимость данного состояния от взаимного расположения двойников. Определены области, являющиеся концентраторами напряжений в кристалле при наличии в нем двух параллельных встречных двойников.

Литература

1. Финкель, В. М. Разрушение кристаллов при механическом двойниковании / В. М. Финкель, В. А. Федоров, А. П. Королев. - Ростов н/Д : Изд-во Рост. ун-та. -1990. - 172 с.

2. Остриков, О. М. Дислокационная макроскопическая модель клиновидного двойника / О. М. Остриков // Вестн. Гомел. гос. техн. ун-та им. П. О. Сухого. - 2006. -№ 2. - С. 10-18.

3. Остриков, О. М. Закономерности слияния двойников в монокристаллах висмута / О. М. Остриков // Физика металлов и металловедение. - 2012. - Т. 113, № 8. -С. 846-852.

4. Остриков, О. М. Кинетика образования клиновидных двойников в кристаллах висмута, облученных нерастворимыми в матрице мишени ионами / О. М. Остриков // Физика металлов и металловедение. - 1999. - Т. 87, № 5. -С. 78-82.

5. Остриков, О. М. Некоторые особенности формы клиновидных двойников в монокристаллах висмута, деформированных сосредоточенной нагрузкой / О. М. Ост-риков // Физика металлов и металловедение. - 2000. - Т. 90, № 1. - С. 91-95.

6. Карькина, Л. Е. Взаимодействие двойников с дислокациями и двойниками в TiAl. II. Взаимодействие двойников / Л. Е. Карькина, А. Б. Ноткин // Физика металлов и металловедение. - 1993. - Т. 75, № 3. - С. 155-161.

7. Кинетика изменения двойниковой структуры в монокристаллах YBa2Cu3O7.x / Л. А. До-росинский [и др.] // Письма в журн. техн. физики. - 1989. - Т. 49, № 3. - С. 156-159.

8. Ясников, И. С. Получение материалов, насыщенных двойниковыми границами, с помощью метода компактирования микрочастиц электролитического происхождения / И. С. Ясников, Д. А. Денисова // Журн. техн. физики. - 2012. - Т. 82, № 1. - С. 36-39.

9. Савенко, В. С. Эволюция ансамблей клиновидных двойников в монокристаллах висмута, облученных ионами углерода и циркония / В. С. Савенко, В. В. Углов, О. М. Остриков // Кристаллография. - 1999. - Т. 44, № 6. - С. 1100-1105.

10. Киселев, С. П. Внутренние напряжения в твердом теле с дислокациями / С. П. Киселев // Прикладная механика и техн. физика. - 2004. - Т. 45, № 4. - С. 131-136.

11. Киселев, С. П. Модель упругопластического деформирования материалов на основе калибровочной теории дефектов с учетом диссипации энергии / С. П. Киселев // Прикладная механика и техн. физика. - 2004. - Т. 45, № 2. - С. 177-187.

12. Ханнанов, Ш. Х. Модель идеальной релаксации термоупругих напряжений при выращивании монокристаллов / Ш. Х. Ханнанов, С. П. Никаноров, С. И. Бахолдин // Физика твердого тела. - 2003. - Т. 45, № 6. - С. 1020-1023.

13. Остриков, О. М. Механика двойникования твердых тел : монография / О. М. Ост-риков. - Гомель : ГГТУ им. П. О. Сухого, 2008. - 301 с.

14. Выгодский, М. Я. Справочник по высшей математике / М. Я. Выгодский. - М. : Аст, 2005. - 991 с.

15. Хирт, Дж. Теория дислокаций / Дж. Хирт, И. Лоте. - М. : Атомиздат, 1972. - 600 с.

16. Миркин, Л. И. Физические основы прочности и пластичности. (Введение в теорию дислокаций) / Л. И. Миркин. - М. : Изд-во МГУ, 1968 . - 538 с.

17. Полухин, П. И. Физические основы пластической деформации / П. И. Полухин, С. С. Горелик, В. К. Воронцов. - М. : Металлургия, 1982. - 584 с.

18. Китель, Ч. Введение в физику твердого тела / Ч. Китель. - М. : Наука, 1978. - 792 с.

Получено 15.02.2016 г.