Расчет напряженно-деформированного состояния прямоугольной пластины из углерод-карбидного композита Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 629.76

Б. С. С а р б а е в, Ю. Ю. Ширшов, К. П. Б а с л ы к

РАСЧЕТ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ПЛАСТИНЫ ИЗ УГЛЕРОД-КАРБИДНОГО КОМПОЗИТА

Приведен расчет напряженно-деформированного состояния тонкой пластины из слоистого углерод-карбидного композиционного материала с ортогональным 2D армированием, позволяющий достаточно быстро предсказать механизм разрушения и рассчитать разрушающую нагрузку. Предложен вариант аналитического решения задачи. Показано, что решение, найденное с помощью метода конечных элементов, хорошо согласуется с аналитическим решением. Рассмотрен численный пример. Отмечено, что вследствие низкой прочности углерод-карбидного композита на межслойный сдвиг для тонкостенной пластины возможен механизм разрушения, обусловленный расслоением.

E-mail: bssarbayer@mail.ru

Ключевые слова: углерод-карбидный композиционный материал, тонкая пластина, напряженно-деформированное состояние, прочность, межслойный сдвиг, разрушение.

В тонкостенных элементах конструкций современных летательных аппаратов, испытывающих значительные тепловые и механические нагрузки, применяются углерод-карбидные композиционные материалы (УККМ). Как правило, они имеют слоистую структуру с ортогональным 2D армированием. В качестве наполнителя используется углеродная ткань, уложенная в несколько слоев. Слои соединены редкой поперечной прошивкой. В результате сложной термической обработки наполнителя, первоначально пропитанного полимерным связующим, получается карбидная матрица [1]. Особенностью УККМ является то, что теплофизические и физико-механические характеристики позволяют рассматривать его и как функциональный материал, обеспечивающий теплозащиту конструкции, и как конструкционный, способный выдерживать сравнительно высокие силовые нагрузки. Именно эти качества способствовали применению УККМ в современных высокоскоростных летательных аппаратах, перемещающихся в условиях земной атмосферы.

Рассматривая слоистый УККМ как конструкционный материал, следует отметить, что ему присуща анизотропия свойств, а также низкая жесткость и прочность при поперечном нагружении и меж-слойном сдвиге. При испытаниях и эксплуатации это может вызвать разрушение, обусловленное расслоением, даже сравнительно тонких конструктивных элементов. В связи с этим повышенные требования

предъявляются к способам расчета напряженно-деформированного состояния тонкостенных элементов конструкций из УККМ. В настоящее время в прикладных расчетах безусловный приоритет имеет метод конечных элементов (МКЭ). При этом широкое распространение получил подход, при котором тонкостенный элемент конструкции рассматривается как трехмерное тело с применением соответствующих конечных элементов. Например, в случае тонкой оболочки вращения в работе [2] используется конечный элемент виде кольцевого осесим-метричного тела с треугольным поперечным сечением. В многочисленных современных работах при расчете тонкостенных объектов с помощью таких программных комплексов, как NASTRAN, ANSYS, часто используются трехмерные конечные элементы. В этом случае расчет тонкостенного деформируемого тела, по существу, рассматривается как решение трехмерной задачи теории упругости.

Следует отметить, что указанный подход эффективен при проведении поверочных расчетов конструкции. В то же время на этапе проектирования, когда требуется оперативно оценить напряжения и деформации, основные геометрические и массовые характеристики элемента конструкции, он неудобен в силу своей громоздкости. В этом случае по-прежнему востребованы относительно простые расчетные соотношения и вычислительные алгоритмы. Для их обоснования целесообразно иметь аналитические решения соответствующих задач. В случае проектирования тонкостенных плоских конструктивных элементов из УККМ для этой цели целесообразно использовать решения, следующие из уравнений теории изгиба тонких пластин, учитывающих деформации поперечного сдвига.

Известны многочисленные решения для тонких анизотропных пластин, полученные по классической теории, основанной на гипотезах Кирхгофа-Лява [3]. Не так многочисленны работы, в которых приведены аналитические решения задач на основе теорий, учитывающих деформации поперечного сдвига. Чаще всего рассматриваются решения и соответствующие расчетные зависимости, полученные для прямоугольной пластины с шарнирным опиранием по контуру [4, 5].

В настоящей статье предложен вариант решения задачи об изгибе тонкой ортотропной прямоугольной пластины, нагруженной равномерным поперечным давлением. Две противоположные стороны этой пластины шарнирно оперты, а две другие стороны заделаны. По сути это типовая расчетная схема для плоских тонкостенных элементов конструкций летательных аппаратов, изготовленных с применением композитов [4]. При решении используются уравнения теории тонких анизотропных пластин, учитывающие деформации поперечного сдвига. Аналитическое решение записывается в одинарных тригонометрических рядах. Физико-механические характеристики материала пластины соответствуют характеристикам УККМ. Предложенное

решение, несмотря на сравнительную громоздкость, в сочетании с пакетом МаШСаё позволяет достаточно быстро оценить параметры напряженно-деформированного состояния пластины, предсказать механизм разрушения и рассчитать разрушающую нагрузку. Показано, что решение, найденное с помощью МКЭ, хорошо согласуется с полученным аналитическим решением.

Пусть прямоугольная пластина нагружена равномерным поперечным давлением д. Ее геометрические размеры и выбранная система прямоугольных декартовых координат показаны на рис. 1. Для расчета будем использовать уравнения линейной теории изгиба ортотропной пластины, учитывающей деформации поперечного сдвига [4], следующего вида:

д 3 О

D11 ^ + (Di2 + 2D33)

д3 Oy

+

д3 Ох

ßx2 ду дхду 2у

+ D22 д3! + q = 0;

ду 3

^ = -Ох + i

x

Kx

D

11

д2Ох

x2

+ (D12 + D33)

д2 Oy

x у

+ D

33

д2Ох

у2

(i)

д^ 1 ъ = -Oy+к

D

22

д2 Оу __ \ д2 Ох

у +(Di2 + D33)- х

+ D д 2 Оу

+ D33 0 2

дх2

ГЛ О 1 \ 12 1 ОО /о ГЛ

ду2 охоу

Здесь у) — перемещение точек срединной поверхности пластины в направлении оси О^; вх, — углы поворота нормали к срединной поверхности относительно осей ОУ и ОХ соответственно; Б11, В22, , Азз, Кх, Ку — жесткостные характеристики упругой однородной ортотропной пластины постоянной толщины к, вычисляемые по формулам

£>п =

Ei h3

12(1 - V12V21)'

D22 =

E2 h3

12(1 - V12V21)'

D33 =

G12 h3 12 ;

°12 = 10 ,л 1 21-V; = ^13Ь; Ку = С2зЬ.

12(1 - ^12^21)

В этих соотношениях Е1,Е2 — модули упругости материала в направлении основы и утка соответственно (см. рис. 1); С12 — модуль сдвига в плоскости ХОУ; ^12, и21 — коэффициенты Пуассона; С13, С23 — модули сдвига в плоскостях ХО2 и УО2 соответственно.

Погонные изгибающие моменты Мх, Му, крутящий момент Мху, приложенные к срединной поверхности пластины, рассчитываются следующим образом:

Мх = ВцКх + 012 Ку;

Му = 0иКх + Д22 Ку; (2)

Мху = °ззКху,

где

кх ~ , Ку — , кху ~ +

дх ду ду дх

Кроме этого, для погонных перерезывающих сил Ях и имеем зависимости

п п д20х , ,п , п лд26у, д2вх

Ях = Он-- + (012 + 0зз)—у + Дзз——;

дх2 дхду ду2

(3)

^ д% „ ч д2вх „ д2ву

Яу = 022^Т2 + (012 + 0зз)т-^ + Азз^. ду2 дхду дх2

Как видно, уравнения (1) образуют неоднородную систему трех линейных дифференциальных уравнений в частных производных относительно трех неизвестных функций у)(х,у), вх(х,у), 9у(х,у). Для ее решения воспользуемся методом одинарных тригонометрических рядов. Искомые функции представим в виде тригонометрических рядов

оо

w(x,y) = ^ Wn(y) sin(Anx);

n=1

9x(x, y) = Qxn(y) cos(Anx); (4)

■'xn V

n=1

°у (х,у) = 5^ вуп(у)81П(\пх),

п=1

причем Хп = пп/а. Тогда из формул (2) для изгибающих моментов можно получить такие равенства:

Mx(x,y) = ^2 Mxn(y) sin(Anx);

n=1

My (x, y) = ^2 Myn(y) sin(Anx); (5)

n=1

где

Mxy (x,y) = ^2 Mxyn(y) cos(Anx),

d9 у

xy

n=1

Mxn(y) = -DuAndxn + D12-

yn

dy

-0

Муп(у) = -Ои\п0хп + О 22 -0ГП;

Мхуп(у) = Взз(^ + Хп0уп

Перерезывающие силы в соответствии с равенствами (3) вычисляются так

оо

Qx(x,y) = ^2 Qxn(y)cos(Anx);

(6)

хп

п=1 ж

Яу(х,у) = ^2 Яуп(у)^п(^пх).

п=1

Здесь приняты обозначения

Яхп(у) = -Пи\п0хп + (о 12 + Пзз)Хп + Озз -уп;

Яуп(у) = 022-у^Т - (012 + Пзз)Хп- БззХ^уп.

Внешнюю нагрузку также представим в виде тригонометрического ряда. Для случая постоянного давления будем иметь

ж

д(х,у) = ^2 Уп йш(Хпх),

п=1

где уп = 4у/(пп), п = 1, 3, 5,..., 2к — 1, к = 1, 2, 3 —

Далее рассмотрим пластину, которая по краям х = 0 и х = а шарнирно оперта, а по краям у = ±Ь/2 заделана. Тогда можно записать

граничные условия

X = 0, X = а : т = 0, Ых = 0, ву = 0;

У = ± b

У 2

w = 0, вх = ву = 0.

Как следует из формул (4) и (5), граничные условия при х = 0, х = а выполняются. Подставляя зависимости (4) в уравнения (1), получаем следующую систему обыкновенных дифференциальных уравнений относительно амплитудных функций Wn(y), вхп(у), вуп(у):

п Л

Б22"

'yn

dy3

- (D12 + 2Дзз)А^ K-P +

de.

d2ex

dy dy2

+ ^11АПвхп + qn = 0;

D33 d2e xn ,

К ~dy2~ +

+ ч+Dx An

вхп--+-An —вУ—+ A nWn = 0;

(8)

Kx

dy

D33 d2e>

yn

Ky dy2

+ 1 +

D

33 2 \ Л D12 + D33 de xn , dWn n КЗ AnJeyn + Ky An^~ + """ = 0

-у / ку ¿у ¿у

Далее предполагаем, что пластина изготовлена из УККМ с ортогональным 2Б армированием. В качестве наполнителя используется углеродная ткань, уложенная в несколько слоев, соединенных редкой поперечной прошивкой. При выполнении расчетов такой материал в первом приближении можно рассматривать как квазиизотропный. Для характеристик упругости примем следующие упрощающие соотношения:

Е\ = Е2 = Е; ^12 = ^21 = V; = €23 = С. (9)

Тогда можно записать Б11 = Б22 = Б, Кх = Ку = К .С учетом равенств (9) преобразуем систему уравнений (1).

Продифференцировав один раз второе уравнение из системы (8) и решив его совместно с третьим уравнением этой же системы, после преобразований получим

d4 - d d2e

yn

K

+

D33 d3ex

dy2 AnK dy3

+ 1 +

D

33 2

KAn

+

eyn +

D4 - D 1 К An An

d,ex

dy

= 0. (10)

Здесь приняты следующие обозначения: D3 = Di2 + 2D33, D4 = Di2 + + D33.

Далее продифференцируем один раз первое уравнение из (1) при условии, что qn = const. Получим

ddx

1 d4ft

yn

+

Da

d4

yn

+

1 d3£x

dy \П dy4 XnD \ dy2 Xn dy3 Уравнения (10) и (11) образуют следующую систему уравнений:

(11)

D33 d39x XnK dy3

D3 d3e:r

+

D4 - D

K An An

ddx

dy

D4 — D d2e,

yn

K

ddx

dy2 1 d4£

- 1 +

D

K

33 2

An

yn

(12)

yn

D3 d2e.

yn

X2nD dy3 dy X3n dy4 XnD dy2 ' Рассматривая систему (12) как систему линейных алгебраических

dd xn d39 xn

уравнений относительно производных лучить следующие выражения:

dy dy3

-, в итоге можно по-

А,

Л

' dy3 D3

1

К

D4 - D

K An An

d4£

yn

dy4

+

da- d d2e.

yn

K

dy2

А

AnD

d&xn

D4 - D 1 K An An

d4

yn

+

D

33

1 d46.

yn

dy2 D3 d26.

1 + D33 A2

yn

dy AnK \An dy4 AnD dy2

K

+

yn

(13)

D3

AID

d4 — d d2e.

yn

K

dy2

+

1 + D33 A2

K

yn

Здесь

An =

D

33

D4 D

AnK AnKD

D3 +

D3 A3 D'

Дифференцируя дважды второе равенство системы (13) и сравнивая его с первым равенством этой же системы, после преобразований получаем однородное дифференциальное уравнение относительно угла поворота вуп

yn

dy6

Do .2 + K \ d49yn

DD33 n + D33) dy4

+ A2 2D3K + DoAl d20yn .4 + n DD33 dy2 n

где Do = D2 - D22 + D33(D - 2D12).

K

D

33

+ An Kn = 0, (14)

+

n

f

Далее удобно ввести следующие величины:

Оо Е Бз , 2012(1 - V2) 2

т = тззз = 012+(1-2р), 1 = Б =р+—Е—, К = К/Бз.

Отсюда следует, что

= (т - 1)у + 2 т - 1 + 2у

Тогда уравнение (14) можно представить как

—-{к2 + тХ2п) + Х2п(21к2+тХп)-К (к2 + ХI) 0уп = 0

у у у (15)

и при этом показать, что

An =

An

1+ f(2 - m - v) f

к2 к2(1 + V) Хп

Отметим, что для трансверсально изотропного тела, когда 012 = = Е/[2(1 + V)], имеют место равенства т = 3, f = 1, Ап = Как обычно, решение уравнения (15) ищем в виде

0уп(у) = Апвапу. (16)

После подстановки выражения (16) в уравнение (15) получим следующее характеристическое уравнение:

«п - (к2 + тХп) ап + Х2П^К2 + тХ2п)а2п - Х4п (к2 + Хп,) = 0. (17)

Для трансверсально изотропного тела уравнение (17) принимает

вид

а - хп)2 (ап~ хп — =0.

V п ' хп) 1 ^п / хп Г") /

V Бзз;

Озз

Корни этого уравнения можно записать так:

а( 2 Хn, а( 4 Хп, а(() а"П 6 \/ Хп + К .

Отметим, что в работе [6] на основании иного способа учета поперечных сдвигов были получены корни, которые в принятых обозначениях имеют вид

аЩ'2) = Хп, апз4 = -Хп, а^5 = -а<& = у/Х^ + 5к2/6.

Решив алгебраическое уравнение (17) и получив выражение для 0уп(у), далее по второй формуле из (13) находим производную 1хп.

-у

Продифференцировав один раз полученное выражение, определяем

— 0хп п

производную —г^-. Затем, воспользовавшись первым равенством си-

—у2

стемы уравнений (8), получаем выражение для угла поворота 0хп(у).

Тогда из второй формулы системы (8) следует формула для прогиба

Wn(y).

Применив изложенный порядок расчета для рассматриваемой квазиизотропной пластины из УККМ, после преобразований будем иметь следующие выражения:

п { \ __— 0уп — 0уп —0уп оч

0хп(у) = а11п ——+ а12п —уз—+ а1зп~—у— аюп ] (18)

dy5

d50y

d30y

Wn(y) = bnn^dy^r + b12n^y3r + b

d0

13n-

yn

dy

+ b

10n;

(19)

0yn(y) = Arneaniy + A2nean2y + A3nean3y+

+ Airieaniy + A5nean5y + A^e^, (20)

где

n

a11n =

a12n =

a13n =

An Sn

An

n

An

n2An (2 — m — v

Sn

n v 1 + v

п(к2 + AI)

-n - 1

AnSn

+ 1

a10n =

AID

b11n =

AnSn

1 n ( m - 1 + 2v AI

о Tn 1 + n

к2 A2

1- v2

к

b-\2n =

AnSn

2 - m - v \ n — n

■ к2

1

А

1 + v

2 - m - v

1 + v

- n I n An - Sn

1+

m

— 1 + 2v A2

1 v2

к2

b13n =

п(к2 + An) v2 + (m - 1)v +1

A S к2

nn

+

n

- F1! +

n

(1 - v2)к2

m - 1 + 2v An к2

b10n = 1 +

1 - v2

m- 1 + 2v A

п(к2 + A2n)

An, Sn

+1

1v2

qn ; к2 1 A4D ;

Sn = к2 An An;

1

1

1

3 — т V + (т — 1)v +1 f

Д =--.-^---и —

п ЛпК2 (1 + V)(т - 1 + 2v) + АП.

Здесь апг — корни характеристического уравнения (17). Константы Л^п определяются из граничных условий для амплитудных функций, которые на основании равенств (4) и условий (7) принимают вид

У = ±2 : Wn = 0, вхп = вуп = 0. (21)

Корни характеристического уравнения (17) можно получить с помощью формул Кардано. Для этого запишем его следующим образом:

хп — 11пх11 + 12пхп — 1зп = 0, (22)

где хп = «п, 11п = к2 + тЛп > 0, Ьп = 2f к2 + тЛ2п > 0, 1зп = к2 + + Лп > 0. Как обычно, при использовании подстановки гп = хп + 11п/3 из уравнения (22) следует неполное кубическое уравнение ^ + рп2п + + дп = 0, где в принятых обозначениях имеем

3рп = т(3 — т)Лп + 2к2(3f — т)Лп — к4;

27qn = (—2т3 + 9т2 — 27)Лп+

+ к2(18^ + 9т — 6т2 — 27)Лп + 6к4 (3f — т)Л2п — 2к6.

В зависимости от значения дискриминанта Qn = рп/27+рП/4 получим либо три действительных корня, либо один действительный и два комплексно сопряженных корня.

Численный анализ показывает, что для широкого класса квазиизотропных пластин, изготовленных из УККМ с ортогональным 2Б армированием, в интервале 1 < п < и*, где п* ~ 50, имеем Qn > 0. Следовательно, в этом случае для неполного кубического уравнения будем иметь один действительный и два комплексно сопряженных корня. При этом корни уравнения (17) запишем так:

«1п = ш,п; «2п = —^п; азп = Рп + гПп';

а4п Рп Щп; а5п Рп Щп; а6п Рп + Щп.

В этом случае общее решение (20) для однородного уравнения (15) можно представить следующим образом:

вуп (у) = Л1п8Н(ШпУ) + А2п еЬ(^пу) + АзпФ1п(у) +

+ Л4пФ2п(у) + Л5пФзп(у) + ЛбпФ4п(у). (23) Здесь приняты обозначения

Ф1п(у) = йЬ(Рпу) 81п(Ппу); Ф2п(у) = йЬ(Рпу) еоз(ппу);

1п п п 2п п п (24)

Фзп(у) = сЬ(Рпу) еоэ(ппу); Ф4п(у) = сЬ(Рпу) Э1п(Ппу).

Используя равенства (18)-(20), (23), (24), для искомых величин можно получить зависимости

Oxn(v) = Cn[Aln ch(uny)+A2n sh(wny)] + A3n[sn$4n (y) + ^2n(y)] +

+ A4n [sn Фзп(у) - tn$1n(y)] + A5n[SnФ2n(y) - tnФ4п(у)] +

+ A6n[snФln(y) + ^Фзп(у)] + ai0n; (25)

Wn(y) = Dn[Ain ch(^ny)+A2n sh(^ny)]+A3n[рпФ4п(y) + гпФ2п(у)] +

+ A4n [РпФзп (y) - ГпФщ(у)] + A5n [РпФ2п (y) - ГпФ4п(у)] +

+ A6n[pnФln(y) + ГпФзп(у)] + bion, (26)

где

Sn = Pn[aiin(pn - 10рПпП + 5пП) + ai2n(pn - ЗпП) + ai3n];

tn = Пп[&ип(пП - 10pnпП + 5рП) - ai2n(nn - 3рП) + ai3n];

Cn = («-iin^n + ai2n^n + ai3n )Шn,

Pn = рп[ьип(рп - юрппп + 5пп ) + bi2n (рп - 3пп ) + bi3n]; rn = nn[biin(nn- Юрппп + 5рп) - bi2n (пп - 3рп ) + bi3n];

Dn = (biin^ + bi2n^n + bi3n )^n.

Константы интегрирования определим из условия симметрии задачи и граничных условий. В системе координат, показанной на рис. 1, функция 9yn(y) должна быть нечетной, а функции амплитудных перемещений Wn(y) и углов поворота нормали dxn(y) - четными. Тогда из формул (23) и (24) следует, что A2n = A3n = A5n = 0. В итоге имеем

dyn(y) = Ain sh(wny) + A4nФ2n(y) + A6nФ4n(y). (27)

Зависимости (25) и (26) упростятся и примут следующий вид:

#xn(y) = CnAin ch(^ny) + A4n[ SnФ3n

(y)

tnФ in (y)] + + A6n[ SnФ1n (y) + ^ф3п(у)] + ai0n; (28)

Wn(y) = DnAin ch(^ny) + A4n [РпФ3п(у) гпф1п (y)] +

+ A6n[PnФln(y) + ГпФ3п(у)] + bion. (29)

Оставшиеся три константы находим из граничных условий (21) при у = b/2. Таким образом, получим систему линейных алгебраических

уравнений относительно констант A1n, A4n, A6n:

sh gn Ain + $2n (b)A4 n + Ф4п (b)A6n = 0;

Cn ch gn A1n + ^12n A4n + ^14n A6n = — a10n;

Dn ch gnAin + ßi2nA4n + ßlAnA6n — — b10n,

где

Ах2п = snФзп(Ь) - гпФщ(Ь); Лх4п = 5ПФ^(Ь) + ¿пФэп(Ь);

@12п = РпФзп(Ь) - ГпФ1п(Ь); @14п = РпФ1п(Ь) + ГпФзп(Ь);

Ь = Ь/2; дп = Ь^п.

Вычисления по формулам (27)-(29), а также решение характеристического уравнения (17) и системы уравнений (30) удобно выполнять с помощью пакета МаШСаё. При этом следует учитывать, что ряды (4)-(6) достаточно быстро сходятся [4]. В практических расчетах можно использовать только первую гармонику.

Рассмотрим пример. Пусть характеристики УККМ таковы, что выполняются соотношения Е/С12 = 11,931; С/С12 = 0,057; V = 0,1. Для внешней нагрузки зададим д/С12 = 0,00517-10-3. Для геометрических параметров примем Ь = Ь/а = 1,591; к = к/а = 0,014. Далее использованы следующие обозначения: Ю = ю/а; х = х/а; у = у/а;

= ^/^12 (г ^ х, у, хг, у г). При анализе учитывался только первый член тригонометрического ряда. На рис. 2 изображены эпюры прогибов пластины ю(х, у), а на рис. 3 — эпюры нормальных напряжений, действующих вдоль осей симметрии пластины. Эпюры поперечных касательных напряжений на краях пластины показаны на рис. 4. Используя полученные результаты, можно определить координаты точек пластины, в которых напряжения принимают экстремальные значения.

Рис.2. Эпюра прогибов пластины Рис.3. Эпюры нормальных напряже-

т(х, 0) и т(а/2, у) ний ау(а/2, у) и ах(х, 0)

В табл. 1 указаны координаты таких точек. Через уэ обозначен ко-

рень уравнения

dMXyn (y) dy

= 0.

Представленное решение для квазиизотропной пластины полезно сопоставить с решением по МКЭ. Для этой цели был использован плоский треугольный ше-стиузловой конечный элемент [5]. В этом элементе, основные соот-

н°шения к°т°рого п°стр°ены та р^.4. ЭпЮрЫ поперечных каса-основе смешанного вариационного тельных напряжений ахх(0,у) и принципа, учитываются деформа- (х,ь/2)\ ции поперечного сдвига. В табл. 2

сравниваются результаты расчета, полученные изложенным аналитическим способом и с помощью МКЭ. Как следует из этой таблицы, совпадение результатов удовлетворительное.

Таблица 1

Координаты точек пластины, в которых напряжения максимальны

Координата Напряжение

Gx Gy Gxy Gxz Gyz

x a/2 a/2 a/2 0 a/2

У 0 b/2 Уэ 0 b/2

Таблица 2

Сравнение результатов аналитических и численных расчетов

Решения Параметры

w(0,5;0) 0x (0,982; 0) 0y (0,5; 0,502) Gy(0,5; 0)

Аналитическое 0,0174 0,0525 0,0314 8,685-10-3

МКЭ 0,0172 0,0539 0,0313 8,82340-3

Решения Параметры

Gx(0,5; 0) Gxz (0,982; 0) Gyz(0,5; 0,779)

Аналитическое 0,0143 —1,657-10-4 —3,551-10-4

МКЭ 0,0139 —1,439-10-4 —3,359-10-4

Достоинством предложенного решения является то, что с его помощью можно сравнительно просто оценить разрушающую нагрузку q*. Пусть рассматриваемый УККМ подчиняется критерию максимальных напряжений. При этом заданы пределы прочности при растяжении и

сжатии вдоль основы и прочности при растяжении и сжатии вдоль утка ^+2 и ^_2, предел прочности при сдвиге в плоскости армирования ^12, пределы прочности при межслойном сдвиге и ^23. Для определенности примем следующие соотношения между характеристиками материала:

F

+1

F

= 6,07;

12

F-i

Fi

= 4,29;

F+

+2

12

F1

= 5,0;

F2

12

F1

= 4,29;

12

Fi3 F23

-M = _J± = 0,14; F12 F12

F1

G

12 = 4,83 • 10-3. 12

На основании данных табл. 1 можно сделать вывод о том, что при Г_1 < и < возможны пять механизмов разру-

шения пластины: 1) разрушение от сжатия вдоль основы в точке х = а/2, у = 0; 2) разрушение от сжатия вдоль утка в точке х = а/2, у = Ь/2; 3) разрушение от сдвига в плоскости пластины в точке х = а/2, у = уэ; 4) разрушение от межслойного сдвига в плоскости X0Z в точке х = 0, у = 0; 5) разрушение от межслойного сдвига в плоскости Y0Z в точке х = а/2, у = Ь/2. Обозначим через д* = д*/д (г ^ х,у,ху,хг,уг) разрушающую нагрузку, соответствующую указанным механизмам разрушения. В табл. 3 для разных толщин приведены рассчитанные значения этой величины.

Таблица 3

Значения разрушающей нагрузки

h/a €y qxy qxz qyz

0,0136 1,447 1,001 3,667 4,0 1,877

0,0272 5,667 4,333 15,0 8,0 4,0

Как следует из табл. 3, при h/a = 0,0136 разрушение пластины произойдет от сжатия вдоль утка в точке x = a/2, y = b/2 при qy « 1,001q. При h/a = 0,0272 разрушение обусловлено межслойным сдвигом в плоскости YOZ в этой же точке при нагрузке ~ 4q.

Рассмотренный численный пример свидетельствует об актуальности адекватного расчета на прочность тонкостенных элементов конструкций из УККМ. При этом надо учитывать, что в зоне приложения сосредоточенной нагрузки, в точках закрепления, на краях изделия межслойные напряжения могут изменяться по толщине по сложному закону, отличного от параболического, с выраженной концентрацией напряжений [2, 7]. Окончательное заключение о прочности тонкостенного конструктивного элемента из УККМ можно получить после проведения поверочного расчета с применением экспериментально обоснованного критерия прочности и корректно измеренных прочностных характеристик композита.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Щ у р и к А. Г. Искусственные углеродные материалы. - Пермь, 2009. - 342 с.

2. Носатенко П. Я. Численное решение пространственных задач механики слоистых анизотропных оболочек из композитных материалов / В сб. Механика в авиации и космонавтике; Под ред. С.В. Челомея. - М.: Машиностроение, 1995. -С. 110-127.

3. ЛехницкийС. Г. Анизотропные пластинки. - М.-Л.: ГИТТЛ, 1947. - 355 с.

4. Васильев В. В. Механика конструкций из композиционных материалов. -М.: Машиностроение, 1988. - 269 с.

5. П о п о в Б. Г. Расчет многослойных конструкций вариационно-матричными методами. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1993. - 294 с.

6. Амбарцумян С. А. Теория анизотропных пластин. - М.: Наука, 1967. -268 с.

7. Межслойные эффекты в композитных материалах: Сб. статей под ред. Н. Пэйгано. - М.: Мир, 1993. - 346 с.

Статья поступила в редакцию 15.05.2012