Точные решения задач об изгибных и поперечно-сдвиговых формах потери устойчивости и свободных колебаний прямоугольной ортотропной пластины с незакрепленными краями Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

Том 152, кн. 1

Физико-математические пауки

2010

УДК 519.958

ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ОБ ИЗГИБНЫХ И ПОПЕРЕЧНО-СДВИГОВЫХ ФОРМАХ ПОТЕРИ УСТОЙЧИВОСТИ И СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ОРТОТРОПНОЙ ПЛАСТИНЫ С НЕЗАКРЕПЛЕННЫМИ КРАЯМИ

В.Н. Паймушип, Т. В. Полякова

Аннотация

Рассматриваются линеаризованные задачи об упругой устойчивости ортотроппой прямоугольной пластины с незакрепленными краями, которая находится под действием погонных сил неизменных направлений, вызывающих в пластине или одностороннее и двустороннее сжатие, или чистый сдвиг. Для постановки задач используются известные уравнения уточненной теории пластин типа Тимошенко, учитывающей поперечные сдвиги. На базе двойных тригонометрических базисных функций построены такие аналитические решения указанных задач, которые удовлетворяют всем статическим граничным условиям. В зависимости от структуры построенных решений для удовлетворения уравнениям возмущенного равновесия пластины составляются и соответствующие уравнения метода Бубнова, исходя из которых определяются бифуркационные значения действующих сил и окончательно выявляются соответствующие им формы потери устойчивости. На основе предложенного метода пайдепы аналитические решения задачи и о малых свободных колебаниях пластины с незакрепленными краями.

Ключевые слова: линеаризованная задача устойчивости, прямоугольная пластина, двустороннее сжатие, чистый сдвиг, изгибпые и поперечпо-сдвиговые формы потери устойчивости, свободные колебания, незакрепленные края, тригонометрические базисные функции, аналитические решения, метод Бубнова.

Введение

Точные аналитические решения тех или иных задач механики деформируемых твердых тел (в частности, тонкостенных элементов конструкций в виде пластин и оболочек) известны лишь для некоторых частных видов граничных условий. Решений в виде конечных аналитических формул для элементов конструкций с незакрепленными краями в литературе, по-видимому, но имеется. Метод их построения для задач о плоских формах свободных колебаний прямоугольной ортотроппой пластины с незакрепленными краями был предложен в работе [1]. Он основан на использовании двойных тригонометрических функций в качество базисных и представлении решения в виде такой суммы линейно независимых частных решений, каждое из которых удовлетворяет граничным условиям задачи или при их подчинении некоторым равенствам, вытекающим из граничных условий, или без наложения на них каких-либо условий. Завершающий этап построения решения задачи требует их удовлетворения уравнениям движения пластины в форме уравнений метода Бубнова, структура которых зависит от структуры построенных решений. Дальнейшее развитие предложенного метода, связанное с построенном решения задач о плоских формах потери устойчивости (ФПУ) прямоугольной пластины

с незакрепленными краями, находящейся в условиях двухстороннего растяжения-сжатия. а также о пространственных формах свободных колебаний прямоугольного параллелепипеда с незакрепленными гранями, было дано в работах [2. 3]. В настоящей статье на его основе построены аналитические решения задач об изгибно-сдвиговых н поперечно-сдвиговых ФПУ. а также о свободных колебаниях пластины указанного выше вида, которые дополняют полученные ранее [1 3] результаты.

1. Постановка задачи устойчивости

Рассмотрим прямоугольную пластину со сторонами а, 6 и толщиной Н, ограниченную координатными линиями х = 0, х = 0и у = 0, у = 6 прямоугольной декартовой системы координат. Будем считать материал пластины ортотропным с осями ортотропии. совпадающими с осями выбранной системы координат. На кромках х = 0, х = аиу = 0, у = 6 заданы соответственно погонные сжимающие усилия р и д, а также погонные касательные усилия т неизменных направлений («мертвые» [4] силы). При таком виде иагружеиия в пластине формируется плоское напряженное состояние как в невозмущенном, так и в возмущенном состояниях равновесия. Поэтому для изгибных форм потери устойчивости в рамках уточненной модели С.П. Тимошенко имеют место следующие линеаризованные уравнения возмущенного равновесия [5]

дМц dMí2 дМ12 дМ22

Л = -ö--1--т--113 = U> J'2 = ~т--1--т--123 = U,

dx dy ' dx ду

+ ° —+Т° — + 2Т° —

дх ду 11 дх2 22 ду2 12 дхду

(1.1)

где при рассматриваемом виде нагружения T/j = —p, T202 = —q, Tj2 = т, а перерезывающие усилия Tis, T23 и моменты Ыц, M22, M\2 с функциями перемещений W 7ь Y2 связаны соотношениями упругости

л г п (, л г п (д,

Мц = Du т.--Ь v2i -7г- , М22 = D22 —— + г/12 ,

V дх ду / V ду дх /

D11 = Ei h3/ [ 12(1 — V12 V21) ], D22 = E2 h3/ [ 12(1 — V12 V21) ], D12 = G12 h3/12,

Bis = h G/3, B23 = h G23, Ei V21 = E2 v/2 ■

Если ввести в рассмотрение безразмерные определяющие параметры

g 1 = D11/D12, g 2 = D22/D12 (1.2)

и параметры внешней нагрузки

10 = p/Bi3, 12 = q/B23, t /2 = T/B13, 121 = T/B23, (1.3)

а также обозначения

B13 = B13/D12 = 12Gi3/{Gi2 h2), B23 = B23/D12 = 12G23/G2 h2), (1.4)

то уравнения (1.1) в терминах w, 71, 72 примут вид:

~ а271 a27i , , d272 ~ /dw

Л =91 -тгт + "Т^Г + (1 + ^21 91) --B^ol -

dx2 dy2 dxdy

7 д2Ъ , ¿>272 , , ¿>27i Б (dw ,

/2 =32 + "ТГ^Г + (1 + Vn 92) T* ^--#23 — + 72

dy2 dx2 dxdy \ dy

d2

d2w

d2w

(1.5)

/з =B13 (1-^+523 (1 " + В2З4)

dx2

¿>72

-o 13 --1" -D23 — U.

dx dy

dy2

dx dy

В дальнейшем будем рассматривать только такую краевую задачу, которой соответствует постановка на кромках х = 0, х = а и у = 0, у = Ь статических граничных условий: при х = 0, х = а

¿>7i . ¿>72 п

+ ^21 — = о,

dx dy

#7i ^72 dy dx

dw

+ Y1 - ti

dw

- ti

dw

dx 11 1 dx 12 dy

0;

при y = 0, y = b

dY2 , dYi

+ ^12 dy dx

дц dj2

dy dx

^+^12^=0, ^ + ^=0, ^1+72-4 —=0.

dx dy

dw dy

dw

dw

(1.6)

(1.7)

2. Построение общего решения задачи на основе тригонометрических базисных функций

Следуя [1,2], представим функции w, 71, y2 , в виде

Yi = 7n cos \ríx + 7n sin \ríx, 72 = фп sin Anx + Фn cos Anx, w = wn cos Anx + wn sin Anx,

где An = nn/a. Подчинив (2.1) условиям (1.6), получаем ((...)' = d(...)/dy): 7« = ln = íf2wn - A«(l - t[¡2)wn,

An

(2.1)

(2.2)

' 12 '' I /1 +0\~'

--r-7n = "irwn + (! - )w nAn An

При использовании (2.2) выражения (2.1) примут вид t0 л п + 0)w„] cosAn.x - -21

n

7i = [ 112 wh — A„ (1 — if) wn ] cos An x - Ф n sin A„

An

72

An

sin Anx + Ф n cos Anx,

(2.3)

w = wn cos Anx + wn sin Anx,

в которых подлежащими определению являются три одномерные функции тп, иип и Ф п. Примем для них представления

wnk sin Ak y + wnk cos Ak y, wn = Wnk sin Ak y + Wnk cos Afc y,

0

x

w

n

фn = ^nk sin Xk y + фnk cos Xk y, Xu = kn/b и внесем в (2.3). В результате получим функции

w =(wnk sin Xk y + Wnk cos Xuy) cos XnX+ (Wnk sin Xk y + Wnk cos Xk y) sin Xnx,

Xk 102 (wnk cos Xk y - Wnk sin Xk y) - Xn (1 - t0 ) (Wnk sin Xk y+

Wnk cos Xk y)

cos Xr, x -

vn Afc

Xn

(^nk cos Xk y - фnk sin Xk y) sin Xn x, (2.4)

Y2 =

Г t0 X2 „

^ fc {Щгк sin Ak y + wnk cosAfc y) + (l - tf ) An (Wnk eos Afc y-

Xn

- Wnk sin Xk y) sin Xn x + (^nk sin Xk y + фnk cos Xk y) cos Xn x,

которые необходимо подчинить граничным условиям (1.7). Для этого внесем (2.4)

sin Xn x cos Xn x

пой независимости. В итоге получим следующие алгебраические соотношения:

Xn Xk (2 - t0 - t0) Wnk + (tO2 X2 + 4 X2n) Wnk = 0, (1 - t0) Xk Wnk + Фnk - t°i Xn Wnk = 0, (V21X2 - x2) фnk = 0, Xk (1 - v 12 V21 ) Фп2 = 0,

(2.5)

(2.6)

(2.7)

(2.8)

-Ь02 Хк (-Х2 + »и Х2п) ыпк + (1 - Хп(42 Х2п - X2) \¥пк = 0, (2.9)

В дальнейшем целесообразно рассмотреть по отдельности случаи Ь02 = Ь21 = 0 и Ь02 = 0, Ь21 =0. Для обоих этих случаев из (2.7) и (2.8) следует, что

фnk = 0 при V21 X2 - X221 = 0,

(2.10)

ф„к =0 пр и Хк =0, (2.11)

а для первого случая, когда Ь 02 = Ь21 = 0, вместо равенств (2.5), (2.6), (2.9) получим равенства

Хк (1 - Ь0) шПк = 0,

ь1 ) v* nk

Wnk = -фnk/[Xk (1 - t0) ],

(1 -10){V12xn -X2) Wnk = 0. Из (2.12) следует, что Wnk = 0 при:

1) t 0 = 1;

2) Xk = 0.

Аналогичным образом Wnk = 0 при:

1) t 0 = 1;

2) X2 = v 12 xn.

(2.12) (2.13)

(2.14)

(2.15)

(2.16) (2.17)

Таким образом, в рассматриваемом случае, представив (2.13) в виде wnk = = —ck7nk, ck = 1/ [Xk (1 — t° ) ], функции (2.4) перепишем в форме

w = (—ck7nk sin Xky + Wnk cos Xky) cos Anx +

+ (Wnk sin Xk y + Wnk cos Xk y) sin AnX, Y1 = — Xn (1 — t 0 ) (Wnk sin Xk y + Wnk cos Xk y) cos An x —

V21 Xk ~ (2-18) ----(í-nfc eos Afc y - Vnk sin Afc y) sin An x,

Xn

Y2 = Xk (1 — t 0 ) (Wnk cos Xk y — Wnk sin Xk y) sin Xn x +

+ (^nk sin Xk y + 7nk cos Xk y) cos Xn x,

которые будут удовлетворять всем граничным условиям на кромках x = 0, x = a и y = 0, y = b при выполнении условий (2.10), (2.11), (2.14) или (2.15), а также (2.16) или (2.17).

Если считать, что сформулированные условия (2.10), (2.11), (2.14) (2.17) не выполняются, то получим равенства 7nk = 7nk = Wnk = Wnk = wnk = 0. В результате при t02 = t0i = 0 вместо (2.18) с учетом (2.13) будем иметь решение

w = Wnk cos Xk y cos Xn x, Yi = Y2 = 0, (2.19)

удовлетворяющее всем граничным условиям задачи.

Первые два уравнения системы (1.5) при использовании (2.19) доставляют нетривиальное решение wnk только при условиях B13 = 0, B23 = 0 (пулевые жесткости на поперечные сдвиги), а из третьего уравнения f3 =0 следует характеристическое уравнение

Bi3 Xn + B23 Xk = Bi3 Xn ti + B23 Xk t20, (2.20)

служащее для определения бифуркационного значения параметра нагрузки t0 при заданном отношении

t0 = rt0. (2.21)

Заметим, что при предварительном удовлетворении всем граничным условиям задачи уравнениям (1.5) соответствует вариационное уравнение метода Бубнова

Pfi Su + f2 5y2 + 7з Sw) dxdy = 0, (2.22)

o o

из которого без введения условий Bi3 = 0, B23 = 0 и следует характеристическое уравнение (2.20), если внести в (2.22) левые части уравнений (1.5) и подчинить решению (2.19).

Рассмотрим теперь случай, когда t02 = 0, t2°i =0. Для этого случая из (2.5) следует равенство

10 X2 i 10 \2

wnk = 12 Wnk, (2.23)

Xn Xk (2 — t0 — t2 )

t1 — t2

а уравнение (2.10) иредставимо в виде

~ t o X

Wnk = , 12 nt wnk (2.24)

0

1 ) Xn

(1 — to) X,

при условии Xk = v12 ХП- При подстановке (2.24) в (2.6) приходим к зависимости

1 - ¿1°

гипк =---- ^пк, (2.25)

А^ (1 - (1 - ¿2° ^ ¿°1 )] Ап

справедливой в силу (2.10) при условии АП = ^21 Х^.- Подставляя (2.25) в (2.24), получим зависимость

Wnk = -

¿12

М (1 - í°) (1 - ¿2°) - ¿02 t°°i)] Xn

Ф

nk 7

(2.26)

также справедливую, если АП = ^21Х|. В результате с учетом (2.23), (2.25), (2.26) функции (2.4), удовлетворяющие всем граничным условиям, запишутся в виде

+

1 -1° ~

—-—- Фпк sin А к у + ivnk cos А к у Р° Xk

¿ ° Х 2 + ¿ ° Х 2 ¿ 1 2 Xk + ¿2 1 X

cos Xn X +

t 12 Xk + ¿2 1 Xn — t 12 t л

n-wnksm\ky--cos\ky

Xn Xk p2

Xn p°

sin Xn

71 =

Xk ¿12 +

Xk p2°

Wnk sin Xk y cos Xn X -

(2.27)

Xn

(^nk cos Xk y - Фnk sin Xk y) sin Xn X,

72 =

Xk ¿°2 i (1 - ¿(i °2 Xk + ¿2°1 XI)

Wnk cos Xk y sin Xn X -

Xn Xn p2°

+ (Wnk sin Xk y + Wnk cos Xk y) cos Xn X,

где p ° = (1 - ¿ (1 - ¿2°) - ¿°2 ¿2°1 , Р2° = 2 - ¿° - ¿2° .

Непосредствеииой проверкой можно убедиться, что построенные функции удовлетворяют всем граничным условиям задачи при выполнении условий (2.10),

(2.11), а также дополнительного условия Wnk = 0 щи ¿ °2 Xf, + ¿2°1 = 0. Так ¿ 1°2

Xk + ¿21 Xn = 0, то wnk = 0. В силу этого функции (2.27) примут вид

Y1

l_-tl

Pi Afc ^21 Afc

Xn

фnk sin Xk y cos Xn X -

¿

12

Xn p°°

^nk cos Xk y - Фnk sin Xk y ) sin Xn X7

фnk cos Xk X sin Xk y7

(2.28)

Y2 = (^nk sin Xk y + Фnk cos Xk y) cos Xn X.

3. Критические нагрузки и ФПУ пластины при действии сил р, д и т неизменных направлений

3.1. Действие сил р и д. Следуя методике, предложенной в [1], в рассматриваемом случае в соответствии с (2.22) и структурой функций (2.18) необходимо составить уравнения метода Бубнова следующих видов:

-/з ск sin Afc у cos An х + 1/21 Afc /i sin Afc y sin An x+

Xn

°°

+ f2 cos Xk y cos Xn XjdXdy = ^ щи Sф nk = 0, (3.1)

w

X

V21 Xk

w = -

b

a

а Ь

/з соя Хк у соя Хп х<х <у = 0 при 5 иипк = 0,

(3.2)

о о

а Ь

оо

/з ят Хк у яш Хп х — Хп (1 - г°) ¡1 эт Хк у соя Хп х+

+ Хк (1 — г°) ¡2 соя Хк у ят Хп х <ксд,у = 0 щи 5Шпк = 0, (3.3)

оо

]з соя Хк у ят Хп х — Хп (1 — г д1 соя Хк у соя Хп х—

— Хк (1 — г°) ф ят Хк у ят Хп х <х<у = 0 щи 5 Шпк = 0, (3.4)

а Ь

^21 Хк Хп

¡1 соя Хку ят Хпх+/2 ят Хк у соя Х^х

<х<у = 0 щи 51пк = 0, (3.5)

оо

в которых f1, /2, )з левые части уравнений (1.5), приведенные на основе функций (2.18) к виду

11

91 (1 — Хп(Х2п — V21 Хк) — В13 Хп (^к ят Хк у соя Хп х+

+ \упк сов Хку сов Х„х) + ( 21 к - ХкХ„ + В13 ) Я>пк сое Хку вт Х„х+

Х

^21А ¿Л

+

V21 Хк

--~т—- + А к А„ — £>1з (хп Ск +

Хп Хп

Хп

фпк вт Хк у ят Хп х+

+ В13 Хп гипк соя Хк у ят Хп х , (3.6)

12

92{ 1 — Хк(—Хк + Vl2Х2n) — В2зХк( 2 — {^пк соя Хк у ят Хпх— — Шпк йт Хку ят Хпх) — {7)2 Хк + Х2п — V2l Хк + В13) 1пк ят Хк у соя Хпх—

д2 Хк + Хп, — V2l Хк, — В13 (Хк Ск — 1)

Фпк соя Хк у соя Хп х+

+ В23 Хк 17пк 8Ш Хк у соя Хп х , (3.7)

7з

В1з(1 — г°0)ск к + В2з(1 — г20)ск Хк + Хк (—В23 + V2lBlз)

дпк ят Хку соя Хпх—

— (2 — г° — г2°) Хк Вд2з (№пк зт Хк у + Шпк соя Хк у) ят Хп х+

+ (Вд23 — V21 Вд1з) Хк17пк соя Хк у соя Хп х, (3.£

где )2 = 92 (1 — Vl2 V2l).

Ь

а

При подстановке; выражений (3.6) (3.8) в уравнение (3.1) оно приводится к виду

#13 --. " + Bn-íAk + Afc ( — #23 + ^21 Вгз)

Хк (1 - Í0)L (1 - t0)x

v2iAfc

^21 л л , R —г--Лп Лк + tíis

А„

An__V2í Afc \

Afc(1 — t§) An У.

д2 А2 + А2 - 1/21 Ч ~ Вп ( —Ц - 1)1 } = 0. (3.9)

1 — ¿2

В соответствии с (2.10) данное уравнение имеет нетривиальное решение Фпк = 0, когда

1

Ак (1 - Í0)

ф„к sin Ак y cos А„ x,

Yi =

^2lAfc А„

(3.10)

Ф„к sin Ак y sin А„ x, Y2 = Фик cos Ак y cos А„ x,

и только при условии А„ = v2i Xj,. В силу этого условия из (3.9) следует характеристическое уравнение

(Ф2А| + B23 + V2lBi3)(t0)2 - (2ф2 А| + B23 + 4v2iBi3)t0 -

- V2iBi3t0 + Ф2А| + 4v2iBi3 = 0, (3.11)

в котором допустимо принять v2i = А„/Ак. При t 0 = 0 (одностороннее сжатие силой р) го (3.11) следует бифуркационное значение параметра t0:

t0* =4 + ф2 А\/{Bi3 А„) =4 + ф2 АкД*^ ^i3). (3.12)

Аналогичным образом, с учетом (3.6) (3.8) уравнение (3.4) приводится к виду

|-(2 -10 -10) Акф23 - А„(1 -10) [дi(l -10)А„(А„ - v2 lАk) - д^„t0] +

+ Ак (1 -10) [ф2 (1 - 10) Ак (-Ак + vi 2 А„) - Ф23 Ак (2 -1°)] } W^ = 0, (3.13)

соответствующее нетривиальному решению W„2 = 0 с функциями

w = W„2 cos Ак y sin А„ x, y i = -А„ (1 - t0) W„2 cos Ак y cos А„ x, Y2 = -Ак (1 -10) W„2 sin Ак y sin А„ x

(3.14)

и наложенных условиях (2.16). (2.17). Рассмотрим каждое из этих условий по отдельности.

a) Пусть выполнено условие (2.16), то есть Ь 0 = 1. Тогда из (3.13) следует бифуркационное значение Ь2 * = ^соответствующее, как и Ь 0 * = 1, чисто поперечно-сдвиговой ФПУ.

b) Пусть выполнено условие (2.17), то есть Ак — V1 2 ХП =0. Тогда следующее из (3.13) характеристическое уравнение становится аналогичным уравнению (3.11) и принимает вид

(ФiА„ + Bi 3)(t0)2 - (2фiА„ + Bi3 +4vi 2ВФ23)t0 - vi2B2310 + фiА„ + 4v^3 =0, (3.15)

к

А

В нем допустимо принять vi2 = А|/АП, а д i = g 1 (1 — v 1 2 v2 1 ). В случае t 0 = 0 из уравнения (3.15) следует бифуркационное значение

t20 * =4 + gi АП/(В23 А|) =4 + gi 2 B23),

аналогичное (3.12), а при t 0 = 1 приходим к равенству t20 = 1 .

В общем случае, когда t20 задается в виде зависимости (2.21), для определения

t 0

г 1 (t 0)2 — (r2 + rv 12 B23 ) t 0 + гз =0, (3.16)

где г 1 = g1 АП + B13 + v 1 2 B23, Г2 = 2 g1 АП + B13 + 4 v 1 2 B23, гз = g1 АП +4 v 1 2 B23 • Следует заметить, что при г = 0 и v12 = 0 следующие из уравнения (3.16) бифуркационные значения t° * будут равны

tí(*1) = 1, t^) = g1/(g1 АП + Bg13), (3.17)

из которых первое соответствует реализации чисто сдвиговой, а второе изгибно-сдвиговой ФПУ пластины в виде удлиненного стержня (то есть в предположении 0"22 =0, M22 =0).

Рассмотрим теперь уравнение (3.3). Подставляя в него выражения (3.6) (3.8), по-прежнему получим уравнение (3.13), которое в данном случае соответствует нетривиальному решению вида

w = Wnk sin Ак y sin Ап x, Y1 = — Ап (1 — t°) Wnk sin Ай y cos Ап x,

( 0) (ЗЛ8) Y2 = (1 — ti) Ак W^ cos Ак y sin Ап x

при выполнении условий (2.14) и (2.15). При выполнении условия (2.15), то есть Ак = 0

t0 * = g1 Ап/(д1 ап + B13), (3.19)

которое соответствует потере устойчивости бесконечно-широкой пластины по изгибно-сдвиговой форме. В этом легко можно убедиться, если воспользоваться соответствующими формулами (1.2) (1.4).

К формуле (3.19) можно прийти и интегрированием изложенным методом одномерных уравнений

ä=(!-.?>£i«».

следующих из (1.5) при d(...)/dy = 0, когда в качестве w и 71 используются

()

w = W0 sin Ап x, 71 = —Ап (1 — t°) W0 cos Ап x (3.21)

и составляется уравнение метода Бубнова вида

a

j д3 sin Ап x — /1 Ап (1 — t°) cos Ап x dx = 0. (3.22)

0

Ак = 0

принимающим вид w = 0, 71 = 0, 72 = 0. Зато при Ак = 0 к ним сводятся функции (3.14), но при выполнении условия (2.17).

В свете полученных результатов необходимо провести дополнительный анализ построенного характеристического уравнения (ЗЛ1). Полагая в нем v21 = 0, что эквивалентно равенству Xn = 0, получим уравнение

(32 XI + B23 ) (t0)2 - (252 XI + B23 ) t° + 32 XI = 0, из которого следуют два бифуркационных значения: t° * = 1 и

¿2° * = 32 XI/(52 Xk + B23). (3.23)

Последнее отличается от аналогичной формулы (3.19) величиной 32 вместо д2 . Оно также соответствует изгибно-сдвиговой ФПУ пластины, но при ее сжатии силой q и моделировании стержнем, когда принимается условие ац = 0.

Если пластина находится в условиях двустороннего сжатия, то уравнение (3.11) при введении обозначений

ki = 32X2k + B23 + V21 B13, k2 = 232X\ + B23 +4v2i B13, кз = 32XI + 4vi2 В13

можно записать в виде

k1 r2 (t°)2 - (k2 r + V21 B13 ) t° + k3 = 0,

если задана зависимость (2.21), или в виде

k1 (4)2 - (k2 + r* V21 В13) t ° + k3 = 0,

(3.24)

(3.25)

если задана зависимость Ь0 = г* ¿2- И-3 уравнений (3.24) или (3.25), являющихся аналогами уравнения (3.16), необходимо определить минимальное значение корня Ь0 (или Ь0) путем минимизации только по одному из целочислеиных параметров п или к, так как они в рассматриваемом случае связаны зависимостью АП = v21 А2к.

И, наконец, подставляя выражения (3.6) (3.8) в оставшиеся уравнения (3.2) и (3.5), получим систему алгебраических уравнений

Xk (В23 - V21 В13)Ф„к - В13 (1 - t°) Xl + В23 (1 - t°) Xk

Wnk

(3.26)

0

V21Xk

^21 A| ~ V21X k

—г--Afc Лп + В13 —--

Xn Xn

^nk + В13 Xn U),

32 Xk + Xl - V21 Xk + В23 ^nk + В23 Xk Wnk = 0, (3.27)

причем первое из них следует из (3.2) в силу того, что 5 иипк = 0 без наложенных условий на {юпк, а в соответствии с (2.11) 5фпк = 0 только при Ак =0. Поэтому в уравнении (3.27), следующем из (3.5), в силу соотношения 5Ипк = 0 необходимо принять Ак = 0, что приводит к равенству (ХП + В2з) Фпк = 0. Отсюда получаем решение Фпк = 0, следовательно, го (3.26) при условии {юпк = 0 получаем характеристическое уравнение

В13 (1 -1°) xI + В23 (1 -1°) Xk =0.

(3.28)

При Ак = 0 го уравнения (3.28) следует бифуркационное значение Ь0 * = 1, отвечающее чисто поперечно-сдвиговой ФПУ бесконечно широкой пластины при

осевом сжатии силой д, а при Лп = 0 - бифуркационное значение 12р * = 1 аналогичного содержания. При двустороннем нагружении, когда t° = rti > из (3.28) получаем формулу для определения бифуркационного значения:

t о * = ^13 + в23 А % = Вгз £2 + В23 ( 3 29)

В13 А2 + г В23 XI В13£2 + гВ23

где Т = Л„/Л^ = nb/ka = ие/^ е = b/a. Из (3.29) видно, что t 1 * = ^и r = 1 (то есть при p = д); t 1 * > 1 при r < 1, а при r > 1 имеем, что t 1 * < 1.

3.2. ФПУ прямоугольной пластины с незакрепленными краями, находящейся в условиях чистого сдвига. Структуре составленных функций (2.28) в рассматриваемом случае соответствуют следующие уравнения метода Бубнова

a b

/2 sin Л^ y cos Лп xdxdy = 0 прhS = 0, (3.30)

11

( V2\ к fi sin Afc y sin An x + /2 cos Afc y cos An ж---— f3 sin Afc y eos An ж-

v Л" p 1 Лй

/3 cos Л^ y sin Лп xj dx dy = 0 щи S Фnk = 0, (3.31)

11

t 2

t1 t

Л„ p 1

где

/Т3

81З(ЛП - Л!t 102 t20i)

Лй p 0

(-823Л?t i

+ V2 i Л^ Bi3

Тnk sin Лйy cos Л„х+

+ ( 23 - B23 Aní cos Afcy sin Xnx + Afc B23 ^nfc eos Xk y eos An x, (3.32)

v Лп p 0 J

Т ( v2 i Лй , , , Т Лп Т v2 i Лй \ Т . , . ,

/1=1--7--Ь AfcAn - В13-- - В13 —- 4>nk sin Afc y sin An ж+

v Лп Лй p 0 Лп 7

~ t 0~

+ B13 ^f^nft COS Afc y eos An ж - (l + z/2i 31) Afc An cos Afc y sin An x, (3.33) p 0

2 2 2 ~ 1 — p 0^~

/2 = ( -32 Afc - A; + г/12 Afc + B23-— ) eos Afc y eos An ж+

p 0

Л 10 _ _

+ B23 12 Sin Afc y sin An X - (g2 X2k + A2 + B23) Фпк sin Xk y eos An x. (3.34) Л„ p 0

Обратимся к уравнению (3.31). При подстановке в него составленных выражений (3.32)^(3.34), используя равенство ЛП = v2 i Л k , из условия Тn k = 0 приходим

к характеристическому уравнению

R ~ >2 i и 1 Д13 К ~¿&¿&)

- -«13 —---Я2 Afc + #23 —----—--

p° p° p°2

Вуз V21 В23 ¿12 I B23 ¿12 ¿21

0 0 ^ 0 ^ p 1 V2 1 p p

0, (3.35)

которому отвечает частное решение рассматриваемой задачи

*nk ( 1 . , , . ¿12 , • л А

ги =--( — sin Afc у cos An ж + —— cos Afc y sin An ж J,

p 0 ^Aк лп )

V2 1 Ak — —

71 = ~~-*nfc sin Afc y sin An X, 72 = cos Afc у cos An ж.

An

точно удовлетворяющее всем граничным условиям при АП = V2 1 Ak• Если ввести в рассмотрение определяющий параметр e и параметр нагрузки т по формулам e = B23/B 13 = д2з/д 1 3, т = т2/(B 13 B13) , в силу которых t 1°2 t0 = г, t °°2 = et2\, то с учетом формулы p° = 1 — tf2 t21 уравнение (3.35) преобразуется к виду

(Т2 Ak + B13 V21 + 2 B23 )т 2 — (4 B13 V21 + 2 Т2 Ak +

+ 2 В2з + б Bi3 - г + 4 В13 V21 + 92 А2 = 0. (3.36)

V21

Путем решения уравнения (3.36) находится положительное бифуркационное значение параметра т. минимизацией которого по к определяется минимальная

критическая нагрузка по формуле = \J В\з Воз ■

Рассмотрим теперь урпвпепие (3.30). После подстановки в него выражения (3.34) получим равенство (д2 Ak + An + д23) ^nk = 0, откуда следует, что ^nk = 0.

3.3. Анализ результатов расчетов. Из полученных результатов наиболь-

« « и I ° *

шип практический интерес представляют критические значения усилии t° * или 12°*j которые определяются в результате решения уравнений (3.16), (3.24) и (3.25). Так как эти уравнения являются абсолютно эквивалентными, то достаточно провести анализ корней уравнения (3.25), которые при введении в рассмотрение определяющих параметров e¡ = h/Ъ, G13 = G13/G12, G23 = G23/G12 и обозначений для безразмерных коэффициентов

Clfc= 12г/;1^13, с*= 12f13 , с| = 1 + 4 + |(4 + Г,) п 2 £2 т2 k 2 п 2 £¡2 т2 k 2 2 2

будут определяться по формулам

í20(1'2) = с|( 1 ± sj 1 - (1 + сí) (1 + с* + с*) / (С|)2 )/(l + Clfc+c2fc). (3.37)

Проведенные расчеты показали, что при г* = 0 (одностороннее сжатие) иг* = 1 (двустороннее сжатие пластины одинаковыми усилиями) одни из корней уравнения стремится к единице и в случае V21 = 0, что соответствует чисто поперечно-сдвиговой ФПУ, а другим корном описывается изгибно-сдвиговая ФПУ. Значения

Табл. 1

г* V21 еъ = 0.01 еь = 0.025 еь = 0.05 еь = 0.075

<5 = 0.1 <5 = 0.01 G = o.i <5 = o.oi G = o.i <5 = o.oi <5 = о.1 <5 = o.oi

0 0 0.008 0.076 0.049 0.339 0.170 0.672 0.316 0.822

0.3 0.153 0.181 0.169 0.304 0.222 0.513 0.292 0.646

1 0 0.008 0.076 0.049 0.339 0.170 0.672 0.316 0.822

0.3 0.131 0.156 0.146 0.267 0.192 0.467 0.256 0.601

последних минимальны при k = 1, и для случая ?2 = 10 и различных значений С? 13 = С?23 = G, V21, r*, £ь они приведены в табл. 1. Из них значения при v21 = 0 соответствуют реализации изгибно-сдвиговой ФПУ, когда 71 = 0, w = 0, 72 = 0 (цилиндрическая ФПУ), а при V21 = 0.3 - цилиндрической изгибно-сдвиговой ФПУ. описывающейся функциями (3.10). в которых необходимо принять t0 = r* t0, А„ = ип/а, и = v^a/b. Видно, что для пластин из материала с малой поперечно-сдвиговой жесткостью (G = 0.01), имеющих параметр относительной толщины £b > 0.025, критическая нагрузка, определяемая по формуле (3.23) н соответствующая первой из указанных ФПУ, становится выше критической нагрузки, определяемой вторым корнем уравнения (3.37). При реализации такой нецилиндрической ФПУ в случае r* > 0 наблюдается также и снижение параметра критической нагрузки.

4. Изгибные и поперечно-сдвиговые формы свободных колебаний пластины со свободными краями

Исследуемые формы колебаний описываются уравнениями

дМп дМ12 т м /г3 2

дМ12 дМ22 т , /г3 2 п (4 1)

дТ„ дт„„

/з

дх дх

где р - плотность материала, ш - круговая частота свободных колебаний. Введя в дополнение к (1.2), (1.4) параметр О и коэффициент с по формулам О 2 = р Нш2/П\2 , с = Н2/12, уравнения (4.1) приведем к виду

~ 9271 9271 , , д212 ~ /дги \ 2

/1 = 91 ~ + "Т^Г + I1 + ^21 91) --¿513 +71 + С" 71 =

дх2 ду2 дхду \дх /

/2 = ,2 + ^ + (1 + ,12 ,2) ^ - В23 + 72) + С О,2 72 = 0, (4.2) ду2 дх2 дхду \ду /

~ ~ (д2ю д71 \ ~ (д2т д^2 \ 2

/3 = В13 Ьт^ + ^Г1 +В23 + Ф ) Н- Г22 «7 = 0,

дх2 дх ду2 ду

для которых граничные условия на кромках х = 0, х = а и у = 0, у = Ь следуют из (1.6), (1.7) при = ¿°02 = Ь201 = ¿20 = 0. Можно показать, что данным граничным

условиям удовлетворяют функции

w = (— Я>пк sin Afc у + wnk cos Afc у) cos An x + Ak

+ (Wnk sin Ak y + Wnk cos Ak y) sin An x, Y1 = — An (Wnk sin Ak y + Wnk cos Ak y) cos An x — (4.3)

(^nk cos Ak y — тnk sin Ak y) sin An x,

V21 Ak

An

Y2 = Ak(Wnk cos Ak y — Wnk sin Ak y)sin AnX+(^nk sin Ak y + т nk cos Ak y)cos AnX в случае выполнения условий:

Wnk =0 при Ak =0, (4.4)

^nk = 0 при Ak = 0, (4.5)

тnk =0 при An = V21 Ak, (4.6)

Wnk = 0 при Ak = V12 An. (4.7)

В соответствии с методикой [1. 2] и структурой функций (4.3) для интегрирования уравнений (4.2) необходимо составить следующие уравнения метода Бубнова:

a b

(- — /з sin Afc у cos An X + —— /i sin Afc y sin An x+

Ak An

11

+ f2 cos Ak y cos An x^dxdy = ^ щи S Фnk = 0, (4.8)

a b

f3 cos Ak y cos An xdxdy = ^ щи S wnk = 0, (4-9)

11

a b

(¡3 sin Ak y sin An x — An f 1 sin Ak y cos An x+

11

+ Ak f2 cos Ak y sin An x)d,xd,y = ^ щи SWnk = 0, (4.10)

a b

(¡3 cos Ak y sin An x — An f1 cos Ak y cos An x—

11

— Ak f2 sin Ak y sin An x)d,xd,y = ^ щи SWnk = 0, (4.11)

1 k /1 cos Afcy sin X„x+f2 sin Afcy cos An.x) dx dy = 0 при (4.12)

A

в которых

/1 = 91 - "21 Хк) - СК П2 (втХк у сов Хп х + Шпк сов Хку сов Хпх) +

. \ \ ,

+ ( —Г--хк хп + ;

V Хп

"21Хк ^21 Хк 2

, хк лп дуз

Хп Хп Хп

С П2 ) Ф„к сов Хк у вт Хп х+

+

V21 Хк ( Хп ^21 Хк Л ^21 Хк гл2

——+ А к К - 913 -— + —- + —-СП

Хп ^ Хк Хп ' Хп

3пк вт Хк у вт Хп х+

+ 913 Хп и)пк сов Хк у вт Хп х, (4.13)

/2 = 92 Хк(-Х| + Vl2Хn) - 2Хк923 + сХк П2 (^„к сов Хку вт Х„х-- Шпк вт Хку вт Хпх) - (ф2 Хк + Х2п - г21 Хк + 923 - с П2) Фик вт Хк у сов Хих-- (32 Хк + Х2п - Хк - с П2 )Фпк сов Хк у сов Хп х +

+ 923 Хк гФпк вт Хк у сов Хп х, (4.14)

/з

а?

П

2 П

¿>13 -г21 + Ай г/21 ¿>13 —т-Хк Хк -I

фпк в1п Хк у сов Хп х- (§13 Х2п + ¿23 Хк - П2) г«пк сов Хк у сов Хп х - (2 Хк §23 - П2) (^пк вт Хк у +

+ сов Хк у) в1п Хп х + (В23 - §313) ХкФпк сов Хк у сов Хп х, (4.15) При подстановке выражений (4.13) (4.15) в (4.8) приходим к уравнению

~[В 13 дТ + ^21 <713 ^ + дТ + -т—

к к п

Хп , г21 Хк"

к

п

————— с II2

(32 Хк + Хп - г/21 Х2 - с П2) Фпк = 0. (4.16)

в котором в соответствии с (4.6) 613пк = 0 только щи условии Хп = г21 Хк• При

П2

П2

(32 Хк + 4 г21 В13) Хк 32 Хк +4 §613 А

1 + с (1 + г21) А2 1 + с (Хпп + А Колебания с такими частотами описываются функциями

(4.17)

71

г21 Хк

го = — — 8тХкусо8Хпх, к

3 пк вт Хку в1п Хпх, 72 = ф пк сов Хк у сов Х^х

с параметрами волнообразования Хп и Хк , связанными зависим остью Хп = г21 Х|.

Аналогичным образом из (4.10) при подстановке в это уравнение выражений (4.13) (4.15) следует, что

4А2923 + П2 - 91 Ап(Хп, - г21 А2) + сХпП2 + 92 Ак(-А2 + ^2 Хп) - сХ2П21 Шпк = 0,

которое в силу условия (4.4) приводит к формуле

П2 = gl АП/(1 + cX2n). (4.18)

Так как соответствующие этим частотам формы свободных колебаний в силу того, что Ак = 0, описываются функциями w = 0, 71 = 0, 72 = 0, то рассматриваемое решение является тривиальным (П2 = 0).

Из (4.11) при подстановке выражений (4.13) (4.15) следует уравнение

[4А| g23 + (1+сАП+cA2)П2-gl АП (АП-V21 A2)+g2 А2 (-А2 +V12 АП)] W^ = 0. (4.19)

Нетривиальным решениям Wnk = 0 в соответствии с условиями (4.7) будут отвечать частоты колебаний

= (gi А2 + 4г/12 В23) А2 = gi A* + 4 В23 А2 1 + с (1 + г/12) А2 1 + с (А2 + А|) '

А22 =

= vi2 АП. Колебания с такими частотами имеют форму

w = Wnk cos Ак y sin Ап x, 71 = -Ап Wnk cos Ак y cos Ап x, 72 = -Ак Wnk sin Ак y sin ап x, Ак = V12 аП.

И. наконец, при использовании выражений (4.13) (4.15) из (4.9) и (4.12) получается следующая система однородных алгебраических уравнений

-(B13 ап + B23 Ак - П2) Wn + Ак (B23 - V2i В13) Фпк =0 при Wn = 0, Ак (В23 - V2i В13) Wnк + V2i А2к (2 ап - V2i А2к - В13 V21) - В23 А2П- (4.21)

- аП - g2 Ак ап + (ап + V2i Ак) cП2 Фпк =0 щш Фпк =0,

причем в соответствии с (2.11) Фпк = 0 только при выполнении условия Ак = 0, а на гоПк никаких условий не накладывается. В связи с этим система уравнений (4.21) имеет место только при Фпк = 0 и приводится к виду

(gi3 АП + g23 А2 - П2) Wn к = 0. (4.22)

Из (4.22) следует формула для определения частот

П2 = gi3 АП + g23 А2 (4.23)

колебаний, являющихся чисто поперечно-сдвиговыми и имеющих форму

w = Wn2 cos Ак y cos An x, 71 =0, 72 = 0.

Такие колебания могут реализоваться в пластине лишь при малых значениях параметров G13/E1 и G23/E2.

Следует отметить, что спектр частот свободных колебаний определяется не только выведенными формулами (4.17). (4.20) и (4.23). Более того, установленные частоты изгибно-сдвиговых форм колебаний и не являются самыми низшими, на что указывает наличие слагаемых, учитывающих поперечные сдвиги, в числителях, а не в знаменателях формул (4.17) и (4.20). Поэтому полученные в данном

раздело результаты в большей степени представляют лишь теоретический интерес, так как известно, что учет поперечных сдвигов в пластинах приводит к снижению, а не к повышению частот изгибных форм колебаний. В свою очередь, и существование таких форм колебаний с частотами (4.17) и (4.20) требует соответствующего обоснования, что может быть выполнено только на основе использования более строгих н точных уравнений, чем уравнения (4.2) теории типа Тимошенко.

Если считать, что функции w, 71, 72 имеют нулевую изменяемость по x и у, то из уравнений (4.2) в силу соотношений 71 = const = 0, 72 = const = 0 следуют еще две формулы 0 2 = gujc2, 02 = д2з/с2, аналогичные выведенным в [6] для трехслойных пластин.

Если же принять, что нулевую изменяемость функции w, 71, 72 имеют только у

~ d27i (dw \ 2

~ (d2w 8y1 \

Í3=gi3 + =

\ dx2 dx J

(4.24)

Для этих уравнений функции, удовлетворяющие при x = 0, x = a граничным условиям B^i/dx = 0, dw/dx + 71 =0, могут быть построены в виде

w = - -í- Wn0 sin An ж, 71 = Wn0 cos An x. (4.25)

Лп

В соответствии с их структурой в рассматриваемом случае необходимо составить уравнение метода Бубнова следующего вида

a

I cosAn.x — — /3 sinAn.xj dx = 0, (4.26)

где

Q 2

/1 = {91 Xl+cQ2) Wn0 eos An x, /3 = - — Wn0 sin An ж. (4.27)

Лп.

Подстановка выражений (4.27) в уравнение (4.26) при условии Шпо = 0 приводит к формуле

П 2 = 91 АП/(1 + еХ2п), (4.28)

полностью совпадающей с формулой (4.18), но не следующей из уравнений (4.24) при подстановке в них функций (4.25). Следовательно, построенные функции (4.25), приводящие к выполнению равенства 71 + Вт/дх = 0 по всей длине пластины и к формуле (4.28) при использовании метода Бубнова, в задаче о свободных колебаниях не являются точным решением исходных уравнений (4.24), в то время как в аналогичной задаче об устойчивости пластины построенные функции (3.21) приводят к точной формуле (3.19) как при их подстановке в уравнения (3.20), так и при использовании метода Бубнова в форме уравнения (3.22).

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект Л- 09-01-00323-а) и по федеральной целевой программе «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» (мероприятие 1.1 «Проведение научных исследований коллективами научно-образовательных центров», Л*1' 2009-1.1-112-049-024. Гос. контракт Л^ 02.740.11.0205 от 7 июля 2009 г.).

Summary

V.N. Paimushin, Т. V. Pulyakuva. Exact Solutions of the Problem of Flexural and Cross-Section-Sliear Buckling Modes and Free Oscillations of the Rectangular Orthot.ropic Plate with Loose Edges.

The article regards linearized problems about elastic stability of an orthot.ropic rectangular plate with loose edges under the influence of running forces of the invariable directions which cause in a plate either a single-sided and double-end compression, or pure shear. For stating the problem we use the known equations of the specified theory of plates of Timoslienko type considering the cross-section shears. On the basis of double trigonometrical base-load functions such analytical solutions of the specified problems are presented which fulfill all static boundary conditions. Depending 011 the structure of these solutions in order to conform to the equations of perturbed equilibrium of a plate the corresponding equations of Bubnov method are made, proceeding from which the bifurcation values of operating forces are defined and buckling modes corresponding to them are ultimately determined. On the basis of the stated method some analytical solutions are also discovered for the problem of small free oscillations of a plate with loose edges.

Key words: linearized stability problem, rectangular plate, double-end compression, pure shear, flexural and cross-section-shear buckling modes, free oscillations, loose edges, trigonometrical base-load functions, analytical solutions, Bubnov method.

Литература

1. Паймушии В.Н. Точные и приближенные решения задачи о плоских формах свободных колебаний прямоугольной пластины со свободными краями, основанные па тригонометрических базисных функциях // Механика композитных материалов. 2005. Т. 41, Л» 4. С. 461 488.

2. Паймушии В.П., Полякова Т.В. Точные аналитические решения задачи о плоских формах потери устойчивости прямоугольной ортотроппой пластины с незакрепленными краями в условиях двухстороннего пагружепия // Механика композитных материалов. 2007. Т. 43, Л» 2. С. 149 170.

3. Паймушии В.П., Полякова Т.В. Точные аналитические решения трехмерной задачи о свободных колебаниях ортотропного прямоугольного параллелепипеда со свободными гранями // Механика композитных материалов и конструкций. М.: Ип-т прикл. механики РАН, 2006. Т. 12, Л» 3. С. 317 336.

4. Болотин В.В. Некопсервативпые задачи теории упругой устойчивости. М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1961. 340 с.

5. Рикрадс Р.Б., Тапере Г.А. Устойчивость оболочек из композитных материалов. Рига: Зипатпе, 1974. 310 с.

6. Паймушии В.П., Хусаииов В.Р. Уравнения и классификация свободных и собственных колебаний симметричных по толщине трехслойных пластин с трапсверсалыго-мягким заполнителем // Механика композитных материалов и конструкций. М.: Ип-т прикл. механики РАН, 2001. Т. 7, 3. С. 310 317.

Поступила в редакцию 20.10.09

Паймушин Виталий Николаевич доктор физико-математических паук, профессор, заведующий кафедрой сопротивления материалов Казанского государственного технического университета им. А.Н. Туполева.

E-mail: lukankinedsm.kstu-kai.ru

Полякова Татьяна Витальевна кандидат физико-математических паук, старший научный сотрудник научно-технического центра проблем динамики и прочности при Казанском государственном техническом университете им. А.Н. Туполева.

E-mail: dsm.edsm.kstu-kai.ru