Расчет напряженно-деформированного состояния породного массива с учетом влияния трещин Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА 2008 Математика. Механика. Информатика Вып. 4(20)

УДК 517.927

Расчет напряженно-деформированного состояния породного массива с учетом влияния трещин

Н. И. Симакина, С. А. Пономарева

Пермский государственный университет, 614990, Пермь, ул. Букирева, 15

Разработан алгоритм и применена математическая модель расчета напряженно -деформированного состояния (НДС) породного массива с учетом влияния трещин. Описан метод неявного включения трещин и даны определения механических характеристик породного массива с учетом упругого и пластического поведения трещин. Тема актуальна при строительстве и эксплуатации шахт и сооружений, а также при добыче полезных ископаемых.

Природные породные массивы обычно состоят из блоков ненарушенного материала, разделенных трещинами или нарушениями сплошности. Механические характеристики трещиноватых породных массивов зависят не только от свойств ненарушенной породы, но и от деформационных характеристик плоскостей разрывов [1,4]. По этой причине механические характеристики сложных по составу породных массивов могут быть довольно сложными. В попытке смоделировать такие характеристики возможны по меньшей мере два подхода: либо трещины включаются явно в любую математическую модель породного массива [7] и тогда разрывный характер породы моделируется непосредственно, либо их влияние учитывается неявно при выборе определяющих соотношений, применяемых для представления массива как эквивалентной сплошной среды [5].

В работе [6] авторы показали, что неявный подход, который математически является более эффективным, чем явные подходы, можно успешно использовать для прогнозирования упругого поведения трещиноватых

© Н. И. Симакина, С. А. Пономарева, 2008

породных массивов, испытывающих поверхностные нагрузки.

В данной работе используется неявный метод учета трещиноватости - принцип эквивалентной сплошной среды [5, 6]. В работе принято допущение, что трещиноватый породный массив состоит из блоков изотропного линейноупругого материала и множеств плоскостных трещин. Представление поведения трещин допускает упругую, пластическую деформации и расширение при сдвиге, а также раскрытие трещин при растягивающих нагрузках. Породный массив рассматривается как сплошная среда и, таким образом, трещиноватость можно рассматривать как повсеместно распространенную. В работе принято допущение [6], что трещины характеризуются линейной упругостью до начала пластической деформации и сдвиговая и нормальная Яп жесткости для серии трещин по отношению к вмещающей ненарушенной породе не связаны между собой.

В задаче, связанной с открытой разработкой в трещиноватом породном массиве, в качестве расчетной области берется длинная открытая разработка длиной 100 м и высотой 50 м в трещиноватом породном массиве. Вы-

Н. И. Симакина, С. А. Пономарева

емка на глубину D=20 м производилась в 4 равных приращениях глубины.

cos2 в sin2 в -0,5sin2#

Т= sin2 ^ cos2 в 0,5sin2#

sin2# -sin2# cos2#

Матрица жесткости в локальной системе координат C представлена следующим образом:

1-v2 -v(\ + v) О "

О 1 -v2+Rn О

О 0 2(1 + V) + Rs

C'-і

Е

Рис. 1

Считается, что трещины имеют одинаковые механические свойства и одинаковую ориентацию, т.е. параллельны, и интервал "8" между ними остается постоянным. Расчеты выполнялись для множества различных расстояний между трещинами в серии.

Математическая постановка задачи включает в себя:

- уравнения равновесия

(А)Т а + р = 0, (1)

где р=р(х,у) - вектор объемных сил; а =

(ахОу,а^Тху ) - вектор напряжений, А- матри-

ца операций дифференцирования;

- соотношения Коши:

е=Ли, (2)

где 8 = (вх>8у>8ху)Т - вектор деформаций,

и = (и,у)Т - вектор перемещений;

- уравнения состояния

а = D8, (3)

где Б - матрица упругих констант;

- граничные условия:

и = и5, (х, у) є 81^2^3, (4)

- начальные напряжения:

ау = у(у-Ь), ах = ам+К-уу, Тху=0, (5)

у - объемный вес, К - коэффициент, аю - напряжение.

Для учета упругого поведения трещин в качестве матрицы механических характеристик Б берется матрица Ое = С-1 [6]. Здесь

с=тстТ.

Матрица преобразования для серии трещин Т, в которой учтено, что все параллельные плоскости образуют угол 0 относительно оси "х", имеет вид

причем локальная система координат (х , у ) сопряжена с плоскостью трещины таким об/

разом, что направление оси у совпадает с перпендикуляром к трещине. Величины и Кп определены соотношениями:

Е ^ Е

= -----, Ип =

SK?

SK,

‘-5

где К я и Кд, - показатели сдвиговой и нормальной жесткостей трещин.

Для учета упругопластического поведения трещин в качестве матрицы механических характеристик Б берется матрица Бр, которая имеет вид [6]:

Бр = Бе[1-аЬтБе/ (ЬтБеа)], где Бе - матрица, описывающая упругое поведение породного массива с единственной серией трещин, векторы "а" и "Ь" определяются следующим образом:

а = Т-а, Ь = Т-р.

Здесь а = ^ /Эа и в = ЭШа - векторы, перпендикулярные пластическому потенциалу "%" и поверхности пластической деформации трещины 'Т'. В расчетах при определении сопротивления трещин сдвигу был принят критерий разрушения Мора-Кулона. Для описания связи между пластическим смещением при сдвиге и пластической составляющей относительно смещения в направлении, перпендикулярном плоскости трещины, использовался закон неассоциированного течения [2]: f = а^с-ап^ф, % = а^с-ап^у, где с, ф, у представляют сцепление, угол трения и угол дилатансии трещин (под дилатан-сией понимается необратимое увеличение объема материала, вызванное увеличением пор и раскрытием трещин); а5, ап - сдвиговое и нормальное напряжения, действующие на каждую трещину. Тем самым учитывалось, что пластический сдвиг трещины может со-

Расчет напряженно-деформированного состояния породного массива с учетом.

провождаться ее пластическим раскрытием (расширением).

В качестве примера была рассмотрена длинная открытая выработка на глубину Н=2,5Б м при ширине Ь=5Б м в породном массиве и проведены расчеты при следующих значениях параметров: у=25 кН/м ’ К=2, ащ=500 кПа, К8=КП=1 ГПа/м, с=0, ф=300, у=15° [1, 6].

Выемка на глубину Б производилась в 4 равных приращениях глубины:

Б=5 м, Б=10 м, Б=15 м, Б=20 м.

Анализ результатов

Решены следующие задачи расчета НДС породного массива: задача теории упругости без учета трещиноватости; с учетом упругого поведения трещин; с учетом упругопластического поведения трещин. Рассмотрены различные варианты расположения трещин относительно друг друга. Шаг между трещинами 8 задавался равным 1,25 м, 2 м, 2,5 м и 5 м. Для численной реализации задачи использовался метод конечных элементов. Разработан программный комплекс на базе комплексов программ, приведенных в работе [3]. Проведено сравнение полученных численных решений по напряжениям и перемещениям с результатами работы [6] для различных точек породного массива. Так, на рис.2 представлено сравнение численных решений с результатами, приведенными в работе [6] (кривая "тест") для вертикальных перемещений точек, близких к точкам пересечения горизонтальной поверхности породного массива и вертикальной поверхности открытой выработки.

-без трещиноватости -упругопластическое поведение

Рис. 2

Анализ сравнений результатов показал, что учет упругопластического поведения трещин дает хорошие совпадения по всему спектру рассматриваемых задач.

Разработанный пакет программ для численной реализации МКЭ расчета напряженно-деформированного состояния породного массива с учетом упругопластического поведения трещин позволяет проводить численный анализ влияния различных факторов на напряженно-деформированное состояние породного массива.

Заключение

Применение принципа эквивалентной сплошной среды [5, 6] и разработанный пакет программ для численной реализации методом конечных элементов расчета напряженно-деформированного состояния породного массива с учетом трещиноватости при упругом и упругопластическом поведении трещин может быть использован для прогноза поведения породного массива в задачах, связанных с выемкой породы.

Список литературы

1. Гарагаш И.А. Условия формирования регулярных систем полос сдвига и компак-ции / И.А.Гарагаш // Геология и геофизика. 2006. Т.47. №5. С.657-668.

2. Ильюшин А.А. О соотношениях и методах современной теории пластичности / А.А. Ильюшин, В.С.Ленский // Успехи механики деформируемых сред. М.: Наука, 1975. С.240-255.

3. Ландик Л. В. Метод конечных элементов в МТДТ: учебный комплекс программ / Л.В. Ландик, А.П.Скачков, А.Ф.Фонарев // Инновации в науке и образовании. М.: ФГНУ "Государственный координационный центр информационных технологий" Московской финансовой юрид. академии Российского унта инноваций. 2006. №5. С.27-28; ОФАП № 6581.

4. Морозов Н.Ф. Математические вопросы теории трещин / Н.Ф.Морозов. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1984. 256 с.

5. Amadei B. Constitutive Relation for Fractured Rock Masses: Proc. Int. Symp / B.Amadei, R.E.Goodman // Mechanical Behaviour of Structured Media, Ottawa, Canada, 1981. P.211-227.

6. Carter J.P. Settlement of Strip Foundations on Regularly Jointed Rock Masses / J.P.Carter,

H. H. CuMaKUHa, C. A. noHOMapeea

H.Alehossein // Foundation Engineering: Cur- 7. Goodman R.E. A Model for the Mechanics of

rent Principles and Practices: Proc. ASCE Sp. Jointed Rock / R.E.Goodman, R.L.Taylor,

Conf., Chicago, 1989. P.623-639. T.A.Brekke // J. Soil Mech. Found. Dvn.

ASCE 94(3). 1968. P.637-659.

The calculation of stressed-deformed state for rock mass with account of crack’s effect

N. I. Simakina, S. A. Ponomareva

Perm State University, 614990, Perm, Bukireva st., 15

It’s developed a mathematical model for the calculation of stressed-deformed state of rock mass taking into account of crack’s effect. In the paper it’s described a method of implicit inclusion of cracks. And at second, there are given definitions of mechanical characteristics for rock mass with account of elastic and plastic behavior of cracks. This theme is important now under construction and use of different mines and works. Also it’s important during for mining operations.