CC BY
21
Расчет строительных конструкций
РАСЧЕТ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ И ПОВРЕЖДЕННОСТЙ АРМИРОВАННОЙ ПЛАСТИНЫ В ХЛОРИДСОДЕРЖАЩЕЙ СРЕДЕ
И.И. ОВЧИННИКОВ, канд. техн. наук, доцент Саратовский государственный технический университет
Прямоугольная армированная пластина является расчетной схемой для многих пластинчатых конструктивных элементов, находящих широкое применение в промышленном, гражданском и транспортном строительстве.
При построении модели армированной пластины в условиях воздействия хлоридсодержащей среды применяется феноменологический подход, основывающийся на рассмотрении армированного материала как неоднородной среды с использованием методологии строительной механики. Согласно этому подходу, обобщенная модель деформирования пластины с учетом ее взаимодействия с хлоридсодержащей средой, представляется в виде совокупности моделей: 1) модели конструктивного элемента; 2) модели нагружения; 3) модели деформирования материалов пластины; 4) модели воздействия агрессивной хлоридсодержащей среды; 5) модели разрушения материала, трактуемого как процесс накопления повреждений.
Модель конструктивного элемента, в качестве которой рассматривается модель пластины по технической теории изгиба с учетом соответствующих гипотез. Уравнения, описывающие равновесие пластины в усилиях имеют вид:
д2Мх Я2Н дх2 дхду ду2
Здесь Мх, Му - изгибающие моменты, Я - крутящий момент, р - интенсивность внешней нагрузки.
Модель нагружения. Схема и программа нагружения пластины будет зависеть от того, моделью какого конструктивного элемента является рассматриваемая пластина.
Модель деформирования материала пластины, находящейся в плоском напряженном состоянии и подвергающейся воздействию хлоридсодержащей среды. При выводе физических соотношений для определенности в качестве армированного материала рассматривается железобетон. Наличие армирующих элементов и характерные свойства бетона придают материалу пластины анизотропные свойства. Армированный бетон является ортотропным материалом, неодинаково сопротивляющимся растяжению и сжатию, причем бетон и арматура имеют близкие коэффициенты расширения, но бетон имеет отличающиеся диаграммы деформирования при растяжении и сжатии. Это позволяет использовать для описания поведения армированного бетона составную модель ортотропного нелинейного разномодульного материала. Основные соотношения, описывающие поведение элемента пластины в условиях плоского напряженного состояния, складываются из физических соотношений для бетона, работающего в условиях плоского напряженного состояния, и физических соотношений для арматуры, работающей в условиях одноосного напряженного состояния для каждого направления армирования. Влияние эффекта времени на процесс деформирования учитывается путем введения параметра поврежденно-сти в физические соотношения и конструированием специальных уравнений накопления повреждения для этого параметра.
1) Физические соотношения для бетона принимаются в виде [1]:
• / \ ¥ / \ 4х •
1 - V } 1 — Уу ^
где V, -коэффициент поперечной деформации, / = 1,2; сг^сг^т^-компоненты тензора напряжений, ех еу еху - то же, деформаций, причем:
ех ~~ Хх2> еу ~ ^ Xу2-' еху ~ ^ху ^Хху-2»
_ Эи _ Эу _ ди + Эу * Эх ' ду' Ху Эх ду'
_ Э^У^ _ Э _ Э ...
Эх2 ' Эу одау
В этих формулах £<, - деформации точек срединной поверхности; Ху> Хху ~ кривизны в этих точках, г - координаты рассматриваемых точек, отсчитываемые от срединной плоскости, и, г', И' - перемещения в направлении осей х, у, г. Принимается, что любая точка пластины находится в растянутом состоянии (/ = 1), если (7о > 0, и в сжатом состоянии (/' = 2), если <у0< 0. Здесь ст0 - среднее напряжение, определяемое выражением:
аг + ау+ о7
= Г-3У-- ■ (4)
ФЛеи,С,П)
Функция Щ имеет вид: . = —------, у = 1,2, (5)
еи
где Ф) - функции, аппроксимирующие обобщенную кривую деформирования бетона (7ц (еи) при растяжении (/ = 1) и при сжатии (/' = 2); а^- интенсивность напряжений; еи- интенсивность деформаций. Влияние концентрации хлорид-содержащей среды С и уровня поврежденное™ II учитывается при задании выражений для Ф].
2) Физические соотношения для арматуры имеют в вид:
а) для направления х: ох - /х(ех); (6)
б) для направления у: ау = /у(еу). (7)
Здесь /х - функция, аппроксимирующая диаграмму деформирования стержневой арматуры, уложенной в направлении х, а/у-в направлении у.
Модель воздействия агрессивной хлоридсодержащей среды. Процесс взаимодействия хлоридсодержащей среды с армированной пластиной состоит из нескольких стадий: проникание среды в объем пластины; взаимодействие её с материалом, приводящее к изменению механических характеристик бетона и коррозии арматуры; деформирование и разрушение с учетом происходящего процесса деградации. На стадии проникания среды формируется закон распределения агрессивной среды по объему пластины, определяющий затем характер неоднородности бетона и интенсивность коррозии арматуры.
Модель проникания хлоридсодержащей среды. Кинетика проникания хлоридсодержащей среды в пластину описывается с помощью уравнения диффузии:
ЭС/Эг = сЛ'уф • £га(1С) - ё(С), (8)
где t- время; D- коэффициент диффузии; g(C)~ скорость связывания проникшей среды. Для нахождения распределения концентрации хлоридсодержа-щей среды С по объему пластины в любой момент времени нужно решить это уравнение с начальными и граничными условиями, соответствующими рассматриваемой задаче.
Модель воздействия хлоридсодержащеи среды на бетон. Полагая, что бе-гон является нелинейным разносопротивляющимся материалом, зависимость
<т®(еи,С) запишем в виде:
4 = [А%С)■ еи - В) (С) • е^(С)] /(1 + ЯП), (9)
где А^ (с), В^ (с), fit j (с) - функции, учитывающие влияние концентрации хло-
j j j 11
ридсодержащей среды С на деформирование бетона при растяжении (j = 1) и сжатии ( j = 2), а функция (1 +1/7) учитывает влияние уровня поврежденности П на деформирование бетона. Включение функции поврежденности П в физические соотношения для бетона (9) позволяет отразить влияние ползучести бетона на процесс его деформирования через изменение диаграммы деформирования с течением времени под влиянием поврежденности.
Модель воздействия хлоридсодержащеи среды на арматуру. Так как под влиянием хлоридсодержащей среды изменения механических свойств арматуры практически не происходит, а происходит коррозионное разрушение, вызывающее изменение площади сечения арматуры, то зависимость между напряжениями и деформациями в арматуре принимается в виде диаграммы Прандтля:
ÍE-e, сг<<7т,
(10)
с7>ат
где Е - модуль упругости; су предел текучести.
Процесс коррозионного разрушения арматуры состоит из двух стадий: инкубационного периода , в течение которого концентрация хлоридов в точке расположения арматурного стержня изменяется от начального до критического значения СКр, и стадии интенсивного коррозионного разрушения, в течение которой происходит коррозионный (чаще всего локальный) износ арматуры.
Кинетику коррозионного износа арматуры можно описывать с различных моделей. Полагаем, что коррозионный износ описывается функцией:
Го,
«м ' , (и)
где ёк - предельная глубина коррозии; Т - параметр.
Полагая, что коррозионный износ арматурного стержня круглого сечения с начальным диаметром й?0 происходит по хорде, площадь его сечения с учетом коррозионного поражения запишем в виде:
= (12)
где 5 = 2агссо8(1-(2-8/(¡о)).
Модель разрушения материала. В подавляющем большинстве случаев разрушение армированных конструкций начинается с разрушения матрицы, то есть в случае железобетона с разрушения бетонной части конструкций. Поэтому при моделировании разрушения армированной пластины будем рассматривать
процесс разрушения бетона. Причем процесс разрушения бетона рассматривается как процесс накопления дисперсных повреждений, распределенных по объему конструктивного элемента. Уровень поврежденности оценивается с помощью скалярного параметра поврежденности Я, равного нулю в начальном неповрежденном состоянии материала и единице в момент разрушения. Скорость изменения параметра Я полагается зависящей от интенсивности напряжений бТ.^, вида напряженного состояния, концентрации хлоридсодержащей среды С и достигнутого значения поврежденности П. В результате уравнение
СЯ в Б ЬЛС)
накопления повреждений принимается в виде [1]:
г/Я
— = ЙДС) ол
жо)=о. па„)=1, 1=1,2, (13)
где /р- время до разрушения точки пластины, в которой поврежденность достигает предельного уровня Я = 1, а/С) и Ь/С) - коэффициенты уравнения накопления повреждений, зависящие от концентрации среды С в точке пластины и от вида напряженного состояния в этой точке. Здесь также принимается, что точка пластины находится в растянутом состоянии (/=/), если а0 > 0, и в сжатом состоянии {¡-2), если Оо< 0. Если предположить, что локальное разрушение пластины (в точке) можно отождествить с разрушением всей пластины, то тогда /р можно принять за время до разрушения пластины в агрессивной среде.
Физические соотношения для усилий и деформаций, возникающих в железобетонной пластине. Принимается, что усилия в сечениях пластины складываются из усилий, воспринимаемых бетоном, и усилий, воспринимаемых арматурой, а на сдвиг работает только бетон.
С учетом этого имеем:
Мх=МЬх+Мах; Му=МЬу+М%; Н = НЬ;
Хх = МЬх+№х- Му= N$+N$1 5 = (14)
Выражения для частей моментов и усилий, воспринимаемых бетоном:
г0 А/2 г0 А/2
т 1~ 7 < /
Мх = ¡(7| Му= ¡а^гс1г+ }
-А/ 2 2() -А/2 ¿о
г0 А/2 г0 А/2
НЬ= ^¿2+ \ Г^.^г; МЬХ= \аЬ^г+ \ (15)
-А/2 гд -А/2 г0
г0 А/2 г0 А/2
-А/2 г0 -А/2
Здесь гй - уравнение нейтральной поверхности, определяемой из условия (Т0 = 0 и отделяющей растянутую зону пластинки от сжатой; г, у - индексы, характеризующие сжатую и растянутую зону пластинки. Если нижняя зона изгибаемой пластинки растянута, то у = 1, г" = 2; если нижняя зона изгибаемой пластинки сжата, а верхняя растянута, то у" = 2, / = 1.
Выражения для получаются из условия:
1-^
(16)
(*. = Лех + £у) !<Лх +ХуУ (17)
Для получения выражений для моментов и усилий, воспринимаемых арматурой, арматурные стержни в направлении координаты х заменяются сплошным эквивалентным слоем металла переменной толщины. Переменность толпщны эквивалентного слоя в направлении координаты х определяется законами изменения площади поперечного сечения арматурных стержней в направлении координаты х. Переменность толщины эквивалентного слоя в направлении координаты у определяется аппроксимацией площадей арматурных стержней в направлении у некоторой функцией, задающей закон изменения толщины эквивалентного слоя в направлении у.
Обозначим т)х, r¡y - толщины эквивалентных армирующих слоев в верхней части пластинки, эквивалентных арматуре в направлениях, соответственно х, у; Xt, к — толщины эквивалентных армирующих слоев в нижней части пластинки, эквивалентных арматуре в направлениях, соответственно х, у; zT]< ,zT¡¡ - ординаты центров тяжести эквивалентных армирующих слоев в верхней части пластинки; гд,гд - ординаты центров тяжести эквивалентных армирующих слоев
в нижней части пластинки. Далее полагается, что под влиянием коррозионного износа изменяется сечение арматурных стержней, приводя к изменению толщин т]х, rjy, Ях, Лу эквивалентных армирующих слоев, не изменяя величины координат центров тяжести ,z^,. Таким образом, полагается, что под влияни-
ем коррозионного износа толщина эквивалентных армирующих слоев изменяется, а их положение по толщине пластинки остается неизменным.
С учетом введенных гипотез выражения для части моментов и усилий, воспринимаемых арматурой, примут вид [1]:
мх = (Чх ЯхгЛх + < (% )Лх2пх > Му = ау (% )ЛуЧу + (%. ;
NX - ах(ZÁXЖ + ах(ZT)X)Vx; Nay =аау(2Яу)Лу+аау(2ъ)г]у. (18)
Здесь (?х(2Л ) ~ напряжение в эквивалентном армирующем слое, работающем в направлении оси jc и расположенном в нижней части пластины на расстоянии гд от срединной поверхности; cr^(z^)- напряжение в эквивалентном армирующем слое, работающем в направлении оси х и расположенном в верхней части пластины на расстоянии z^ от срединной поверхности;
а у (гд ) - напряжение в эквивалентном армирующем слое, работающем в направлении оси у и расположенном в нижней части пластины на расстоянии гд
от срединной поверхности; (7y{zr]v )~ напряжение в эквивалентном армирующем слое, работающем в направлении оси у и расположенном в верхней части пластины на расстоянии z^ от срединной поверхности.
С учетом условия отсутствия продольных усилий в сечении пластины, получим следующие выражения для Мх, Му и Н:
Mx = D\ax + DnXy, м у = D2]Zx + ¡hlXy* H^Dtfxy, (19) где: Al = \f\№ J
¿>2,=[h№+Jay\Vfui*+ii\ D22=[f22(;ï+;ayMJ2+jay2)+fniïl
03 =
27?
ХТЬ}2
(20)
причем в этих выражениях:
Л 1 - . -А . ..Л.?' /12 -
С Т^х. Г^Л/1 /-¿д. таЛ-(тЬ\2 у V " хи'У" и'" уи;
г и1 - д/г и1 V и /
гЬ тй / гЬ , та тЬ, та \ , тЛ тя ч / т/>. т-а ч
0^x0л-' . УЛ-Ча)-^0+^x0^1
/11-—-Г . —-— т ■ /21 —
(/^х'оХ^о^о)-^)2
(21)
Жесткости, входящие в эти выражения, определяются формулами: для бетона:
, 20 А/2 г0 А/2
= ]а}гкЪг + | аггЛ, = + / к = 0,1,2;
-А/2 г0 -А/2 г0
А П
ТЪк= \р]1кдг+ \ Р^дг, к = 0,1,2;
-А/2
г0
для арматуры:
= Еа (ЛхгкЯх + Т]х2къ), = (¿Д + ^), к = 0,1,2.
В формулах: 2о =~
р + Р
X X X V
Хх(Л\ +/2\) + Ху(/\2 +/22)
Хх+Х
у
у
а
]
)
■1 а = -л..... Й . =__
9 1 г 9 > А7/ '
1-у2 1-у? 2(1 + у7.)
/
2(1 + у,)
(22)
(23)
(24)
(25)
При выводе вышеприведенных выражений предполагается, что арматура и бетон работают совместно, невзирая на коррозионный износ арматуры.
Разрешающее уравнение изгибаемой армированной пластины. Подставляя (19) в (1) и учитывая (3), получим следующее разрешающее дифференциальное уравнение изгиба армированной пластины в условиях хлоридной коррозии:
Эх
Э2Г Эх2
+ -
Эх'
А
Э2Г
'12 .о
э>>
+ 2
ЭхЭу
л
э2^
дхду
V
Э2Ж
'21
Эх^
Эу^
I).
'22
эУ э/
= р(х,у).
(25)
Для определения характеристик напряженно-деформированного состояния армированной пластины в каждый момент времени необходимо из решения уравнения диффузии (8) с соответствующими начальными и граничными условиями найти закон распределения концентрации С хлоридсодержащей среды по объему пластины в рассматриваемый момент времени, по уравнениям (13) определить уровень накопления повреждений в точках объема пластины к рассматриваемому моменту времени, по уравнениям (11), (12) определить степень коррозионного поражения арматуры пластины к этому моменту времени, и ре-
шить уравнение (25) с соответствующими граничными условиями, позволяющими получить для каждого конкретного случая однозначное решение. Имея решение этого уравнения, можно определить напряжения и деформации в любой точке (в бетоне и арматуре) армированной пластины в рассматриваемый момент времени. Полученное дифференциальное уравнение изгиба армированной пластины в сочетании с уравнениями проникания хлоридсодержащей среды, уравнениями накопления повреждений в бетоне и уравнениями коррозионного износа арматуры позволяет рассчитывать долговечность пластины при разном характере нагружения, при разных схемах опирания пластины по контуру (шарнирное, жесткое, их сочетания), разных программах воздействия хлоридсодержащей среды (среда сверху, снизу, среда с обеих сторон и среда действует на часть иоверхносш) и определять впемя до оазоушения пластины.
J г / х ' 1 *
Литература
1. Овчинников И.И. Накопление повреждений в стержневых и пластинчатых армированных конструкциях, взаимодействующих с агрессивными средами/ И. И. Овчинников, Г.А. Наумова. ВГАСУ. Волгоград: Изд-во ВГАСУ, 2007. - 272 с.
CALCULATION OF THE STRESS-STRAIN STATE AND DAMAGING OF A REINFORCED CONCRETE PLATE IN CHLORIDE ENVIRONMENT
Ovchinnikov I.I.
A model of deformation of a plate in chloride environment is given in the paper. The model described consists of the several models also resulted in the paper.
-Ф- -0-
СКОЛЬЖЕНИЕ НЕРАСТЯЖИМОЙ ГИБКОЙ НИТИ ПО ПОВЕРХНОСТИ ТВЕРДОГО TEJIA
А. БАРАЕВ
Российский государственный технологический университет им. К.Э. Циолковского, Россия, Москва
Неровность - естественный фактор, связанный с технологией производства текстильной нити. Как известно, технология производства текстильной нити состоит из вытягивания и скручивания нити вокруг собственной оси. Поэтому в процессе формирования текстильной нити ее поперечное сечение совершает одновременно продольные и крутильные, т.е. винтовые движения. Следовательно, с точки зрения технологии производства текстильные нити характери-зируются двумя основными показателями - винтовым шагом h и количеством крутки к, приходящимся на единицу длины данной нити. Как видно из рис. 1, площадь поперечного сечения меняется.
Неровность в свою очередь приводит к сдвигу крутки и к перераспределению натяжения, вследствие которого происходит обрыв нити. Решение данной задачи и полученные численные результаты позволяют сделать соответствующие выводы и рекомендации по слежению обрывности нити.
Пусть при t> 0 правому концу огибающей поверхность неподвижного твердого тела нити мгновенно сообщается постоянная по времени продольная скорость и . Предположим, что в зависимости от условий контакта в точке В, вектор реактивной силы R с вертикальной осью у может образовать положительный (рис. 2) или отрицательный (рис. 3) угол в. В точке контакта на нить
