Расчет нагрева многослойных тел Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 621.1

РАСЧЕТ НАГРЕВА МНОГОСЛОЙНЫХ ТЕЛ

Докт. техн. наук, проф. ЕСЬМАН Р. И.

Белорусский национальный технический университет

Современные многослойные материалы составляют широкую гамму изделий, которые используют в своем составе волокнистые, полимерные материалы, включающие неорганические и органические наполнители, углеродные волокна и углекомпозиты, углепластики, силиконовые и фтор-каучуковые композиты, металло- и стеклокерамические теплоизоляционные материалы, ткани на кремниевой основе и др. Особое место в ряду многослойных строительных материалов занимают сухие смеси и новые технологии получения гипсокартонных и гипсоволокнистых изделий со специальными свойствами.

Технологии получения многослойных материалов включают в себя процессы нагревания, термообработки и сушки изделий. При разработке математических моделей термообработки изделий необходимо учитывать теплофизические особенности процесса нестационарного теплообмена в многослойной стенке. Отдельные слои могут претерпевать фазовые или химические превращения (отвердевания термореактивных смол, гипсовых наполнителей, кристаллизации, спекания, диссоциации, испарения или конденсации в пористых теплозащитных материалах и т. д.). В данной работе анализ теплопереноса проводится с учетом фазовых превращений в отдельных слоях и зависимостей их теплофизических характеристик от температуры.

Определяем распределение температуры при нагреве многослойных тел прямоугольного сечения для каждого момента времени. В этих условиях температурное поле многослойной стенки описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений переноса теплоты (ввиду нелинейности потоков теплоты и граничных условий) с соответствующими краевыми условиями. Изменение температуры по сечению (вдоль координат х, у) в любой момент времени для каждого слоя многослойной стенки определяется из решения системы дифференциальных уравнений теплопроводности

с,(Г,)р,(Т)Щг^ 4

д дх

х (Т)

дх

_д_ ду

Х(Т)

ду

(1)

где 7 - индекс, определяющий принадлежность уравнения и параметров к различным слоям многослойной стенки, 7 = 1, 2, ..., п; с ,(Т) - удельная теплоемкость 7 -го слоя как функция температуры; р7 (Т) - плотность материала 7-го слоя как функция температуры; X, (Т7) - коэффициент теплопроводности 7-го слоя как функция температуры.

В качестве примера введем следующие обозначения по слоям: 1 - металлическая или металлокерамическая матрица; 2 - неметаллическое покрытие (керамика, стекло- или базальтоволокнистые материалы); 3 - слой,

в котором происходят фазовые или химические превращения (термореактивные смолы, гипс); 4, 5 - неметаллические слои со специальными свойствами (углепластик, армированный углерод, термостойкие покрытия и т. д.). Количество и материалы слоев могут быть различными в соответствии со служебными характеристиками и функциональными особенностями многослойной стенки.

На границах слоев теплофизические параметры как температурные функции терпят разрыв. В этом случае система дифференциальных уравнений (1) может быть сведена к одному уравнению теплопроводности с разрывными коэффициентами, записанному в следующем виде:

с(Т )р(Т)

дТ (х, у, t) д

а

дх

ЦТ)

дТ (х, у, t) дх

ду

ЦТ)

дТ (х, у, t) ду

. (1*)

Уравнение (1*) определено в области: 0 < х < а; 0 < у < Ь. Граничные условия для дифференциального уравнения (1*) запишем:

X т) I=х(Т ^

(2)

дТ

\ (Т) = х1 -1 дt

(

Т

дТ-1

л

г -1

ду Т = Т-1.

, у = у;

(3)

Условия сопряжения (2), (3) определены на общих границах слоев.

В соответствии с условием задачи принимаем, что теплообмен на внешней поверхности многослойной стенки происходит по закону Ньютона - Рихмана. Тогда с учетом симметричной модели граничные условия представим следующим образом:

дТ „ а дТ а а

— = 0 при х = 0; — = 0 при у = 0;

дх ду

(4)

дТ дТ

X— = -а(Т - Тс) при х = а; X— = -а(Т - Тс) при у = Ь. (5)

дх ду

Начальные условия имеют вид

Т (х, у 0) = Т. при г = 1,2,..., п.

(6)

Для слоя 3 решается задача с фазовыми превращениями с подвижной границей фаз. На границе раздела фаз (в слое 3) запишем условия фазового перехода [1]:

Тз' = Тз"= Тф & t);

.,-ТМ «,-ГзМ

X--Х3-

дх

дх

= р3 г— при х =

*3 ^ -*3 ^ =Рз^ при .у = %, ду ду т

где Тф - температура фронта фазовых превращений; р3 - плотность материала; г - удельная теплота фазового перехода.

Линейный источник при координате х = % представим с помощью

5-функции Дирака. При этом воспользуемся основным свойством 5-функ-ции [1]

] /(х)5(х-%)йх = /(%).

Для решения задачи фазового перехода (задачи Стефана) применяется метод сглаживания: 5-функция заменяется 5-образной функцией 5(Т - Тф, А), отличной от нуля лишь на интервале (Тф -А,Тф +А) и удовлетворяющей условию нормировки:

Тф +А

| 5(Т - Тф, А)йТ = 1.

тф -А

В период фазового перехода уравнение (1*) распадается на два, описывающие теплопроводности в жидкой и твердой фазах с добавлением условий на границе раздела фаз %.

Сглаживая на интервале (Тф -А, Тф +А) функции 53(Т), 53'(Т), с"(Т),

*3(Т), Х3(Т), например при линейной зависимости между значениями в твердой фазе при Т < Тф - А и в жидкой фазе при Т > Тф + А, получим квазилинейное уравнение, по форме совпадающее с дифференциальным уравнением (1*). Для решения полученного квазилинейного уравнения можно использовать разностные методы.

Из граничных условий (2) видно, что температурные функции на границе слоев не имеют разрывов, а претерпевают разрыв первые производные. Этот факт дает возможность рассматривать систему сопряженных тел как стенку с теплофизическими свойствами, зависящими от координаты и температуры и терпящими разрыв на границе слоев.

Учитывая это обстоятельство, а также вводя безразмерные переменные, перепишем систему дифференциальных уравнений и краевые условия в безразмерных переменных:

ди д дt дх

дх ,1 ду 1

ди * ди дх

дх

ди —- ду

1 ду

ди ду

\

при 0 < х < а0; 0 < у < Ь0; (7)

= «0; 0 < у < Ь0; (8)

с = Ь0; 0 < х < 1; (9)

ди ди

— = — = 0 при х = 0; дх дх

ди ди г, г,

= = 0 при у = 0;

-у -У

ди

-Х2 — = ааи при х = 1; дх

1 ди г

-Х2 — = ааи при у = Ь;

ду

и = и0 при t = 0; и = и0 при t = 0,

(10) (11)

(12)

(13)

(14)

где и и и - безразмерные температуры. Условия сопряжения:

(15)

- ди ди

Л1 - = X 2 - , и = О;

дх дх

- ди ди

Х1-= X 2-, и = и.

ду ду

Введем общую прямоугольную сетку, равномерную по каждой из осей, причем предположим, что контактные поверхности х = а0 и у = -Ь0 лежат на узлах сетки. Пусть N и N - число узлов по горизонтали и вертикали соответственно, тогда шаг по горизонтали И1 = 1/ N, а по вертикали -

н2 = Ь / ы2.

Предположим, что горизонтальная строка узлов на контактной поверхности имеет номер М1, а вертикальный столбец - М2. Будем решать задачу на фиктивной сетке с узлами:

хг = ^' + 2 ] уг = ( ] + 2 ) ^

при г = -1,0,...,N1; ) = -1,0,...,N2.

Неявные конечно-разностные уравнения, соответствующие выражениям (7)-(15), на узлах фиктивной сетки на шеститочечном шаблоне [1] в момент времени t = (I +1) т имеют вид:

а2с?) р(1) = 1

г, )г]

г, )rг,)

т

( ц1 + 1 _ ц1 +1 ц1 + 1 —1А + 1 ^

Х(1) г+1,) г,) - х(1) г,) иг-1,) V ) К г-\) К

1 ( ц1 + 1 _ ц1 + 1 ц1 + 1 —1А + 1 ^

+1 х(1) иг, )+1 ,) -х(1) иг,) , )-1

К V г)\ К ',)-\ К ,

(16)

где г = 0,1,2,...,М -1; ) = 0,1,2,...,М2 -1; I = 0,1,2,...;

V1+1 - V1 . а 2с(2)р(2) ',) г,) =.

( и+1 - и+1 и+1 - и+1 ^

Х(2) г+1,) г,). - х(2) ',) г-1,)

V 1+\,. К 1-\,. 1

1

1 ( и+1 - и+1 и+1 - и+1 ^ + х(2) ,)+1 г,) -Х(2) г,) г,)-1

г,) +-V 2

2

2

где

г = 0,1,2,..., N1 -1; | г = Мь М1 +1,..., N1 -1;) ) = М2,М2 +1,..., N2,] ) = 0,1,2,...,М2 -1, )

1 = 0, 1, 2;

и 1+1 -и 1+1 и+1 - и+1

-Х(1) Мм„ у ММ„ у-1 = -х(2) иМд, у иМ,-1, у =

М1 -1 у К м1 - 2, у К

2

= К,

/^1/1+1 4- 1/1+1 1-|1+^4- 1ч1+1 Л

иМ1г) + М^,)-1 + Чц-1,)

(17)

где ) =-1,0,1,...,М2 -1;

и 1+1 -и 1+1 и+1 - и+1

х(1) г,М 2 г,М2-1 = х(2) г,М 2 г,М2 -1

гМ2 -1 К 'Мг 1

2

2

2

2

= К,

/'и+1 +и 1+1 и+1 + +1 ч\

г,м 2 г,м 2 -1 г,м 2 иг,м 2 -1

(18)

где г = -1,0,1,...,М -1.

Аппроксимацию остальных граничных и начальных условий запишем:

и0+1 = и-+1) при / = -1,0,1,...,М2; О = о-+>) при ) = М2, М2 +1,..., N2; I

(19)

при / = -1,0,1,..., М1;

1+1 _ 1+1

иг,0 = иг,-1

и1+01 = и1+11 при г = М1, М1 +1,..., N1; I

У1+1 -и1+1 _ _

-Х(2)1 ^ "^и = а а ^ -1,) N1-^,) К ) 2

где ) = -1, 0,..., N2;

-Х(2)

и+1 - и+1

г, N г, N -1

г, N9

К

= а а-

и+1 + и+1

г, N г, N-1

(20)

где г = -1,0,..., N1; где г = -1,0,..., М1; ) = -1, 0,..., М2;

и1) = ^

(21)

2

2

и?, = ^

где / = М1, М1 +1,...,Ы{; у = -1, 0, ..., М2 или / = -1, 0, ..., N1; , = М2, М2 +

+1,..., N2.

Выражения (16)-(20) с учетом (21) дают (N + 2)(Ы2 + 2) + 2 (М1 + М2)

алгебраических линейных уравнений для определения такого же количества неизвестных значений температур в узлах сетки. На каждом временном шаге (5 + 1)т, I = 0,1,... решение их производится по методу продольно-поперечных направлений.

В Ы В О Д Ы

В работе излагается методика численного решения задачи нагрева многослойных тел. Учитывается переменность теплофизических характеристик сопряженных слоев, их зависимость от температуры, а также перемещения фронта фазовых превращений в одном из слоев изделия. Эти обстоятельства делают задачу нестационарной теплопроводности нелинейной.

В процессе фазового перехода дифференциальное уравнение теплопроводности распадаются на два уравнения, описывающих теплопроводность в жидкой и твердой фазах с добавлением условий на границе раздела фаз (задача Стефана). Вследствие введения в расчетную схему 5-функции Дирака решение задачи сводится к расчету квазилинейного уравнения теплопроводности численными методами. Для конечно-разностной аппроксимации производных на сетке вдоль каждого из направлений х и у используется шеститочечный шаблон [1]. В результате задача сводится к итерационной системе алгебраических уравнений.

Представленная методика позволяет рассчитывать многослойные изделия с заданными служебными характеристиками для различных отраслей народного хозяйства (энергетической, нефтехимической, машино- и приборостроительной и т. д.). Такие изделия являются результатом комбинированного сочетания отдельных компонентов и слоев с различными свойствами. Многослойные изделия имеют характеристики, отличающиеся от свойств составляющих, что позволяет получать изделия со специальными свойствами, повышенными качеством и эксплуатационными характеристиками.

Л И Т Е Р А Т У Р А

1. Е с ь м а н, Р. И. Расчеты процессов литья / Р. И. Есьман, Н. П. Жмакин, Л. И. Шуб. -Минск: Вышэйш. шк., 1977. - 264 с.

Представлена кафедрой ПТЭ и ТТ Поступила 29.12.2009