CC BY
0�ой плотности мощности наблюдаются растрескивание вольфрама, интенсивная эрозия, эмиссия макроскопических частиц, оплавление при сравнительно низких температурах и другие процессы, способные, в конечном итоге, привести к ускоренному разрушению вольфрамовых тайлов дивертора ИТЭР [1-3]. Высокотемпературная керамика является перспективным альтернативным материалом на роль защитного покрытия плазменных компонентов. Одним из главных преимуществ керамики перед другими материалами в этом случае можно отметить высокую устойчивость к интенсивным термическим нагрузкам [4]. Чтобы защитить вольфрамовые пластины ИТЭР от воздействия плазмы и, таким образом, предотвратить развитие перечисленных процессов, можно использовать возобновляемое покрытие из карбида бора (В4С). Он имеет высокую температуру плавления (—3000 К), не подвергается химическому распылению, а физическое распыление значительно ниже, чем у графита и лишь незначительно увеличивается при температуре 1700К [5]. Также, по сравнению с графитом, карбид бора плохо удерживает водород [6].
Исследования, проводимые в ИЯФ СО РАН сосредоточены на изучении эрозии поверхности вольфрамового образца при воздействии лазерного импульса или электронного пучка. Эксперименты проводятся на стенде Beam of Electrons for materials Test Applications (BETA), созданном в ИЯФ CO РАН [1]. Проводилось [2] моделирование нагрева и плавления вольфрама на основе решения в области образца двухфазной задачи Стефана. Новизна и сложность решения задачи обусловлена необходимостью сформулировать нелинейные граничные условия, описывающие нагрев и испарение материала на его поверхности [7]. На основе расчета температуры проводятся работы [8] по определению тока в образце вольфрама и испаряемом веществе. Термотоки определяются из уравнений электродинамики с учетом электрического сопротивления и термоЭДС, рассчитанных через интеграл по энергии электронов. Ток рассматривается как возможный источник вращения вещества, который наблюдается в эксперименте.
Новое направление исследований в ИЯФ СО РАН состоит в изучении процесса нагрева образца композита карбида бора и вольфрама [4]. Натурные исследования сопровождаются вычислительным экспериментом. Практическая направленность работы требует, чтобы постановка модельной задачи как можно более точно соответствовала условиям эксперимента. Результаты расчетов итоговой модели будут использоваться для анализа данных, полученных на экспериментальном стенде BETA в ИЯФ СО РАН.
Материалы и методы. В экспериментах на установке BETA образцы прокатанного вольфрама [8] и композита карбида бора и вольфрама [4] подвергались воздействию осесимметричного электронного пучка. Электроны с энергией 80-90 кэВ нагревают материал в слое, который является тонким по сравнению с характерной глубиной нагрева материала. Тепло, поглощенное поверхностью, распространяется в материал. Образец имеет размеры 25 мм х 25 мм и типичную толщину 4 мм. Поскольку за такое короткое время образец нагревается на глубину нескольких сотен микрон, область моделирования представляла собой поперечное сечение образца: область 12 мм х 2 мм (рис. 1).
Рис. 1. Схемаэксперимента
Процесс распространения тепла по поверхности и вглубь образца описывается уравнением теплопроводности в аксиально-симметричной постановке:
с (т)р(т)— = 1 — + — хТ)дт,
dt r dr dr dz dz
к VT) |T = Щту, ("' VT) jQ-T = 0, T |t.0 = T0
(1)
где О. — все границы образца; у — нагреваемая поверхность; г, ъ) — температура; е{Т) — удельная теплоемкость; р(Т) — плотность; Х(Т) — теплопроводность; W(t, г) — плотность мощности на поверхности у; п — нормаль к поверхности; Т0 — температура в начальный момент времени.
Распределение мощности по поверхности теплового потока определяется как W(/, г)= Wшax (/)ехр(- Аг2).
Здесь А = — = 0,03088523мм 2 — константа, характеризующая радиус пучка а. Аксиально симметричная кона
фигурация теплового потока определяет оптимальную формулировку задачи в цилиндрической системе координат, поскольку распределение мощности теплового потока по поверхности имеет максимальные значения в центре образца и уменьшается пропорционально радиусу. Нагрев образца происходит в центре пластины и не достигает ее краев. Образец нагревается на глубину не более 1 мм. Решение задачи в поперечном сечении определяется важностью процесса прогрева материала вглубь образца. Основной вклад в решение вносит граничное условие на нагреваемой поверхности и параметры материала.
Введем равномерную прямоугольную сетку с узлами (/, к): I = 1...Ж, к = в двумерной области
(г, ъ): г е [г0, г ], ъ е [ъ0, ъшах ], г0 = z0 = 0, гшах= 12 мм, ъшах= 2 мм, причем, при 0 <ъ < 0,1 мм находится слой карбида бора, а при 0,1< z <2 мм — вольфрам. Определим узлы сетки с помощью сеточных функций:
Г = пт, п = 1,...,Т, г. = 1к,1=\,...,Ы,
1 7 7 7 Г7
х, =кк,к= ,
ТП = Т (/п, г,, Ък ),
W"
Введем разностные операторы
(л rr ): =
r h cp
(л zz ): =
f
= Wmax k" )exp(- Ar2 ).
r (t" - Tn r (T" - Tn )
' l V i+lk 1 ik ! ' l V ik 1 i-lk !
i-i— i—
2 2
^ ÎT" _ T" )
Y ik 1 i-lk )■>
fij + fij+l
(2)
cph2
fij + fi+ij
i
i+2 j
2
f i =■
2
Численная реализация задачи (1) основана на схеме стабилизирующей поправки [9] и метода прогонки:
Т 2 'f" Tik ~ T ik
T"n+l - T k
= (Л rr )Г 2 +(Л zz )"k ,
- = (Л zz )"k1 "(Л zz )"k •
l
2
Краевые условия:
Т^ _ 4ГП+1 + З^1 2к
Т 2 _ 4Т 2 , 3Т 2
1 -2,к -1,к
2И
= 0,
гтЩ+1 I о
1-2 ~ 41+ 311,-1
2И
= 0.
Для проверки правильности алгоритма решена тестовая задача [10]:
ды д (, . ды , — = —I кып — I, г > 0, t > 0,
где ы0 =
( ас2 ^
дt о.г
(4)
V к0 )
1(2,0) = 0, ы(0, t) = ы 0tс
к0 = 0,5, о = 2, с = 1 и точное решение:
< (*, t ) =
— - 2)
V к 0
при 2 < ^,
0, при 2 > с^
Решим задачу при х е [0,1] и на интервале времени t е [0, 0,5]. На рис. 2 представлено решение задачи (4) в разные моменты времени, на рис. 3 показан график зависимости относительной погрешности е от шага сетки к.
1,4 1,2 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0
!
-\ = 0,0 8. \ = 0,1 8.
\ = 0,2 8. = 0,3 8. = 0,4 8.
= 0,5 8.
\\
\\
0,0
0,2
0,4
0,6
1,0
Рис. 2. Решение задачи (4) в разные моменты времени
ы
г
0,14 0,12
СЛ
а
М
0,10 0,08 0,06
И=0,08
И=0,06
И=0,04
И=0,02
*п=0,001
Рис. 3. График зависимости относительной погрешности от шага сетки
Результаты исследования. Рассмотрим численное решение задачи (1) для случая постоянных коэффициентов (таблица 1).
Таблица 1
Характеристики карбида бора и вольфрама, использованные при расчетах
Единицы измерения Вольфрам Карбид бора
Дж кг • К 148,34 2153,66
кг р, ^ 19051,24 2509,06
я, Вт м • К 119,55 20,79
Расчет проведен при т = 0,01, к = 0,01. Время расчета определялось температурой нагрева поверхности пластинки до 2000 К. Численные эксперименты показывают, что карбид бора, имея большую по сравнению с вольфрамом теплоемкость, сильнее нагревается, но из-за низкой теплопроводности замедляет распространение тепла вглубь.
1200
1000
а
н"
800
600
400
0,0
0,5
Вольфр - Карбид ам бора
и воль^ >рам
1,0 1,5
7, тт
Рис. 4. Распределение температуры вглубь образца
2,0
1200
1000
а
Н"
800
600
400
Вольфрам Карбид бора и вольйгам
0
10
2 4 6 8
г, тт
Рис. 5. Распределение температуры на поверхности образца
Таким образом, применение защитного покрытия из карбида бора позволяет уменьшить температуру, воздействующую на вольфрам, тем самым предотвращая нагрев материала до критических значений (Т > 800 К [11, 12]), которые могут привести к растрескиванию.
Обсуждения и заключение. Проведен анализ модели нагрева композитного материала при нагреве электронным пучком при постоянных значениях плотности, теплопроводности и теплоемкости. Результаты проведенного моделирования показывают, что карбид бора, имея большую по сравнению с вольфрамом теплоемкость, сильнее нагревается, но из-за небольшой теплопроводности замедляет распространение тепла вглубь.
Список литературы
1. VyacheslavovL., ArakcheevA., Burdakov A., Kandaurov I., Kasatov A., Kurkuchekov V., etal. Novel electronbeam based test facility for observation of dynamics of tungsten erosion under intense ELM-like heat loads. AIP Conference Proceedings. 2016;1771:060004.
2. Arakcheev A.S., Apushkinskaya D.E., Kandaurov I.V, Kasatov A.A., Kurkuchekov V.V., Lazareva G.G., et al. Two-dimensional numerical simulation of tungsten melting under pulsed electron beam. Fusion Engineering and Design. 2018;132:13-17.
3. Lazareva G.G., Arakcheev A.S., Vasilyev A.A., Maksimova A.G. Numerical simulation of tungsten melting under fusion reactor-relevant high-powerpulsed heating. Smartlnnovation, Systems and Technologies. 2019;133:41-51.
4.CherepanovD., \yacheslavovL., Popov V., RyzhkovG.A., Kasatov A.A., Vasilyev A., etal. In situ study of thermal shock damage to high-temperature ceramics. Nuclear Materials and Energy. 2023;36:101495. https://doi.Org/10.1016/j.nme.2023.101495
5. Молодец A.M., Голышев A.A., Шилов Г.В. Плавление ударно-сжатого карбида бора. Письма в журнал экспериментальной и теоретической физики. 2020;111(12):838-845.
6. Azizov Е.А., Airapetov A., Begrambekov L., Buzhinsky O.I., Vergazov S., GruninAndrey, et al. Combined device used for boron carbide coating deposition and material testing under high intensity plasma heat loads. Problems of Atomic Science and Technology, Ser. Thermonuclear Fusion. 2014;37:30-38. https://doi.org/10.21517/0202-3822-2014-37-4-3Q-38
7. Lazareva G.G., Arakcheev A.S., Popov VA. Mathematical modeling of melting tungsten exposed to pulsed laser beam. Dokl. Math. 2023;107(l):83-87.
8. Lazareva G.G., Popov V.A. Effect of Temperature Distribution on the Calculation of the Thermal Current in the Mathematical Model of Pulsed Heating of a Tungsten. Lobachevskii Journal of Mathematics. 2023;44(10):4449-4460. https://doi.org/10.1134/S199508022310Q27X
9. Яненко H.H. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. Новосибирск; 1967. 96 с.
10. Tikhonov A.N., Samarsky А.А. TheEquationsofMathematicalPhysics. Science. Moscow; 1972. 800 р.
11. Arakcheev A.S., SkovorodinD.I.,BurdakovA.V., ShoshinA.A.,PolosatkinS.V, Vasilyev A.A., etal. Calculation of cracking under pulsed heat loads in tungsten manufactured according to ITER specifications. Journal of Nuclear Materials. 2015;467:165-171. https://doi.Org/10.1016/j.jnucmat.2015.09.034
12. Changjun Li, Dahuan Zhu, Xiangbin Li, Baoguo Wang, Junling Chen, Thermal-stress analysis on the crack formation of tungsten during fusion relevant transient heat loads. Nuclear Materials and Energy. 2017;13:68-73. https://doi.Org/10.1016/j.nme.2017.06.008
References
1. \fyacheslavov L., Arakcheev A., Burdakov A., Kandaurov I., Kasatov A., Kurkuchekov V., etal. Novel electronbeam based test facility for observation of dynamics of tungsten erosion under intense ELM-like heat loads. AIP Conference Proceedings. 2016;1771:060004.
2. Arakcheev A.S., Apushkinskaya D.E., Kandaurov I.V, Kasatov A.A., Kurkuchekov V.V., Lazareva G.G., et al. Two-dimensional numerical simulation of tungsten melting under pulsed electron beam. Fusion Engineering and Design. 2018;132:13-17.
3. Lazareva G.G., Arakcheev A.S., Vasilyev A.A., Maksimova A.G. Numerical simulation of tungsten melting under fusion reactor-relevant high-powerpulsed heating. Smartlnnovation, Systems and Technologies. 2019;133:41-51.
4. Cherepanov D., \fyacheslavov L., Popov V., Ryzhkov G.A., Kasatov A.A., Vasilyev A., et al. In situ study of thermal shock damage to high-temperature ceramics. Nuclear Materials and Energy. 2023;36:101495. https://doi.Org/10.1016/j.nme.2023.101495
5. Molodets A.M., Golyshev, A.A., Shilov G.V. Melting of impact-compressed boron carbide. Letters to the Journal ofExperimentaland TheoreticalPhysics. 2020;lll(12):838-845. (inRuss.).
6. Azizov E.A., Airapetov A., Begrambekov L., Buzhinsky O.I., Vergazov S., GruninAndrey, et al. Combined device used for boron carbide coating deposition and material testing under high intensity plasma heat loads. Problems of Atomic Science and Technology, Ser. Thermonuclear Fusion. 2014;37:30-38. https://doi.org/10.21517/0202-3822-2014-37-4-3Q-38
7. Lazareva G.G., Arakcheev A.S., Popov V.A. Mathematical modeling of melting tungsten exposed to pulsed laser beam. Dokl. Math. 2023;107(l):83-87.
8. Lazareva G.G., Popov V.A. Effect of Temperature Distribution on the Calculation of the Thermal Current in the Mathematical Model of Pulsed Heating of a Tungsten. Lobachevskii Journal of Mathematics. 2023;44(10):4449-4460. https://doi.org/10.1134/S199508022310027X
9. Yanenko N.N. The method of fractional steps for solving multidimensional problems of mathematical physics. Novosibirsk; 1967. 96p. (inRuss.).
10. Tikhonov A.N., Samarsky A.A. TheEquationsofMathematicalPhysics. Science. Moscow; 1972. 800p.
11. Arakcheev A.S., Skovorodin D.I., Burdakov A.V., Shoshin A.A., Polosatkin S.V., Vasilyev A.A., et al. Calculation of cracking under pulsed heat loads in tungsten manufactured according to ITER specifications. Journal of Nuclear Materials. 2015;467:165-171. https://doi.Org/10.1016/j.jnucmat.2015.09.034
12. Changjun Li, Dahuan Zhu, Xiangbin Li, Baoguo Wang, Junling Chen, Thermal-stress analysis on the crack formation of tungsten during fusion relevant transient heat loads. Nuclear Materials and Energy. 2017;13:68-73. https://doi.Org/10.1016/j.nme.2017.06.008
Поступила в редакцию 26.02.2024 Поступила после рецензирования 12.03.2024 Принята к публикации 14.03 .2024
Об авторах:
Окишев Василий Александрович, стажер-исследователь, Математический институт им. С.М. Никольского, Российский университет дружбы народов (РФ, 117198, Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6), ORCID. okishev-va@rudn.ru Лазарева Галина Геннадьевна, член-корреспондент РАН, профессор, Математический институт им. С.М. Никольского, Российский университет дружбы народов (РФ, 117198, Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6), lazareva-gg@rudn.ru
Попов Владимир Андреевич, младший научный сотрудник, Математический институт им. С.М. Никольского, Российскийуниверситет дружбы народов (РФ, 117198, Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6), popov-vlan@rudn.ru
Заявленный вклад соавторов:
В.А. Окишев — разработка математической модели, разработка алгоритма, расчеты, анализ результатов, визуализация данных.
Г.Г. Лазарева — обсуждение результатов. В.А. Попов — постановка задачи.
Конфликт интересов
Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.
Все авторы прочитали и одобрили окончательный вариантрукописи.
Received 26.02.2024 Received 12.03.2024 Accepted 14.03.2024
About the Authors:
Vasily A. Okishev, Research Intern, S.M. Nikol'skii Mathematical Institute, RUDN University (6, Miklukho-Maklaya St. Moscow, 117198, RF), ORCID. okishev-va@rudn.ru
Galina G. Lazareva, Corresponding Member of the Russian Academy of Sciences, Professor, S.M. Nikol'skii Mathematical Institute, RUDN University (6, Miklukho-Maklaya St. Moscow, 117198, RF), lazareva-gg@rudn.ru
Vladimir A. Popov, Junior Research Fellow, S.M. Nikol'skii Mathematical Institute, RUDN University (6, Miklukho-Maklaya St. Moscow, 117198, RF), popov-vlan@rudn.ru
Contributions ofthe co-authors:
V.A. Okishev — mathematical model development, algorithm development, calculations, results analysis, data visualization.
G.G. Lazareva — results discussion. V.A. Popov — problem formulation.
Conflict ofinterest statement
The authors do not have any conflict of interest.
All authors have read and approved thefinal manuscript.
