Расчет надежности внецентренно сжатой бетонной колонны с использованием функций распределения, полученных на основе неравенства Чебышева Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

строительные материалы и конструкции

Расчет надежности внецентренно сжатой бетонной колонны с использованием функций распределения, полученных на основе неравенства Чебышева

О.В. Ярыгина, B.C. Уткин

Нередко на практике возникает ситуация, при которой увеличивается нагрузка на несущие элементы конструкций, например, при реконструкции здании и сооружений или снижается несущая способность элементов в результате «старения» материалов. В результате этого создаются условия для возможного разрушения отдельных элементов или всей конструкции.

Для предупреждения таких событий на стадии эксплуатации необходимо по результатам обследования и испытаний несущих конструкций проводить расчеты на определение вероятности отказа [1, 2] по различным критериям и, в частности, по критерию прочности, чему и посвящена данная статья.

Поставленная задача усложняется тем, что, как правило, выявляется дефицит в статистической информации для проведения таких расчетов. В связи с этим рассмотрим методику расчета надежности (вероятности отказа) внецентренно сжатой бетонной индивидуальной колонны, изображенной на рисунке 1, на котором представлены расчетная схема фрагмента колонны и эпюры деформаций при отсутствии растянутой области в поперечном сечении колонны.

При расчете внецентренно сжатых бетонных

Рисунок 1. Расчетная схема фрагмента колонны с тензометрами Тр< и Тр2 и эпюры деформаций бетона колонны

элементов необходимо учитывать случайный эксцентриситет продольного усилия е, обусловленный технологическими факторами, неоднородностью свойств бетона по сечению [2] и внецентренным приложением временной и постоянной нагрузок.

Математическая модель предельного состояния по критерию прочности бетона с учетом изменчивости параметров в этом случае имеет вид:

Р Рё

— + —<ст A W

ь или

Р М

- + —(1) А V/ { '

где А — площадь поперечного сечения колонны; W — момент сопротивления сечения колонны; Р — продольное усилие в колонне; е — эксцентриситет приложения продольной силы; Оь — призменная прочность бетона, которую будем определять известными [3] неразрушающими или полуразрушающими методами с определением среднего значения и среднего квадратического отклонения. Поэтому будем считать Оь нечеткой переменной (в терминах теории возможностей) [5]. Для колонны на

рисунке 1 А = а1Ь1, V/= ар* / 6.

Волнистой линией над буквами в уравнении (1) обозначим случайные или нечеткие переменные.

Примем площадь А и момент сопротивления W детерминированными величинами в силу их малой изменчивости по высоте колонны.

Определение значений продольной силы Р и эксцентриситета е в условиях эксплуатации представляет большие трудности.

Нагрузка Р складывается из постоянной РП и временной РВ нагрузок.

Постоянная нагрузка РП определяется сбором нагрузок, которые находят по геометрическим размерам и плотностям материалов, а также взвешиванием, что позволяет определить эту нагрузку с достаточной точностью. Поэтому примем для индивидуального объекта РП детерминированной величиной.

Методы определения временной нагрузки РВ зависят от конкретных условий работы конструкции, от ее конструктивных особенностей, от вида временной нагрузки, продолжительности ее действия и т.д. Поэтому общего метода для ее определения

строительные материалы и конструкции

привести нельзя. Рассмотрим частный случай ее определения.

Нагрузка 'в связана с деформациями бетона в колонне, которые можно на практике измерить, например, тензометрами, волоконно-оптическими датчиками и т.д. По измеренным деформациям £ь бетона колонны (без учета влияния гибкой арматуры, так как ее влияние на восприятия продольной силы мало) можно провести мониторинг £ь и разбить его результаты на временные блоки, как предлагается в [4] и определить в них наибольшие значения = £ьЕьАь, где модуль упругости бетона можно определить по СП52-101-2003 по формуле Еь = ^ь/£ь1геь. принимается по проектной документации или определяется неразрушающими испытаниями бетона колонны. По СП52-101-2003 £,, =

ь1^

= 0,0015 при непродолжительном действии нагрузки.

Определение 'в и Мв рассмотрим на примере колонны показанной на рисунке 1, с измерителями деформаций Тр1 и Тр2, при действии сосредоточенных силы 'в и изгибающего момента Мв, вызванного наличием неизвестного эксцентриситета е.

Из рисунка 1 видно, что

''в = (£Ы + еь2)Еьа1ь1/2,

(■ \Ь. 2 Ь.

ЕЫ-£Ь2>)—--2 =

2 3 2

= (£Ы-еЬ2)а1Ь12Еь/3-

С учетом изменчивости £ь1 и £ь2 получим

Приведенное значение Еь рекомендуется по СП 52-101-2003 разделить на (1 + фь ), который учитывает влияние ползучести. в запас надежности колонны можно не учитывать влияние ползучести бетона на значение Еь при расчете «оперативной вероятности отказа» [1].

Неизвестное значение эксцентриситета е найдем также путем измерения деформаций от испытательной нагрузки или разгрузки ' колонны. в этом случае изменчивость деформаций будет вызываться только изменчивостью показаний средств измерения. в дальнейшем этой изменчивостью будем пренебрегать и считать эксцентриситет е детерминированной величиной.

Из рисунка 1 в этом случае будем иметь:

> Ре

:£Ь2ЕЬ

---= еы£ь

А V/ Ре А V/

Решая эту систему, найдем значение эксцентриситета е

е = ■

УУ(£ы-£Ь2)

А (еЫ+£Ь2)

Математическая модель предельного состояния колонны по прочности бетона при действии эксплуатационной сосредоточенной силы ' э и сосредоточенного момента Мз на стадии эксплуатации примет вид

~ 1 е

Рэ(- + —)<аь, А V/

(2)

где 'э — усилие в колонне от постоянной и временной нагрузки, о которой известно среднее значение и среднее квадратическое отклонение, но неизвестен закон его распределения. Поэтому будем

считать Рэ нечеткой переменной (в терминах теории возможностей) [5].

Предлагается рассмотреть случай, в котором о

параметрах Рэ и Оь модели предельного состояния имеется ограниченная статистическая информация в виде только среднего значение и среднего квадратического отклонения. в этом случае для описания нечеткой переменной можно использовать [6] функции распределения, полученные на основе неравенства Чебышева [7].

На основании неравенства Чебышева в общем виде для нечеткой переменной X известны [6] функции распределения в виде верхней и нижней вероятностей, которые имеют вид:

стх-х)2+52х 1, если х>т

0, если х<т

, если х<т

1 - П1х/х, если тх <х<тх + 5х/тх

(т - х)2 2

---если х > тг +5,/т]Г

(т-х)2+ Б2 ' * '

(3)

где Рх(х)' Ех(х) — границы множества неизвестных функций распределения нечеткой переменной X; т — математическое ожидание нечеткой пере-

строительные материалы и конструкции

менной X; Бх — среднее квадратическое отклонение нечеткой переменной X.

Графики этих функций представлены на рисунке 2. Истинная функция распределения Р(х) находится

в границах Р^С*) < < ^х(х)ш

Известно, [6] что значения нижней и верхней вероятностей отказа с учетом формулы (6) можно представить в виде:

Ч Щ+-

Щ

Рисунок 2. Функции распределения р^ (х) < Р(х) < Рх (х)

Соответственно по выражению (3) можно найти условные плотности распределения Рх00 и РхС*)

для X, соответствующие нижней и верхней границам функций распределения, как производные от

Рх(х) и Рх00 по х.

Q = Я РуРх^у

X>Y

Q = Я РХРYdxdy

(7)

X>Y

Формулы (7) для значений вероятностей отказа с учетом (3), (4) и рисунка 2 примут вид:

У ту т - 2(mx-x)S2 Q = J —f-f——-Lj¿-Tdxdy +

- i У2 ИК-*)+$*]2 + J 2 K-/)52 J 2K-x)S* si l(my-y) + S2y]2 y [(mx -x) + S2]

(8)

' 2(m - y)Sy

Q= í -f-Ь- 4 , c2,2 dydX +

+

i

ó[K-y)+s;r

2 (mx-x)S2x í 2(my — y)S,

í-

s?[K-*) + ** Г o [K-y) + SÍ]

-dydx

Px<*H

О, если х<тх

тх/х2, если тх < х < (тх + 5х/тх) ~ 2(тх ~ хШтх - *)2 + + 2(тх - *)3

[(mx-x)2+S2f

если х > (mx + S /тх)

РхОФ

2(mx-x)S

2 2 2 , если х < тх

[(тх ~х) +5 ] 0, если х>тх.

Для краткости дальнейших записей обозначим:

П 1 / _ X (нагрузка), Сь = У (прочность). А V/

Соответственно значения нижней и верхней вероятностей безотказной работы определяются по

X и У будут описываться формулами (3) и (4). ф°рмулам Р — 1 — О, Р — 1-0.

X < Y — условие безотказной работы, (5)

Надежность или вероятность события (5) будет

X > Y — условие отказа.

(6) характеризоваться интервалом [Р,Р] .

строительные материалы и конструкции

Пример. Пусть для бетонной колонны известны следующие параметры: тх = 0,57 МПа, Бх = 0,13 Мпа; ту =1,03 МПа, 5у = 0,15 МПа. Найдем надежность внецентренно сжатой колонны по критерию прочности.

вероятность отказа по выражению (8) будет равна:

Л ' °f521.03 7 2(0,57 -х)0,132

1,03 У у [(0,57-х)+ 0,13 ]

7 2(1,03 -у)0,152 7 2(0,57-х)0,132 ,

+ ] -ГТ ' ]-ГТ °Х°У =

1 ,¿52 [(1,03 - у) + 0,152 ]2 у [(0,57 - х) + 0,152 ]2

= 0,042

— _ °|8 0^57 | 2(1,03-У)0,152 о,57 х2 ¿[(1,03-у) + 0,15 ]

7 2(0,57-х)0,132 2(1,03 -у)0,152 , ,

+ ] -ТТ'1-ГТс1ус1х =

0,58 [(0,57-х)+ 0,13 ] о [(1,03 — у) + 0,15 ] 7

= 0,226

вероятности безотказной работы внецентрен-но сжатой колонны характеризуется значениями:

Р = 1-0 = 1-0,042 = 0,958,

р = 1-0 = 1-0,226 = 0,774

или интервалом [0,774; 0,958].

Из всего вышесказанного можно сделать следующие выводы.

1. Предложена новая методика расчета надежности бетонной внецентренно сжатой колонны при ограниченной информации о параметрах математической модели предельного состояния методом с использованием функций распределения, полученных на основе неравенства Чебышева.

2. Приведены расчетные формулы для определения значений вероятностей отказа бетонной вне-центренно сжатой колонны по критерию прочности и приведен пример расчета надежности колонны.

Литература

1. Шпете Г. Надежность несущих строительных конструкций. М.: Стройиздат, 1994. 288 с.

2. Ржаницын А.Р. Теория расчета строительных конструкций на надежность. — М.: Стройиздат, 1978. 239 с.

3. Уткин B.C., Уткин В.Л. Неразрушающие методы определения несущей способности строительных конструкций: Учеб. пособ. Вологда: ВоПИ, 1996. 80 с.

4. Лычев A.C. Надежность строительных конструкций. М: АсВ, 2008. 184 с.

5. Дюбуа Д., Прад A. Теория возможностей: Приложения к представлению знаний в информатике: Пер. с фр. М: Радио и связь, 1990. 288 с.

6. Уткин B.C., Уткин Л.В. Расчет надежности строительных конструкций при различных способах описания неполноты информации: Учеб. пособ. Вологда: ВоГТУ, 2009.

7. Беляев Ю.К., Богатырев B.A., Болотин В.В. и др. Надежность технических систем: Справочник / Ред. И.А. Ушакова. М.: Радио и связь, 1985. 608 с.

Расчет надежности внецентренно сжатой бетонной колонны с использованием функций распределения, полученных на основе неравенства Чебышева

Предложен новый метод расчета надежности внецентренно сжатой бетонной колонны, в котором впервые используются функции распределения, полученных на основе неравенства Чебышева. Значение надежности находится в интервальном виде.

The calculation of the outcentrally compressed concrete column reliability with the functions of distribution on the basis of the Chebyshev's inequality are using

by V.S Utkin, O.V. Yarygina The new method of the outcentrally compressed concrete column reliability calculation is offered, what the functions of distribution on the basis of the Chebyshev's inequality are used for the first time. Value of reliability is in the interval kind.

Ключевые слова: надежность, прочность, функции распределения, неравенство Чебышева, интервал надежности.

Key words: reliability, durability, distribution functions, Chebyshev's inequality, reliability interval.