CC BY
13
НАУЧНАЯ СТАТЬЯ / RESEARCH PAPER УДК 69.04
DOI: 10.22227/1997-0935.2022.10.1347-1357
Расчет на устойчивость решетчатых элементов стальных
конструкций
Григорий Иванович Белый
Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет (СПбГАСУ);
г. Санкт-Петербург, Россия
АННОТАЦИЯ
Введение. Практический метод расчета решетчатых элементов стальных конструкций на местную и общую устойчивость содержит внутреннее противоречие. Проверка общей устойчивости предполагает наличие дополнительной стрелки изгиба ветви в плоскости решетки, а проверка местной устойчивости отрицает ее, что не гарантирует обеспечение местной устойчивости при проверке общей устойчивости решетчатого стержня. Расчетные комбинации усилий на концах любого элемента конструкции при действии одних и тех же расчетных сочетаний нагрузок практически всегда имеют различные значения. Следовательно, продольные усилия в ветвях решетчатых элементов, выделенных по расчетной длине из плоскости решетки, всегда будут переменными, что не учитывается в действующих нормах проектирования.
Материалы и методы. Для устранения этого противоречия предложен аналитический метод решения задачи общей устойчивости решетчатых элементов стальных конструкций с учетом обеспечения местной устойчивости наиболее нагруженной ветви. Решение задачи устойчивости ветви из плоскости решетки (двухветвевые элементы) проводится с использованием обратного числено-аналитического метода: по заданному напряженно-деформированному состоянию в наиболее нагруженном сечении упругой ветви численно определяются действующие и фиктивные, компенсирующие развитие пластических деформаций, деформационные усилия. Затем обратным аналитическим ре- ^ п шением деформационной задачи устанавливается фактическое загружение ветви на ее концах. $ Ф
Результаты. Коэффициент общей устойчивости решетчатых элементов определяется решением квадратного урав- n н нения, включающего дополнительную зависимость от коэффициента устойчивости ветви в плоскости решетки. Ко- ^ | эффициент устойчивости ветви из плоскости решетки получен при общем случае загружения продольной силой ^ с различными значениями концевых эксцентриситетов в сочетании с равномерно распределенной осевой нагрузкой. д S Выводы. Предложено аналитическое решение задачи общей устойчивости решетчатых элементов с учетом обес- W С печения устойчивости ветви. Получено решение задачи устойчивости ветви из плоскости решетки (двухветвевые • У элементы) при фактическом ее загружении переменной продольной силой, действующей с различными значениями g 1 концевых эксцентриситетов. ° S
l z
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: решетчатый стержневой элемент, общая устойчивость, местная устойчивость, приведенная J 9
гибкость, устойчивость ветви, упругопластические деформации, фиктивные усилия, числено-аналитический метод о 7
r 1 о 0
ДЛЯ ЦИТИРОВАНИЯ: БелыйГ.И. Расчет на устойчивость решетчатых элементов стальных конструкций // Вестник m 3 МГСУ. 2022. Т. 17. Вып. 10. С. 1347-1357. DOI: 10.22227/1997-0935.2022.10.1347-1357 о (
оЗ
Автор, ответственный за переписку: Григорий Иванович Белый, office@erkon.ro. О t
To the calculation of the stability of lattice elements of steel structures
Grigory I. Belyi
Saint Petersburg State University of Architecture and Civil Engineering (SPbGASU); Saint-Petersburg, Russian Federation
со со
r 6
CD CD
ABSTRACT < .
им
Introduction. The practical method of calculating lattice elements of steel structures for local and general stability contains
an internal contradiction. The general stability check assumes the presence of an additional branch bending arrow in 3 1
the lattice plane, and the local stability check negates it, which does not guarantee local stability when checking the general ® .
stability of the lattice rod. The calculated combinations of forces at the ends of any structural element, under the action 7 g
of the same calculated combinations of loads, almost always have different values. Consequently, the longitudinal forces in L I
the branches of the lattice elements, separated by the calculated length from the lattice plane, will always be variable, which $ У
is not taken into account in the current design standards. е О
Materials and methods. To eliminate the mentioned contradiction, an analytical method is proposed for solving the problem 1 1
of general stability of lattice elements of steel structures, taking into account the provision of local stability of the most loaded О О
branch. The solution of the problem of stability of a branch from the lattice plane (two-branched elements) is carried out using 2 2
the inverse numerical-analytical method: according to a given stress-strain state in the most loaded section of the elastic 2 2 branch, acting and fictitious, compensating for the development of plastic deformations, deformation forces are numerically
© Г.И. Белый, 2022 1347
Распространяется на основании Creative Commons Attribution Non-Commercial (CC BY-NC)
determined. Then, by the inverse analytical solution of the deformation problem, the actual loading of the branch at its ends is established.
Results. The coefficient of overall stability of lattice elements is determined by solving a quadratic equation that includes an additional dependence on the coefficient of stability of the branch in the lattice plane. The stability coefficient of the branch from the lattice plane is obtained in the general case of loading by a longitudinal force with different values of end eccentricities in combination with a uniformly distributed axial load.
Conclusions. An analytical solution to the problem of general stability of lattice elements is proposed, taking into account the stability of the branch. The solution of the problem of stability of a branch from the lattice plane (two-branched elements) is obtained when it is actually loaded with a variable longitudinal force acting with different values of terminal eccentricities.
KEYWORDS: lattice rod element, general stability, local stability, reduced flexibility, branch stability, elastic-plastic deformations, fictitious forces, numerical-analytical method
FOR CITATION: Belyi G.I. To the calculation of the stability of lattice elements of steel structures. Vestnik MGSU [Monthly Journal on Construction and Architecture]. 2022; 17(10):1347-1357. DOI: 10.22227/1997-0935.2022.10.1347-1357 (rus.).
Corresponding author: Grigory I. Belyi, office@erkon.ru.
N N N N О О
сч сч о о"
т- т* (V U 3
> (Л
с и
ОН N
||
Ф О)
О ё
ОТ ОТ
.Е о
DL и
^ с
ю о
S 1
о ЕЕ
а> ^
т- ^
£
от °
>> А
■8 I
Е!
О И
ВВЕДЕНИЕ
Многочисленные исследования устойчивости пространственных решетчатых (сквозных) стержней, среди которых основополагающие работы С.П. Тимошенко [1], Б.М. Броуде [2], В.И. Трофимова [3], Н.С. Стрелецкого [4], А.Р. Ржаницына [5], позволившие обосновать практический метод расчета по формулам и таблицам, как для сплошностенчатых элементов. При этом влияние деформаций сдвига было сведено к увеличению длины решетчатого стержня, по которой устанавливалась его приведенная гибкость. Основные расчетные положения дополнялись результатами исследований напряженно-деформированных и предельных состояний трехгранных [6-8], четырехгранных [2, 9-11] и двух-ветвевых [2, 12-14] стержней. Из зарубежных публикаций, направленных на совершенствование метода расчета решетчатых стержней, необходимо отметить труды [15-18].
1. На основании упомянутых и многих других исследований разработан практический метод расчета решетчатых элементов стальных конструкций на местную и общую устойчивость1, который, как заметил В.В. Горев [19], содержит внутренние противоречия. Проверка общей устойчивости предполагает наличие дополнительной стрелки изгиба (как результат деформационного расчета), а проверка местной устойчивости отрицает ее. Это не гарантирует обеспечение местной устойчивости ветвей при проверке общей устойчивости решетчатого стержня, поскольку последняя выполняется при наличии в ветвях усилий, явно превышающих значения, допускаемые по условиям местной устойчивости.
Отмеченное противоречие имеет место при использовании «нормативной»1 схемы загружения, выделенного из конструкции по расчетной длине решетчатого стержня — загружения продольной силой с равными концевыми эксцентриситетами, соответствующими максимальному значению изгибающего момента. При этом предполагается, что последний незначительно изменяется по длине стержня. В противном случае, проверка общей устойчивости
по СП 16.13330.20171 всегда будет выполняться с некоторым запасом. Фактические значения деформационного усилия в ветви решетчатого стержня могут оказаться не превышающими допускаемые по условиям местной устойчивости, что требует проведения специального исследования.
В.В. Горев, анализируя изложенные им противоречия, предложил новый метод расчета решетчатых конструкций по деформированной схеме, не требующий их раздельной проверки на общую и местную устойчивость [19-21], в соответствии с которым расчет внецентренно сжатых и сжато-изогнутых сквозных элементов с решетками, расположенных в плоскостях, параллельно плоскости изгиба, совпадающей с плоскостью симметрии, рекомендовано выполнять по формуле:
N
ФeФ ув ARy Y
< 1,
(1)
y t c
где фув — коэффициент устойчивости ветви в плоскости, параллельной решетке; ф* — коэффициент общей устойчивости, принимаемый по табл. Д. 4 СП 16.13330.20171 в зависимости от скорректированной коэффициентом фув условной приведенной
гибкости X ef = X ef.
( ef =X efJR7E )и
относи-
= eXcliy (с — расстояние
тельного эксцентриситета ту .у от главной свободной оси сечения, перпендикулярной плоскости изгиба, до оси наиболее сжатой ветви;
eO = My/N;
i2y = Iy/A).
Видно, что вместо одного коэффициента общей устойчивости фе, соответствующего расчету по СП 16.13330.20171, в формуле (1) приведено произведение : ф* — коэффициента общей устойчивости по уточненной гибкости и фув — коэффициента местной устойчивости.
2. Расчет на устойчивость ветвей из плоскости решетки по действующим нормам проектирования1 производится по максимальной величине продольной силы, что может приводить к существенному снижению несущей способности. Продольные силы, действующие на концах выделенной расчетной длины
СП 16.13330.2017. Стальные конструкции. Актуализированная редакция СНиП II-23-81*. М., 2017. 139 с.
ветви из плоскости решетки, при любом расчетном сочетании нагрузок, как известно, практически всегда имеют различные значения. Поэтому расчет на устойчивость ветвей следует проводить при фактически действующей переменной продольной силе.
МАТЕРИАЛЫ И МЕТОДЫ
В настоящей статье предлагается аналитическое решение деформационной задачи внецентренно-сжатого решетчатого стержня с учетом обеспечения устойчивости ветви. При этом влияние физической нелинейности, которая проявляется до площадки текучести, компенсируется дополнительным догружением относительно небольшими фиктивными моментами.
Решение задачи устойчивости ветви из плоскости решетки (двухветвевые элементы) выполняется с помощью обратного числено-аналитического метода: по заданному напряженно-деформированному состоянию (НДС) в наиболее нагруженном сечении упругой ветви численно определяются действующие и фиктивные, компенсирующие развитие пластических деформаций, деформационные усилия. Затем обратным аналитическим решением деформационной задачи устанавливается фактическое загру-жение ветви на ее концах.
РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЯ
Коэффициент общей устойчивости решетчатых элементов определяется решением квадратного уравнения, включающего дополнительную зависимость от коэффициента устойчивости ветви в плоскости решетки. В последнем может учитываться влияние дефектов и повреждений ветви на общую устойчивость решетчатого стержня, что является весьма важным при оценке технического состояния эксплуатируемых стальных конструкций.
Коэффициент устойчивости ветви из плоскости решетки получен при фактическом загружении продольной силой с различными значениями концевых эксцентриситетов в сочетании с равномерно распределенной осевой нагрузкой. Решение этих задач позволяет вскрыть существенные резервы устойчи-
О ув = Фе
1 + {ш°у + тУф)
вости ветви по сравнению с теми, которые определяются по СП 16.13330.20171.
Расчет на общую устойчивость решетчатых стержней при обеспеченной устойчивости ветви
На первом этапе рассмотрим решение задачи без обеспечения устойчивости ветви фув = 1. Для чего используем широко известное приближенное решение деформационной задачи внецентренно-сжатого упругого стержня, в соответствии с которым перемещение точек оси определяется по формуле:
л-1
u(z) = u°(z)
1 -
N
N„
(2)
где ио(2) — перемещение, полученное недеформационным расчетом; Ысг — критическая сила, определяемая по приведенной гибкости
Аналитическое решение (2) применительно к «нормативной»1 расчетной модели обладает высокой точностью. Деформационный момент в наиболее нагруженном среднем (2 = 2И = 0,5) сечении упругого стержня в соответствии с выражением (2) представим в виде [22]:
My = N • e°
1 +
Ф e * /
1 -
Ф e *
e/
(3)
Для определения осевых напряжений в указанном сечении ветви воспользуемся унифицированной диаграммой работы стали с-е (рис. 3). Тогда, используя формулу (3) при сув = сув/Яу < 0,8, получим:
О ув = Ф e
°
1 + m.
1 +
Ф e * /
1 -
Ф e * / п2
< 0,8. (4)
Влияние физической нелинейности при сув = 0,8-1,0 (рис. 3) компенсируем дополнительным догружением относительно небольшим фиктивным моментом с эксцентриситетом да°ф. Значение последнего будем искать таким образом, чтобы получить фе, соответствующее значениям табл. Д. 4 СП 16.13330.20171 при сув = 1,0. Этому соответствует ш°ф = 0,008 + 0,037^ тогда
■Ф
1 +
Ф e * /
1 -
Ф e *.
~2 ^
ef
= 1,
из которого следует:
Фe =-
_ - I
2a V 4a2 a'
(6)
где
* 2
a = -Г [1 - (m° + тУф) • 0,2337] ;
< П
tT
iH
О Г s 2
0 со n со
1 <
< -»
J CO
U I
r I
П о
< 3 o
oi
О n
CO CO
l\J со
о ■
CD CO о о
(5)
*2
b = 1 + (m° + тУф) + -f.
п
В табл. 1 приведено сопоставление фе по выражению (6) с фе,сп по табл. Д. 4 СП 16.13330.20171, из которой следует, что определение фе в аналитическом виде по формуле (6) является вполне приемлемым.
< )
ft
л *
■ч п
I т
s У с о (D *
оо
M 2 О О 10 10 10 10
Табл. 1. Сопоставление коэффициентов фе по формуле (6) с нормативным значением фе/фе Table 1. Comparison of coefficients фе according to (6) with the normative value фе/фе
Условная приведенная гибкость Xey Conditional reduced flexibility Относительный эксцентриситет mx Relative eccentricity mx
0,25 0,5 1 1,5 2 3 4 8
1 0,990 0,982 0,981 0,986 0,974 0,994 0,987 1,002
2 1,000 1,004 1,002 0,997 0,996 0,983 0,996 0,990
3 1,006 1,012 1,007 1,005 1,002 0,999 1,006 0,989
4 0,979 1,006 1,012 1,009 1,011 1,014 1,019 0,985
5 0,966 0,991 1,011 1,012 1,021 1,012 1,020 -
N N
N N
О О
сч сч
«9 «9 т- т* (V U 3 > (Л С И 2
ВО N
il
<u <и
о %
Таким образом, используя унифицированную диаграмму работы стали и модель упругого стержня, с дополнительным догружением фиктивным моментом, компенсирующие физическую нелинейность при сув = 0,8-1,0, получено решение деформационной задачи решетчатого стержня в аналитической форме, что удобно в практическом применении.
На втором этапе будем учитывать влияние фактически воспринимаемого усилия ветвью (выраженного фув) на общую устойчивость (коэффициент фе^) решетчатого стержня. Принимая сув = фув, получим при фуВ > 0,8:
Ф e,d
1 +
my + туф ■
Фув - 0,8
0,2
1 +
m ÔT2 ( Ф e,d X ef
1 -
Т2
Ф e,d X ef
= Фув; (7)
при фув < 0,8 принимаем т^ф = 0. Решение квадратного уравнения (7) можно представить в аналогичном выражению (6) виде:
Ф e,d =
bi b2
1
2a
4a2
(8)
CO "
со E — -b^
^ (Л
I §
DL ° ^ d Ю О
S g
о ЕЕ
СП ^
Т- ^
£
£ г? S!
О (Я
где
X 2f
ui~~— П Ф ув
1-
my + туф ■
Фув -0,8 0,2
1+
my + туф ■
Фув - 0,8
bi =-
0,2
Ф
0,2337
Xf _2 '
ув
(см. вторую строку по каждой Х^). При фе,Уфе > 1, значения которых выделены в таблице, можно утверждать, что упомянутые противоречия между общей и местной устойчивостью отсутствуют. Это относится к стержням с относительно большими значениями фув и при малых эксцентриситетах продольной силы тх.
В подавляющем большинстве остальных случаев обеспечение устойчивости ветви в рамках проверки общей устойчивости может приводить к существенному снижению несущей способности, определяемой по СП 16.13330.20171. Если при больших значениях фув = 0,948 (Хув = 1) для стержней гибкостью < 3 наблюдается незначительное снижение общей устойчивости, находящейся в пределах 2,4-6,1 % (фе,/фе = 0,976-0,939), то с уменьшением устойчивости ветвей фув = 0,826 (Хув = 2) общая устойчивость существенно снижается до 17,9 % (см. фе у фе при = 1 и тх = 2).
В табл. 2 приведено также сопоставление результатов, полученных по предложенному В.В. Горевым методу [19], с данными проведенного исследования ф* • фв/фе,^. Видно, что разработанный в работе [19] метод неоправданно занижает общую устойчивость, поскольку в последнем в качестве исходного предположения (независимо от фе) было принято с = 1. Снижение значений ф* • фв/фе „ мож-
Результаты расчета по формуле (8) фе Л приведены в табл. 2 в зависимости от фув, тх и Хер которые сопоставляются с фе по табл. Д. 4 СП 16.13330.20171
но наблюдать по мере увеличения гибкости при малых эксцентриситетах тх = 0,25-2,0, которое составляет 0,974-0,832, что соответствует занижению фактической несущей способности на 2,6-16,8 %. При этом полученные значения ф* • фв/фе Л практически не зависят от значения фув.
В заключение отметим, что предположенное решение деформационной задачи (определение коэффициента фе ¿) позволяет учесть влияние рас-центровки узлов решетки и (или) дефектов и повреждений ветви на общую устойчивость решетчатого элемента, что является весьма важным при оценке технического состояния эксплуатируемых конструкций.
Табл. 2. Сопоставление коэффициентов общей устойчивости по формуле (8) с фе по СП 16.13330.2017 и ф* • фв по В. В. Гореву
Table 2. Comparison of the coefficients of general stability фе,g according to the formula (8) with фе according to SP 16.13330.2017 and ф* • фу according to V.V. Gorev
V Обозначение Designation фв = 0,948 (^ = 1) при mx равном ф„ = 0.948 (ïv = 1) with mx equal to фв = 0,826 = 2) при mx равном фv = 0.826 (Xv = 2) with mx equal to
0,25 0,50 1,0 2,0 4,0 8,0 0,25 0,50 1,0 2,0 4,0 8,0
ф^ 723 602 453 305 185 104 646 536 401 269 162 091
1,0 фе4/фе 0,949 0,940 0,937 0,928 0,938 0,954 0,848 0,837 0,831 0,819 0,824 0,834
ф* • фв/фе,Л ф* • фJфe,d 1,002 1,011 1,014 1,022 1,011 0,995 0,983 0,994 1,001 1,011 1,005 0,993
феЛ 654 540 409 280 174 101 605 495 370 251 155 089
2,0 фе4/фе 0,972 0,972 0,966 0,956 0,952 0,951 0,899 0,890 0,875 0,856 0,845 0,837
ф* • фв/фе,Л ф* • фJфe,d 0,982 0,983 0,989 0,998 1,000 0,999 0,941 0,953 0,968 0,985 0,991 0,992
феЛ 543 452 349 247 159 096 527 429 325 226 143 085
3,0 фе,с/фе 0,996 0,994 0,981 0,969 0,966 0,960 0,966 0,943 0,912 0,885 0,869 0,851
ф* • фв/фе,Л ф* • фJфe,d 0,970 0,971 0,981 0,990 0,990 0,992 0,910 0,929 0,952 0,971 0,979 0,986
фе4 414 357 287 212 143 090 418 350 273 197 130 081
4,0 фе,Лфе 0,982 0,999 0,995 0,984 0,984 0,969 0,992 0,980 0,949 0,917 0,898 0,867
ф* • фв/фе,Л ф* • фJфe,d 0,995 0,976 0,977 0,982 0,977 0,986 0,921 0,927 0,945 0,962 0,967 0,979
феЛ 307 275 230 178 126 - 315 275 224 169 116 -
5,0 фе,Ле 0,975 0,991 1,001 1,001 0,991 - 1,001 0,992 0,974 0,949 0,916 -
ф* • фв/фе,Л ф* • фМе,Л 1,016 0,993 0,978 0,973 0,975 - 0,953 0,943 0,945 0,953 0,960 -
< П
tT
iH
О Г s 2
0 С/з § с/з
1 <
< -»
J CD
U I
r I
n °
< 3 o
СЯ '
u s
§ 2
< 6
r 6
t (
< )
H ® . л * -J 00 I J
W у с о <D Ж
oo
M 2 О О 10 10 10 10
Примечание: Значения коэффициентов фе d увеличена: в 1000 раз. Note: The values of the coefficients фе d are increased by 1,000 times.
Таким образом, проверку общей устойчивости с учетом обеспечения устойчивости ветви можно выполнить по традиционной формуле с заменой фе
на Фе>
N
Ф e,dARy Y С
< 1,
(9)
где фе,^ определяется:
• по выражению (8) при фе,^ < фе;
• ф^ = фе пРи ф^ > фе-
Расчет на устойчивость ветвей из плоскости решетки при действии переменной продольной силы
Продольные усилия в ветвях решетчатых элементов, выделенных по расчетной длине из плоскости решетки, представим в виде:
вд = N + Ч°х (10)
где N0 = NB min — меньшее из двух значений продольной силы в наиболее напряженной ветви Ns(0) и Ns(/), определяемых по соответствующим комбинациям усилий М(0), N(0) и М(1), N(l), действующих на концах решетчатого стержня; <2°,в = (NB,max - NB,mm)1"1 — равномерно распределенная вдоль оси нагрузка.
Решение задачи устойчивости будем проводить числено-аналитическим методом [23, 24], который основан на частных решениях задач недеформиро-ванного расчета и бифуркационных задач устойчивости. Развитие пластических деформаций компенсируется дополнительным нагружением фиктивными нагрузками.
Учитывая изложенное, рассмотрим фактическое загружение ветви продольной силой N0 = const, действующей с различными концевыми эксцентриситетами e01 и eo2 (см. рис. 1), в сочетании с равномерно распределенной осевой нагрузкой д^в = const.
Рис. 1. Расчетная модель ветви в плоскости перпендикулярной решетки Fig. 1. Calculation model of a branch in the plane of a perpendicular lattice
Дифференциальные уравнения равновесия ветви, расчетная модель которой представлена на рис. 1, имеют вид [23]:
EIx в91У + N^11 + qB(& + z$n) = 0.
(11)
S(2) = SH(z) + Syl(z) + V^),
(12)
N N N N О О
сч сч о о
т- т* (V U 3
> (Л
с и
ВО N
||
<u <D
о ё
где ЭД = VH ■ Vh(Z); Vh =
NJ2 6EIx.
Решение задачи по недеформированной расчетной схеме:
Vh(Z) = (2 + ne)z - 3z2 + (1 - ne)z
(13)
S S
.E о
DL °
^ с
Ю о
S g
о EE
a> ^
T- ^
ся °
>> A ■8 El
О И
J L • sin п zdz = 0;
0
1
J L • sin2n ZdZ = 0 ,
(16)
получим систему двух алгебраических уравнений, из которых определяем:
Vy1 = Vh^1; Vy2 = КП2
n = Ф вХ 2
П
- [[K3 -16K (1 - 0 , 25K4 ] / A;
Решение деформационной задачи, описанной уравнением (11) (для упрощения выражений принято Ыв = №в, дв = д°в), будем искать в виде комбинации частных решений [24]:
П2 =ФвХхв[K1K3 -K2(1 -K4)]/A,
(17)
(18)
где K = 12(1 + ne) + ng(5,3 + 6,7ne);
Ф X 2
K2 = 6(1 - ne) - 3ng(1 + 3ne); K3 =
п
K4 =ФВХХв(1 + 0 ,5 Пг ); ng = qBl/NB;
• 0,45» ;
А = Фв,сг1 • Фв,сг2
Г „Т2 V
v Фв,сг1 J
- 4a c
где пе = e02/e0l; 2 = 2/1.
Функции потери устойчивости:
9у1 = • ¥у1(2); 9у2 = Уу2 ■ Уу2(2)
где уу1(2) = Бшпг, уу2(2) = — формы потери
устойчивости ветви, загруженной Ыв(х) = Ыв + дв2; Ку1, Ку2 — некоторые неизвестные константы, имеющие размерность перемещений, с точностью до которых решаются бифуркационные задачи устойчивости.
Для определения последних в выражение (11) подставим общее решение (12), в результате чего получим:
Ь = £/х,в(&УТ + »£) + + ^ + = 0. (15)
Уравнение (15) фактически описывает задачу устойчивости при загружении ветви только N„(2), (еу1 = еу2 = 0), имеющей начальные искривления оси 9н(2) по формуле (13). Тогда, применив процедуру метода Бубнова - Галеркина
ф вс-1,2 =
20 — (14) Ъ2 = ~т(1 + 0,5n ); c2 = 16; Фв,сг1,2 ■ ^ = фв,Сг1,2 —
¿2 ± yj¿2 - 4a
1-
Фв,сг2
2 С2; a2 = ^{\ + ng + Q,2n2Y
2a2 ' Z Л4
критические параметры силы Ыв в сочетании с действием дВ; фв = ^/ЯуЛ; Xхв = х^Яу /Е — условная
гибкость ветви (1Хв = ^в / 'хвУ
Заметим, что значения критического параметра срв,сг1 полностью совпадают с результатами, полученными С.П. Тимошенко [23], что подтверждает правильность выбора функций потери устойчивости (14).
Учитывая выражение (17), общее решение (12) представим в виде:
0 (z) = e°1 ^
"(2 + ne)Z - 3Z2 + (1-ne)Z3 +' +T)1 sin лz + T|2 sin 2 лz
(19)
тогда
Mxb( z ) = NB e^
ne ) z+ — X 6
X (r^ si^z+ sin 2лz)
(20)
Последнее позволяет определить максимальные значения напряжений в наиболее нагруженном сечении 2 = 2*.
Az*) = Ф ,
nz* +1 + m°xX
1 - (1 - ne) z* +--(n1 sin п z * + 4n 2 sin 2n z*)
6
(21)
где ш°х1 = е^1/рх — относительный эксцентриситет;
Рх = _ _ _
Координата г* устанавливается по йСтах(г)/й?(г) = = 0, в результате решение соответствующего уравнения:
ng - m°1(1 - ne ) +
П1 cos п z + + 8т|2 cos2ji z
= 0. (22)
При упругой работе материала решение задачи устойчивости ветви (определение коэффициента фву) можно получить при стах(Г*) = 1:
фвД«/* + 1 + тОКх) = 1, (23)
где Кск — деформационный коэффициент, учитывающий влияние перемещений (19) на изгибные усилия:
К = 1- (1 - пе )г» +— (г^т п г» + 4п2ят2п г»). (24)
Исследование устойчивости за пределом упругости проведем обратным численно-аналитическим методом [22]: по НДС в наиболее нагруженном сечении (в нашем случае при Г = Г*) неограниченно упругого стержня, являющегося результатом действия заданных деформационных усилий, численно определяются действующие и фиктивные, компенсирующие развитие пластических деформаций, усилия. Затем обратным аналитическим решением деформационной задачи устанавливаем фактическое загружение стержня на его концах.
Устойчивость, как известно, определяется при переходе из равновесного в неравновесное состояние стержня, поэтому обратное решение деформационной задачи, в зависимости от гибкости стержня, следует проводить при ряде значений максимальных деформаций наиболее напряженного волокна в указанном сечении ёт3х,г = ётахЕ/Ку (0,8 < ётах,г < 4)
с целью поиска наибольшего параметра загружения фтах — коэффициента потери устойчивости.
Следуя исследованию [22], рассмотрим загру-жение неограниченно упругой ветви (рис. 1) в сечении Г = Г* продольной силой Л7* г(пвГ* + 1) с деформационным моментом М*вг(Г*) (рис. 2), которое для обобщения решения представим безразмерными
параметрами фв (ngz* + 1) и фв i ■ ствующее им НДС примет вид:
ш*. Тогда соответ-
°*Ок) = zhk) = Фв*,г(и/* + 1 + ш*х1Ук\ (25)
Фв*,г = £max,,(n/* + 1 + m*l) 1
(26)
мере двутаврового) по п достаточно малых дискретных площадок ДАк с координатами центра тяжести ук (рис. 2). Гипотеза плоских сечений в параметрах, соответствующих унифицированной диаграмме работы стали (рис. 3), примет вид:
ёк = е0 - ¥% (27)
где г0 = ё^/Ку; 911 = ^РхЕ/Яу-; у к = Ук/Рх; ё, — относительная деформация оси ветви; 9П — кривизна при изгибе относительно оси х.
Рис. 2. Загружение ветви в сечении z = z* Fig. 2. Loading the branch in the section z = z*
и 9 , согласно формуле (25), заменим на соответствующие им параметры загружения:
ёо = ф*,г(п/* + 1);
^II * * px
^ = -Фв,1'т*1 .
у*
(28)
Фв,/ = Фв
Фв,/ • mx1,/ =Фв
(ngz* + l)^e/ - mx1~y,
У*
-(ngz* + 1)Ус + m"x1 —^e/ y*
где ук = укУ*; у* — координата наиболее напряженного волокна.
Для определения фактически действующих и фиктивных усилий, соответствующих деформированному состоянию (25), разобьем сечение (на при-
k=1
2
k=1
= X Eck • Ук ■AAk; Eck = tg «k — относительный секу-
k=1
щий модуль (рис. 3).
< п
tT
iH О Г
О СЛ
§ S
Деформационные характеристики сечения е0 Щ
Тогда, используя формулу (27) и физические зависимости ск = Еск ■ ёк по унифицированной диаграмме с-ё (рис. 3), определяем параметры за-гружения продольной силой и деформационным моментом:
(29)
где Ae/ =X Eck ■AAk ; Ус =X Eck ■ yk ■AAk ; Xe/ =
< -»
J CD
U
r I
n °
< 3 О
CO '
U S
§ 2
< 6
r 6
t (
< )
H ® . л * -J 00
1 T
(Л У
с о <D * 1 1 oo
2 2 О О 2 2 2 2
Рис. 3. Унифицированная диаграмма работы стали Fig. 3. Unified steel work diagram
N N N N О О
сч сч о о
т- т* (V U 3
> (Л
с и
ВО N
||
<u <D
о ё
Параметры фиктивных усилий соответственно устанавливаются:
Ф в,фг = Ф в,«
(n2z* +1) Аосл + m* ^Ус
У*
Р*Т 2
х1,ф«
(ngz* +1) Ус + mx1^i
(nz* +1) Аосл + m*1 РхУс
(30)
(31)
—2
где = 1 - Ae/; 1x,oc =
--
Т2
x,ef ■
S S
.Е О
DL °
^ с
Ю о
S g
о ЕЕ
а> ^
т- ^
Е
от °
■8 El
О И
Kd,= 1 - (1 - ne)z*
6
X (т^ ; sin яz* + 4г|2 ■ sin 2 лz*),
(33)
где ni i и n2 i — коэффициент определяется по формуле (18).
Тогда при сп
"Ф B,ingz*
"x1,,
ФЛ
Фв,ф«
Фв
K
-+ m
х1,ф ■
K
(34)
Используя выражение (29), можно определить продольную силу Ыв^ = фв г- • АвЯу, действующую совместно с распределенной осевой нагрузкой = = пв • Ыв Д При этом фиктивную силу с параметром фв,фг- по формуле (30) примем постоянной по длине ветви, тогда относительный ее эксцентриситет на опоре (2 = 0) тж1,фг- будет определяться по выражению (31).
Анализируя изложенное, можно заметить, что неизвестным остается только параметр концевых относительных эксцентриситетов т^ . Для его установления рассмотрим НДС в наиболее нагруженном сечении при совместном действии Ыв ^ и Ыв ф, которое согласно работе [22] примет вид:
с*(у) = фв,г(п/* + 1 + тх1,УКс1м) +
+ фв,фг(п/* + 1 + mkфiУKdxci), (32)
где Кск ^ — коэффициент, учитывающий влияние перемещений на усилия.
Таким образом, по назначенному i-му НДС по em^M = 1 + Дё (i = 1, 2, ..., n) Дёг- = 3,2ln с заданным параметром деформационных относительных эксцентриситетов m*x1 обратным численно-аналитическим методом расчета можно определить соответствующее загружение ветви с параметрами фв i и m<O1j. Рассматривая НДС при ряде значений emax i (i = 1, 2, ., n), когда mO1j = const, определяем наибольший параметр общего загружения фmax, который будет соответствовать коэффициенту потери устойчивости.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ И ОБСУЖДЕНИЕ
Предложено аналитическое решение задачи общей устойчивости решетчатых элементов с учетом обеспечения устойчивости наиболее напряженной ветви. При этом в последней можно учитывать влияние расцентровки узлов решетки, а также местных дефектов и повреждений ветвей, что является весьма важным при оценке технического состояния эксплуатируемых конструкций.
На основании численно-аналитического метода разработано решение задачи устойчивости ветви из плоскости решетки при фактическом ее загруже-нии продольной силой с различными значениями концевых эксцентриситетов в сочетании с равномерно распределенной осевой нагрузкой. Используемый
метод решения, как это было показано на примерах расчета трубобетонных и легких стальных тонкостенных элементов конструкций [25, 26], обладает достаточной для практики применения точностью и позволяет сократить время расчета на не-
сколько порядков по сравнению с существующими методами.
В практическом применении разработанный метод дает возможность вскрыть определенные резервы устойчивости ветвей.
СПИСОК ИСТОЧНИКОВ
1. Тимошенко С.П. Устойчивость стержней, пластин и оболочек. М. : Наука, 1971. 807 с.
2. Броуде Б.М. Об устойчивости составных стержней с планками // Строительная механика и расчет сооружений. 1966. № 6. С. 24-26.
3. Трофимов В.И. Исследование работы решетчатой мачты типа опоры линии электропередач прямоугольного сечения на действие крутящего момента // Труды института ЦНИИПСК. 1961. № 5. С. 44-60.
4. Стрелецкий Н.С. Материалы к курсу стальных конструкций. Вып. 2. Ч. 1: Работа сжатых стоек. М. : Госстройиздат, 1959. 284 с.
5. Ржаницин А.Р. Расчет составных стержней в состоянии предельного равновесия // Строительная механика и расчет сооружений. 1967. № 5. С. 27-30.
6. Бельский Г.Е. К расчету трехгранных составных стержней на планках // Известия высших учебных заведений. Строительство и архитектура. 1981. № 1. С. 14-19.
7. Трофимов В.И. Исследования устойчивости трехгранных сквозных стержней // Исследования по стальным конструкциям. 1962. № 13. С. 173-199.
8. Кондрахов Е.И. Экспериментальные исследования на центральное сжатие трехгранных стержней из сплавов Д1-Т с соединениями на черных болтах // Строительные конструкции из алюминиевых сплавов. 1963. № 2. С. 203-2013.
9. Горев В.В. Устойчивость центрально сжатых составных стержней при упругой работе // Исследования по строительным конструкциям. 1964. С. 71-82.
10. Трофимов В.И. Исследование и расчет элементов стальных опор линий электропередач. М. ; Л. : Госэнергоиздат, 1959. 103 с.
11. Трофимов В.И. О расчете на устойчивость составного четырехгранного стержня на планках // Строительная механика и расчет сооружений. 1963. № 2. С. 41-44.
12. Незальзов О.Р., Ковтун-Горбачева Т.А. Определение приведенной гибкости безраскосных колонн из гнутосварных прямоугольных труб // Металлические конструкции и испытания сооружений : межвузовский тематический сб. тр. 1979. С. 137-142.
13. Попов Н.Г. Об устойчивости плоских симметричных многоэтажных рам // Строительство: науч. докл. высшей школы. 1959. № 2. С. 79-91.
14. Степанов Б. П. Некоторые вопросы теории расчета регулярных ферм, рам и систем со сквозными элементами : дис. ... канд. техн. наук. Саратов, 1976. 156 с.
15. Gzawford R.F., Benton M.D. Strength of initially wavy lattice columns // AIAA Journal. 1980. Vol. 18. Issue 5. Pp. 581-584. DOI: 10.2514/3.50789
16. Grochowski I. O obliczaniu napezen dzu-gorzednych wielogaleziowych pretach Kratowych // Inz. i bud. 1980. Vol. 35. Issue 4. Pp. 134-137.
17. Holla V.K., Prathap O., Varadan T.K. Effect of shear deformation on post-buckling behaviour of columns // International Journal for Numerical Methods in Engineering. 1980. Vol. 15. Issue 2. Pp. 302-307. DOI: 10.1002/nme.1620150213
18. Ramm W., Uhlmann W. Zur Anpassung des Stabilitätsnach-weises für mehzteilise Druckstäbe an das europaische Nachweiskonzert // Stahlbau. 1981. No. 6. Pp. 161-172.
19. Горев В.В. Разработка общей методики статического расчета сжатых решетчатых металлических конструкций и совершенствование их конструктивной формы : дис. ... док. техн. наук. Липецк, 1985. 403 с.
20. Горев В.В. Влияние двухосного эксцентриситета на работу сквозных стержней // Строительная механика и расчет сооружений. 1978. № 4. С. 30-33.
21. Горев В. В. Общая устойчивость сжатых сквозных стержней // Известия высших учебных заведений. Строительство и архитектура. 1983. № 1. С. 39-40.
22. Белый Г.И. «Обратный» метод расчета усиливаемых под нагрузкой стержневых элементов стальных конструкций путем увеличения сечения // Вестник гражданских инженеров. 2020. № 6 (83). С. 46-55. DOI: 10.23968/1999-5571-2020-17-6-46-55
23. Тимошенко С.П. Устойчивость упругих систем / пер. с англ. И.К. Снитко. 2-е изд. М. : Гос-техиздат, 1955. 568 с.
24. Белый Г.И. О расчете упругих стержней по деформированной схеме при действии активных и параметрических нагрузок // Механика стержневых систем и сплошных сред. 1980. С. 41-48.
25. Белый Г.И., Смирнов М.О. Обратный численно-аналитический метод расчета легких стальных тонкостенных стержневых элементов // Промышленное и гражданское строительство. 2021. № 3. С. 57-68. DOI: 10.33622/0869-7019.2021.03.57-68
26. Белый Г.И., Ведерникова А.А. Исследование прочности и устойчивости трубобетонных элементов конструкций обратным численно-аналитическим методом // Вестник гражданских инженеров. 2021. № 2 (85). С. 26-35. DOI: 10.23968/1999-5571-202118-2-26-35
< П
tT
iH О Г
О
§ СО
I <
< -»
J со
u I
r i
n °
< 3 О
n
CO CO
l\J CO
0
1
CO CO о о
< ) It
л ' -J 00 I T
s у с о <D * 1 1 oo 22 о о 10 10 10 10
Поступила в редакцию 12 августа 2022 г. Принята в доработанном виде 28 сентября 2022 г. Одобрена для публикации 4 октября 2022 г.
Об авторе : Григорий Иванович Белый — доктор технических наук, профессор; Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет (СПбГАСУ); 190005, г. Санкт-Петербург, 2-я Красноармейская ул., д. 4; РИНЦ ГО: 272945; office@erkon.ru.
REFERENCES
1. Timoshenko S.P. Stability of rods, plates and shells. Moscow, Nauka Publ., 1971; 807. (rus.).
2. Brode B.M. On the stability of composite rods with slats. Construction Mechanics and Calculation of Structures. 1966; 6:24-26. (rus.).
3. Trofimov V.I. Investigation of the operation of a lattice mast of the type of support of a rectangular power line on the action of torque. Proceedings of the TsNIIPSK Institute. 1961; 5:44-60. (rus.).
4. Streletsky N.S. Materials for the course of steel structures. Issue 2. Part 1. Work of compressed racks.
N N Moscow, Gosstroyizdat, 1959; 284. (rus.). g g 5. Rzhanitsin A.R. Calculation of composite rods in the state of ultimate equilibrium. Construction Mecha? ? nics and Calculation of Structures. 1967; 5:27-30. (rus.). g § 6. Belsky G.E. To the calculation of triangular
c jn composite rods on slats. News of Higher Educational HQ Institutions. Construction and Architecture. 1981; 1: n 1 14-19. (rus.).
g | 7. Trofimov V.I. Stability study of triangular |2 j5 through rods. Research on Steel Structures. 1962; A • 13:173-199. (rus.).
<U <D V '
J=j5 8. Kondrakhov E.I. Experimental studies on O & the central compression of triangular rods made of D1-T
o alloys with connections on black bolts. Building Struc-«? ^ tures Made ofAluminum Alloys. 1963; 2:203-2013. (rus.).
° ro 9. Gorev V.V. Stability of centrally compressed
(N ^
z ° composite rods during elastic operation. Research on
$ E Building Structures. 1964; 71-82. (rus.). —
i? £= 10. Trofimov V.I. Research and calculation of
.E o J
cl u elements of steel poles of power transmission lines.
g ° Moscow ; Leningrad, State Energy Publishing House,
o E 1959; 103. (rus.).
cB ° 11. Trofimov V.I. On the calculation of the stability
ofa composite tetrahedral rod on the slats. Construc-
^ § tion Mechanics and Calculation of Structures. 1963; 2:
T ^ 41-44. (rus.).
O 3 12. Nezalzov O.R., Kovtun-Gorbacheva T.A. De-
g W termination of reduced flexibility of bevel-free columns
| X from bent-welded rectangular pipes. Metal structures and
¡E ,¡5 tests of structures : Interuniversity thematic collection
0 <S of works. 1979; 137-142. (rus.). BQ >
13. Popov N.G. On the stability of flat symmetrical multi-storey frames. Construction: Scientific Report of the Higher School. 1959; 2:79-91. (rus.).
14. Stepanov B.P. Some questions of the theory of calculation of regular farms, frames and systems with through elements: dissertation... candidate of technical sciences. Saratov, 1976; 156. (rus.).
15. Gzawford R.F., Benton M.D. Strength of initially wavy lattice columns. AIAA Journal. 1980; 18(5):581-584. DOI: 10.2514/3.50789
16. Grochowski I. O obliczaniu napezen dzu-gorzednych wielogaleziowych pretach Kratowych. Inz. i bud. 1980; 35(4):134-137.
17. Holla V.K., Prathap O., Varadan T.K. Effect of shear deformation on post-buckling behaviour of columns. International Journal for Numerical Methods in Engineering. 1980; 15(2):302-307. DOI: 10.1002/ nme.1620150213
18. Ramm W., Uhlmann W. Zur Anpassung des Stabilitätsnach-weises für mehzteilise Druckstäbe an das europaische Nachweiskonzert. Stahlbau. 1981; 6: 161-172.
19. Gorev V.V. Development of a general methodology for static calculation of compressed lattice metal structures and improvement of their constructive form : dissertation ... doctor of technical sciences. Lipetsk, 1985; 403. (rus.).
20. Gorev V.V. The influence of biaxial eccentricity on the operation of through rods. Structural Mechanics and Calculation of Structures. 1978; 4:30-33. (rus.).
21. Gorev V.V. General stability of compressed through rods. News of Higher Educational Institutions. Construction and Architecture. 1983; 1:39-40. (rus.).
22. Belyy G.I. "Reverse" method of calculating steel structure rod elements reinforced under load by increasing cross sections. Bulletin of Civil Engineers. 2020; 6(83):46-55. DOI: 10.23968/1999-5571-2020-176-46-55 (rus.).
23. Timoshenko S.P. Stability of elastic systems / Translated from English. I.K. Snitko. 2nd ed. Moscow, Gostekhizdat, 1955; 568. (rus.).
24. Bely G.I. On the calculation of elastic rods according to the deformed scheme under the action of
active and parametric loads. Mechanics of Rod Systems and Continuous Media. 1980; 41-48. (rus.).
25. Belyi G.I., Smirnov M.O. Inverse numerical-analytical method for calculation of light steel thin-walled rod elements. Industrial and Civil Engineering. 2021; 3:57-68. DOI: 10.33622/0869-7019.2021.03.57-68 (rus.).
26. Belyy G.I., Vedernikova A.A. The inverse numerical-analytical method for studying the strength and stability of concrete-filled steel tube structural members. Bulletin of Civil Engineers. 2021; 2(85): 26-35. DOI: 10.23968/1999-5571-2021-18-226-35 (rus.).
Received August 12, 2022.
Adopted in revised form on September 28, 2022.
Approved for publication on October 4, 2022.
B i o n o t e s : Grigory I. Belyi — Doctor of Technical Sciences, Professor; Saint Petersburg State University of Architecture and Civil Engineering (SPbGASU); 4 2nd Krasnoarmeyskaya st., St. Petersburg, 190005, Russian Federation; ID RISC: 272945; office@erkon.ru.
< П
tT
iH О Г
0 CO n CO
1 <
< -»
J CD
U
r I
n °
< 3 o
oi
О n
CO CO
l\J со
0
1
со со о о
< )
ft
л ' ■Ч DO I T
(Л У
с о <D *
О О
2 2 О О 2 2 2 2
