CC BY
119
Intellectual Technologies on Transport. 2015. No 3
Расчет многоканальных систем обслуживания с абсолютным и относительным приоритетами на основе инвариантов отношения
Рыжиков Ю. И.
Санкт-Петербургский Институт информатики и автоматизации РАН (СПИИРАН) Санкт-Петербург, Россия ryzhbox@yandex.ru
Хомоненко А. Д.
Петербургский государственный университет путей сообщения Императора Александра I Санкт-Петербург, Россия khomon@mail.ru
Аннотация. Предлагается способ расчета среднего времени ожидания заявок разных типов в многоканальных системах обслуживания с абсолютным и относительным приоритетами, основанный на применении инвариантов отношения. Результаты сопоставляются с данными имитационного моделирования многоканальных приоритетных систем с произвольным распределением длительности обетуживания, аппроксимируемым распределениями Эрланга и гиперэкспоненциальным.
Ключевые слова многоканальная система массового обслуживания, приоритет, инварианты отношения.
Введение
Системы обслуживания любого рода (технические и организационные) и назначения (производственные и информационные системы на транспорте, передача данных, здравоохранение, бытовое обслуживание, охрана общественного порядка, военное дело) время от времени нуждаются в профилактическом осмотре, проведении регламентных и ремонтных работ, а их персонал - в отдыхе.
Необходимость непрерывно выполнять ответственные функции, хотя бы и с уменьшенной производительностью, определяет применение многоканальных систем обслуживания. Такие системы, особенно в период функционирования в неполном составе, эксплуатируются в режиме, близком к насыщению, поэтому для достижения приемлемой оперативности обслуживания хотя бы по наиболее важным заявкам приходится вводить приоритеты.
Теория многоканальных систем обслуживания с приоритетами до настоящего времени практически разработана слабо. В статьях на эту тему задаются серьезные ограничения, как правило, предполагается экспоненциальное и к тому же одинаковое распределение времени обслуживания для всех типов заявок, см. например [9, 10, 12-14, 16, 18]).
Важный вопрос при исследовании приоритетных систем - установление характеристик распределения периода занятости, см. например [20]. На этой основе удается рассчитать средние характеристики времени ожидания и пребывания заявок в многоканальных приоритетных системах.
В частности, в работах [6, 15] предложены численные решения для расчета среднего времени ожидания и пребы-
вания заявок в многоканальных системах с абсолютным и относительным приоритетом и с неоднородными классами заявок.
В [5] намечена свободная от названного выше ограничения схема решения задачи для средних значений ожидания (пребывания) в системе заявок каждого вида и демонстрируются удовлетворительные результаты ее применения. Однако существенными элементами этой схемы являются эвристики, полученные по результатам имитационного моделирования, не гарантирующие достаточной точности.
Ниже предлагается более надежная методика приближенного численного расчета средних значений в и-канальной системе обслуживания с абсолютным (прерыванием с дообслуживанием) и с относительным приоритетом. Методика основана на применении инвариантов отношения [1] и верифицируется с помощью имитационных моделей. Типы заявок нумеруются в порядке убывания приоритетов.
Инварианты теории очередей
Согласно определению из [1], под инвариантами теории очередей понимают соотношения, определяемые не распределениями в целом, а некоторым количеством их начальных моментов. К примеру, инвариантом является формула По-лячека - Хинчина для среднего времени ожидания заявок в системе M/G/1
Xb2
w =------—,
2(1 -Xbl)
где X - интенсивность входящего потока; {bt } - начальные моменты распределения длительности обслуживания, а также формулы Литтла, связывающие средние длину очереди и число заявок в системе со средним временем ожидания и пребывания в системе, соответственно. С другой стороны, параметр ю, определяющий геометрическое распределение числа заявок перед прибытием очередной заявки в систему G1/M/1
пк = (1 -ю) юк,
задается уравнением
Работа поддержана грантом РФФИ 10-08-00906-а и программой фундаментальных исследований ОНИТ РАН (проект 2.3).
Интеллектуальные технологии на транспорте. 2015. № 3
11
Intellectual Technologies on Transport. 2015. No 3
да
ю_{ e^(1-ra)t dA(t), (1)
0
где A(t) — распределение интервалов между смежными заявками; ц - параметр экспоненциального распределения обслуживания. Следовательно, ю зависит от распределенияA(t) в целом, а не от конечного числа его моментов, и уравнение (1) инвариантом в указанном выше смысле не является.
Можно отметить некоторые современные работы, посвященные рассмотрению инвариантов отношения теории массового обслуживания. В [7] исследуются инвариантные характеристики хвостов стационарного распределения времени ожидания в системе массового обслуживания (СМО) M / M /1/ да, G / G /1/ да, определяемых субэкспоненциальными распределениями.
В [16] устанавливаются аналоги с большими отклонениями квазиобратимости класса процессов поступления заявок для систем • / M /1/ да. В работе [11] сравниваются свойства дуальных процессов Рамасвами и Брайта, показано, что последние обладают положительными свойствами, которые могут использоваться при разработке алгоритмов для анализа GI/M/1 и M/G/1.
Приведем еще несколько инвариантов из теории одноканальных приоритетных систем обслуживания, которые будут использованы в дальнейшем. В случае относительного (без права прерывания) приоритета среднее время ожидания начала обслуживания заявки j-го приоритета
wj _
Yhhb.,2
2(1 - Rj-0(1 - Rj )
j _ 1, k.
(2)
Здесь кумулянтный коэффициент загрузки Rj _ ^ Xibi 1 .
i-1
Аналогичной формулой с ограничением суммирования в числителе верхним индексом j дается среднее время ожидания j-заявки в той же системе Mk / Gk /1 с абсолютным приоритетом и дообслуживанием прерванной заявки. В этом случае ко времени ожидания начала обслуживания должна быть добавлена средняя длительность прерываний b^Rj-1 /(1 - Rj-1), а для получения среднего времени пребывания - еще и средняя длительность обслуживания bj 1. Итак, среднее время пребывания заявки в системе Mk / Gk /1 с абсолютным приоритетом считается как
, +_j_
] 2(1 - Rj-1 )(1 - Rj) 1 - Rj-1,
j _ 1, k.
(3)
Кратко охарактеризуем известные инварианты отношения многоканальных СМО.
Инварианты многоканальных систем
К сожалению, перечень инвариантов для многоканальных систем обслуживания весьма ограничен. В частности, в [1] отмечено, что точная формула для среднего времени ожидания в системе M/G/n не была получена в течение 40 лет, а с тех пор прошло еще 39. Еще острее (еще дальше от решения) этот вопрос стоит для многоканальных систем с приоритетами. В таких случаях для приближенного решения задачи можно применить инварианты отношения [1], основанные на
символических пропорциях для искомых средних показателей. В интересующем нас случае это будет
M / G / n ^ Щ / G / n M / G/1 ~ Щ / Щ/1'
Заметим, что в [1] обсуждается более простой инвариант (с обязательным использованием показательных распределений обслуживания), поскольку к моменту выхода упомянутой книги ее авторы не располагали методами расчета немарковских многоканальных систем, исключая метод Кромме-лина для обслуживания с постоянной длительностью.
Из (4) выводим базовое соотношение
ТГ iT^ I ,, M / G / n
^M k / Gk / n ~ ^M k / Gk /1 •-.
k k k k M / G/1
Инварианты отношения не слабее прямых инвариантов, рассмотренных выше в том смысле, что если верны прямые инварианты, то верны и соответствующие инварианты отношения.
Реализация инвариантов отношения
Прежде всего отметим, что символическое равенство (4) правдоподобно, но строго не доказано, и точность построенного на его основе алгоритма должна подтверждаться при n = 1 согласованием с результатами счета по формулам типа
(2) и (3), а для n > 1 — c результатами имитационного моделирования.
Ошибка в использовании инвариантов отношения будет тем меньше, чем ближе к интересующей нас модели Mk / Gk / n будут условия обсчета моделей M/G/1 и M/G/n. Возможности численного расчета последней (с применением фазовых аппроксимаций) появились только в конце 1970-х годов и, разумеется, должны быть в полной мере использованы применительно к суммарной интенсивности потока заявок и к средневзвешенным моментам распределения длительности обслуживания. Для сопоставимости результатов среднее время пребывания в одноканальной системе считается для уменьшенной в n раз интенсивности потоков по формулам (2) и (3).
Для дисциплины с прерываниями наличие заявок с индексами i > j (типы заявок упорядочены по убыванию приоритетов) никак не скажется на обслуживании заявокj-го типа, поэтому расчет упомянутых моделей делается при суммар-
j
ном потоке интенсивности Л j _^Я,г- средневзвешенными
i _1 ,
моментами распределения обслуживания bjm _Л-1 ^ bi tn,
i_1
m = 1, 2,...
Практически расчет выполняется для модели M / H2 / n c гиперэкспоненциальным 2-го порядка распределением обслуживания, параметры которого подбираются по трем средневзвешенным моментам. Отметим, что параметры аппроксимации в зависимости от коэффициента вариации полученного распределения могут оказаться вещественными, комплексными или парадоксальными (одна из вероятностей параллельных фаз отрицательна, а другая превышает единицу). Как показали численные эксперименты, упомянутые «псевдопатологии» не влияют на осмысленность конечных результатов.
Интеллектуальные технологии на транспорте. 2015. № 3
12
Intellectual Technologies on Transport. 2015. No 3
После упомянутой аппроксимации расчет стационарных вероятностей состояний выполняется на основе итерационного метода Такахаси - Таками или методом матричногеометрической прогрессии. Оба этих метода со ссылками на первоисточники и предложенными многочисленными модификациями расчетной схемы описаны в [2].
Через стационарные вероятности состояний можно вычислить среднее число заявок в системе (при его расчете можно ввести поправку на неограниченность очереди, дополнив реально вычисленные вероятности бесконечной убывающей геометрической прогрессией). Наконец, среднее время пребывания в системе определяется по формуле Литтла.
При обслуживании без прерывания расчетная схема оказывается несколько сложнее. Здесь для системы M/G/n указанным выше способом по интенсивности входящего потока Лк и средневзвешенным моментам обслуживания
— -1 *
bm = Лк bim определяют стационарные вероятности и
i=1
через них - среднюю длину очереди. Далее по формуле Литтла определяют общее для всех типов среднее время ожидания и добавлением к нему средней длительности обслуживания заявки каждого типа - среднее время их пребывания в системе.
Расчет среднего времени пребывания заявок каждого типа в одноканальной системе выполняется аналогично по идее, но более просто - с учетом того, что среднее время ожидания определяется суммарным потоком и средневзвешенными моментами обслуживания через формулу Поляче-ка - Хинчина. Именно этими соображениями определялся отбор формул, включенных в разделы выше.
Имитационный эталон
Для тестирования предложенных алгоритмов на современном Фортране разработаны программы соответствующих имитационных моделей. В модели системы с прерываниями на каждую заявку заводили паспорт, отражающий тип за-
явки, момент ее входа в систему, случайную трудоемкость, кратность прерываний, начало последнего прерывания данной заявки и суммарную длительность ее прерываний.
Этот набор сведений ориентирован на дальнейшее совершенствование аналитического метода расчета приоритетных систем. Содержание паспортов заносили в каналы (при наличии свободных) или в очереди - раздельно по типам заявок по возрастанию моментов прибытия. После каждого события каналы переупорядочивали, чтобы «кандидат на прерывание» всегда оказывался последним.
Логика модели без прерываний оказалась значительно проще и в дополнительных комментариях не нуждается.
Численные результаты
При проведении численных экспериментов базовая интенсивность входящих простейших потоков трех типов принималась равной {0.222, 0.333, 0.445}, а средняя длительность обслуживания - {0.45, 0.90, 1.35}. Для получения высокого суммарного коэффициента загрузки 0,9, необходимого для иллюстрации вложенных прерываний, интенсивность потоков умножалась на этот коэффициент. Длительность обслуживания предполагалась подчиненной гамма-распределению с параметрами формы а = 3 и а = 0,25, что соответствовало коэффициентам вариации 0,577 и 2,0. Высшие моменты {bi} распределений обслуживания вычислялись через первые согласно
b, = bi-1 ■ b1 -[1 + (i -1)/а], i = 2,3.
В процессе расчета по этим моментам подбиралась H2-аппроксимация (для первого а ее параметры оказывались комплексными, а для второго - вещественными).
В табл. 1 и 2 приведены результаты расчета среднего времени пребывания заявок типов 1-3 в системе Mk / Gk / n при относительном и абсолютном приоритетах в сопоставлении с результатами имитационных экспериментов. Модели прогоняли до обработки 300 тыс. заявок первого типа.
Относительный приоритет
Таблица 1
Тип Метод n = 1 n = 3 n = 5
1 2 3 1 2 3 1 2 3
Имит. 1,195 2,057 11,992 0,716 1,326 4,520 0,607 1,159 3,082
Инвар. 1,192 2,059 11,931 0,680 1,260 4,634 0,579 1,102 3,195
Имит. 3,203 5,180 37,517 1,093 2,099 12,540 0,757 1,518 7,672
Инвар. 3,233 5,246 41,028 1,276 2,189 13,121 0,888 1,584 7,599
Абсолютный приоритет
Таблица 2
Тип Метод n = 1 n = 3 n = 5
1 2 3 1 2 3 1 2 3
E3 Имит. 0,488 1,313 12,743 0,450 0,948 4,865 0,450 0,911 3,296
Инвар. 0,480 1,313 12,689 0,450 0,826 4,846 0,450 0,799 3,407
H2 Имит. 0,560 2,186 35,197 0,449 1,022 11,652 0,450 0,924 7,163
Инвар. 0,561 2,204 41,786 0,451 0,894 13,332 0,450 0,811 7,791
Интеллектуальные технологии на транспорте. 2015. № 3
13
Intellectual Technologies on Transport. 2015. No 3
Из приведенных таблиц можно сделать следующие выводы.
1. Расхождение результатов «инвариантного» счета и имитационного моделирования обычно не превышает 15 %, что свидетельствует о корректности как расчетных схем обоих сравниваемых подходов, так и реализующих их компьютерных программ.
2. Упомянутая корректность дополнительно подтверждается качественным соответствием результатов разумным ожиданиям - уменьшением по числу каналов среднего времени пребывания и его разброса по типам заявок, а также заметным увеличением этого разброса при переходе от относительных к абсолютным приоритетам. При увеличении числа каналов (и сохранении коэффициента загрузки) вследствие уменьшения ожидания среднее время пребывания в системе более приоритетных заявок стремится к средней длительности обслуживания (в случае абсолютных приоритетов - заметно быстрее).
3. Расхождение результатов допустимо в очень широком диапазоне коэффициентов вариации распределений длительности обслуживания (в рассмотренных примерах - от 0,577 до 2,0) и не обнаруживает тенденции к росту при увеличении числа каналов.
Заключение
Разработанный метод опирается на максимальную приближенность опорных вариантов к обсчитываемой ситуации и дифференцированный учет влияния вида приоритетов. Так, для относительного приоритета по методу инвариантов вычислялось среднее время ожидания, к которому затем прибавлялось достоверно известное среднее время обслуживания. Поэтому результаты счета для относительного приоритета согласуются с имитационным моделированием заметно лучше, чем для абсолютного. Таким образом, инварианты отношения следует применять для оценки только той части результирующей величины, которая не может быть вычислена точно.
Основная доля трудоемкости метода приходится на расчет модели M / H2 / n, повторяемый для абсолютного приоритета по числу типов заявок, а для относительного приоритета - однократно. Выполненные автором модификации итерационного метода Такахаси - Таками и метода матричногеометрической прогрессии [2] резко снизили эту трудоемкость.
Предложенная в настоящей статье схема использования инвариантов отношения, в отличие от [1], опирается не на приближенные оценки средней длины очереди, а на надежные численные алгоритмы. Она позволяет с достаточной для практических целей точностью рассчитывать среднее время пребывания заявок в многоканальной приоритетной системе с произвольными распределениями длительности обслуживания.
Схема избавляет от необходимости имитационного моделирования, трудоемкого как на этапе программирования, так и в процессе счета (обсуждаемая в статье имитационная модель использовалась только для верификации расчетных методик). Попутно отметим, что популярные системы моделирования типа GPSS для одноканальных систем не допускают вложенных прерываний, а прерывания многоканальных систем не позволяют моделировать вообще.
Дальнейшие исследования по разработке инвариантов отношения, на наш взгляд, целесообразно продолжить в следующих направлениях:
• для приоритетных систем массового обслуживания повышенной сложности, например, с вероятностным выталкивающим механизмом [21];
• многоканальных систем массового обслуживания повышенной сложности, например, с ограниченным временем пребывания заявок [3];
• нестационарных систем массового обслуживания с конечным источником заявок и распределениями фазового типа [8];
• разомкнутых и замкнутых немарковских моделей сетей массового обслуживания [4].
Литература
1. Бронштейн О.И. Модели приоритетного обслуживания в информационно-вычислительных системах / О. И. Бронштейн, И.М. Духовный. - М.: Наука, 1976. - 220 с.
2. Рыжиков Ю.И. Компьютерное моделирование систем с очередями: Курс лекций / Ю.И. Рыжиков. - СПб.: ВКА им.
А.Ф. Можайского, 2007. - 164 с.
3. Рыжиков Ю.И. Расчёт гиперэкспоненциальной системы обслуживания M/H2/N-H2 с заявками, нетерпеливыми в очереди / Ю.И. Рыжиков, А.В. Уланов // Вестн. Томск. гос. ун-та. Управление, вычислительная техника и информатика. -2014. - № 2 (27). - С. 47-53.
4. Рыжиков Ю.И. Расчет разомкнутых немарковских цепей с преобразованием потоков / Ю.И. Рыжиков, А.Д. Хо-моненко // Автоматика и вычислительная техника. - 1989. -№ 3. С. 15-24.
5. Рыжиков Ю.И. Средние времена ожидания и пребывания в многоканальных приоритетных системах / Ю.И. Рыжиков // Информационно-управляющие системы. - 2006. -№ 6(25). - C. 43-49.
6. Хомоненко А.Д. Вероятностный анализ приоритетного обслуживания с прерываниями в многопроцессорных системах / А.Д. Хомоненко // Автоматика и вычислительная техника. - 1990. - № 2. - С. 55-61.
7. Цициашвили Г.Ш. Асимптотические инварианты в одноканальной системе массового обслуживания G|G|1|® / Г. Ш. Цициашвили, Н.В. Маркова // Дальневост. матем. журн. - 2002. - Т. 3, № 1. - С. 52-57.
8. Bubnov VP. Model of Reliability of the Software with Coxian Distribution of Length of Intervals between the Mo-ments of Detection of Errors / VP. Bubnov, A.V Tyrva, A.D. Khomonen-ko // Proc. of 34th Annual IEEE Computer Soft-ware and Appl. Conf. (COMPSAC 2010). 2010. - P. 238-243.
9. Davis R.H. Waiting-Time Distribution of Multiserver Priority Queueing System / R.H. Davis // Oper. Res. - 1966. -Vol. 14. - P. 133-136.
10. Gail H.R. Analysis of a Nonpreemptive Priority Multiserver Queue / H.R. Gail, S.L. Hantler, B.A. Taylor // Adv. Appl. Probab. - 1988. - Vol. 20, N 4. - P. 852-879.
11. Ganesh A. Invariant Rate Functions for Discrete-Time Queues / A. Ganesh, N. O’Connell, B. Prabhakar1 // Ann. Appl. Probab. - 2003. - Vol. 13, N 2. - P. 446-474.
12. Kao E. Analysis of Nonpreemptive Priority Queues with Multiple Servers and two Priority Classes / E. Kao, S. Wilson // Eur. J. Oper. Res. - 1999 - Vol. 118. - P. 181-193.
Интеллектуальные технологии на транспорте. 2015. № 3
14
Intellectual Technologies on Transport. 2015. No 3
13. Kapadia A.S. Analysis of a Finite Capacity non Preemptive Priority Queue / A.S. Kapadia, M.P. Kazumi, A.C. Mitchell // Comput. Oper. Res. - 1984. -Vol. 11, N 3. - P. 337-343
14. Kella О. Waiting Times in Non-Preemptive Priority M/M/c queue / О. Kella, U. Yechialy // Stochastic Models. - 1985. -Vol. 1. - P. 257-262.
15. Khomonenko A.D. Performance Analysis of Multiprocessor Systems in the Priority Service of Heterogeneous Re-quest Streams / A.D. Khomonenko // Autom. Control and Comput. Sci. - 1991. - Vol. 25, N 4. - P. 53-61 (Trans. from Avtomatika i vychislitel’naia tekhnika. - 1991. - N 4. -P. 55-64).
16. Korshunov D.A. Moments for Stationary Markov Chains with Asymptotically Zero Drift / D.A. Korshunov // Siberian Math. J. - 2011. - Vol. 52, N 4. - P. 655-664 (Trans. from Sibirskih MatematicheskT i Zhurnal. - 2011. - Vol. 52, N 4. - P. 829-840).
17. Miller D.R. Steady-State Algorithmic Analysis of M/M/c Two Priority Queues with Heterogeneous Rates / D.R. Miller // Appl. Probab. - Comput. Sci.: the interface. - 1982. - Vol. 2. Boston: Birkhauser. P. 207-222.
18. Mitrani I. Multiprocessor systems with preemptive pri-or-ities / I. Mitrani, PJ.B. King // Perform. Eval. - 1981. - Vol. 1. -P. 118-125.
19. Taylor P.G. ON the Dual Relationship Between Mar-kov Chains of GI/M/1 and M/G/1 Type / P.G. Taylor, Van Houdt B. // Appl. Probab. Trust (24 Sept. 2009). - P. 1-25.
20. Wiens P.D. On the Busy Period Distribution of the M/G/2 Queueing Systems / P.D. Wiens // J. Appl. Probab. - 1989. -Vol. 26, N 4. - P. 858-865.
21. Zaborovsky V. Preemptive Priority Queueing System with Finite Buffer Size and Randomized Push-Out Mechanism / V Zaborovsky, V. Mulyukha, A. Ilyashenko, O. Zayats // Mod. Traffic and Transp. Eng. Res. - 2012. - Vol. 1, N 2. - P. 46-53.
Интеллектуальные технологии на транспорте. 2015. № 3
15
Intellectual Technologies on Transport. 2015. No 3
Calculation of Multi-Channel Queueing Systems with Absolute and Relative Priorities on the Basis of Invariants Relationship
Ryzhikov Y I .
St. Petersburg Institute for Informatics and Automation RAS (SPIIRAS) Saint-Petersburg, Russia ryzhbox@yandex.ru
Abstract. A method of calculating the average waiting time for various types of applications in multi-channel queuing systems with absolute and relative priorities, based on the application of the invariants of relations are proposed. The results are compared with data simulation of multi-channel priority systems with arbitrary distribution of the duration of service approximated by Erlang distribution and Hyperexponential.
Keywords: multichannel queuing systems, priorities, relationships invariants.
References
1. Bronshtein O.I., Dukhovnyi I.M. Modeli prioritetnogo obsluzhivaniia v informatsionno-vychislitel'nykh sistemakh. [Models priority service in information and computing systems]. Moscow, Nauka, 1976. 220 p.
2. Ryzhikov Y.I. Komp'iuternoe modelirovanie sistem s ocherediami: Kurs lektsii [Computer simulation of queuing systems: Lectures]. SPb., VKA im. A. F. Mozhaiskogo, 2007. 164 p.
3. Ryzhikov Y.I, Ulanov A.V. Calculation Hyperexponential service system M/H2/N-H2 with applications, impatient queue [Raschet gipereksponentsial'noi sistemy obsluzhivaniia M/N2/N-N2 s zaiavkami, neterpelivymi v ocheredi]. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Upravlenie, vychislitel’naia tekh-nika i informatika [Bull. Tomsk State Univ.]. Manage., Comp. Sci. and Inf.], 2014, no. 2 (27), pp. 47-53.
4. Ryzhikov Y.I, Khomonenko A.D. Calculation of open Markov Chains with the Transformation Flows [Raschet razom-knutykh nemarkovskikh tsepei s preobrazovaniem potokov]. Av-tomatika i vychislitel’naia tekhnika [Autom. Control and Comp. Sci.], 1989, no. 3, pp. 15-24.
5. Ryzhikov Y.I Mean Waiting and Sojourn Times in Multichannel Priority Systems [Srednie vremena ozhidaniia i preby-vaniia v mnogokanal'nykh prioritetnykh sistemakh]. Informat-sionno-upravliaiushchie sistemy [Inf. and Control Syst.], 2006, no. 6(25), pp. 43-49.
6. Khomonenko A.D. Probabilistic Analysis of Priority Service Interrupts in a Multiprocessor System [Veroiatnostnyi analiz prioritetnogo obsluzhivaniia s preryvaniiami v mnogo-protsessornykh sistemakh]. Avtomatika i vychislitel'naia tekhnika [Autom. Control and Comput. Sci.], 1990, no. 2, pp. 55-61.
7. Ciciashvili G. Sh., Markova N.V. Asymptotic Invariants in Single-Channel Queuing System G|G|1|® [Asimptoticheskie invarianty v odnokanal'noi sisteme massovogo obsluzhivaniia G|G|1|®], Dal'nevost. matem. zhurn. [Far East. Mat. Zh], 2002, vol. 3, no. 1, pp. 52-57.
Khomonenko A. D.
Petersburg State Transport University Saint-Petersburg, Russia khomon@mail.ru
8. Bubnov V.P., Tyrva A.V., Khomonenko A.D. Model of Reliability of the Software with Coxian Distribution of Length of Intervals between the Moments of Detection of Errors. Proceedings of 34th Annual IEEE Comp. Software and Appl. Conf. (COMPSAC 2010), 2010, pp. 238-243.
9. Davis R.H. Waiting-Time Distribution of Multiserver Priority Queueing System. Oper. Res., 1966, vol. 14, pp. 133-136.
10. Gail H.R., Hantler S.L., Taylor B.A. Analysis of a Nonpreemptive Priority Multiserver Queue. Adv. Appl. Probab., 1988, vol. 20, no. 4, pp. 852-879.
11. Ganesh A., O’Connell N., Prabhakar1 B. Invariant Rate Functions for Discrete-Time Queues. Ann. Appl. Probab., 2003, vol. 13, no. 2, pp. 446-474.
12. Kao E., Wilson S. Analysis of Nonpreemptive Priority Queues with Multiple Servers and Two Priority Classes. Eur. J. Oper. Res., 1999, vol. 118, pp. 181-193.
13. Kapadia A.S., Kazumi M.P., Mitchell A.C. Analysis of a Finite Capacity non Preemptive Priority Queue. Comput. Oper. Res., 1984, vol. 11, no. 3, pp. 337-343.
14. Kella O., Yechialy U. Waiting Times in Non-Preemptive Priority M/M/c Queue. Stochastic Models, 1985, vol. 1, pp. 257262.
15. Khomonenko A.D. Performance Analysis of Multiprocessor Systems in the Priority Service of Heterogeneous Request Streams. Autom. Control and Comput. Sci., 1991, vol. 25, no. 4, p. 53-61 (Trans. from Avtomatika i vychislitel'naia tekhnika, 1991, no. 4, pp. 55-64).
16. Korshunov D.A. Moments for Stationary Markov Chains with Asymptotically Zero Drift. Siberian Math. J., 2011, vol. 52, no. 4, p. 655-664 (Trans. from Sibirskih Matematicheskih Zhurnal, 2011, vol. 52, no. 4, pp. 829-840).
17. Miller D.R. Steady-state algorithmic analysis of M/M/c two priority queues with heterogeneous rates. Appl. Probab. -Comput. Sci.: the Interface, 1982, vol. 2. Boston: Birkhauser, pp. 207-222.
18. Mitrani I., King PJ.B. Multiprocessor Systems with Preemptive Priorities. Perform. Eval., 1981, vol. 1, pp. 118-125.
19. Taylor P.G., Van Houdt B. ON the Dual Relationship Between Markov Chains of GI/M/1 and M/G/1 Type. Appl. Probab. Trust (24 Sept. 2009), pp. 1-25.
20. Wiens P.D. On the busy period distribution of the M/G/2 queueing systems. J. Appl. Probab., 1989, vol. 26, no. 4, pp. 858-865.
21. Zaborovsky V., Mulyukha V., Ilyashenko A., Zayats O. Preemptive priority queueing system with finite buffer size and randomized push-out mechanism. Mod. Traffic and Transp. Eng. Res., 2012, vol. 1, no. 2, pp. 46-53.
Интеллектуальные технологии на транспорте. 2015. № 3
16
