РАСЧЕТ ЛОКАЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ В СТАЛЬНОЙ БАЛКЕ, ПРЕДНАПРЯЖЕННОЙ ВЫТЯЖКОЙ СТЕНКИ Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

Расчет локальных напряжений в стальной балке, преднапряженной вытяжкой стенки

А.А. Иодчик, А.А. Чебровский, Бурцев В.М.

Тихоокеанский государственный университет, Хабаровск

Аннотация: В статье рассматривается случай, когда сосредоточенная сила приложена в середине пролета в точку к стенке преднапряженной балки. Предварительные касательные напряжения не оказывают влияние на напряженное состояние в середине пролета балки. Однако предварительные нормальные напряжения будут действовать по всей высоте стенки и влиять на распределение зоны локальных напряжений и на напряженное состояние стенки. Определение напряжений в балке основано на балочной теории Тимошенко С.П. В статье приведены система эквивалентных усилий на гранях стенки и выражение нормальных напряжений в поперечном сечении преднапряженной балки. В сравнении с обычной балкой, преднапряжение уменьшает нормальные напряжения от сосредоточенной силы.

Ключевые слова: тонкостенная конструкция, стальная балка, двутавровое сечение, предварительное напряжение, локальные напряжения, локальный эффект, принцип Сен-Венана, теория Тимошенко, решение Кармана, интеграл Фурье, функция напряжений.

Определением действительной модели разрушения элементов стальных тонкостенных балок занимаются многие ученые-инженеры. Одной из таких задач является построение модели разрушения стенки балки от приложения к ней сосредоточенной в точку силы. В частности, для решения поставленной задачи, можно представить тонкую стенку балки как шарнирно опертую пластинку с приложенной к ней сосредоточенной силой. Классическая теория балок подробно представлена Доннеллом Л.Г. [1]. Особенности расчета тонкостенных конструкций методом предельного равновесия представлены в работах [2-5]. Вопрос воздействия сосредоточенного давления на элементы тонкостенного стержня рассматривался в трудах [6-8]. Принципиальная схема приложения силы на стенку представлена на рис. 1. В настоящее время вопросы эффективности предварительного напряжения стальных тонкостенных балок интересуют, в том числе, и зарубежных исследователей [9-11].

Усилия растяжения распределяются радиально и эквивалентны давлению по квадранту ab цилиндрической поверхности abc, у точки A.

Система усилий на гранях стенки показана на рис. 2. Такие силы эквивалентны горизонтальной силе Р¡ж и вертикальной силе Р, приложенные в точке А.

Рис. 1. - Схема действия сосредоточенной нагрузки на стенку в середине пролета преднапряженной балки

Рис. 2. - Схема усилий на гранях стенки балки, опертой в точках п и р : а - радиальное растягивающее; б - давление, распределенное по цилиндрической поверхности; в - горизонтальные и вертикальные силы

К изгибным напряжениям требуется добавить равномерно распределенные напряжения Р/2жс, создаваемые силой P¡ж. К нижней кромке стенки прикладывается нагрузка Р/же. Таким образом, получим три составляющие напряженного состояния стенки для балок без преднапряжения, и общее выражение нормальных напряжений в поперечном сечении AD будет:

и

3P ( I с Л Р Р ( у3 3у ^

= ---Iу + —+

2с 12 жУ 2жс жс

V2с3 10су

(1)

Согласно требованиям СП 16.13330.2011 «Стальные конструкции», прочность элементов, изгибаемых в одной из главных плоскостей, будет:

м.

< и (2)

^ у

Р 9

ртах^ < И (3)

IX*

х л

Максимальная сила Р^х, приложенная в середине пролета балки, из условия прочности элемента по изгибающему моменту MШ1X будет:

р - 2Мт.,_ 2ИУУ» (4)

Ш1Х I I ( )

Предварительные нормальные напряжения ирг, действующие в стенке преднапряженной балки, влияют на ее напряженное состояние в сечении АО. На стадии изготовления напряжение а по сторонам верхней кромки

стенки относительно оси х , будет:

*х,-2(2Щ1-«-У) <5>

Площадь поперечного сечения балки А при толщине стенки хк = 1:

А=А^=х_А=к_ (6)

Ул Улу Ум

Общее выражение нормальных напряжений ах в поперечном сечении АО , для преднапряженной балки:

2Яу к2 6К -уу(К +1)2

а = а ь+а = —-----^^-— х

х х,оЬ х,рг I 6у (К +1)

3 (х с Л 1 ( у3 3у^ 1 + —

V с 5с у

3 1 I у + 2с V 2 ж у 2жс

2(2K +1)^1 6 k

у" (1 - 6 • у| (7)

Расстояние от начала координат до верхней и нижней кромок стенки c = к /2, нормальные напряжения будут наибольшими на расстоянии х = 0,

х

М Инженерный вестник Дона, №6 (2021) ivdon.ru/ru/magazine/arcliive/n6y2021/703 9

согласно принципу Сен-Венана I = к, поэтому вид максимальных нормальных напряжений будет:

^х =

6К(К +1)2

к 6Г„

(К+1)

3 • 8

4к2 ж У +

2 2жк

1 +

8 у3 6 у

V

к3 5к

^ Г1 -6-у■

2(2К +1Д к,

2^у 6К — (К +1)2

3

^ (К +1)

-зУ I

жк I кж 5жк

3 3 ^ 1

+ — I у +

2ж

КУК

3ЯуК + —ЛУ

(8)

2(2К +1) к(2К +1)

Вид нормальных напряжений ах в поперечном сечении АВ преднапряженной балки будет:

^х =

6К -у„(К +1)2

3 ^ (К +1)

-зУ I

жк I кж 5жк

3 3 ^ 1

+ — I у +

2ж

КуК

—-+-

2(2 К +1) к(2К + 1)

3ЯуК

У =

2Яу 6К — Гм,(К +1)2

У

1

3К/„ (К +1)

3 ^ (К +1)

' 9Кук (К + 1)

12ж Л(2К+^^—г^(К+Г)Р)

+

+

18 ^ у 4 у3

— +--—т-

J к ж к

(9)

Оптимальные геометрические параметры преднапряженной балки двутаврового сечения К = 1,1754 и ук= 0,496, поэтому нормальные напряжения в поперечном сечении АВ будут:

X

X

X

4

X

X

4

X

М Инженерный вестник Дона, №6 (2021) ivdon.ru/ru/magazine/arcliive/n6y2021/703 9

=

2Ry 6K -yw(K +1)2

(K +1)

3Kyw (K +1)

2ж 4(2K + 1)(6K-yw (K +1)2)

+

+

9Kyw (K +1)

2(2K + 1)(6K -yw (K +1)2) 5ж

18 I y 4 y у

-+--—5-

j h ж h

= 2,90R,

0,099 - 0,783| У I +1,273| У

h

h

(10)

Более подробно распределение напряжений вблизи точки приложения сосредоточенной силы исследовал Зеевальд Ф. Функция напряжений ¥ (х, у), была получена Зеевальдом Ф. и имеет вид:

F (X, У )=- P ]}

2ж J

1 - cos al f y ,

-у-- — shay • shac +

2 f, sh2ac H c

al 1 + ■

2ac

, , chay • shac

+ chay • chac +-| cos ax

ac

da + J

1 -

1

sh2ac 2ac

f y , , , shay • chacN

x I — chay • chac - shay • shac -

ac

3y

2c

c2 - y

2 Л"

3

(1 -cosal)• cosax^ ] 3Pl f x

^ a|- 8c3 I - 7

a

y2

c2 - У V 3 J

y (11)

Распределение нормальных ах, оу и касательных напряжений т^ по

стенке балки определяется дифференцированием функции напряжений ¥(х, у). Зеевальд Ф. разделил напряжение на две составляющие: первая -рассчитывается по классической балочной формуле, а вторая - описывает локальный эффект вблизи точки приложения сосредоточенной силы. Вторая составляющая напряжения может быть представлена в такой форме:

Р с

Р

= a AD ;

°у = PAD ; c

(12) (13)

1

3

3

x

0

c

x

М Инженерный вестник Дона, №6 (2021) ivdon.ru/ru/magazine/arcliive/n6y2021/703 9

^ху УAD

P

(14)

Получаем, что напряжения ах в поперечном сечении стенки преднапряженной балки AD от P при х = 0 будут:

ах(0, у ) = а

Р _ 2Яу 6K -уу(K + 1)2

AD, рг

у л (К +1)

4 у3 ( ж к3

9Кук (К +1)

18

2(2К + 1)(6К-уу (К +1)2) 5ж

+

+

3Куу (К +1)

2ж 4(2К + 1)(6К -уу (К +1)2 )у Р _ 2Иу 6К-Ул(К +1)2

а

АО, рг

с

3 (

4 у

ж к к

у л (К +1)

9Куу (К +1)

(15)

(16)

18

^ 2(2К + 1)(6К-уу (К + 1)2) 5ж

+

+

3Куу (К +1)

2ж 4(2К + 1)(6К-уу (К +1)2)

(17)

С рассмотрением преднапряженной балки в сечении АО оптимального поперечного сечения, множители местных напряжений ах будут:

а

АО, рг

(0, у ) =

0,099 - 0,783| у I + 1,273( у

Р

к

= 2,90^.

к

(18)

(19)

Значения параметра атрг для напряжений ах в преднапряженной балке и атоЪ для напряжений ахоЪ в обычной балке показаны на рис. 3. Анализ рис. 3 показывает, что напряжения ах в крайней верхней точке сечения стенки преднапряженной балки от действия сосредоточенной силы Р по сравнению с обычной балкой будут меньше.

с

х

3

с

х

1

3

1

3

с

а ь-. -с) ■Ч-

о СГ О" о

/ \ Л1 ,оЬ

У / \ \ / аА1 >рг

/ У ч о, ос 31-

/ / N "3 ч?

чу

-2 5 -I 5 ■0 5 0,374 | ) С:" 0, & ос СЗ" 5 с? 1 1 ^ бсО'О 5 о-. § 5 о

6

а (у = -с/21

со | §

Сз" Сз- 0,1 Сз"

/ \ 05 я г

С)" Сз* с а"

,оЬ

У и

ч ^ /

N /

-2 5 -1 5 -0 5 Сз" Сз Сз" 0, Сз" 5 г.| Сз' о с? 1 1, Со з сг 5 РОО'О 2, 5 0,003

в

а (у-0)

Сл 45

о" ом «Г С»* а1П .С? 3

аА1 Хрг

X У

> < - —

■2 1 ■I 5 -0 5 о? ■п <2* 0, 5 с? 5 «■ч к с. 5 от'о 5

Рис. 3 - График параметра ат напряжений сх для преднапряженной балки (пунктир.) и балки без преднапряжения (сплош.)

Таким образом, предварительное напряжение снижает нормальные напряжения от внешней нагрузки по сравнению с балкой без предварительного напряжения.

Литература

1. Доннелл Л.Г. Балки, пластины, оболочки. Москва, 1982. - 568 с.

2. Коробко В.И. Расчет пластинок методом предельного равновесия. Орел, 2012. - 354 с.

3. Чебровский А.А. Совершенствование методики расчета стальных балок, предварительно напряженных вытяжкой стенки: дис. ... канд. техн. наук: 05.23.01 / А.А. Чебровский, - Улан-Удэ. 2015. - 232 с.

4. Евтушенко А.М., Нуриев В.Э., Зотов П.В., Морева И.С. Технология легких стальных тонкостенных конструкций и её особенности. // Инженерный вестник Дона, 2018, №4. URL: ivdon.ru/magazine/archive/n4y2018/5398/.

5. Решетников А.А. Корнет В.Ю. Леонова Д.А. Сравнительный анализ методик расчета тонкостенных стальных балок С-образного профиля по отечественным и зарубежным нормам. // Инженерный вестник Дона, 2018, №2. URL: ivdon.ru/magazine/archive/n1y2018/4788/.

6. Лампси Б.Б., Гусев В.А. Распределение сосредоточенного касательного давления, приложенного по краям полки металлического тонкостенного стержня. // Труды им. В.П. Чкалова. Исследования элементов металлических конструкций и вопросов строительной механики. Горький, 1970. № 57. С. 20-28.

7. Тимошенко С.П. Устойчивость упругих систем. Москва: Ленинград, 1946. - 533 с.

8. Лурье А.И. Теория упругости. Москва, 1970. - 940 с.

9. Hadjipantelis N., Gardner L., Wadee M. A. Design of prestressed cold-formed steel beams. // Thin-Walled Structures, 2019, №140, pp. 565-578. URL: sciencedirect.com/science/article/pii/S0263823118313065/.

10. Blum A., Chodorowska D. Experimental analysis of prestressed thin-walled structures stability. // Thin-Walled Structures, 2007, №45, pp. 834-839. URL: sciencedirect.com/science/article/pii/S0263823107001747/.

11. Wen-Fu Zhang. Symmetric and antisymmetric lateral-torsional buckling of prestressed steel I-beams. // Thin-Walled Structures, 2018, №122, pp. 463-479. URL: sciencedirect.com/science/article/pii/S0263823117304329/.

References

1. Donnell L.G. Balki, plastiny, obolochki [Beams, plates, shells]. Moskva, 1982. 568 p.

2. Korobko V.I. Raschet plastinok metodom predel'nogo ravnovesiya [Calculation of plates by the method of limiting equilibrium] Orel, 2012. 354 p.

3. Chebrovskiy A.A. Sovershenstvovanie metodiki rascheta stal'nykh balok, predvaritel'no napryazhennykh vytyazhkoy stenki [Improvement of the methodology for calculating steel beams prestressed by wall stretching] dis. ... kand. tekhn. nauk. Ulan-Ude. 2015. 232 p.

4. Evtushenko A.M., Nuriev V.E', Zotov P.V., Moreva I.S. Inzhenernyj vestnik Dona, 2018, №4 URL: ivdon.ru/magazine/archive/n4y2018/5398/.

5. Reshetnikov A.A. Kornet V.YU. Inzhenernyj vestnik Dona, 2018, №2. URL: ivdon.ru/magazine/archive/n1y2018/4788/.

6. Lampsi B.B., Gusev V.A. Trudy im. V.P. Chkalova. Issledovaniya elementov metallicheskikh konstruktsiy i voprosov stroitel'noy mekhaniki. Gor'kiy, 1970, № 57. pp. 20-28.

7. Timoshenko S.P. Ustoychivost' uprugikh system [Stability of elastic systems]. Moskva: Leningrad, 1946. 533 p.

8. Lur'e A.I. Teoriya uprugosti [Elasticity theory]. Moskva, 1970. 940 p.

9. Hadjipantelis N., Gardner L., Wadee M. A. Thin-Walled Structures, 2019, №140, pp. 565-578. URL: sciencedirect.com/science/article/pii/ S0263823118313065/.

10. Blum A., Chodorowska D. Thin-Walled Structures, 2007, №45, pp. 834839. URL: sciencedirect.com/science/article/pii/S0263823107001747/.

11. Wen-Fu Zhang. Thin-Walled Structures, 2018, №122, pp. 463-479. URL: sciencedirect.com/science/article/pii/S0263823117304329/.