Расчет коэффициентов интенсивности напряжений для пьезоэлектрических пластин Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

Евгений Александрович Воронцов

Сведения об авторе канд. техн. наук, доцент; Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра измерительных технологий и компьютерной томографии; E-mail: voroncov_evgenii@mail.ru

Рекомендована кафедрой мехатроники

Поступила в редакцию 29.02.12 г.

УДК 621.865.8-781.2.001.63

А. В. Амвросьева

РАСЧЕТ КОЭФФИЦИЕНТОВ ИНТЕНСИВНОСТИ НАПРЯЖЕНИЙ ДЛЯ ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ПЛАСТИН

На основании расчетов напряжений для пьезоэлектрических пластин без трещин были найдены коэффициенты интенсивности напряжений для трещин, возникающих в этих пластинах. При расчетах учитывался поправочный коэффициент для конечного тела.

Ключевые слова: пьезоэлектрическая пластина, коэффициент интенсивности напряжений, поправочный коэффициент.

В настоящее время пьезокерамика все чаще используется в технических устройствах, например, в биморфах для пьезоэлектрических схватов, зондов для литографии и др. Функциональные детали из пьезокерамики обычно выполняются в форме стержня или пластины. Как показывают опыты, пьезопластины работают в условиях циклических и статических нагрузок. Поэтому расчеты напряженно-деформированного состояния этих пластин, учет наличия трещин и вычисление коэффициентов интенсивности напряжений являются основой прогнозирования работоспособности и надежности конструкции на их основе [1—6].

Расчет коэффициента интенсивности напряжений пластины с поверхностной трещиной. Проанализируем три варианта нагружения пластины (длина Ь = 100 мм, длина подвижной части пластины Ь1=80 мм, высота Ь = 22 мм, ширина к = 2,5 мм) с поверхностной

трещиной, занимающей область 0 < ^ < Ь, < 2.

К поверхностям пластины приложены электроды с электрическим потенциалом К=±80 В и сила Р=5Н [2]. Длина трещины в пластине 7 = 0,2 мм .

к

1. Пластина с электродированными поверхностями Х3 = ± (поляризация по оси Х3 ) (рис.

1). Найдем коэффициент интенсивности напряжений для трещины нормального отрыва К:

к к

л/П7 *

Кг

xi

(Хз)

+ Хо

h-1 2

я

=dx3 =

M 2 x3(l + x3)

- Хо

■ёхз =

- Хо

M

h -

h 212

=м4П1—, 21

где У ^"2л ) — поправочный коэффициент для конечного тела, I = ~~ — момент инерции.

Путем математических вычислений получаем:

К = 1,4 -103 и/м3/2 .

Нормальные напряжения оХ1 (Х3), возникающие в пластине при изгибе, могут быть най-

дены с использованием следующих уравнений:

( ) м

О X (х3) = Yx3,

и 5

М = Ы- = 199,38 -10 Н • м, 2

N = ап£ = 159,5 • 10-2 Н;

а11 =В11^33 = 2,9• 104 и/м2;

ец =■

5x1

V)

= = 0,547 • 10

-6

и

где е — линейная деформация.

Рис. 1

Таким образом, механическое напряжение Оц выражено через функцию электрического напряжения Vи параметров; Е — модуль Юнга, ^ — пьезомодуль: о = о(;dзl,Е) [1].

В расчетах использован поправочный коэффициент для чистого изгиба в связи с тем, что нагружение биморфа напряжениями о11 (рис. 2) эквивалентно нагружению моментами М — парой сил (рис. 3) [3].

2. Пластина, нагруженная силой Р, на расстоянии от заделки Ь1 с неэлектродирован-

И

ными поверхностями Х3 = (рис. 4). Найдем коэффициент интенсивности напряжений для трещины поперечного сдвига Кп :

Кт,

УI

тХ5Х3)

И-I 2

<Р

+ Хо

41

- х3

=

3Р

2ЪИу[П1

4 „2 1 (1 + Х3)

3

I I 1 - —Х3 =

и-г 2

и -х

'2 ..2 3

I

3Р

2ьи4п7

п7 + . к -

к 2 72

к2 - -

г

к2

к7 - 7 2, 2

к -

к272

к7 1, 2 72 73п

---Л к - — +-+

2к 37 + --к7

где т Х

( ) 3Р Г. 4 _

Х1( Х3) = 2Ьк I1 - к?*

В результате получим:

4 V 4 2 3

касательные напряжения.

Кп = 6,9 -103 н/м3/2 .

к -

к2 72

27+т

к- 72

В данном случае использован поправочный коэффициент для поперечного изгиба (рис. 5). 3. Пластина, нагруженная силой Р, на расстоянии от заделки Ь1 с электродированными к

поверхностями х3 = ±— (рис. 6). Найдем эффективный коэффициент интенсивности

2

напряжений [3]:

Кэ2ф = к12 + к1ь

Кэф = 7,1-103 н/М3/2 .

Расчет коэффициента интенсивности напряжений пластины с внутренней трещиной. Была рассмотрена та же пластина с аналогичными нагрузками.

к

1. Пластина с электродированными поверхностями Х3 =±(поляризация по оси Х3). Найдем коэффициент интенсивности напряжений для трещины нормального отрыва К:

Ж-

К

1 - °Х1(Х3)ф

+ Хт.

=йХ3 =

м г3x3(7+^ = М7Л7±

- Х-!

Г

2 - Х32

2/

путем математических вычислений получим:

К1 = 1,8 -102 Н/м3/2 .

2. Пластина, нагруженная силой Р, на расстоянии от заделки Ь1 с неэлектродированны-к

ми поверхностями Х3 = ±-^. Найдем коэффициент интенсивности напряжений для трещины поперечного сдвига Кп:

1 с л// + х3

кii = -¡=; i тх3х(х3)\-с1х3 =

л/п7 , м- х3

3Р

4П7-

В результате получим:

—_ гГх-4 Х32 3=^

2ЬШ-У к2 3 JA/72ГХ3Г 2Ьк

1 -■

к2

Кп = 3,4 -103 н/м3/2 .

Ос-

М

М

К

Рис. 2

Nраст Nраст

Nсж Nсж

4-

М

кХэ

г 1 Х1

М

Рис. 3

V/////

ж

¿1

Р

Х3

1к!

Х1

Рис. 4

Х3

Рис. 5

Ж

р

Х1

/

.»V

Р Х3

__

¿1 -

Х1

Рис. 6

Заключение. Установлено, что в заданных условиях нагружения пьезоэлектрических пластин значения коэффициентов интенсивности напряжений для поверхностных трещин нормального отрыва и поперечного сдвига сравнимы по порядку. В работе представлен пример редуцирования задачи о линейных деформациях в задачу об изгибе. Из приведенных

О

О

раст

СТ

сж

О

О

И

I

т

I

И

I

46

В. В. Биндюк

уравнений видно, что напряженно-деформированное состояние пьезоэлектрической пластины при изгибе определяется внешним полем для системы трещин.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бардзокас Д. И., Зобнин А. И., Сеник Н. А., Фильштинский М. Л. Математическое моделирование в задачах механики связанных полей. Введение в теорию термопьезоэлектричества. М., 2010. Т. 1. 312 с.

2. Смирнов А. Б. Системы микроперемещений с пьезоэлектрическими приводами: Мехатроника и Робототехника. СПб: Изд-во СПБГПУ, 2003. 160 с.

3. Хеллан К. Введение в механику разрушения. М.: Мир, 1988. 364 с.

4. Амвросьева А. В. Напряженно-деформированное состояние пьезоэлектрических пластин с трещиной: Автореф. дис. ... канд. техн. наук. СПб, 2011. 19 с.

5. Амвросьева А. В., Мусалимов В. М. Связанные поля перемещений в нагруженной пьезокерамической консоли с трещиной // Вестн. НГУ им. Н. И. Лобачевского. 2011. № 4 (4). С. 1347—1348.

6. Amvrosieva A., Musalimov V. Fatigue fracture of miniature piezoelectric grabs // Proc. XV Intern. Colloquium Mechanical Fatigue of Metals. Opole, 2010. Р. 2—3.

Сведения об авторе

Анна Владимировна Амвросьева — канд. техн. наук; Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра мехатроники; E-mail: destyni@mail.ru

Рекомендована кафедрой Поступила в редакцию

мехатроники 29.02.12 г.

УДК 621.01;681.2;537.533

В. В. Биндюк

ОПТОЭЛЕКТРОННЫЙ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЬ ПОЛОЖЕНИЯ СЕЧЕНИЯ УПРУГОГО ЭЛЕМЕНТА НА ПОДВИЖНОМ ИНТЕРФЕЙСЕ

Предложен мехатронный модуль, объединяющий оптоэлектронный преобразователь регистрации малых смещений изображения со средствами линейного перемещения механической системы, позволяющий получить разрешающую способность 10-5мм от заданного положения стрелы изгиба упругих микроэлементов с малой изгибной жесткостью. Полная относительная погрешность оп-тоэлектронного преобразователя на подвижном интерфейсе составляет 0,09 %.

Ключевые слова: интерфейс, преобразователь, упругий элемент, оптопара, погрешность.

В соответствии с методикой [1] измерение изгибной жесткости (H= EI) [2] прецизионных упругих микроэлементов (УЭ) в случае больших упругих перемещений выполняется при условии в = f/L (f—стрела прогиба, L — длина УЭ). Значение в изменяется с фиксированным шагом. Исходя из значения в вычисляется коэффициент

К=2,Р(а,фк) sin а (1- cos фк), входящий в номинальную расчетную характеристику косвенно измеряемой жесткости сечения УЭ, связывающую стрелу прогиба, длину УЭ и усилие продольного сжатия (Р):

H = LPf/2K.