Расчет кинетической энергии вихря в следе за самолетом и влияние распределения циркуляции по крылy на основные параметры вихревого следа Текст научной статьи по специальности «Физика»

__________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ

Том XXXI 2000

М1—2

УДК 629.735.33.015.3 532.527

РАСЧЕТ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ ВИХРЯ В СЛЕДЕ ЗА САМОЛЕТОМ И ВЛИЯНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЦИРКУЛЯЦИИ ПО КРЫЛУ НА ОСНОВНЫЕ ПАРАМЕТРЫ ВИХРЕВОГО СЛЕДА

В. А. Ярошевский

Рассматривается задача об определении радиуса ядра вихревого шнура в следе за самолетом с заданным распределением циркуляции по крылу, исходя из предположения о том, что кинетическая энергия вихрей порождается работой силы индуктивного сопротивления. Формулируется правило, позволяющее весьма существенно упростить вычисление этой энергии.

Принято считать (см., например, [1]), что та часть кинетической энергии в вихревом следе за самолетом, которая порождается трансверсальны-ми скоростями в плоскости, нормальной к направлению полета, определяется работой, совершаемой силой индуктивного сопротивления. Это дает возможность, задавая то или иное распределение трансверсальных скоростей, определить так называемые радиусы ядер вихревых шнуров. Рассмотрим такое распределение на расстоянии нескольких размахов крыла за самолетом, где вихревая пелена успела свернуться в два вихревых шнура, удаленных на расстояние Ъ — Ы один от другого, где Ъ зависит от распределения циркуляции по размаху крыла. Зададим вначале распределение трансверсальных скоростей, порождаемое каждым из шнуров, в наиболее простой форме ([2]):

(|)

2 яГу2 +г2

где Г — циркуляция в корневом сечении крыла, гу — радиус ядра вихревого шнура, г — расстояние до центра вихря. Определим кинетическую энергию поля трансверсальных скоростей, содержащуюся в слое толщиной £& между двумя плоскостями, нормальными к скорости полета:

= (2)

2 -00-00

С учетом формулы (1) получим

00 00 00 00

| \у2(іхсіу=\ \{У*х+У12+2У^2со*%)с1хс1у, (3)

где X' Угол между двумя векторами скорости.

В силу симметрии достаточно вычислить интеграл (3) по площади первого квадранта и умножить результат на 4.

Представим интеграл (3) в виде

оо оо

{ | У2сЫу = 4(—)2/(Я,), (4)

где

Гу =-*-,1(гу) =

о

оооо 2 2л

= Г+ '+ ' }<Ыу.

О О .'.И } (г2 + ^ ) (п + ГУ Х^2 + г2 )

г2 =0 + 6/2)2+.)Д-, г$ =(х-Ы2)2+у2, г,г2созх =

= -(х2+/-А2/4), (5)

(п2 + ГУ )(^22 + ) = (*2 + У2 +ь2/4 + г2 )2 -Ь2х2.

Функцию /(Р„) удается получить в аналитическом виде:

<б>

4ф + 4Р2 1 + 2?2-ф +4г2 2

и выписать несколько членов разложения этой функции по степеням гу (считая, что логарифмическая функция не имеет порядка):

/<Л)■= -я 1пгу —| + 71г2 - 71(3 + 4+ 0(^6). (7)

Численный расчет позволяет определить функцию/(/"„), см. рис.1 , сплошная линия, п =1. При малых гу <0,2 эта функция с хорошей точностью описывается формулой

, 0,607 /(/•„)» я1п ——.

(8)

Как следовало ожидать, при —» 0 кинетическая энергия, пропорцио-

нальная интегралу (4), неограниченно возрастает.

£ (ть) 15

Л и

Уу УУУ

У У, ууС 'Яу уу У у

/Л УХ, ^У / 1/

У УУу

/А

10

О 0,5 1,0 1,5 ~1?ги

Рис. 1

Эта энергия, согласно принятому допущению, порождается работой, совершаемой индуктивным сопротивлением:

дА = .с.^8Ру2^ (9)

Поэтому для определения значения г„ достаточно приравнять выражения (9) и (2) и с учетом (4) получить

С,Ш^ V2 =2р(^)2/(Я>). (Ю)

2 2 я

Значение схтс1, как известно (см. [3]), определяется соотношением

с 2£ я/2

где 6 > 0 зависит от распределения циркуляции по размаху крыла.

В то же время, значение циркуляции Г связано с подъемной силой У соотношением

(12)

где к также зависит от распределения циркуляции.

С учетом выписанных соотношений, приравнивая выражения (9) и (2), получим уравнение для определения значения гу:

Таким образом, начальный радиус вихревого ядра при принятых предположениях пропорционален размаху крыла, а коэффициент пропорциональности зависит только от распределения циркуляции по крылу.

Рассмотрим случай безотрывного обтекания крыла конечного размаха с большим удлинением и малой стреловидностью, который реализуется при малых углах атаки.

Воспользуемся классической теорией крыла конечного размаха, представим распределение циркуляции по крылу в виде четной функции

/(г„) = 4(1 + е)пк2,

(13)

откуда, при использовании формулы (7), получим:

= 0,607Ъ ехр(-4(1 + е)к2)1.

(14)

цию

00

(15)

При этом —-.

у 2

Тогда справедливы формулы:

(16)

00

42>2я+1(-1)и

В случае эллиптического распределения циркуляции получим:

— К

8-0; к = Ь = —; гу =0,0404/, а для треугольного распределения циркуляции найдем: £ = 0,386; к-Ъ -0,5; гу = 0,0759 /.

Пользуясь приведенными формулами, можно также оценить максимальное значение трансверсальной скорости в окрестности вихревого шнура

г . 1 С С

^тшах ~ . _ . — у ~ 2 ’ ^ ^

44пгукЪ р12У рГУ

где ут =2,51 и 2,11 для эллиптического и треугольного распределения циркуляции.

Распределение циркуляции по размаху существенно влияет на такие важные параметры, как скорость опускания пары вихрей за самолетом, генерирующим след, Уу , и среднее время существования вихревого следа

до разрушения его в связи с развитием возмущений, обусловленных синусоидальной неустойчивостью Кроу ([4]), ц .

Действительно,

Г = Л = _1________(19)

' 2 пЬ 2пЬкр 1*у %?у'

где уу =0,258 и 0,637 для эллиптического и треугольного распределения циркуляции.

Среднее время существования ?/, при прочих равных условиях, в наиболее важном случае малой атмосферной турбулентности (г| < 0,01), согласно [4], [5], примерно пропорционально

/ 4/3 ''Г0’21

г

V

.С2Ъ2’5, (20)

т.е. при переходе от эллиптического распределения циркуляции к треугольному уменьшается в три раза. Наконец, согласно некоторым оценкам ([6]), хотя и небесспорным, считается, что циркуляция каждого из вихревых шнуров затухает с течением времени пропорционально множителю

Г (?)» ехр

0,82

Ь

(21)

где — среднеквадратическое значение атмосферной турбулентности, что также дает некоторое преимущество треугольному распределению циркуляции.

Для того чтобы оценить, насколько полученные оценки радиуса ядра изменяются при изменении закона распределения (1), рассмотрим две модификации этого закона. Первая из них задается в виде

Г - Г

Гт= —Кт(г) = —

2л 2п

2_ ’

(/V2" +г2п)п

(22)

где п может принимать значения, большие или меньшие единицы (см. рис. 2, а), при п = 1 получим закон (1). Легко убедиться, что трансверсаль-ная скорость достигает максимума, равного

Г

(23)

тшах

2%

2 пк,

\ ’

V у

если Г = , при этом отношение циркуляции к циркуляции на бесконечно-

сти составляет

(24)

2лгуУг (Гу) _ 2^ п Г

(к Цт/г]г0

ТрансВерсальная спорость

а при малых г вихревое ядро вращается подобно твердому телу. Случай п —» сю соответствует так называемому вихрю Рэнкина ([1]), отношение

(24), согласно некоторым источникам, зависит от числа Ле и может находиться в пределах от 0,4 до 0,75, что соответствует диапазону значений п от 0,75 до 2,5.

Результаты численного расчета интеграла (4) с учетом распределения (22) представлены на рис. 1 сплошными линиями. Как и следовало ожидать, зависимости /(гу, п) при достаточно малых полностью сохраняют свой характер и могут быть представлены в виде

/(/*„, л) = 7ГІП

О)

(25)

где функция г0 (п) иллюстрируется рис. 3 и табл. 1.

Попытаемся интерпретировать полученные численные результаты, соответствующие малым гх,, учитывая, что в этих случаях основная часть кинетической энергии вихрей сосредоточена в малой окрестности их центров. Рассмотрим вначале наиболее простой вариант распределения скоростей (1).

Рис. 3

Таблица

п 1/4 1/3 1/2 2/3 1 2 4 ОО

Г0(п) 0,0056 0,0325 0,160 0,325 0,607 1 1,189 1,284

Введем понятие эквивалентного радиуса, помещая центр окружности с этим радиусом в точку 1 (х = у = 0) и считая, что поле трансверсаль-

ных скоростей индуцируется одним вихрем, расположенным в этой точке. Вычислим значение Я из условия, что половина суммарной кинетической энергии (2) равна кинетической энергии, сосредоточенной внутри построенной окружности (имея в виду, что вторая половина энергии (2) сосредоточена внутри аналогичной окружности с центром в точке 2 ^ ^

(х = — , у = 0)). Отсюда, используя безразмерное значение Я = —, легко 2 Ь

получить соотношение

о

11 з , 77 -

г г с1г 11 +Гу

= " 5^2 =^(!п—=—

'V

л-

0(Г2+^2)2

Г. 2 {Я2+Т2)

711п

Яе

-1/2

■ = 711п

0,607

откуда следует, что

Я=0,607е2 =1. Действительно, при Я = 1, получим

(27)

(28)

т. е. первые три члена разложений (7) и (28) совпадают. Приближенные и точные результаты расчета сравниваются в табл. 2.

Таблица 2

ГУ 1 0,316 0,1 0,0316 0,01

Ф-ла (6) 0,4575 2,3767 5,6953 9,2830 12,8971

Ф-ла (26) 0,3034 2,3386 5,6942 9,2830 12,8971

Используя аналогичные рассуждения, выпишем соотношения для определения Я(п) в случае и ^ 1:

Я(п) з,

f(rv,n) = J(R(n),n,rv) = n | -------—-—-

° (г2п+гу2пу

(29)

Численные расчеты позволяют убедиться, что для всех п при достаточно малых справедливо соотношение

Л(л) = 1.

(30)

В подтверждение к этому на рис.1 штриховыми линиями изображены зависимости /(1, п, гу), а сплошные линии соответствуют результатам расчета по формуле типа (3). Как видно, при гу <0,1 совпадение является: практически полным.

Гу =0,1

а -0,9 " -0,7 -0,3 0 0,5 1 2

(3) 10,73 8,998 6,769 5,695 4,456 3,634 2,606

(29) 10,74 9,007 6,778 5,694 4,459 3,632 2,592

а -0,9 -0,7 -0,3 0 0,5 1 2

(3) 18,48 16,62 14,14 12,90 11,38 10,31 8,823

(29) 18,49 16,63 14,15 12,90 11,39 10,32 8,832

Отмеченная закономерность сохраняется и для второго варианта распределения трансверсальных скоростей (см. рис. 2, б)\

Гу + аГуГ + г

2 ’

(31)

где а определяет отношение циркуляции

2пГуУг(Гу)_ 1

ц,=-

2 +а

(32)

Результаты расчетов на основе вычисления интегралов вида (3) и (29) для случаев гу = 0,1, гу = 0,01, - 0,9 < й < 2 также практически совпали (табл. 3). В данном случае при малых гу интеграл типа (29) может быть вычислен аналитически и представлен в виде

го (я)

J(l,a,Гy) = nln-¥Z;

(33)

где

2-а2 а(6-а ) п

г0 О*) *------г---------2~ТГ2 ^ " аГС^

4-а2 (4-а ) 2

В ряде случаев информация о распределении трансверсальных скоро-

стей ограничивается заданием значения Гу =

Г(!у)

. Учитывая, что при

малых Гу справедлива формула

/0У)«7Г1П-^,

Гу

построим зависимости г0 (Гу), соответствующие распределениям (22) и (31), и убедимся, что они не очень сильно отличаются друг от друга при Гу <0,6 (рис. 4). При Гу >0,6, а < 0 распределению (31) отвечает изменение знака завихренности на больших расстояниях от центра вихря (см., напримерД5]).

Рис. 4

Еще один классический вариант распределения трансверсальных скоростей ([3]) описывается формулой

р[-и5650^Й (36)

2л г

и отвечает условию

Г„= 0,715. (37)

Соответствующая точка на рис. 4 располагается по результатам расчета вблизи кривой для распределения (22).

Все это позволяет сформулировать гипотетическое правило для оценки кинетической энергий вихревого поля за самолетом (в условиях, когда вихревая пелена успела свернуться в два вихревых шнура).

Кинетическая энергия поля, порождаемая двумя вихревыми шнурами, приближенно определяется удвоенной кинетической энергией, сосредоточенной в поле одного вихревого шнура в пределах окружности, радиус которой равен расстоянию между шнурами.

Использование этого правила существенно упрощает оценку кинетической энергии поля (вычисление интеграла вида (29) на порядок проще, чем вычисление интеграла вида (3)) и в ряде случаев открывает возможности к аналитическому определению радиуса вихревого ядра.

Так, интеграл (29) выражается через гипергеометрическую функцию:

пР(21п,21п-,\ + 21п\-\1г*п) 4 л,4

7(1, п, гг)--

(38)

которой соответствуют первые члены ряда

1 2 г2п (2~¥п'\г^п

Л\,п,гу)*к{-\пгу + —[ф(1)-ф(-)] + -^------------- У

2 п

Ап

где ф (г) ■-

Г(£)

Г(2)

— логарифмическая производная гамма-функциии,

2 1

которая для целых к = — выражается в виде ф(&) = V----0,5772 .

п \У

.Н у

Можно предположить, что, по аналогии со случаем п = 1, первые три члена разложения интеграла типа (3) совпадают с (39).

Приведенные выше примеры относятся к случаям, когда распределения трансверсальной скорости являются достаточно гладкими функциями. Очевидно, что применение сформулированного правила приведет к ухудшению точности оценки кинетической энергии системы двух вихрей, если распределение, индуцируемое одним вихрем, не является гладким. Пример задания негладкой структуры (непрерывная функция, содержащая изломы) приведен в [7]. Поэтому были предприняты попытки воспроизвести, хотя бы в качественном отношении, подобное распределение и сравнить Точные и приближенные оценки кинетической энергии, вычисляя интегралы (3) и

(29). На рис. 5 изображены два варианта таких семейств, соответствующих случаю гу =0,1, а в табл. 4 приведено сопоставление точных и приближенных оценок. Как видно, расхождение становится различимым, но остается малым.

Таблица 4

/(0,1)

Негладкое распределение 1

Кривая 1 2 3 4 5

(3) 6,98 7,61 8,54 9,97 12,44

(26) 6,98 7,60 8,51 9,90 12,27

Негладкое распределение 2

Кривая 1 2 3 4 5

(3) 10,17 11,02 12,24 14,11 17,27

(26) 10,16 10,99 12,16 13,94 16,93

2ъУт/Г

т

0,8 Рис. 5

1,2

Для того чтобы проследить за влиянием формы распределения циркуляции по размаху крыла на некоторые характеристики вихревого следа, были рассмотрены восемь вариантов такого распределения, которые описываются следующими формулами (в безразмерном виде, на полукрыле единичной длины):

7-уО) = л/Т-Л 2-{\-2\3-(\-г2), 4-(1-г3), 5-( 1-г4), б — (1 + 0,4г2 -1,4г4), 7-(1 + 0,8г2 -1,8г4), 8-( 1 + 2г2-Зг4),

(40)

76)

/,2

4*

0,4-

1 X 8.

Х/1

’<■*

• ” 4

0,2

0,4- 0,6

Рис. 6

(см. рис. 6).

Отметим, что треугольному распределению циркуляции (40, (2)) формально соответствует бесконечная величина скоса потока в корневом сечении, поэтому данный случай можно рассматривать, как предельный случай для распределений циркуляции, близких к треугольному.

Результаты расчета ряда параметров, характеризующих вихревой след, приведены в табл. 5. В первой строке таблицы указаны типы распределения (40). Во второй и третьей строках приведены значения Ь/1 = Ь и 1 + е. Далее приведены величины, пропорциональные радиусу вихря и максимальной скорости вблизи вихря, соответствующие трем значениям и в распределении типа (22). Последние три строки определяют коэффициенты пропорциональности для таких важных параметров, как упомянутые — ——1 —2 5

выше Уу =Ь — скорость снижения пары вихрей и т = Ь ’ — среднее

время до разрушения пары вихрей (образования вихревых колец), обусловленного эффектом синусоидальной неустойчивости Кроу, а также

г-1 Г — 1

ГуГу = о = о — скорость возрастания квадрата радиуса ядра и ло-

гарифмический декремент затухания циркуляции под действием атмосферной турбулентности. Соотношения, относящиеся к последним двум параметрам, не являются очевидными или бесспорными. Можно сослаться на то, что, согласно наиболее простым моделям турбулентной вязкости ([3]), эффективный кинематический коэффициент турбулентной вязкости, определяющий скорость возрастания квадрата радиуса ядра, пропорционален циркуляции, которая, в свою очередь, обратно пропорциональна значению Ъ . Затухание циркуляции в соответствии с формулой (21) также не имеет четко выраженного смысла, поскольку эта циркуляция определяется интегралом от трансверсальной скорости по замкнутому контуру, расположенному как бы на бесконечно большом расстоянии от центра вихря. В то же Время на конечном расстоянии от центра вихря расположен другой вихрь противоположного знака.

Таблица 5

Тип распределения 1 2 3 4 5 6 7 8

ь, Г-1 0,785 0,5 0,667 .0,75 0,8 0,853 0,907 1.067

1+8 1 1,386 1,125 1,061 1,019 1,087 1,154 1,359

п = 2 Гу // ,0666 ,125 ,0903 ,0689 ,0555 ,0402 ,0267 ,0140

1 ,0404 ,0759 ,0548 ,0418 ,0337 ,0244 ,0163 ,0085

2/3 ,0217 ,0408 ,0294 ,0225 ,0181 ,0131 ,0087 ,0046

п = 2 Vт 2,15 1,81 1,87 2,18 2,53 3,28 4,62 7,50

1 2,51 2,11 2,18 2,54 . 2,95 3,82 5/38 8,74

2/3 3,30 2,78 2,87 3,34 3,88 5,03 7,08 11,50

0,258 0,637 0,358 0,283 0,249 0,219 0,194 0,140

T 0,546 0,177 0,363 0,487 0,572 0,672 0,783 1,176

rvrv, -Г/Г 1,273 2 1,5 1,333 1,25 1,172 1,103 0,937

Единственным исключением, свидетельствующим о недостатках треугольного распределения циркуляции, в этом сравнительном перечне является максимальная (при равном весе и скорости) величина циркуляции вихря, обратно пропорциональная расстоянию между вихревыми шнурами (вторая строка таблицы), возрастание которой может оказать более существенное влияние на момент крена, действующий на следующий самолет, чем уменьшение радиуса ядра, если размах крыла этого самолета намного превышает радиус.

Тем не менее, все же представленные результаты в целом свидетельствуют о преимуществе треугольного распределения циркуляции и о плохих последствиях распределения с повышенной загрузкой концевых сечений крыла.

Полученные оценки радиуса ядра относятся к ближнему следу (на расстоянии порядка 10 размахов за самолетом, где кинетическая энергия не успевает заметно уменьшиться под действием молекулярной и турбулентной вязкости). Из классических монографий, в которых используется подобный подход, можно отметить книгу [8]. В ней рассмотрен случай вихря Рэнкина (и = оо для распределения типа (22)) при эллиптическом распределении циркуляции, причем результаты расчета радиуса ядра совпали с результатами, полученными в данной статье. В то же время эти оценки могут быть подвергнуты сомнению, если распределение циркуляции является изрезанным, например, в случае конфигурации самолета с отклоненными закрылками. Тогда, очевидно, возникает система вихрей разного знака, которые после слияния вихрей частично компенсируют друг друга, при этом исчезает и часть кинетической энергии вращательного движения, а работа силы индуктивного сопротивления тратится на нагревание воздушной среды. Потери кинетической энергии в подобных случаях вполне ощутимы и могут, по некоторым оценкам, составить 10—30%.

Работа выполнена при поддержке Международного научно-технического Центра (проект 1018).

Автор благодарит профессора М. Ф. Притуло за полезные замечания и обсуждение работы.

ЛИТЕРАТУРА

1. Rossow V. Vortex structures and span loadings from alleviated wake measurements//AIAA Paper 97-2262.

2. McCormick B. Wake turbulence: its creation, decay and threat to aircraft. International Conference Proceedings.— Zhukovsky, Russia. —1993.

3. Лойця некий Jl. Г. Механика жидкости и газа.— М.; Наука.—

1978.

4. Crow S., Bate Е. Lifespan of trailing vortices in a turbulent atmosphere// J.Aircraft.— 1976. Vol. 13, № 7.

5.Sarpkaya T. Decay of wake vortices of large aircraft// AIAA J.—1998. Vol 36, № 9.

6. Stuever R., Greene G. An analysis of relative wake-vortex hazards for typical transport aircraft// AIAA Paper 94-0810.

7. Vicroy D., V ij gen P., Re i m er H., Ga 1 legos J., S p al art P. Recent NASA wake-vortex flight tests, flow-physics database and wake-development analysis.— Proceedings of World Aviation Congress, Anaheim, USA.—1998.

8. Milne-Thomson L. Theoretical Aerodynamics.— London, Macmillan and Co.— 1948, (11—7, p. 206).

Рукопись поступила 9/1111999 г.