Расчет искажения огибающей электромагнитного импульса при его распространении в регулярном волноводе. Основные положения. Ii. Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 537.877

РАСЧЕТ ИСКАЖЕНИЯ ОГИБАЮЩЕЙ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ИМПУЛЬСА ПРИ ЕГО РАСПРОСТРАНЕНИИ В РЕГУЛЯРНОМ ВОЛНОВОДЕ. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ. II.

ЧУМАЧЕНКО С.В.

Обозначим

u - uo = Лид;

еЬАм0

S

= z =---ь

2 A

2

+1;

при этом Ди0 как аргумент ch может принимать положительные и отрицательные значения. Выразим arch через логарифм

Предлагается общая схема решения задачи о расчете искажения огибающей электромагнитного импульса, распространяющегося в регулярном волноводе. При заданных огибающей, несущей частоте входного сигнала и длине волновода с использованием преобразования Фурье выводится общая формула, из которой можно определить искажения огибающей выходного сигнала.

Полагаем, что наибольшая степень, в которую можно возвести число e на ЭВМ, есть S. Исходя из этого, решаем уравнение:

+ Дид = archz = ln|^z + Vz2 -1J , или Ди0 =+ ln^ z + Vz 2 -1 j .

Отсюда получаем нижний предел интегрирования

и = Ид - Ди

и верхний предел интегрирования

юДо sh2(u - ид) _ s shug ch(u - ug)

Обозначим A = . Тогда

shM0

A. sh2 (u - uo) = S ch(u - ug ) .

Учитывая соотношение sh2 (u - ug) = ch2 (u - ug) -1, последнее уравнение перепишем в виде

A. ch2 (u - u0 ) -1 = S ; ch(u - uo ) ;

A • ch2(u - ug) - A = S • ch (u - ug);

A • ch2(u - ug) - S • ch(u - ug) - A = 0 ;

2S

ch2(u - ug)-ch(u - ug)-1 = О .

A

Решаем квадратное уравнение относительно ch(u - ug):

S

[ch (u - uo)]u = — + ^

S_ 2 A

2

+1 .

Выбираем первое значение (со знаком “+” перед корнем)

c

h(u - ug)

А (А 2A vt2A

2

I +1,

так как ch(u - щ) > 1.

u^m — ug + Au

в окрестности седловой точки ug (справа и слева). С учетом обратных переобозначений имеем

( \2

S

п =-------

2 юДо shug

S

1 2 ГОс/д

Ц shu0 ,

+1

Приведем приближенное решение.

В частном случае для короткого входного импульса можно получить приближенное решение, раскладывая в ряд Тейлора подынтегральное выражение в седловой точке.

Запишем интеграл:

/(го) = І ф>/(ю+ю0)2-го>2 - rot

Используя формулу разложения в ряд Тейлора функции

/М =1 x - чУ =

и=О n!

= AXo)(x _ + L2A [x _ Xof...

1) разложим в ряд Тейлора частотный спектр u(ro) в точке юs :

u(u(ros) + utroAго-го^+-1uAAro-ros)2 .

РИ, 2000, № 1

21

Подставим в GO:

О* (0 ~— [ u{ps)e~Rd(a + 2 п J

1 00

+~2~ ju'(®s)e~ (®-®s)d® +

^1

+ — j — u’X^S^_R(ro-ff>S f da .

2tc J 2

О (0 - A +12 + d3 ;

— те

A = 2n tu(asyRd® ;

—TO

— TO

12 = — j^(“sK^^sV® ;

—TO

1 ^ 1

13 = — j -2^'(«S^_R(ro-ros)2d®

2tc J 2

—TO

Найдем и U и u” при ® = ®s :

T

Sin 0e —

=T- 2 '

®S

T ’

2

T T T

™\2 roS — cosraS--sinroS —

T і ° 2 ° 2 ^2

2

) 1 f T f

[»S у J

2f if | f T f . T

' t -)3 j I®S у 1 sin ®S — + 2

“ST)

fk(u) = -^U0 sh^u - Uo)ch"HU - Uo)] =

SHUq

_ ю<^° L(u - u° )ch(u - uq )ch-4u - u°) -shu0 L

- sh2 (u - u° )ch-2 (u - u° )sh (u - u°)] =

_ ю<^° |2s^u -u°)- ch3 (u - u°)ch'2 (u - u°)]; shu° ’

Ire^o) = 0 ;

/Re(u) = [TRe (u)] =

0 [2sh(u - u°) - ch3 (u - u° )ch-2 (u - u°)]

®cto

shu°

Юс^° 2sh(u -u°)- 3sh2(u -u°)ch(u -u°)ch'2(u -u°) shu° L

+ sh3( u

shu

(u - u° )2ch-3 (u - u° )sh(u - u°)]=

— 2sh(u -u°)-3sh2 (u -u°)ch'4u -u°)+

ii. ■

=2(^ T ]

/t®^=-

J T \ T „ . T ]

+ 21 ®S у I cos®S у - 2sin®S у f;

®S = rocchu° -ю° .

2) Разложим в ряд Тейлора степень экспоненты (R(и^-реальную часть)

f - п(,,\_ ®А sh^u - u°)

jre - R\u) ----тт-----г;

shu° ch(w - u°)

Ire = fR^(uo)+./Re(uoXu - uo)+

+у ./Re(uoXu - uo)2 +•••;

fR^(u°) = 0 ;

+ 2sh4 (u - u° )2ch-3 (u - u°)];

fk{u°) = ^u°[2-1 - 3 • 0-1 + 2 • 0 • — = 2^°.;

shu° shu°

fR^{u) ~ R(u) ~ 2'2 (u - u°f (u - u°f .

2 shu°

shu°

3) Раскладываем в ряд Тейлора da : перепишем da в такой форме

da = ac [shu°ch-2(u -u°) + jshuch-2 (u - u°) +

+ jchuth(u -u°)]du ; da(u) «[dro(u°) + d'co(u°)(u -u°) +

+d "co(u°Xu - u°)

du ;

da{u°^ = ac[shu° • 1 + jshu° • 1 + jchu° • ° =

= racshu° • (1 + j);

d ’a(u) = юс [shu°ch-^u - u°) + jshuch-2(u - u°)+ + jchuth(u - u°)] =

= ac [- 2shu° ch-^u - u° )sh(u - u°) +

+ j2chuch-2 (u - u°) - jshu(- 2)ch-^u - u° )s^u - u°) -

c

22

РИ, 2000, № 1

+ jshuth(u -щ)};

d 'co(u0) = ac [О + j2chu0 - 0 + 0 = jrocchu0 d ”a(u) = [d 'co(u)] =

= ac [eshuoch-^u - uo )sh2 (u - uo) - 2shuoch-2 (u - uo)+ + jshuch-2(u - uo)- j6 chuch-3(u - uo)sh(u - uo) +

+ j6shuch-4(u - uo)sh(u - uo) + jchuth(u - uo)]; d”a(u<o) и ac[o - 2shuo - jshuo] = -racshuo -(2 - j); da(u) « {rocshuo • (1 + j + j2rocchuo • (u - uo)+

+-1 rocshuo •(- 2 + j)(u - uo)2 jdu =

= {racshuo

C1+j) _f1 _ j 2 l(u - uo)2

da(u) ~ racshuo

du

(1 + j - j \ j(u - uof

Раскладываем в ряд Тейлора (ю - )da :

(ro(u)-®s)~Мuo)-®s) + (®(uo)~®s)(u -uo) + +1 (®(uo)-®s) (u-uof;

ю! u

(u) = acchu • ch^u - uo) -®o + jrocshuth(u - uo); ю(u^ = rocchuo - ®o = ros;

®(uo)-as=o;

(ro(u) -®s) =®'{u) =

= ac

chu • ch \u - uo)-o + jshuth(u - uo) =

_ ®c _

= ac |shu • ch _1( u - uo) - chu • ch _2(u - uo )sh(u - u^J+ + j[chuth(u - uo) + shu • ch_2(u - uo)]};

(®-®s) =®c [shuo + jshu^ =

lu=uo

= ®cshuo • (1 + j);

(ro(u) -®s) = (®(u) -®s) ] =

= a c jshu • ch_1( u - uo) - chu • ch ~2{u - uo )sh(u - uo)]+

+ j[chuth(u - uo) + shu • ch~2(u - uo)]} =

= roc|-2shu • ch-2 (u - uo)sh(u - uo)+

+ 2chM • ch_3(u -uo)sh2(u - uo)]+

+ j[-2chu • ch~2{u - uo)sh(u - uo) +shuth(u - uo)-- 2shu • (- 2)ch~3(u - uo )sh(u - uo )|;

(®“®s)

u=uo

= j®c 2chuo .

+ j2rocchuo • (u -uo)}du .

Второе слагаемое при интегрировании даст нуль (как нечетная функция на симметричном интервале), поэтому:

(®-®s) -^shuo • (1 + jju - uo)+

12 + — jac 2chM^u - uo) =

= racshuo • (1 + jfu - uo) + jacchuo(u - uo)2 •

Разложим в ряд Тейлора произведение, использовав полученные выше разложения в ряд для каждого сомножителя:

[(®(u) -®s)] • [dro(u)] ~

и [racshuo • (1 + j)u - uo) + jacchuo(u - uo)2]• •[racshuo • (1 + j) + j2rocchu^u - uo)-

-rocshuo ^1 - j ~~ju _ uof du «

« ®2[j2 ■ sh2uo • (u - uo)-- (3 - 3 j )shuochuo (u - uof -

-2ch2uo(u -uJ3 -3 + j-2^Jsh2u^u -uof -

1 + j IshuochMo (u - uof

du .

При интегрировании слагаемые, содержащие (u - uo) (u - uof (в нечетной степени), дадут нуль, а (u - uof

и lu -

слагаемые, содержащие за их малости:

не учитываются из-

(ю-юз) • da и

:-®2shuochu^3 - 3 jfu - uof du • (31)

РИ, 2000, № 1

23

5) Разложение в ряд Тейлора (a-as )2 da :

[®(U)"®SF ~MU)-“s]^ +

f [(ю(и) ~®S )2] и=ио (u _ ио)+

2[(®(U ~aS fl и=ио (u - иоУ

і a3c [sh3Uo(- 2 + 2j)(u - u° )2 -- 4sh2u°chu°(u - Uo)3 -Uo (l + 2 j)(u - u°)4 JoU .

33

-racsh

ю.

shuo(l + j\u - Uo )+ chuo(u - u^2]2

-®2[sh2uo(1 + j)2(U - U°)2 +

+ 2 j (l + j )shuochuo (u - u°)3 +

+ j2sh2Uo(и - u°)4] =

= ®3 [2 j (l + j) sh3u° (u - uof -- (l + j (2 - 2 j )sh2u°chu° (u - и J3 -- (l + j) shu°ch2u° (u - u°)4 +

+ 2 j2 jsh2u°chu° (u - Uof -- j{2 - 2 j) shu°ch2u° (u - u° )4 -

- j 2ch3Uo (и - и J5 - 2 j|l - j -2 j sh3Uo (и - и J4 + + (2 - 2 j)(^l - j-jj sh2uochM^u - Uo)5 +

+ ^l - j-lj shu°ch2u° (u - Uo)6

Учтем первое слагаемое в разложении, а остальные опускаем по ранее высказанным соображениям:

Второе слагаемое, содержащее (и - Uof, при интегрировании обращается в нуль, как интеграл от нечетной функции на симметричном интервале, третье слагаемое не учитываем ввиду его малости:

(ю -Ю£ )2 da и -2®3sh3Uo(l - j)(u - Uof du • Приведем второй способ решения.

Разложим в ряд Тейлора (ю(и) - as f da • Используем ранее найденное разложение для [ю(и) - :

[®(и) -®s] ~

» a c [shuo (l + j)(u - Uo )f chuo (u - u° )2^| • Возведем в квадрат правую часть последнего:

(ю -as)2 da « ro^2 j -2)sh3u°(u - Uof du 1

« -2ra3(l - j)sh3u° (u - Uo)2du •

6) Сформируем первый интеграл:

l x -В&( и-и°?

Il = 2tt ^^sf ShU0 dro~

(32)

l « _^q(u_u°)2

^U^s) Je shUo '

{j2rocchu°(u - Uo)+

+ rocshu°

Iі + j - j \ j(U - Uof

du =

“ -^(и-о)2

l ----—uo J

—u(as) I" e s U° j2acchu°{u - Uo)du

2n J

“ -5ct°(u-u^2

1 ^------\U—U° J

— ^®^ je shU° ®cshu° •

Iі+j -j \ j(u - u°f

du =

l a> _£У°(и-и°)2

—u(as)j2acchu° f e s и° (и -u°)d(u -u°) +

2n J

l x ^£sUl(u-u0Y

—u(as)rocshu°(l + j) f e shu° d{u - u°)+

> TT J

2%

+2- U(®sT^cShuo0 - j-2j-

“ -¥°(U-U^P

f

shu

Итак,

o

“ -“VuJP

(u - Uo)2d(u - u°) .

Il =1

shu

q = j e ~~"° (и - и° щи-

поскольку функция нечетная и интеграл на симметричном интервале от нее равен нулю.

® -^(и-и°)2

I2 =Je shu° d(u -u°) =

(и - u°)d(u -и°) = 0 •

2>/л _ fshU°

<Vo \®J° •

---- ?

shu°

e

2

24

РИ, 2000, № 1

® -^°(„-„°)2

/3 = I e shu° (u - u°)2 d(u - u°)

1 shu° shu°

2 ®Д° V юДо

Таким образом,

^1 = -1 u(ros)j2rocchu° • /1 +

2л

+ — u(rns )®cshu°(1 + j) •12 + 2л

1

+ — 2л

m(®s)®cShM° 11 - j

1

2

•13 -

• [- 2rocsh3u°(1 - j^u ~ u°f d = = -2-2m"(®sK^ol1 - j)•

2n 2

® -^{u-u°Y

• J e shu° (u - u°)2 du =

—TO

= -~dM”(®s К^цД1 - j)• 24b

2л 2

или

2л

shu° J fshu°

®ct0 V ®ct0

- shu° п |shu°

юДо Vroct°

2л

то есть

i-OcS^oV^Мas) І1 + j) - 1^ - j \j

=~®cshu°4n -JShu°u(®s)•

2л

®c^0

(1+j - 2 (1 - j 1

1 )shu°

2 I 2 J(Vo

Для второго интеграла имеем:

1 ^

^2 = — j u\^s)e (ro-®s)dra =

In J

—то

! <» —^ct0 (m-m°)2

= 2- U^) j e shu° .

—TO

[- ro2shu°chu^3 - 3 j)](u - u°)2 du = = - -1 u^ffls )ro2shu°chuo(3 - 3 j) •

•21

shu.

(u - Mq)2 du =

= --2M^®s KshMochuo(3 - 3 j)• l^hM° .

2 2 юДо V юД°

Или окончательно:

32 =-2U'(®S)®cshM0chMo(3 - 3j)• -1л/л

2 2 ЮJo] act0

Для третьего интеграла получаем:

З3 = 2- J -2m"(®s):(ю-fflsFdro =

2л J 2

—TO

e

_

2л 2

TO

"Ы j

e

—TO

shu°

-(u-u°)2

Просуммировав , 32 , 33, получим G*(t): G »3[ + 32 +З3 =

= — 2л

^u("S {(1+j) - І l1 -j І)

»2shu0chM0ut»^3 - 3 j) +

2л 2 юД° V roct°

(- 1 „/■ \ 3,3 л .\ л/л shu° [shUo

+ u \as Ksh3u°(1 - j)• 01 0

2 ®ct0

2tc

= 2^ shu 0 4к -I ^hu° U и^) •

®ct°

(1♦j) - 1^ |1 - j 1

2 ®ct0

-1 u'(®s KchMo shu°(3 - 3/)

®ct°

-2 w(as - j)}.

2 ЮД° J

Окончательный результат для G^^ получается при

подстановке , u'fas) и м”(ю^. Модуль G*(t)

дает огибающую выходного импульса.

Литература: 1. Pregla R. Numerische Berechnung der Impulsverformung im Hohlleiter. A.E.U. 18. 1964. S.594-600. 2. Чумаченко ff.A. Распространение электромагнитных импульсов в Н-образном волноводе. Вестник ХГУ. №273. 1985. С.49-51. 3. Чумаченко С.В. Расчет искажения огибающей электромагнитного импульса при его распространении в регулярном волноводе. Основные положения. I. // Радиоэлектроника и информатика. 1999. №4. С. 10-12.

Поступила в редколлегию 15.03.2000

Рецензент: д-р техн. наук, проф. Руженцев И.В.

Чумаченко Светлана Викторовна, канд. физ.-мат. наук, ассистент кафедры АПВТ ХТУРЭ. Научные интересы: методы решения внутренних граничных задач со сложными граничными условиями, теория электромагнитных полей во временной области. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. 40-93-26.

РИ, 2000, № 1

25