CC BY
29
УДК 537.877
РАСЧЕТ ИСКАЖЕНИЯ ОГИБАЮЩЕЙ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ИМПУЛЬСА ПРИ ЕГО РАСПРОСТРАНЕНИИ В РЕГУЛЯРНОМ ВОЛНОВОДЕ. IV
ЧУМАЧЕНКО С.В.______________________
Предлагается решение задачи о распространении электромагнитного импульса по круглому волноводу с произвольной огибающей [1-5]. Используемый математический метод — интегральное преобразование Фурье. Рассматривается случай заданного распределения электромагнитного поля в пространстве.
1. Зависимость эффективной ширины огибающей импульса от параметров задачи
Из формулы (3) легко усмотреть, что влияние дисперсионных свойств линии передачи за фиксированный отрезок времени тем сильнее, чем более узкий исходный импульс. Для очень больших промежутков времени эффективная ширина огибающей будет линейно зависеть от времени.
2. Распространение частотно-модулированных импульсов в регулярном волноводе
Участок волновода длиной l будем рассматривать как четырехполюсник, передаточная функция которого имеет вид [1-3]
А(ю) = exp(-itQy/ю2 -ю^), (4)
где to = l / c; c — скорость света; ю — частота
электромагнитного поля; юc — критическая частота волновода.
Пусть на вход волновода подается частотно-моду-лированный импульс с гауссовой огибающей:
В [5, с.28] была получена формула, определяющая потенциал Г ерца электромагнитного поля в виде
П(г, z,t) = -2 Re
exp [—(z - va2hpt)2 / 21? (1+ia2vt / L2)]
д/і + (ia2vt /1?)
22
x exp[iho z - iv(1 + ho a /2)t] + (1)
i exp[-(z + va2hot)2 /2L2(1 + ia2vt/1?)]
H x
■\jl + (ia 2 vt / L2)
2 2 I r
x exp[-ihoz - iv(1 + h0 a / 2)t] Jo (p,on ~) .
Правая часть (1) описывает два импульса, движущихся во встречных направлениях. Максимумы амплитуд каждого импульса распространяются с групповой скоростью [5]:
о о то
E(t) = Eoexp(-t2/2T2)exp[i(raot +—t2)]. (5)
Введем в рассмотрение спектр импульсного сигнала, который зададим выражением:
ГО
E (ю) = J E(t)exp(-irat)dt =
—да
= EoT
Г 2д ' 1/2 (ra — ^o)2 T2
v 1 - imT2 j 2(1 - imT 2)
. (5а)
Сигнал на выходе волновода представим в виде:
+да
2%
1 +да
E (t, L) = — J E (ra)exp[-ih(ra)L]exp[iraL]dra (g)
dro(h)
V гР dh
h=ho
= c
ho a
1
^on ^1 + hoa2/p2 (2)
*o“ on
при этом форма огибающей каждого из импульсов остается гауссовой.
Но сохранение формы кривой не несет никакой информации о зависимости ширины гауссовой кривой от времени. Чтобы установить эту зависимость, введем в рассмотрение эффективную ширину огибающей импульса [6]:
L(t)
2
-|1/2
L
ac
В onL
(3)
В (3) приняты обозначения: L — начальная полуширина импульса, a — радиус волновода; c — скорость света в свободном пространстве; ц on — один из корней уравнения J(цon) = o, n = 1,2,3,.... 18
где
1 I 2
h(ra) = — y/a -ю;
(6а)
2.1. Первый способ вычисления интеграла (6) Разложим постоянную распространения h(ra) импульса в волноводе в ряд Тейлора в точке ю o так, как это было сделано для частотного спектра в [4]:
h(ra) = h(®o) + (ra-®o)h,(®o)'
(®-®o) ,,
2!
h”((ao) + •••
(6б)
Удержим в этом разложении слагаемые в степени не выше второй:
h(ra) = h(®o) + A(a - ®o) + В(ю -oo)2 , (6в)
РИ, 2000, № 4
где Л - h(®°) - 2 > c 2 h(ra°) (6г)
2 B = h>°) = т^З . 2c4h3 (ra°) (6д)
Подставляя (5а) и (6г) в (6), получаем
і +&
E(t,L) =— J Е°Т 2%
2к
\
1/2
1 - imT
2
exp
(га —га°)2Т 2 2(1 - imT2)
I3 (t, L)
® в1
J F$(®) F6(q)Jq
ш
c
(10г)
ю в 1 - _ю 0 Юв 2 = Ю°
F (га) = exp і
(о
t°v ®
2
+ y42(1+m2Т4) ,
+ 1Т3Л/2(1+m2Т4),
1^2 _fflt_ mT4(ю+ю°)2
2(1 + m2T 4)
>
2
х exp{-iL[h(ra°) + Л(га - га°) + B(ra -га°) ]}exp |irat]dra.
(7)
Интерграл (7) вычислен в [7] и имеет вид
( _ V
E(t, L) = Em exp
1 -1 — tan
2
- 2 BL
Т 2(1 + 2mBL)
х exp[irax + ra°AL-Lh(a°) + mmx2 /2]exp[-x2 /2^}
(8)
где x = t - AL , а выражения для Em , Tm и mm приведены в [7, с. 463 формулы (4b), (4c), (4d)]. 2.2. Второй способ вычисления интеграла (6)
Поскольку в разложении (6в) в первом способе вычисления интеграла (6) отброшены слагаемые степени выше третьей, это накладывает определенные ограничения на точность вычисления выходного сигнала. Предлагается второй способ вычисления интеграла (6), точность которого определяется точностью вычисления на ЭВМ числа exp(N). В своих расчетах мы приняли N = 169 .
Подставим в (6) спектр входного сигнала (5а) и постоянную распространения (6а). В результате для выходного сигнала получим выражение:
EBbIX (t,L) _ 2 e°T, 2%
2%
1 - imT 22
2
С L j~2 2 (ю-га°) Т , ■ t
I exp - і—у/a -ac--------------h mt
2(1 - imT2)
da
.(9)
Выходной сигнал (9) можно записать в виде
Евых (t, L) = B[Il (t, L) +12 (t, L) +1 з (t, L)], (10) где приняты следующие обозначения:
B = E°W 1 + imT2 /^2я(1 + m2Т4) , (10а)
® в1
I\(t,L) = JЕ1(ю)F2(ra)d® , (10б)
F2(ro) = exp - (ra + га°)2Т2 /2(1 + m2T4)
Е3 (ra) = expt i
rat -
mT4(ra - ra°)2 2(1 + m 2T 4)
Е4 (ra) = exp
- ra
Т 2 (ra — ra °)2 2(1 + m 2T 4)
Е5 (ra) = exp( i
at -1°
mT4(ra -ra°)2 2(1 + m 2T 4) Г
Еб(га) = exp - (га - ra°)2Т2
/2(1 + m2T4) .
Выходной интеграл в форме (10) на первый взгляд имеет более сложную структуру по сравнению с формулой (8). Однако в сигнал в виде (8) постоянная распространения входила в форме (6в), что существенно снижало точность ожидаемых расчетов. В сигнале (10) это ограничение снято полностью и поэтому точность ожидаемых расчетов существенно повышается.
Литература: 1. Pregla R Numerische Berechnung der Impulsverformung im Hohlleiter. A.E.U. 18. 1964. S.594-600. 2. Чумаченко ff.A. Распространение электромагнитных импульсов в Н-образном волноводе // Вестник ХГУ. №273. 1985. С.49-51. 3. Чумаченко С.В. Расчет искажения огибающей электромагнитного импульса при его распространении в регулярном волноводе. Основные положения. I. // Радиоэлектроника и информатика. 1999. №4. С. 10-12. 4. Чумаченко С.В. Расчет искажения огибающей электромагнитного импульса при его распространении в регулярном волноводе. Основные положения. II // Радиоэлектроника и информатика. 2000. №1. С.21-25. 5. Чумаченко С.В. Расчет искажения огибающей электромагнитного импульса при его распространении в регулярном волноводе. III. // Радиоэлектроника и информатика. 2000. №2. С.25-28. 6. Джексон Дж. Классическая электродинамика. М.: Мир, 1965. 702с. 7. Charkravarti A.K., Gautama G.D., Rattan I. Proragation of frequency-modulated pulses in waveguides // Int. J. Electronics, 1974. Vol.36, №4. P. 461464.
Поступила в редколлегию 12.10.2000 Рецензент: д-р техн. наук, проф. Руженцев И.В.
12 (t, L)
J Е3 (га) Е4 (ra)dra
—а.
Чумаченко Светлана Викторовна, канд. физ.-мат. наук, старший преподаватель кафедры АПВТ ХТУРЭ. Науч-
(10в)
ные интересы: математическая физика. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. 40-93-26.
РИ, 2000, № 4
19
