CC BY
217
мых требований, таких как сопоставимость, интерпретируемость и вычислимость [1]. Сопоставимость обеспечивают следующие положения: безразмер-ностьпоказателя (свойство 1 эластичности); инвариантность относительно модели вычислений (утверждение 1, следствие 1), ведь переход от одной модели вычислений к другой меняет вычислительную сложность алгоритма лишь полиномиальным образом. Это вполне отвечает традиции измерять вычислительную сложность алгоритма с точностью до 0( 1) и сопоставлять алгоритмы с точностью до полинома [ 1 — 3]. Эластичность имеет отчетливую интерпретацию: если /(х) — функция вычислительной сложности алгоритма, то это означает, что при повышении значения х (размерности задачи) на один процент значение f (время выполнения алгоритма) увеличивается приблизительно на £х(/) процентов. Свойства эластичности позволяют без особого труда вычислять ее для большинства функций и определять сложностный класс исследуемого алгоритма.
Представленные в работе результаты (формальное выделение классов ^-функций, утверждения 1 и 2, леммы 1 — б, теорема о классификации ^-функций, следствия 1 — 4) дают простой и удобный инструмент анализа алгоритмов для специалистов в области теоретической информатики и программной инженерии.
Библиографический список
1. Юдин, Д. Б. Математики измеряют сложность / Д. Б. Юдин, А. Д. Юдин. — М. : Книжный дом «Либроком», 2009. — 192 с.
2. Василенко, О. Н. Теоретико-числовые алгоритмы в криптографии / О. Н. Василенко. - М.: МЦНМО, 2006. - 336 с.
3. Головешкин, В. А. Метод классификации вычислительных алгоритмов по сложности на основе угловой меры асимптотического роста функций / В. А. Головешкин, М. В. Ульянов // Вычислительные технологии. — 2006. — Т. 11. — № 1. — С. 52-62.
4. Грэхем, Р. Конкретная математика / Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Поташник. — М.: Мир; Бином. Лаборатория знаний, 2006. — 703 с.
5. Замков, О. О. Математические методы в экономике / О. О. Замков, А. В. Толстопятенко, Ю. Н. Черемных - М.: Издательство «Дело и Сервис», 2009. — 384 с.
БЫКОВА Валентина Владимировна, кандидат технических наук, доцент (Россия), профессор кафедры вычислительных и информационных технологий Института математики Сибирского федерального университета.
Адрес для переписки: e-mail: [email protected]
Статья поступила в редакцию 20.09.2010 г. © В. В. Быкова
УДК 621.43.51 7 ю. П. МЛКУШЕВ
Т. Л. ПОЛЯКОВА Л. Ю. МИХАЙЛОВА
Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия,
г. Омск
Омский государственный университет путей сообщения
РАСЧЕТ И АНАЛИЗ ИНДИКАТОРНОЙ ДИАГРАММЫ ДВИГАТЕЛЯ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ_
Рассмотрена методика построения индикаторной диаграммы двигателя с использованием «текущей» величины сжатия и расширения, найдена индикаторная работа двигателя посредством интегрирования. Дан пример построения индикаторной диаграммы и ее анализ, предложена конструкция датчика для определения давления в цилиндре двигателя.
Ключевые слова: степень сжатия, индикаторная работа, интегрирование, индикаторная диаграмма, давление.
Индикаторная диаграмма позволяет определить изменение давления в цилиндре двигателя в зависимости от положения поршня [ 1 ]. Строится по данным теплового расчета, позволяет определить среднее давление, работу, мощность. По максимальному давле-
нию в цилиндре производят расчет на прочность деталей кривошипно-шатунного механизма.
При построении индикаторной диаграммы её масштаб выбирают таким образом, чтобы высота была в 1,2-И,5 раза больше её основания. Объем цилиндра
пропорционален ходу поршня. Длину диаграммы выбирают равной ходу поршня или в два раза больше, если ход поршня малый. Например, ходпоршня 90 мм, выбираем масштаб 2:1 и основание диаграммы Vh (рабочий объем цилиндра) принимаем равным 180 мм.
Выбрав длину основания индикаторной диаграммы в координатахР—У(например, 180 мм), выбираем высоту диаграммы, которая зависит от значения максимального давления сгорания топлива Pz (рис. 1). В нашем примере величина Pz равна 5,4 МПа. Если 1 МПа примем равным отрезку в 40 мм, то высота диаграммы составит 216 мм. Степень сжатия 8 характеризует во сколько раз полный объем цилиндра (при нахождении поршня в НМТ) больше объема камеры сгорания (при нахождении поршня в ВМТ).
Зная степень сжатия е, определим объем камеры сгорания в условных линейных единицах по формуле:
V=Vh/{E-\) = 180/(10- 1) = 20 мм. (1)
При 8=10 полный объем цилиндра в линейных единицах составит:
Va=Ус-е = 20-10 = 200 мм. (2)
Для построения индикаторной диаграммы в координатах Р—У из теплового расчета двигателя берут значения давления в конце наполнения Ра (например, 0,08 МПа для двигателя без наддува), давления в конце сжатия Рс, максимальное давление сгорания Pz, давление в конце расширения Рв и давление в конце выпуска отработавших газов Рг (например, 0,12 МПа).
Процесс сжатия протекает политропно (кривая между значениями давления Ра и Рс) и определяется выражением:
где Ртек сж — текущие значения давления на линии сжатия; етек — текущее значение величины сжатия в цилиндре при различных положениях поршня (в нашем примере Етек изменяется от 1 до 10); п 1 — среднее значение политропы сжатия для бензиновых двигателей 1,3-1,37.
Величина етек зависит от полного объема цилиндра Уа, текущего объема сжатого воздуха перед поршнем Утек и определяется выражением
8 = У/У . (4)
тек а тек 1 '
Для положения поршня в цилиндре 1,2,3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 (рис. 1) текущая величина сжатия гтек равна 1 (10/10); 1,11 (10/9); 1,25(10/8); 1,42(10/7); 1*66(10/6); 2,0 (10/5); 2,5 (10/4); 3,3 (10/3); 5,0 (10/2); 10 (10/1).
Давление в конце такта сжатия Рс определим по формуле:
Рс = Ра-га1. (5)
В нашем примере Рс. = 0,08-101,35 = 1,8 МПа. Значение Рс для бензиновых двигателей достигает давления, равного 1,5-5-2,0 МПа.
В конце процесса сжатия горючая смесь, состоящая примерно из 15 частей воздуха и 1 части распыленного топлива (бензина), воспламеняется при помощи искры и фронт пламени распространяется по объему камеры сгорания со скоростью 40-60 м/с. Температура в процессе сгорания достигает 2000-2100 К, а давление — 4-6 МПа. Повышение давления при сгорании X = Р/Рс зависит от степени сжатия, угла
Р
МПа
Рис. 1. Теоретическая индикаторная диаграмма бензинового двигателя
опережения зажигания, частоты вращения и может достигать значения, равного 3+4. В нашем примере
В процессе расширения (объем увеличивается) совершается работа давлением газов (такт расширения, поршень движется от ВМТ к НМТ). Давление газов снижается и в конце расширения достигает значения Рв = 0,3+0,5 МПа. Давление в конце расширения определяется по формуле Р=Р/£п2. Промежуточные значения давления на линии расширения находим из выражения.
р = р /5"2 (б)
тек. рас г тек ' 1 '
где п2 — показатель политропы расширения, равный для бензиновых двигателей 1,25+1,30; 5тек — текущая степень расширения.
В некоторых учебных пособиях величину Ртек определяют по формуле
Р = Р -8л2 , (7)
тек. рас в тек.' у '
что может привести к ошибкам в расчетах. Так, при §я,ек = 5 по формуле 6 Ртекрас = 0,73 МПа, а по формуле 7 — 2,24 МПа.
Для построения линий сжатия и расширения индикаторной диаграммы по формулам (3) и (6) делаем вычисления и заносим их в табл. 1. Затем в соответствующем масштабе откладываем точки на линии сжатия и расширения.
Для определения индикаторных показателей — работы сжатия, расширения, индикаторной работы, среднего индикаторного давления на участках диаграммы 1-2, 2-3, 3-4, 4-5, 5-6, 6-7, 7-8, 8-9, 9-10 сначала определяем работу сжатия по формуле:
^тек,Ж=ЬРтек.сж&У Н-М, (8)
где АРтек сж — среднее текущее значение давления на расчетном участке диаграммы; А V — объем цилиндра на расчетном участке.
На участке 1-2 (рис. 1,табл. 1) величина АРшек сж = = (0,08 + 0,09)/2 = 0,085 МПа, или 0,085-106Н/мМТри
Таблица 1
Расчетные данные для построения линии сжатия и расширения
Участок диаграммы Линия сжатия Линия расширения
е"'тек Ртексж- МПа 8п2тек Р,екр.С МПа
1 1,0 0,08 (Ра) 1,0 5,4 (Рг)
2 1,137 0,09 2,38 2,27
3 1,35 0,108 3,94 1,37
4 1,60 0,128 5,6 0,96
5 1,98 0,158 7,47 0,73
6 2,55 0,20 9,4 0,57
7 3,44 0,275 11,4 0,47
8 5,0 0,40 13,4 0,4
9 8,78 0,70 15,6 0,35
10 22,4 1,8 (Рс) 17,8 0,30 (Рв)
Таблица 2
Определение индикаторной работы
Номер участка диаграммы Работа сжатия, Дж Работа расширения, Дж Индикаторная работа, Дж Суммарная работа, Дж
1-2 4,25 16,25 12,0
2-3 5,0 19,0 13,0 25,0
3-4 6 21 15,0 40,0
4-5 7,0 25,0 18,0 58,0
5-6 9 32 23 81,0
6-7 12 39 27,0 108,0
7-8 16,8 58 41,0 149,0
8-9 28 91 63,0 212,0
9-10 63 195 132,0 344
диаметре цилиндра Э = 8 см и ходе поршня 5 = 9 см рабочий объем цилиндра Уи будет равен:
Уа=71-£)2-5/4=3,14- 82 • 9/4 = 450 см3 = = 0,45 л = 4,5-10-4 м3.
(9)
Так как величина рабочего объема цилиндра разделена на 9 частей (шаг расчета), то 1 /9 часть объема А У=0,5- 10~4м3. Для повышения точности расчета диаграмму разделяют на большее число участков.
На рис. 2 показано определение работы по величине среднего давления газов АР на участке изменения объема в цилиндре АV. Подобным способом находим работу расширения газов в цилиндре двигателя на выделенных участках:
АЛ =ДР АУ Н-м.
те к. рас тек. рас 1 '
(10)
Результаты расчетов сводим в табл. 2.
Индикаторная работа на каждом участке равна разности работы расширения и работы сжатия. Суммарная работаА находится путем сложения индикаторной работы каждого участка и составляет 344 Дж (табл. 2).
К такому же результату можно прийти, воспользовавшись понятием определенный интеграл. Вычислим посредством интегрирования работу расширения (Арас) и работу сжатия (Лсж) газов. Индикаторная работа двигателя Л будет определяться выражением А= Ара-Асж.
Разобьем диаграмму (рис. 1) на п участков (в процессе предыдущих вычислений мы разбивали на 9 участков, каждый из которых соответствовал ходу поршня в 1 см). Обозначим АV. — изменение текущего объема над поршнем на ¿-том участке диаграммы, (1 </<л); (Ррас);—текущее значение давления на линии расширения на /-том участке диаграммы. Тогда, по формуле (10): {Арас)= (Р[юс). -АУ. — работа расширения газов в цилиндре на /-том участке диаграммы (рис. 2).
Если число участков диаграммы (п) бесконечно увеличивать таким образом, что максимальное значение АV. стремится к нулю (малому значению), то работа расширения газов в цилиндре (Л ) будет равна
пределу интегральной суммы
п
или опре-
деленному интегралу от функции, определяющую
Н/м*
Рг ч
Р1
ЛУ У,м3
Рис. 2. Участок индикаторной диаграммы и определение работы на нем
Таким образом, для нахождения значений А и А подставим в полученные выражения (13) и (14) значения: У=0,5-10"4 м3, У =5-10-4м3, пу=1,35;п2 = = 1,25; Р2 = 5,4-106 Н/м2; Ра = 0,08-106 Н/м2.
д -
рас ~
_ 5,4 • 106 • (о,5 • 10'4)1,25 1-1,25
• ((5-Ю-4)1"1,25-(0,5ТО"4)1"1'25)« 473 (Н• м); 0,08-106-(5-10"4)135
Агш —
1-1,35
• ((5• Ю-4)1"1,35-(0,5• Ю-4)1'1,35)« 142 (Н ■ м).
работу текущего расширения по йУ [2, с. 261 —262, 278-279]:
Ап
= ]РрасЛУ,
(11)
где Ус<У<Уа, Ус — объем камеры сгорания, Уа — полный объем цилиндра двигателя. Величина Ус определяется по формуле: Ус=Ул/(£ — 1). По формуле (9) Ул = - 4,5-10~4 м3, тогда, при 8=10: Ус=4,5-10~4/9 = 0,5-10 ~4 м3. Величина Уа определяется по формуле: Уа = Ус + У[} = = 0,5-10~4 + 4,5-10~4 = 5-10~4 м3.
Рассуждая аналогично, получим формулу для вычисления А'
Лж = .
(12)
Прежде чем перейти к вычислению интегралов (11) и (12), выразим давление на линии расширения (Р ) и линии сжатия (Рсж) через текущее значение объема, перед поршнем — У. Ранее было показано, что на каждом участке диаграммы (рис. 1) (Ррас)/ = Р2/8^ • При этом текущее значение степени расширения 8тек определяется по формуле: §я}ек=У/У. Подставив полученные выражения в формулу (11), находим А ас:
с Л
Уг тек
-йУ =
V • УЛ'2
- Р - У/'2 •
V-
/а р .V"2 / Ч
1 -л У 0 с / 1 111
(13)
4« = = |Р„ = }?„ --^У =
Ус V,. Ус V
Уа
= Р • Ул
V-
- л, +1
Р„-У/!
1-д
Тогда индикаторная работа двигателя А будет равна:
А=Аряс-Асж = 473-
142 = 331 Н-м.
(15)
Таким образом, результаты расчетов в обоих случаях практически совпадают, погрешность не превышает 4 %.
Отметим, что теоретическая индикаторная диаграмма бензинового двигателя отличается от действительной диаграммы меньшей величиной максимального давления примерно на 15 % (Рд= 0,85 Р2).
У дизельных двигателей подвод теплоты (сгорание топлива) осуществляется смешанным способом — при постоянном объеме (как у бензиновых двигателей) и при постоянном давлении. Степень повышения давления при сгорании А, = Р/Рс у дизелей без наддува лежит в пределах 1,5-2,5, а степень предварительного расширения (У/У.) — 1,2-5-1,5. Степень сжатия у дизелей без наддува лежит в пределах 16-18, ас наддувом — 12-5-16.
На рис. 3 показана верхняя часть индикаторной диаграммы дизельного двигателя. Процесс сгорания от точки Р7 до точки Р2 протекает при постоянном давлении. На этом участке продолжается подача топлива форсункой, и хотя поршень движется к НМТ, давление газов на теоретической индикаторной диаграмме остается постоянным.
Для определения давления в конце расширения дизельных двигателей используют формулу
Р=Р/ 5»2,
(16)
Значение давления на линии сжатия определяется по формуле (3):Рсж=Р0.е'''тек, при этом гтек=Уа/У ~ текущее значение величины сжатия. Тогда по формуле (12) находим А. :
где Рг — величина максимального давления сгорания, МПа; 8= е/рл — степень последующего расширения; рп—степень предварительного расширения (для бензиновых двигателей 1, а дизелей — 1,2-1,4).
Например, 8= 16 , рп= 1,3, тогда 5=12,3. Давление в конце расширения определяем при 5 = 12,3, а текущие значения давления на линии расширения определяем при изменении 5 от 1,3 до 16.
Среднее индикаторное давление находим из выражения:
= = 331/4,5-10-4 =
= 0,74Т06 Н/м2 (0,74 МПа). (17)
Зная Р(., У]}, число цилиндров (и частоту вращения коленчатого вала двигателя пд в мин"1, определим индикаторную мощность двигателя:
(14)
М=РгУ^пд/120 = 0,74Т06-4,5Т0_4-4,5600/120 = 62 кВт.
Рис. 3. Верхняя часть индикаторной диаграммы дизеля: Ус — объем камеры сгорания (сжатия); У2— объем предварительного расширения газа
Механический к.п.д. (т\м) учитывает потери мощности на трение, газообмен и привод вспомогательных механизмов (0,75-Ю,9). Приняв Г|д( = 0,8, определим эффективную (снимаемую с коленчатого вала) мощность по формуле:
N=N.•^ = 62-0,8 = 50 кВт. (19)
Зная ]Уе, определим эффективный крутящий момент на коленчатом валу:
Ме = 9550-Ые/пд = = 9550-50/5600 = 85 Н-м. (20)
Для сравнения результатов расчета необходимо экспериментальное определение изменения давления в цилиндре двигателя. Для измерения давления предлагается датчик, изображенный на рис. 4. Чувствительный элемент 2 состоит из двух мембран, жестко соединенных между собой штоком. В полость датчика подводится охлаждающая жидкость. Датчик записывает изменения давления в зависимости от угла поворота коленчатого вала (развернутую индикаторную диаграмму) при помощи усилителя и осциллографа.
На рис. 5 показана осциллограмма давления газов в цилиндре дизеля, снятая датчиком давления, изображенным на рис. 4. Для полного анализа протекания рабочего процесса на осциллограмме дана отметка времени и приведен ход иглы ЛцГ зафиксированный индуктивным датчиком.
Процесс сгорания топлива у дизеля условно разбивают на 4 фазы (рис. 5): 1) индукционный период (период задержки воспламенения, отточки 1 до точки 2); 2) период резкого нарастания давления (фаза быстрого сгорания, от точки 2 до 3); 3) период основного горения (от точки 3 до 4); 4) период догорания.
Индукционный период начинается от момента впрыска топлива до начала горения. Период резкого нарастания давления наблюдается от начала горения до максимального значения давления в цилиндре. На данном участке определяют жесткость процесса сгорания — отношение приращения давления к градусу поворота вала. Период основного горения продолжается от максимального давления до максимальной температуры в цилиндре двигателя.
По анализу индикаторной диаграммы рабочего процесса можно судить о состоянии поршневой группы и механизма газораспределения [3]. По эталонной I индикаторной диаграмме сравнительным способом
Рис. 4. Тензометрический датчик для измерения давления в цилиндре двигателя: 1 — корпус датчика; 2 — чувствительный элемент; 3 - прокладка уплотняющая; 4 — втулка распорная, разрезанная; 5 — резиновое кольцо; 6 — гайка; 7 — тензометрический элемент рабочий; 8 — компенсатор; 9 — разъем
-4 0 -2 0 ВМТ 20 40
Рис. 5. Осциллограммы изменения хода иглы и давления газов в цилиндре Рг дизеля Д 440 (]Уе=66 кВт, л = 1750 мин1):
1 — действительное начало подачи топлива;
2 — отрыв линии сгорания от линии сжатия
(начало видимого сгорания); 3 — максимальное давление при сгорании топлива; 4 — максимальная температура в цилиндре двигателя
можно определить возможные неисправности двигателя.
Диаграмму сжатия Рс получают без подачи топлива в цилиндр двигателя. По максимальному значению Рс можно определить компрессию в цилиндре в процессе сжатия (утечку заряда). Снижение величины Рс может происходить от прогорания клапана, износа тарелки клапана и ее посадочного седла, износа компрессионных колец и зеркала цилиндра.
По расположению точки 3 (рис. 5) (максимального давления в цилиндре) относительно верхней мертвой точки (ВМТ) можно определить правильность установки опережения подачи топлива. У быстроходных дизелей точка 3 на диаграмме располагается за 5-ь 10° после ВМТ.
В заключение следует отметить: — приведена методика построения индикаторной диаграммы двигателя с использованием «текущей»
величины сжатия и «текущей» степени расширения, определена работа расчетно-графическим методом и путем интегрирования;
— дан пример построения индикаторной диаграммы бензинового двигателя и ее анализ;
— для экспериментального определения давления в цилиндре двигателя предложена конструкция тензометр ического датчика, позволяющая дополнительно определять техническое состояние двигателя.
Библиографический список
1. Автомобильные двигатели [Текст] / Под ред. М. С. Ховаха. — М.: Машиностроение, 1977. — 591 с.
2. Письменный, Д. Т. Конспект лекций по высшей математике : полный курс [Текст] / Д. Т. Письменный. - М. : Айрис-пресс, 2007. - 608 с.
3. Коньков, А. Ю. Средства и метод диагностирования дизелей по индикаторной диаграмме рабочего процесса: моногра-
фия [Текст] / А. Ю. Коньков, В. А. Лашко. - Хабаровск : ДВГУПС, 2007. - 147 с.
МАКУШЕВ Юрий Петрович, кандидат технических наук, доцент (Россия), доцент кафедры «Теплотехника и тепловые двигатели» Сибирской государственной автомобильно-дорожной академии. Адрес для переписки: e-mail: [email protected] ПОЛЯКОВА Татьяна Анатольевна, кандидат педагогических наук, доцент кафедры высшей математики Сибирской государственной автомобильно-дорожной академии.
Адрес для переписки: e-mail: [email protected] МИХАЙЛОВА Лариса Юрьевна, аспирантка кафедры «Локомотивы и подвижной состав» Омского государственного университета путей сообщения. Адрес для переписки: e-mail: [email protected]
Статья поступила в редакцию 14.09.2010 г. © Ю. П. Макушев, Т. А. Полякова, Л. Ю. Михайлова
УДК 681.3.06 в. Н. ЗАДОРОЖНЫЙ
Д. Л. ТУЛУБАЕВ
Омский государственный технический университет
ООО «Востокнефтепровод», г. Братск
МЕТАМОДЕЛЬ СИСТЕМ
ОПЕРАТИВНО-ДИСПЕТЧЕРСКОГО
УПРАВЛЕНИЯ СЛОЖНЫМИ
КРУПНОМАСШТАБНЫМИ
ОРГАНИЗАЦИОННО-ТЕХНИЧЕСКИМИ
ОБЪЕКТАМИ
Предлагается метамодель систем оперативно-диспетчерского управления, представляющая собой «обобщенную» систему массового обслуживания с большим числом классов заявок и с параметрами классов, рассматриваемыми как случайные величины. Выявляются измеримые ключевые характеристики объекта управления, определяющие целесообразность разработки и внедрения приоритетных дисциплин обслуживания.
Ключевые слова: крупномасштабный объект управления, система массового обслуживания, стоимость ожидания, дисциплины обслуживания, оптимальное назначение приоритетов.
Введение
В сложных крупномасштабных объектах управления (ОУ), таких, как электроэнергетические системы, аэродромы, магистральные нефтепроводы, крупные предприятия и организации, суммарный поток сигналов (заявок), обрабатываемых (обслуживаемых) оперативно-диспетчерским персоналом (ОДП), естественно рассматривать как пуассонов-ский поток, и измерения подтверждают правомерность такого подхода [ 1 ]. Однако предположение об экспоненциальном распределении времени обслуживания заявок (имеющем равный единице коэффи-
циент вариации — к.в.) уже не выглядит столь естественным. Сложный крупномасштабный объект порождает множество классов заявок, которые существенно различаются по трудоемкости их обслуживания, интенсивности поступления, потерям, возникающим в результате задержек при обслуживании, и т.д. Разные классы заявок могут характеризоваться разными свойствами времени обслуживания: оно может быть близким к константе, то есть иметь к.в., близкий к нулю, или, в силу наличия разветвлений в алгоритме обработки, иметь к.в., заметно превосходящий единицу. Поэтому, рассматривая далее работу ОДП с позиций теории массового обслуживания, будем
