Расчет характеристики точности в задаче оценивания параметров преобразования координат звезд Текст научной статьи по специальности «Физика»

ANALYSIS OF ADAPTIVE FILTERS IN LINEAR STATIONARY PROBLEM WITH NOISE CHARACTERISTICS

O.A. Stepanov, Liang Qing

The formulation and general solution of adaptive filtering problem using the Baye-sian approach arepresented. The different adaptive algorithms in linear stationary problem withoutthe priori statistical information aboutsystem and measurement noises are provided. The main features of suboptimal algorithms and the relationship with the optimal algorithmare analyzed in detail. The conditions, which ensurethe accuracy of suboptimal algorithms close to the optimalalgorithm are discussed.

Key words: adaptive filter, the unknown noise characteristics, optimal and suboptimal algorithms.

Stepanov Oleg Andreevich, doctor of technical sciences, professor, Head of the Research and Education Center of JSC "Concern CSRI Elektropribor ", soalaxamail. ru, Russia, St. Petersburg, ITMO University,

Liang Qing, postgraduate, liangqingl688@gmail. com, Russia, St. Petersburg, ITMO University

УДК 528.5

РАСЧЕТ ХАРАКТЕРИСТИКИ ТОЧНОСТИ В ЗАДАЧЕ ОЦЕНИВАНИЯ ПАРАМЕТРОВ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КООРДИНАТ

ЗВЕЗД

В.В. Цодокова, А.В. Моторин

Применительно к задаче определения астрономических координат автоматизированным зенитным телескопом исследован вопрос точности оценивания параметров преобразования координат энергетических центров изображений звезд в стандартные координаты. Показано, что расчетная характеристика точности оценивания этих параметров может отличаться от действительной в случае использования для решения традиционного метода наименьших квадратов, не учитывающего погрешности определения координат энергетических центров изображений звезд. Предложены постановка задачи и алгоритм ее решения, позволяющие учитывать указанную погрешность и получать расчетную характеристику точности, соответствующую действительной.

Ключевые слова: фотоприемное устройство, координаты энергетического центра изображения звезды, стандартные координаты, оценка параметров, точность, метод наименьших квадратов.

Введение. При использовании телевизионной аппаратуры для решения астрометрических и астрономо-геодезических задач необходимо осуществлять преобразование координат энергетических центров

изображений звезд, определенных в плоскости фотоприемного устройства (ФПУ), в стандартные координаты, рассчитанные по данным звездного каталога [1 - 5]. Для этого используются линейные (аффинные) или полиномиальные преобразования, параметры которых определяются, как правило, с помощью метода наименьших квадратов (МНК). При этом не учитывается погрешность определения координат энергетических центров изображений звезд в плоскости ФПУ.

В предлагаемой работе задача определения параметров преобразования формулируется и решается с учетом указанных погрешностей. Предложен соответствующий алгоритм, и путем моделирования продемонстрированы его преимущества по сравнению с традиционным МНК.

Автоматизированный зенитный телескоп. При решении астро-номо-геодезических задач, в частности, при определении параметров гравитационного поля Земли используются астрономические координаты, которые могут быть получены при наблюдении околозенитного участка звездного неба посредством автоматизированного зенитного телескопа [6]. Зенитный телескоп представляет собой оптико-электронный прибор (рис. 1), в котором объектив 1, соединенный с телекамерой 2, и датчики горизонта 3 установлены на платформе, имеющей возможность разворота вокруг вертикальной оси. Для выставки в горизонт предусмотрен механизм горизонтирования 4. Оптическая ось объектива направлена вертикально.

Рис. 1. Зенитный телескоп: 1 - объектив; 2 - телекамера; 3 - датчики горизонта; 4 - механизм горизонтирования

130

Астрономические координаты (ф, X) определяются посредством измерения направления на звезды с известными экваториальными координатами (прямое восхождение а, склонение 5), при этом используется эквивалентность астрономических координат точки наблюдения и экваториальных координат для звезд, расположенных непосредственно в зените:

ф = 5, X = а - 6,

где 6 - гринвичское звездное время [7 - 9].

Целью наблюдения является регистрация при помощи телевизионной аппаратуры последовательности кадров, содержащих изображения звезд, находящихся в околозенитной зоне (в пределах поля зрения), определение в каждом кадре координат энергетических центров изображений этих звезд [10 - 12], их идентификация и определение экваториальных координат точки зенита с одновременной фиксацией времени регистрации кадра (для расчета 6).

В работе рассматривается один из этапов алгоритма определения астрономических координат [13], целью которого является оценка параметров преобразования прямоугольных координат энергетических центров изображений звезд, определенных в плоскости ФПУ, в сферические (экваториальные) координаты звезд на небесной сфере, рассчитанные по данным звездного каталога.

Преобразование прямоугольных координат энергетических центров изображений звезд, определенных в плоскости ФПУ, в экваториальные координаты. В начале преобразования прямоугольных координат энергетических центров изображений звезд в экваториальные координаты осуществляется переход от сферических координат звезд к так называемым стандартным координатам [1]. Такое преобразование выполняется посредством конического проецирования из центра единичной небесной сферы в точку с координатами (а0, 50). Эта точка соответствует пересечению оптической осью телескопа небесной сферы (рис. 2, а). В картинной плоскости оси X и h являются касательными к параллели и небесному меридиану соответственно. Ось X направлена в сторону увеличения прямых восхождений, а ось h - к северу. Эта локальная система и называется системой стандартных координат [2]. Преобразование экваториальных координат звезд в стандартные называется центральным проецированием и производится с использованием выражений [1]

X* = Ctg5 * sin(q * -ар) , h* = cosSp - ctgS * sin5p cos(a * -ao) (1)

sin 5р + ctgd *cos5pcos(a * -ар/ sin 5р + ctgd *cos 5pcos(a * -ар)'

где а*,8* - экваториальные координаты звезды; а0,80 - экваториальные координаты оптической оси телескопа; X*,h* - стандартные координаты звезды.

Стандартные координаты, в свою очередь, связаны посредством полиномиального преобразования с координатами энергетических центров изображений звезд, определенными в плоскости ФПУ. В случае отсутствия искажений изображения [14] используется линейное (аффинное) преобразование, которое записывается следующим образом:

^* = А0 + А1х*+А2у*; г|* = Во + В]Х * +В2у*\ где х* у* - координаты энергетического центра изображения звезды; А0, В0 - начало координат х, у в системе координат г\ (рис. 2, б); Аъ А2, В1у В2 -параметры преобразования. Физический смысл этих параметров поясняется следующими соотношениями:

А\ = Мсо$у\А2 =М ъту;

В^ = -М -$ту,В2 -М соБу; где у - угол между осями +х и [1]; М- масштабный коэффициент ФПУ,

М = [угл.с / лике.].

Рис. 2. Преобразование координат: а - центральное проецирование; б - преобразование прямоугольных координат, определенных в плоскости ФПУ\ в стандартные координаты

Необходимо определить параметры преобразования А0, А1у А2, В0, В2, В2, а также получить текущую характеристику точности в виде средне-квадратического отклонения (СКО) оценки. Значения параметров преобразования используются непосредственно при определении астрономических координат, а их СКО - при формировании модели погрешности зенитного телескопа [6].

(2)

Решение задачи определения параметров преобразования с использованием метода наименьших квадратов. Решение задачи оценки параметров преобразования А0, Л1г А2, В0, Вь В2, как правило, осуществляют с использованием МНК. В этом случае вектор оцениваемых параметров выглядит следующим образом:

Х МНК = [ А0 А1 А2 В0 В1 В2]Т, а измерения стандартных координат звезд X, лг описываются системой уравнений

X/ = Ао + А1~ + А2~ + 5Х/;

Л/ = Во + В1~ + В2~ + 5л/, где / - порядковый номер звезды (/ = 1...п, п - количество идентифицированных звезд); §Х/, §Л/ - погрешности определения стандартных координат; хг, у - координаты энергетических центров изображений звезд в плоскости ФПУ. Традиционно погрешности определения последних не учитываются, при этом система уравнений (2) является линейной, а параметры преобразования вычисляются с использованием соотношений МНК [15]

СМНК = (НМНКТнМНК) 1НМНКТ • ¥МНК, (3)

где Умнк = [Хь.....Хп Ль.....Лп ]Т - вектор, составленный из стандартных

координат всех идентифицированных звезд, а матрица

1 х1 у1 0 0 0

Н

МНК

п Уп 00

1 х 0 0 0

0

1 х1 У1

0 0 0 1

х

Уп

Расчетная матрица ковариаций погрешностей такой оценки имеет вид [15]

РМНК = (НМНКТНМНК ) 1НМНКТВ-МНК НМНК (НМНКТНМНК ) 1, (4)

где ЯМНК - матрица ковариаций погрешностей измерений, представляющая собой диагональную матрицу, элементами которой являются дисперсии погрешностей определения стандартных координат:

.2-

Я

МНК -

0

пхп 2 Е

Епхп 0пхп

Таким образом, непосредственно при обработке реальных данных согласно (4) могут быть получены расчетные СКО определения параметров преобразования. Следует отметить, что расчетные СКО не зависят от измерений.

Для оценки точности такого алгоритма и проверки адекватности расчетных СКО оценивания было проведено моделирование для различного количества объектов (звезд) в кадре (от 10 до 100). При моделировании формировались тестовые кадры (по 500 реализаций), содержащие указан-

г ист. ист.,

ное количество точечных объектов с координатами х/ ,у (рис. 3).

Далее задавались различные наборы параметров преобразования

Аист,А1ист,А|ст.,вист,вВ^ст\В2ист, с использованием которых координаты

ист ист г* ис^п ис^п т-ч

х^ , у1 преобразовывались в координаты Х , Л/ . В завершение

1 ист ист ис^п ис^п

для формирования измерений к координатам х^ , у/ и Х , Л/ добавлялись погрешности измерений в виде независимых нормально -распределенных случайных величин с нулевыми средними и СКО:

ох = оу = 0,4 пикс.; Ох = ол = 0,17".

Рис. 3. Тестовый кадр

Следует отметить, что СКО определения координат энергетических центров изображений звезд ох, оу были установлены по реальным снимкам звездного неба. С помощью макета зенитного телескопа [16] регистрировалась последовательность кадров, содержащих изображения одной и той же звезды. В каждом кадре определялись координаты энергетического центра изображения этой звезды. С использованием полученных координат строилась кривая, описывающая траекторию движения изображения звезды (рис. 4, а), которая затем аппроксимировалась прямой линией. По аппроксимирующей прямой определялись параметры аффинного преобразования, с использованием которых осуществлялся поворот системы координат (х, у). Траектория в новой системе координат (х', у') аппроксимировалась полиномом второй степени (рис. 4, б). Относительно этой аппроксимирующей кривой оценивалось СКО определения координат энергетических центров изображений звезд.

у, пике.

_1_|_|_ х, пике

1%00 1850 1900 1950 2000

а

у", пике.

Рис. 4. Оценка погрешности определения координат энергетических центров изображений звезд по реальным кадрам: а - аппроксимация траектории движения звезды прямой линией; б - аппроксимация траектории движения звезды полиномом второй степени

СКО определения стандартных координат рассчитывалось путем дифференцирования по частям выражений (1) с использованием известных погрешностей определения экваториальных координат звезд и оптической оси телескопа.

Итак, по сформированным при моделировании измерениям координат оценивались параметры преобразования с использованием МНК (3) и определялась расчетная характеристика точности (4) для каждой реализации. Кроме того, для каждого элемента вектора Хмнк рассчитывалось действительное СКО погрешности оценивания согласно соотношению [15]

-деист. О л

хмнк (0

(5)

т- 1у=1

~ оценка /-го элемента вектора (/ =1___6) дляреа-

лизации; Х]мнк (/) - истинное значение /-го элемента вектора Xдля

й реализации; у - номер реализации; т - количество реализаций.

СКО, рассчитанное согласно (4) и осредненное по всем реализациям (при этом оно является средней оценкой точности для множества возможных реализаций), должно совпадать с СКО, определенным в соответствии с (5). Только в этом случае расчетную характеристику точности оценивания можно считать адекватной.

На рис. 5 представлены полученные в результате моделирования действительные (5) и расчетные (4) СКО оценивания параметров А0, А1у А2 в зависимости от количества объектов.

Рис. 5. Зависимости действительных и расчетных характеристик точности оценивания параметров А о, А1у А2 от количества объектов

Из представленных графиков видно, что как действительные, так и расчетные СКО уменьшаются с увеличением количества объектов. Однако расчетная характеристика точности отличается от действительной практически в два раза. Такое несоответствие может быть связано с тем, что при оценивании параметров преобразования с использованием МНК не учитываются погрешности определения координат энергетических центров изображений звезд.

Решение задачи определения параметров преобразования с использованием итерационного обобщенного метода наименьших квадратов. Для учета погрешности определения координат энергетических центров изображений звезд введем эти координаты в оцениваемый вектор:

Хомнк=[А) А А2 В0 Вх В2 .....у1,.....у„]Т. (6)

Тогда система уравнений измерений (2) преобразуется к нелинейному виду

& = + М +а2 У\ +8^; ъ = в0 + в^ +в2У1 +4;

Х^ I ,

где , у - истинные значения координат энергетических центров изображений звезд; 5хг-, 5у^ - погрешности определения координат энергетических

центров изображений звезд.

В случае идентификации п звезд вектор измерений будет определяться как

¥ОМНК - [ХЬ.....Хп> Ль.....Лп, ~Ь.....

У1>.

.....Уп Г.

Одним из способов решения такой нелинейной задачи является ее линеаризация, основанная на разложении нелинейной функции измерений в ряд Тейлора до первой производной в окрестности точки

хл - [ л; ль л;

В0

в;

в;

.Хт.

Уь >.

. у; ]Т.

Таким образом, измерения (7) приводятся к линейному виду

¥ОМНК - £(Xл ) + НОМНК (Хл ) ■ (хомнк - Хл )+ АОМНК: где £ (Xл) - значение функции измерений в точке линеаризации

(8)

£ ( X л ) =*ь( X л ),....^ ( X л ) иь( X л ),.....ип ( X л ) хЛ,

.х

п

УЬ

. у;

Т

где

(Xл) - а;+а; х;+а2л у;, щ (Xл) - в;+в; х;+в; у;;

НОМНК (X;) - значение производной функции измерений в точке линеаризации

Н ОМНК(X л) -

НМНК (2пх6) 02пхб

А; Е Щ п пхп

А2 Епхп

в; е,

г

пхп Г>2П/ пхп

Е

2пх2п

АОМНК - вектор погрешностей измерений аомнк -кь.....5хп 5ль,.....5л,

5хь

.....§хп Ъуь?.....§Уп 1

Т

Тогда матрица ковариаций погрешностей измерений запишется в

виде

кОМНК

г2 Епхп О

пхп

О

0пхп г2 Е иЛ пхп

О

2пх2п

2пх2п

г? Е

их^ пхп

О

пхп

0пхп г2 Е и у ^ пхп

Решение задачи (8) можно получить с использованием обобщенного метода наименьших квадратов (ОМНК) [15]. Такое решение будет оптимальным в случае совпадения точки линеаризации с оптимальной оцен-

кой вектора неизвестных параметров. Для приближения к такому условию обычно используют итерационный алгоритм (рис. 6), условием выхода из которого является отсутствие существенного изменения оценки за итерацию (при решении рассматриваемой задачи £ = 10"6). При этом начальная точка линеаризации формируется на основе решения МНК (3).

Матрица ковариаций погрешностей оценивания и, соответственно, расчетные СКО определяются следующим образом [15]:

где - оценка на последнем шаге алгоритма; количество итераций.

Рис. 6. Итерационный алгоритм определения параметров преобразования

Для проверки адекватности расчетной характеристики точности, полученной с использованием предложенного алгоритма, было проведено моделирование, аналогичное представленному ранее. Результаты моделирования приведены на рис. 7.

Количество объектов

Рис. 7. Зависимости действительных и расчетных характеристик точности оценивая параметров А0, Аь А2 от количества объектов

Следует отметить, что действительные характеристики точности, полученные при помощи МНК и итерационного ОМНК, совпадают. Таким образом, точность оценивания при использовании предложенного алгоритма не изменяется по сравнению с МНК. Однако расчетная характеристика точности, полученная с использованием итерационного ОМНК, практически совпадает с действительной характеристикой, и можно сделать вывод, что использование предложенного алгоритма позволяет получить адекватную оценку точности.

Заключение. Показано, что в случае использования МНК для оценивания параметров преобразования координат энергетических центров изображений звезд, определенных в плоскости ФПУ, в стандартные координаты, расчетная характеристика точности отличается от действительной, так как не учитываются погрешности определения координат энергетических центров изображений звезд.

Предложено решать задачу определения параметров преобразования с учетом указанных погрешностей. Приведены соответствующая постановка задачи и алгоритм ее решения. Путем моделирования показаны преимущества предложенного алгоритма по сравнению с традиционным МНК.

С КО А2

ОМНК расч. , _ _ I___1___1

80 90 100 Количество объектов

А2

дейст.

Работа выполнена при поддержке Российского научного фонда (проект 14-29-00160)

Список литературы

1. Блажко С.Н. Курс практической астрономии. М.: Наука: Главная редакция физико-математической литературы, 1979.

2. Ковалевский Ж. Современная астрометрия. Фрязино, «Век 2»,

2004.

3. Уралов С.С. Курс геодезической астрономии: учебник для вузов. М.: Недра, 1980.

4. Гиенко Е.Г. Астрометрия и геодезическая астрономия: учеб. пособие. Новосибирск: СГГА, 2011.

5. Киселев А.А. Теоретические основания фотографической астрометрии. М.: Наука, 1989.

6. Automated zenith telescope for obtaining the Earth's gravitational field parameters / S. Gaivoronskii, N. Kuzmina, L. Starosel'tsev, V. Tsodokova // 4th IAG Symposium on Terrestrial Gravimetry: Static and Mobile Measurements. Spb: Concern CSRI Elektropribor. 2016. С. 250 - 258.

7. Автономные бесплатформенные астроинерциальные навигационные системы: принципы построения, режимы работы и опыт эксплуатации / Г. А. Аванесов, Р.В. Бессонов, А.Н. Куркина, М.Б. Людомирский, И.С. Каютин, Н.Е. Ямщиков // Гироскопия и навигация. 2013. №3. С. 91 -110.

8. Абакумов В.М. Особенности измерения угловых координат звезд прецизионными оптико-электронными системами // Опт. журн. 1996. №7. С. 43 - 47.

9. Труды ИПА РАН. Вып. 10. Расширенное объяснение к "Астрономическому ежегоднику" / В. А. Брумберг, Н.И. Глебова, М.В. Лукашова, А. А. Малков, Е.В. Питьева, Л.И. Румянцева, М.Л. Свешников, М.А. Фур-сенко // СПб.: ИПА РАН, 2004.

10. Адаптивное считывание изображения в астрономической системе на матричном ПЗС / В.Б. Березин, В.В. Березин, А.В. Соколов, А.К. Цыцулин // Известия высших учебных заведений. Радиоэлектроника. 2004. № 4. С. 36 - 45.

11. Измерение координат специально формируемых оптических сигналов / А. А. Манцветов, А.В. Соколов, Д.В. Умников, А.К. Цыцулин // Вопросы радиоэлектроники. Сер. Техника телевидения. 2006. № 2. С. 90 - 94.

12. Gayvoronsky S., Rusin V., Tsodokova V. A comparative analysis of methods for determinating star image coordinates in the photodetector plane // Automation & Control: Proceeding of the International Conference of Young Scientists, November 2013. SPb.: St. Petersburg State Polytechnical University, 2013. С. 54 - 58.

13. Определение астрономических координат автоматизированным зенитным телескопом / В.В. Цодокова, С.В. Гайворонский, Е.В. Русин, С.М. Тарасов // Навигация и управление движением: материалы докладов XVI конференции молодых ученых «Навигация и управление движением». СПб.: ГНЦ РФ «ОАО «Концерн «ЦНИИ «Электроприбор». 2015. С.269 - 276.

14. Цодокова В.В., Гайворонский С.В., Русин Е.В. Роль искажений изображения в решении астрономо-геодезических задач // Навигация и управление движением: материалы докладов XVII конференции молодых ученых «Навигация и управление движением». СПб.: ГНЦ РФ «АО «Концерн «ЦНИИ «Электроприбор», 2015. С. 93 - 100.

15. Степанов О. А. Основы теории оценивания с приложениями к задачам обработки навигационной информации. Ч. 1. Введение в теорию оценивания. 2-е изд., испр. и доп.

16. Гайворонский С.В., Жаров В.Е., Цодокова В.В. Компенсация сдвига изображений звезд в задаче определения астрономических координат автоматизированным зенитным телескопом // Оборонная техника. 2015. № 11 - 12. С. 206 - 214.

Цодокова Вероника Владимировна, науч. сотр., tsodokova.vvagmail.com, Россия, Санкт-Петербург, АО «Концерн «ЦНИИ «Электроприбор»,

Моторин Андрей Владимирович, асс., motorin.aamail.ru. Россия, Санкт-Петербург, Университет ИТМО

CALCULATION OF ACCURACY CHARACTERISTICS FOR THE PROBLE M OF ESTIMATING THE TRANSFORMATION PARAMETERS OF STAR COORDINATES

V. V. Tsodokova, A. V. Motorin

The estimation accuracy of the transformation parameters of coordinates of star image energy centers to standard star coordinates is investigated in the context of determining the astronomical coordinates by automated zenith telescope. It is shown that the calculated accuracy of the transformation parameters estimate obtained by using the traditional least square method may diverge from the real estimation accuracy, due to neglect of the error in coordinates of star image energy centers calculation. The problem statement and the solution algorithm, which take into account specified error and provide consistent calculated estimation accuracy, are proposed.

Key words: photodetector, coordinates of star image energy center, standard coordinates, error, accuracy, least square method, parameter estimation.

Tsodokova Veronika Vladimirovna, researcher, tsodokova. vvagmail. com, Russia, Saint-Petersburg, JSC "Concern "CSRI Elektropribor",

Motorin Andrei Vladimirovich, assistant, motorin. aamail. ru, Russia, Saint-Petersburg, JSC "Concern "CSRIElektropribor"