Расчет характеристик теплопритоков в камеры бытового холодильника Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 641.546.44

РАСЧЕТ ХАРАКТЕРИСТИК ТЕПЛОПРИТОКОВ В КАМЕРЫ БЫТОВОГО

ХОЛОДИЛЬНИКА

С.П. Петросов1, М.А. Лемешко2, А.В. Кожемяченко3

Институт сферы обслуживания и предпринимательства (филиал)(ИСОиП) Донского государственного технического университета (ДонГТУ), Ростовская область,

346500, г. Шахты, ул. Шевченко, 147

В статье изложен подход к описанию процесса движения охлажденного воздуха из камеры холодильника, приведены основные допущения, необходимые для построения математической модели, изложена методика получения математических зависимостей для расчета параметров движения потока охлажденного воздуха и теплопритоков.

Ключевые слова: теплопритоки, математическая модель, бытовой холодильник, скорость движения воздуха.

CALCULATION OF CHARACTERISTICS OF HEAT GAIN IN THE CHAMBER OF

HOUSEHOLD REFRIGERATORS

S.P. Petrosov, M. A. Lemeshko, A.V. Kozhemyachenko

Institute of the service and entrepreneurship (branch) Don State Technical University, Rostov region,

346500, Shakhty, Shevchenko str. 147

This paper describes the approach to the description of the process of movement of cooled air from the chamber of the refrigerator, the basic assumptions needed to construct the mathematical model, the technique of obtaining mathematical dependencies for RAS couple of options flow of chilled air and heat leakage.

Keywords: heat gains mathematical model, refrigerator, speed of air movement.

Бытовые холодильные приборы (БХП) широко применяются не только в быту, но и в медицине, в торговле, на предприятиях общественного питания, гостиничном и ресторанном бизнесе.

Однако в процессе эксплуатации БХП испытывает воздействие различных факторов, влияющих на их текущее энергопотребление. К таким факторам относятся температура окружающего воздуха, условия эксплуатации и обслуживания, физико-химическая стабильность рабочей среды, надежность и стабильность уплотнений между дверью и шкафом холодильника и др. [1,2].

В первую очередь влияние всех вышеперечисленных факторов сказывается на повышении суточного энергопотребления ХП.

Европейским стандартом БК 16001: 2009, принятым в большинстве стран Европы, а также национальными стандартами ряда государств регламентируются требования на снижение энергопотребления бытовых приборов, в том числе и бытовых холодильников, при этом

важным является решение задач снижения эксплуатационных потерь, обусловленных открыванием дверей холодильных и морозильных камер.

Построение математической модели свободного истечения холодного воздуха из шкафа холодильного прибора без учета влияния на поток внешних сил необходимо для решения задач снижения энергопотребления [3].

Рассматривается задача свободного истечения холодного воздуха из охлаждаемого отделения или камеры при открывании дверей холодильного шкафа без учета влияния на поток внешних сил.

Относительно теплый воздух, окружающий холодильный прибор, имеет меньшую плотность чем плотность воздуха, охлажденного в морозильном или холодильном отделении, что и обуславливает истечение охлажденного воздуха из холодильного шкафа. По существу происходит замещение охлажденного воздуха более теплым [4].

1Петросов Сергей Петрович - доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой "Технические системы жилищно-коммунального хозяйства и сферы услуг". тел. +7 (928) 213 36 04;

2Лемешко Михаил Александрович - кандидот технических наук, профессор кафедры "Технические системы жилищно-коммунального хозяйства и сферы услуг", ИСОиП (филиал) ДГТУ. тел. +7(988)252 85 53. e-mail: lem-mikhail@ya. ru;

3 Кожемяченко Александр Васильевич - доктор технических наук, профессор, профессор кафедры "Технические системы жилищно-коммунального хозяйства и сферы услуг", ИСОиП (филиал) ДГТУ, тел. +7(918)503 81 30, e-mail: mabn@dssa.ru

Определив значение и характер изменения скоростей истечения охлажденного воздуха в текущем времени за период нахождения двери холодильного шкафа в открытом состоянии, можно определить объем замещенного воздуха и следовательно необходимые энергозатраты для восстановления температуры в охлаждаемом отделении. Для этого решена задача определения скоростей движения потока охлажденного воздуха при открывании дверей камеры холодильника [5].

Рассмотрим общие закономерности, присущие рассматриваемой физической модели, описанные в работе [6]. В основу изучения движения вязкого газа положим следующие допущения.

1) Газ совершенен, т. е. давление р, плотность р и абсолютная темпетемпература Т удовлетворяют уравнению состояния — закону Менделеева - Клапейрона

2) Коэффициент удельной теплоемкости « с » не зависит от абсолютной температуры газа и является физической константой газа.

3) При истечении газа учитывается только вязкость первого рода (сопротивление окружающего теплого воздуха потоку холодного воздуха). Коэффициент теплопроводности газа « А» пропорционален коэффициенту динамической вязкости Ц, то есть выполняется критерий Прандтля

Ц-с

А

: о = сотг.

(2)

Р =-

Р--Т

т

(1)

где: - универсальная газовая постоянная; т - молекулярная масса газа.

4) К вышеописанным уравнениям присоединяется уравнение неразрывности движения

др + Э(ри) + Э(ру) + Э(р^)= 0

Эг Эх Эу Эг

5) Газ представляет собой «ньютоновскую» среду, подчиненную известному обобщенному закону Ньютона о линейной связи между тензором напряжений и тензором скоростей деформаций.

Основные уравнения Навье-Стокса динамики вязкого газа, отнесенные к единице массы:

¿и

Эр

( Э 2и Э 2и Э 2и ^

р^7 = р^х — Т" + Ц

аг Эх

¿V

аг

Эр

рРу — з^+Ц

у Эу

ч Эх2

Г^ 2

+ ■

Эу2 Эг2, Э 2v Э^ Э 2v ^

Э

2 Э

+ Ц — (¿ыУ)——(ц- ¿ыУ);

Эх 3 Эх

+ -

Эх2 Эу2 Эг2

Э

^ 2 Э

а™ ^ Эр

р и=рЁ=-Эр+Ц

Э2

Э2

+ц—(а^у)---(Ц - а^у);

Эу 3 Эу

(4)

Э^

Эх2 Эу2 Эг

у

+ Ц'Э~( а^у)- 2 а^у).

Здесь: и, V, ю — проекции вектора скорости У

на оси ОХ, ОУ, О^ Ё = (Ёх; Ёу; ^)— вектор

внешних объемных сил, действующих на газ в каждой точке пространства; Ц — коэффициент динамической вязкости;

- Эи Эv Эю

а^у =—+—+—.

Эх Эу Эг

Для данной модели можно рассмотреть допущение

Ёх = 0; Ёу = 0; Ё = —mg,

(6)

аи аV ¿ю а,г'а,г' аг

можно представить в развернутой форме

аи Э и Э и Э и . Э и аг аV аг

Полные производные —,—,-

+ — и + — V +--ю

Э г Эх Эу Э г

Эv Эv Эv Эv

— =--1--и +--V +--ю ; (5)

Эг Эх Эу Эг

Э ю Э ю Э ю Э ю

-=--1--и +--V +--ю.

аг Эг Эх Эу Эг

Полагаем, что внешние силы на воздушный поток внутри холодильника не влияют.

где g — ускорение силы тяжести.

При сформулированных выше допущениях система уравнений, описывающая истечение воздуха из холодильной камеры, содержит семь неизвестных функций: и, V, ю, р, р, Т, Ц . В вышеописанной постановке задачи таких уравнений предложено шесть, в качестве седьмого уравнения для замыкания системы может быть предложено уравнение диффузии, либо уравнение теплового баланса.

Сформулируем граничные условия задачи.

1) Равенство нулю скорости на неподвижной твердой границе внутри холодильного шкафа.

2) Начальные скорости истечения холодного воздуха из шкафа равны нулю в каждой

точке прямоугольного сечения на выходе из шкафа.

3) Задана температура воздуха внутри шкафа в начальный момент времени истечения холодного воздуха из шкафа и равна Тол = 50 С.

4) В начальный момент времени температура снаружи холодильного шкафа постоянна и

равна Ткомн = 250 С .

5) Скорости воздушных масс снаружи холодильного агрегата в начальный момент открывания двери в каждой точке пространства равны нулю.

На первом этапе для упрощения задачи истечения холодного воздуха из холодильного шкафа будем дополнительно предполагать, что процесс истечения воздуха является изотермическим, то есть температура свободно истекающего потока воздуха постоянна в каждой точке потока истекающего воздуха. Фактически такое условие означает, что исключается диф-

фузионный процесс перемешивания холодного (свободно истекающего) воздуха и теплого (комнатного). Будем также предполагать, что вытекающий холодный воздух есть несжимаемая (нерасширяющаяся) среда.

При таких допущениях имеют место равенства

Т = const1, p = const2, ц = const3. (7)

Поскольку воздушный поток предполагается несжимаемым, то

- du dv dw „ divV = — + — + — = 0. дх ду dz

(8)

При сделанных допущениях уравнение неразрывности выполняется.

В силу условия (8) два последних слагаемых в каждом уравнении системы (4) равны нулю, учитывая формулы (1), (4) и допущения (6), (7), систему (5) преобразуем к более простому виду:

Р

(du du du ди Л (д 2u д 2u д 2u Л

--1--u +--v +--w

дt дх ду дz

Ц

У

Р

(дv дv дv дv Л (д 2v д 2v д 2v Л

v дх2

(2

+ ■

■ + ■

ду2 дz¿

Р

--1--u +--v +--w

дt дх ду дz у

дw дw дw дw Л

--\--u +--v +--w

дt дх ду дz

Ц

\

\

дх2 ду2 дz¿

(9)

-pmg + ц

( д2 w д2 w д2 w Л

\

\

дх2 ду2 дz2

У

После сделанных допущений система (9) есть система трех уравнений относительно трех неизвестных функций и, V, №, т. е. система (9) - замкнута.

( д2 и д2 и ^

дu дu дu — +—u + — w

дt дх дz ,

дх 2 +dz2

дw дw дw — +—u +—— w дt дх дz ,

ГД2

pmg + ц

2

д w д w - + -

дх2 дz2

(10)

Рисунок 1 - Движение потоков воздуха при о ткрытой двери холодильника в плоскости ХОХ: 1 - холодильная камера; 2 - морозильная камера

Будем также полагать, что истечение холодного воздуха из шкафа происходит без изменения в горизонтальном поперечном направлении, т. е. что ординаты траекторий движения воздушных струй постоянны и изменение геометрии потока происходит только в плоскости Х07 (рис.1).

Предположение о неизменности геометрии потока в направлении оси ОУ влечет равенство нулю значений функции V = v( х, у, z) = 0 и функции и = и( х, z); № = х, z), то есть они не зависят от переменной « у ». Таким образом, реальный трехмерный поток заменяется моделью двухмерного.

В этих условиях система (9) упростится

Будем дополнительно предполагать, что процесс истечения воздуха стационарный по времени, тогда

^ . 0,^ э 0 (11) дг дг

и система (10) упростится к виду

Р

Эи Эи Л —и + — ю I ч Эх Эг У

Эю Эю —и +--ю

Эх Эг

Г Э 2и

Э 2~ л

Эх2 Эг2

Ц

mg + — р

Г Э2

Э 2- л

Эх2 Эг2

Эх2 Эг2

У

Эх2 Эг2

входящие в

VУ оба уравнения системы (12), определяют силы аэродинамического сопротивления воздушной среды комнаты, которая тормозит холодный воздушный поток, истекающий из холодильной камеры.

Систему уравнений (12) будем преобразовывать исходя из того, что в технической аэродинамике силу сопротивления воздушной среды приближенно определяют по формулам (в так называемой зоне квадратичного сопротивления) [7].

Г Э2и Э и

2,Л

- +

VЭх2 Эг2У

Г Э2 ю Э2 ю Л +

Эх2 Эг

2

У

и2;

р

Ц к р

где к — коэффициент, определяемый экспериментально.

Так как коэффициент динамической

кг

вязкости Ц имеет единицы измерения -, то

м - с

из уравнений (13) получаем, что к измеряется с

в ^

Знак минус в правых частях равенств (13) указывает на то, что вторые частные производные от проекций вектора скорости отрицательны из-за тормозящего влияния вязкой среды.

В силу формул (13) система (12) преобразуется к виду

Эи Эи Л

— и +--ю I =

Эх Эг У

^ и2; р

Эю Эю Л Ц к 2

—и +--ю I = mg--ю .

.Эх Эг У р

(14)

(12)

Так как система (12) содержит два уравнения и две неизвестные функции, то она является замкнутой. Систему (12) можно классифицировать, как систему двух нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка. В настоящее время в технической литературе методы решения таких задач неизвестны. В данной работе систему (12) предлагается решать приближенными аналитическими методами.

Выражения

Г Э 2и Э2и Л Ц Г Э2ю Э2ю Л

- +-Т- , — -Т- + ■

Система (14) является базовой для нахождения скоростей потока при его свободном истечении из холодильной камеры в стационарном режиме.

В стационарном режиме на выходе из шкафа вектор скорости потока обладает некоторой продольной (горизонтальной) составляющей « и », при этом вертикальная составляющая « ю » равна нулю. Начальная составляющая вектора скорости может определяться экспериментально, поэтому для упрощения рассчетов, ее значение на выходе будет являться заданным. Не учитывая сопротивление дна холодильной камеры воздушному потоку, можно полагать, что на выходе из шкафа поток движется равномерно

и (г;0) = и0. (15)

Значение вертикальной проекции вектора скорости на выходе из холодильной камеры будем полагать равным нулю

ю (г;0) = 0, (16)

а ускорение потока на выходе из холодильной камеры будет равно ¿ю (г;0)

—Т0- = g . (17)

¿г

Вытекая, из шкафа, поток начинает тормозиться в направлении оси ОХ в силу вязкости среды, то есть продольная составляющая вектора скорости обладает свойствами и (х; г) ^ 0, при х ^

и (х; г 0, при г ^^. (18)

При этом функция и ( х; г) должна

быть монотонно убывающей как по переменной « х », так и по переменной « г ».

Вертикальная проекция вектора скорости потока на выходе из шкафа будет вначале возрастать из-за силы тяжести, действующей на поток, которая возникает в силу его более высокой плотности чем окружающего воздуха.

Однако, по мере возрастания вертикальной составляющей « ю » возрастает и сила сопротивления вязкой среды, соответственно через некоторое время сила тяжести воздушного потока, направленная вертикально вниз, будет уравновешена силой сопротивления среды, соответственно вертикальная составляющая потока « ю » будет стремиться к некоторому

Для последующего нахождения решений систему (14) удобно преобразовать к виду

(21)

постоянному значению, которое может быть определено экспериментально

№ (х; z а, при z ^^. (19)

При этом функция № = № ( х; z ) должна

быть монотонно возрастающей по переменной « z » и монотонно убывающей по переменной « х ».

Будем теперь находить приближенные решения системы (15), удовлетворяю-

сгруппируем слагаемые в левой части каждого щие условиям (17) - (19). Соответствующая ^ ' _к

этим условиям структура решения системы (14) из уравнений по степеням е , к = °Д,2 . По-

ди ди Л и к 2 —и +— № I + и = 0; ч дх дz ) р

'д№ д№ Л и к 2

— и +--№ I _ mg +£— № = 0.

ч дх дz ) р

Подставим выражения (20) в систему (21), найдем необходимые производные и

имеет вид:

сле упрощений получим

\и (х; z ) = и0 (z) е х; I и (х; z) = №0 (z) + №1 (z) е~

йи

щ +

dz 1

V

ик _ 1

(20) Л Л

_2 х

) )

dz

_ mg +■

dz

е +

л )

ик 2 А №0 + — =

йип

ик 2 №1 _ №1и0 +--№1

Р ик Р

е -2 х +

dz

№0 е_х = 0;

0 2ик

—- №1 +--1W0 +--W1W0

dz dz р

(22)

Функции и0(z), №0 (z), №1 (z) буде

гм Функцию и0 (z) будем определять из

определять из тех условий, чтобы каждый условия равенства нулю коэффициента при

множитель при е-к х, к = 0,1, 2 в уравнениях е-2х в первом уравнении системы (23)

системы (22) был или равен нулю, или прини- du0 ( z) мал значения, близкие к нулю, соответственно

оба уравнения системы (22) будут приближен- (27)

но выполнены. ^ "' ^ Приравняем сначала к нулю выражение

(г)

№ (z )_■

Р

•№>1 ( Z ) + ...

dz

... + {ик_ 1!и2 (z) = 0.

I р )

Уравнение (27) является уравнением с

№ 0 % z I №0 \ ' 0 . (2 3)

dz р 0 разделяющимися переменными относительно

Его общее решение уравнения (23) име- неизвестной функции и0 (z), его общее реше-

№0 (z )_ — №> (z)_ mg = 0. (23)

ет вид

№0 ( Z )

ние имеет вид

mg р

2и kz

и к

+ С1е р . (24) и0 (z)

1

С3 + ик р ^mgр + С1ике р е р сИ

Приравнивая к нулю коэффициент при е- х во втором уравнении системы (23), получим С№1 ( Z )

2рС;

2икг 2икг

2 0

(28)

dz (

■№0 (z) +...

Л

.(25)

( С№0 (z) 2ик , , , , А ... + + — №0 (Z) №1 (Z) = 0

dz р )

Находим общее решение уравнения (25)

2и kz

Учитывая (20), (28), получим выражение модельной функции и ( х; Z )

_ х

и (х; z) =-, -

4 ' 1 2|Ш 2|Ш

~ е а

С3 +

и к _р "2рС:

р ¡\ mgк + Сике

20

(29)

№1 (z)

С2е р

_2и kz

mg р + С1и ке р

(26)

Выражение для модельной функции № (х; z ) следует из (20), (24), (26)

2

и

0

р

-х

е

z

w ( х; z ) =

mgp

2р kz

р k

+ C1e

+

_ 2р kz

Ce p e~х

— 2ц кг

[mgр + С1цке р (30)

Найдем значения произвольных постоянных С1,С2,С3.

Для определения постоянной С3 воспользуемся уравнением (29), в котором подставим в обеих частях равенства х = 0 и г = 0 .

1

Получим u (0;0) = U0

Сз = —.

3 U

Сз+0

, отсюда

(31)

Полагая в (30) также значения переменных х = 0 и z = 0, имеем

' C,

0 = , ¡mgp+C1 +

(32)

р k 1 „Jmg p + C1p k

Из уравнения (32) выразим постоянную

C2 через C1

C =_ mg p + C1P k

2 Vpk

(33)

Для нахождения константы С1 дифференцируем функцию (30) по переменной « г » и подставляя значения х = 0 и г = 0 , находим

С1 = 4т2 — тМР ;

Ц к

С2 =—4т2лЩк . (34)

Таким образом, проекции вектора скорости определяются по формулам (29), (30), где постоянные С1, С2 , С3 определяются по формулам (31), (34).

Масса вытекающего воздуха пропорциональна плотности « т ». Плотность воздуха

при Т = 50С, р = 1,27при Т = 250С,

м

кг

p = 1,185—3; следовательно масса m про-

м

кг

3 •

порциональна Ар = 0,085

м'

Опытным путем выполнено измерение скорости потока охлажденного воздуха для регламентированных условий. Рассогласование значений скоростей потока в эксперименте и полученных по формулам (29), (30) не превышает 10%.

Выводы

1. Для описания процесса формирования теплопритоков в камеры холодильника при открывании дверей камеры, приняты обоснованные допущения.

2. Методом анализа процесса движения охлажденного воздуха из камеры холодильника в окружающий воздух, трехмерная модель, описывающая движение воздуха, переведена в двумерную модель.

3. Полученные математические выражения позволяют вычислять проекции скорости потока охлажденного воздуха, следовательно, и теплопритоки при открывании дверей камер холодильника.

Литература

1. Петросов С.П. Результаты испытаний агрегата бытового холодильного прибора в условиях воздействия эксплуатационных факторов / Петросов С.П., Кожемяченко А.В. // Известие вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. - 2006. - Прил. к № 9. - С. 107110.

2. БаИ^ R.O. Refrigerants: Service Pointers. - Refrigeration Service and Contracting. - 1971. - V. 39. -№ 10. - Р. 38, 40-41.

3. Lemeshko M.A. Mathematical Model of Refrigerated Air from the Fridge Speed Calculation/ M.A. Lemeshko, E.V.Duvanskaya, S.P. Petrosov, V.N.Kohanenko // World Applied Sciences Journal. -2014. - 30(9). - P. 1145-1151,.

4. Лемешко М.А. Определение скоростей движения охлажденного воздуха при открывании дверей шкафа бытового холодильного прибора / Лемешко М.А., Лалетин И.В., Мицик М.Ф. // [Электронный ресурс] «Инженерный вестник Дона». - 2011. - № 4. - Режим доступа: http://www.ivdon.ru/magazine/archive/n4y2011

5. Лемешко М.А. Математическая модель свободного истечения охлажденного воздуха из камеры бытового холодильного прибора / Лемешко М.А., Мицик М.Ф // Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Сер: Технические науки. - 2013. - № 4 (173). - С. 16-18.

6. Лойцянский, Л.Г. Механика жидкости и газа / Л.Г. Лойцянский. - 5-е изд. - М.: Наука, 1978. - 736 с.

7. Корн, Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров / Г. Корн, Т. Корн. - М.: Наука, 1970. - 720 с.

p