CC BY
19
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И КОМПЬЮТЕРНЫЕ _ТЕХНОЛОГИИ_
УДК 641.546.44
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ СВОБОДНОГО ИСТЕЧЕНИЯ ОХЛАЖДЕННОГО ВОЗДУХА ИЗ КАМЕРЫ БЫТОВОГО ХОЛОДИЛЬНОГО ПРИБОРА
© 2013 г. М.А. Лемешко, М.Ф. Мицик
Лемешко Михаил Александрович - канд. техн. наук, доцент, Южно-Российский государственный университет экономики и сервиса, г. Шахты. E-mail: Lem-mikhail@ya.ru
Мицик Михаил Федорович - канд. техн. наук, доцент, Южно-Российский государственный университет экономики и сервиса, г. Шахты. E-mail: M_mits.ru@mail.ru
Lemeshko Mikhail Alexandrovich - Candidate of Technical Sciences, assistant professor, South-Russian State University of the Economy and Service, Shahty. E-mail: Lem-mikhail@ya.ru
Mitsik Mikhail Fedorovich - Candidate of Technical Sciences, assistant professor, South-Russian State University of the Economy and Service, Shahty. E-mail: M_mits.ru@mail.ru
Проводится анализ процесса свободного истечения охлажденного воздуха из камер бытовых холодильных приборов. Предлагается математическая модель процесса движения потока охлажденного воздуха в относительно теплой окружающей среде. Получены уравнения, описывающие движение потока холодного воздуха при свободном истечении из камеры холодильного прибора.
Ключевые слова: бытовой холодильный прибор; уравнения газодинамики; модель воздушного потока; движение холодного воздуха в теплом.
The article outlines the approach to the analysis of the movement of cold air from the household refrigerating appliances when opening the doors of the refrigerator Cabinet and the method of mathematical model of the flow of cooling air to the relatively warm environment. Obtained equations for the analysis and the calculation of the characteristics of this thread.
Keywords: domestic refrigeration unit; the equations of gas dynamics; model air flow; the movement of cold air in the warm.
Объектом моделирования является процесс движения потока охлажденного воздуха, свободно истекающий из камеры холодильного прибора с открытой дверью. Реальный поток воздуха, истекающий из холодильной камеры, является трехмерным, то есть он характеризуется в каждой точке потока значениями продольной, поперечной и вертикальной проекциями вектора скорости, значениями давления, температуры, вязкости, удельной теплоемкости, теплопроводности. Каждый из вышеперечисленных параметров газа является в общем случае функцией четырех переменных: т.е. каждый параметр зависит от трех пространственных координат и времени.
В работах, которые посвящены изучению динамики газовых потоков, уравнения движения потока воздуха выводятся из уравнений Навье - Стокса, дополненных слагаемыми, учитывающими силы сопротивления потоку. При этом следует отметить, что силы сопротивления могут быть вызваны как вязкостью внешней среды, в которой движется поток (вязкость первого рода), так и объемной вязкостью, т.е. силами трения элементарных струй потока между собой (вязкость второго рода). Вязкость второго рода в настоящей работе мы учитывать не будем.
Система динамических уравнений для трехмерных неустановившихся потоков с учетом динамической вязкости первого рода в прямоугольных декартовых координатах в векторной форме имеет следующий вид [1]:
р — = pF - grad I p + 2 |divV 1 + 2div(|S'), (1) dt I 3
где V - вектор скорости потока в каждой точке пространства; р - плотность газового потока; р - давление, действующее на газ в каждой точке; F = ; Fy; Fz) - вектор внешних объемных сил, действующих на газ в каждой точке пространства; ц -коэффициент динамической вязкости; - тензор
„ , - ди ду скоростей деформаций; шvV =--1---1---дивер-
дх ду дг
генция вектора скорости; и, у, ^ - проекции вектора скорости V на координатные оси ОХ, OY, 01.
Уравнение неразрывности потока в векторной форме имеет вид
dp + pdivV = 0 dt
(2)
В совокупности система трех уравнений движения и неразрывности потока образует систему четырех уравнений относительно девяти неизвестных функций: и = и(х, у, г, (), у = у(х, у, г, (), ^ = w(x, у, г, Р) -проекции вектора скорости; р =р(г, у, г, (); р = р (х, у, г, /); Т=Т(х, у, I, () - функции плотности, давления и температуры; с = с(х, у, г, 0; ц = ц(х, у, г, 0; X = Х(х, у, г, Г) -удельная теплоемкость, коэффициент динамической вязкости и коэффициент теплопроводности.
Таким образом, система, состоящая из уравнений (1), (2), является незамкнутой, для ее замыкания необходимо учитывать законы, которым удовлетворяет рассматриваемая физическая модель движения газа, а также вводить допущения, упрощающие изучаемую модель.
В основу изучения и описания законов движения вязкого газа, свободно истекающего из холодильной камеры, положены ряд допущений, приведенные в работе [2].
Принятые допущения позволяют решить поставленную задачу, не искажая физику процесса истечения потока охлажденного воздуха из камер холодильника.
В силу вязкости воздуха и отсутствия других внешних сил воздушный поток внутри холодильной камеры устанавливается, и в дальнейшем при открытой двери шкафа холодильника происходит свободное истечение холодного воздуха из камеры.
Для упрощения задачи будем также полагать, что внешние силы на воздушный поток внутри камеры холодильника не влияют. Для данной модели принимаем допущение:
Fx = 0; Fy = 0; Fz = mg,
(3)
где g - ускорение силы тяжести.
Физический смысл этого допущения состоит в том, что предполагается отсутствие внешнего силового воздействия на холодный воздух, истекающий из камеры холодильника, и он движется только за счет своей большей плотности.
При сформулированных выше допущениях система уравнений, описывающая истечение воздуха из холодильной камеры, содержит семь неизвестных функций: u, v , V, р, p, Т, В таком случае для замыкания системы дифференциальных уравнений в частных производных необходимо иметь семь уравнений.
В вышеописанной постановке задачи таких уравнений предложено шесть, в качестве седьмого уравнения для замыкания системы может быть предложено уравнение диффузии либо уравнение теплового баланса. При этом делаем допущения, определяющие граничные условия задачи:
1) равенство нулю скорости на неподвижной твердой границе между внутренней поверхностью корпуса шкафа и движущимся воздухом;
2) начальные скорости истечения холодного воздуха из шкафа равны нулю в каждой точке прямоугольного сечения на выходе из шкафа;
3) задана температура воздуха внутри шкафа в начальный момент времени истечения холодного воздуха из шкафа -Тх. Например, она равна Тх = 5 °С;
4) в начальный момент времени температура снаружи холодильного шкафа постоянна и равна температуре воздуха в помещении - Тп. Например, эта температура равна Тп = 25 °С;
5) скорости воздушных масс снаружи холодильного шкафа в начальный момент открывания двери в каждой точке пространства равны нулю.
Наряду с указанными выше допущениями, на первом этапе решения задачи истечения холодного воз-
духа из камер холодильника сделано допущение, что процесс истечения воздуха является изотермическим, т. е. температура свободно истекающего потока воздуха постоянна в каждой точке его потока. Сделано также допущение, что вытекающий холодный воздух есть несжимаемая (нерасширяющаяся) среда.
При таких допущениях температура истекающего потока воздуха будет постоянна, соответственно его плотность будет постоянна в каждой точке потока и будет такая же, какая была внутри холодильника до истечения из него воздуха, соответственно для всех точек исследуемого потока имеют место равенства:
Т = со^^, р = const2 , ^ = constз.
Данные обстоятельства влекут и постоянство давлений в каждой точке воздушного потока согласно закону Менделеева - Клапейрона, т. е.
др др др _ о
дх ду дz
Поскольку воздушный поток предполагается несжимаемым, то
.. - du dv dw drvF = — + — + — = 0. dx dy dz
(4)
В силу условия (4) уравнение (1) упрощается, запишем его в скалярной форме:
du du du du
p|--1--u н--v н--w | = ц
dt dx dy z
( Л
d u d u d u
dx2 dy2 dz2
dv dv dv dv
p|--I--u н--V н--W I = ц
dt dx dy dz
dw dw dw dw
p|--i--u н--v н--w I =
dt dx dy dz
222 d v d v d v
dx2 dy2 dz2
(5)
ix 2
= -pmg + ц
222 d w d w d w
dx2 dy2 dz2
После сделанных допущений система (5) является системой трех нелинейных уравнений в частных производных относительно трех неизвестных функций, т. е. система (5) является замкнутой.
Упростим систему (5) еще более, полагая, что свободное истечение потока холодного воздуха из шкафа происходит без расширения или сужения потока в горизонтальном и поперечном направлении, т. е. что ординаты траекторий движения воздушных струй исследуемого потока постоянны и изменение геометрии потока происходит только в плоскости XOZ (рисунок).
Предположение о неизменности геометрии потока в направлении оси OY влечет равенство нулю значений функции V = v(x, у, z) = 0 и функции и = и(х, z); V = ^(х, z), т. е. они не зависят от переменной «у». Таким образом, реальный трехмерный поток заменяется моделью двухмерного потока.
В этих условиях система (5) упростится:
(du du du
p|--l--u н--w I = ц
\ dt dx dz 1
( з2 o2 Л
d u d u
dx2 dz2
( dw dw dw
pU7 + &u| = pmg+ц
22 d w d w
dx2 dz2
(6)
Холодильная камера
Входящий поток теплого воздуха
Исходящий поток охлажденного воздуха
Морозильная камера (закрыта)
du du А ц
-u н--w I = —
d dz ) p
d u dx 2
н
я2 А du
dw dw А ц
—u н--w | = mg н —
dx dz ) p
dz (2
d2w
2
dw
(7)
-н-
dx2 dz 2
т^ ц
Выражения — p
f*2
н-
я2 А du
d 2u
dx 2 dz
2
d2 w
dx2 dz
■н-
2
dw
(2
2. А
du du
dx2 dz2
v (2
d 2 w d2 w А
——т-
dx2 dz 2
t-^u2;
цк 2 '-L— w .
(8)
p
Здесь k - коэффициент пропорциональности, определяемый экспериментально. Так как коэффициент динамической вязкости ц имеет единицы измерения в
системе СИ
кг
м • с
то из уравнений (8) следует:
Рис. 1. Схема истечения из камеры охлажденного воздуха
Систему (6) будем решать приближенными методами при условии выполнения принятых ограничений.
Для решения системы (6) будем вначале предполагать, что процесс истечения воздуха стационарный по времени, тогда
^ _ 0, ^ _ о,
дt Ы
и система (6) упростится к виду
( Я2.
~~ = V1 ] • —г, отсюда размерность коэффициента k: м • с с2
\к ] = -С-.
м
Это величина, обратная объёму перемещаемого воздуха в единицу времени, т.е. расходу. Знак минус в правых частях равенств (8) указывает на то, что вторые частные производные от проекций вектора скорости отрицательны из-за тормозящего влияния вязкой среды.
В силу формул (8) система (7) преобразуется к виду:
d u d u
-u н--w
dx d z
dw dw
-u н--w
dx dz
u 2;
= mg
ц к 2
-w .
p
(9)
Так как система (7) содержит два уравнения и две неизвестные функции, то она является замкнутой.
Систему (7) можно классифицировать как систему двух нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка. В настоящее время методы решения системы (7) неизвестны. В данной работе систему (7) предложено решать приближенными аналитическими методами.
вхо-
дящие в оба уравнения системы (7), определяют проекции вектора силы аэродинамического сопротивления воздушной среды помещения, в котором расположен холодильник. Эта сила тормозит холодный воздушный поток, истекающий из холодильной камеры.
Систему уравнений (7) будем преобразовывать исходя из того, что в технической аэродинамике силу сопротивления воздушной среды приближенно определяют по формулам [3] (в так называемой зоне квадратичного сопротивления):
Система (12), как показано в [2], имеет приближенное решение, адекватное эксперименту, поэтому она является базовой для нахождения скоростей потока при его свободном истечении из холодильной камеры в стационарном режиме.
Выводы
1. При допущениях модели реальный трехмерный поток охлажденного, свободно истекающего из камеры воздуха может быть приближенно описан двухмерной моделью.
2. Движение потока охлажденного воздуха, свободно истекающего из камеры бытового холодильного прибора, приближенно может быть описано с помощью системы уравнений (12).
3. Система уравнений (12) является базовой для определения параметров потока охлажденного воздуха при его свободном истечении из камеры холодильного прибора.
Литература
1. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа: 5-е изд. М., 1978. 736 с.
2 Лемешко М.А., Лалетин В.И., Мицик М.Ф. Определение скоростей движения охлажденного воздуха при открывании дверей шкафа бытового холодильного прибора // Инженерный вестн. Дона. 2011. № 4. URL: http://www. ivdon.ru/magazine/archive/n4y2011/604/ (доступ свободный). 3. Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики. М., 1986. 416 с.
Поступила в редакцию
26 декабря 2012 г.
p
p
2
