Расчет гидротехнических сооружений численно-аналитическим методом Текст научной статьи по специальности «Физика»

¡Выпуск 4

ВОДНЫЕ ПУТИ, ГИДРОТЕХНИЧЕСКИЕ СООРУЖЕНИЯ И ПОРТЫ

УДК 519.6+626.4 А. В. Матросов,

канд. техн. наук, доцент, СПГУВК

РАСЧЕТ ГИДРОТЕХНИЧЕСКИХ СООРУЖЕНИЙ ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКИМ МЕТОДОМ А NUMERICAL-ANALITIC ANALYSIS OF HYDRAULIC STRUCTURES

В статье представлен численно-аналитический метод расчета конструкций сложной конфигурации, работающих в условиях плоской задачи теории упругости, основанный на декомпозиции конструкции на прямоугольные области и использовании общего решения для прямоугольника, построенного на основе метода начальных функций. На примере расчета головы шлюза показана применимость развиваемого подхода к гидротехническим сооружениям.

An algorithm for building a numerical-analytical solution for the problem of deformation of linearly-elastic anisotropic solid with irregular shape on basis of its decomposition on a set of simple rectangular elements and using a general solution for a rectangular area based on a method of initial functions is presented. A lock head analysis has shown an applicability of the developed approach to hydraulic structures.

Ключевые слова: краевая задача, плоская задача теории упругости, метод начальных функций, конструкции сложной конфигурации.

Key words: boundary problem, plane elastic problem, method of initial functions, irregular shape structures.

1. Общее решение для прямоугольной области. В работе [1] разработан и реализован алгоритм построения общего решения в виде тригонометрических рядов для граничной задачи анизотропного линейно-упругого прямоугольного в сечении тела с размерами (0, И) х (0, a) вдоль координат x и у соответственно, находящегося в условиях плоской деформации или обобщенного плоского напряженного состояния. Общее решение строится на основе метода суперпозиции, предложенного Г. Ламе еще в 1851 г. [2]. Суть его заключается в том, что если имеются два решения, обладающие функциональным произволом для удовлетворения граничным условиям (ГУ) на альтернативных противоположных гранях прямоугольника, то сумма их даст общее решение для всего прямоугольника.

В качестве указанных решений в [1] используются два, построенные методом начальных функций (МНФ). В первом начальные функции задаются на линии х = 0, а во

втором — на линии у = 0, причем выбираются они в виде тригонометрических рядов. Обозначим через

и„ = Г (у),у° (у),о° (у), 0)}

и

§0 = {^° (х),^° (дс),0° (х),Т%, (л)}

векторы начальных функций, заданных соответственно на линиях х = 0 и у = 0. Векторы перемещений и напряжений

и = {м (*,;>), V (х, у),ах(х, у),ау (:к,у), (х, у)}

и

С = -{р(х,у)^(х, у),Ъх (х, у), Ъу (х,у),% (х,.у)} в соответствии с решением МНФ выражаются через векторы начальных функций следующим образом:

U = LU°,

и=ш°,

где и L = [j^] (i = 1, ..., 5, j = 1, ..., 4)

матрицы операторов МНФ с элементами вида

и ,

£=0 *=0 _

в которых коэффициенты 1ц и 1ц зависят от упругих постоянных анизотропного тела и соответственно операторов дифференцирования ду по переменной у и дх по переменной х.

Начальные функции выберем в виде тригонометрических рядов

т=0

^0=1^,

,т(т)

т=0

.К")

п=0

в которых

(2)

тг(п) 4лНа а{т)са а{т)ча а{т)са\

и 0 ст’и 3 Ат’и 4 ст/

и

а;

(ш)

(7 = 1, ..., 4) — произвольные числовые коэффициенты, а

, , , сЦ — С08(Рих), ат = т%/а, Р„ = п%/к, т и п — любые целые неотрицательные числа.

В этом случае в соответствии с решениями МНФ (1) векторы перемещений и напряжений и и будут получены в виде:

и = ]Ги(т),

т-0

с=¿04

я=0

(3)

где

и(т) =Щт)8а С, Цт)са\

т ’ ^ т’ З т5 4 т’ 5 ?

, а

и Х^, 7 = 1, ..., 5 — числовые степенные ряды по переменным х и у соответственно:

-¿«м X? **=¿¿4’%*-*

/?=1

4

Р=1

4

¿=0 р=1 4

.

В рядах Цр и операторы дифференцирования дх и ду появляются в виде целых степеней. Их замена на числовые значения, представляющие целые степени ат и Рп с соответствующими знаками, должна выполняться последовательным диффе-

ренцированием исходной тригонометричес-

кой функции, на которую оператор воздействует. Так, например, оператор д3у должен быть заменен на -а3т , если функцией, на которую он воздействует, является функция 8т(а у) (д3яа =а Э2са =-а2Э = -а3с“), и

V т ✓/ V /’

на +ат в случае его воздействия на С08(ат у)

= -^т^‘=-а2яЭус‘ =«4,5“). Аналогичное правило применяется и к оператору дифференцирования дх по переменной х, только функции, на которые он воздействует, суть 81и(Рп х) и С08(Рп х).

Каждое из решений (3) позволяет решить задачу удовлетворения ГУ на альтернативных противоположных гранях прямоугольника: первое — на гранях х = 0 и х = И, тогда как второе — на гранях у = 0 и у = а. В соответствии с методом суперпозиции Ламе сумма двух этих решений

и=и+0 (4)

будет обладать достаточным функциональным произволом для удовлетворения ГУ на всех четырех гранях упругого анизотропного прямоугольника, являясь, таким образом, общим решением задачи для упругой анизотропной прямоугольной области. Неизвестные коэффициенты а£т) и (р = 1, ..., 4, т,

п = 0, ... да) решения находятся из условия удовлетворения ГУ, заданного на четырех гранях прямоугольника. В результате получается бесконечная система линейных уравнений относительно указанных неизвестных, решение которой осуществляется методом редукции [3] (подробности см. в [1]).

2. Алгоритм расчета упругих систем сложной конфигурации. В [4] предложен алгоритм расчета тел с сечением сложной конфигурации, находящихся в условиях плоской задачи теории упругости, с использованием общего решения (4) в прямоугольной декартовой системе координат. Предполагается, что сечение тела представлено совокупностью соприкасающихся прямоугольников, причем каждая из четырех граней любого из них может принадлежать границе сечения всего тела либо соприкасаться с гранью другого прямоугольника, полностью с ней совпадая. На гранях, принадлежащих границе сечения тела, могут быть заданы граничные условия одного из следующих видов:

Выпуск 4

1) ах и тху (на грани x = const);

2) ay и тху (на грани y = const);

3) и и v (на грани х = const или y = const);

4) ох и v (на грани х = const);

5) oy и и (на грани y = const);

6) Txy и и (на грани х = const);

7) тх и v (на грани y = const).

На гранях, соприкасающихся с гранями других прямоугольников, граничные условия могут обеспечивать непрерывность перемещений и напряжений при переходе из одного прямоугольника в другой через общую грань, а могут рассчитываться и из других условий сопряжения соприкасающихся граней прямоугольников, например, обеспечивая скольжение с трением или без трения.

Прямоугольные области рассчитываемого тела с граничными условиями указанного типа будем называть простыми телами. На рис. 1 показано разбиение модельной конструкции на составляющие ее простые тела R, i = 1, ..., 3. '

Для каждого простого тела R. вводится локальная система координат Ох.у. с осями, параллельными соответствующим осям глобальной системы координат Оху, началом координат в одной из вершин прямоугольника так, чтобы он весь располагался в первой четверти введенной локальной системы координат.

Для простого тела Ri можно построить общее решение типа (4) с использованием тригонометрических рядов (2) с неизвестными коэффициентами для представления начальных функций

. (5)

ВектоР и,. ={мг, у, о‘х, &у, ^}, образованный из компонентов вектора перемещения и тензора напряжений в точках простого тела Я,, представлен суммой векторов

и, а;,, и и, Ц, ЇЇХ, Шу, %}

вида

и, = Хи‘

(-)

т=0

(6)

и=0

где

і LV m5 2,i т’ 3,1 ж5 4,i ж5 ^5,i mj vі п ’ З,/ 4,/' Ля ’ ^5,і ся J ’

= sin ^ Ст= cos ) и ^ =sin(Plx;), <А = COS фи),

P=1

4

-=1 A=0 1°^

A=0 /»=1 4

р=1 1э*-±а» ^=1 ¿=0 1э*-±о4 *=0р=1

а ¿ЙМ и (/■ = 1, ..., 5 р = 1, ..., 4) — опера-

торы МНФ для простого тела Я

Решение (6) получается из (3), если

начальные функции для простого тела Я.

имеют вид тригонометрических рядов (2)

с <> =№'с «гч, <>£, и

.

Построив решения типа (6) для всех простых тел Я, вычисляют необходимые

оШПШНН

*1

■£uVi

<

UMOy.-lxy

R3

*х3 ,щ

\ и, У

V х>^ху

У2-У2

Ri

'*2,1*2

Рис. 1. Декомпозиция модельной конструкции на составляющие ее простые тела

Рис. 2. Расчетная схема головы шлюза

Рис. 3. Безразмерное нормальное напряжение сх /д0 в горизонтальных сечениях тел 1-2 (а) и 3-4-5-6 (б)

Выпуск 4

¡Выпуск 4

а б

Рис. 4. Безразмерное вертикальное перемещение иЕ/д0А в горизонтальных сечениях тел 1-2 (а) и 3-4-5-6 (б)

компоненты напряженно-деформированного состояния (НДС) на их гранях. Для удовлетворения граничным условиям полученные функции компонентов НДС раскладывают в ряды Фурье и строят систему бесконечных линейных алгебраических уравнений для определения неизвестных коэффициентов и

Ь^1 начальных функций, приравнивая соответствующие гармоники компонентов НДС.

В практических расчетах ограничиваются конечным числом гармоник в представлении как начальных функций, так и заданных граничных условий. Таким образом, решаемая система линейных алгебраических

гЕ

а б

Рис. 5. Безразмерное касательное напряжение тху /д0 в горизонтальных сечениях тел 3-4-5-6 (а) и безразмерное горизонтальное перемещение уЕ/д0Н в вертикальных сечениях тел 2-3-4-5-6 (б)

уравнений является конечной, что равносильно применению метода редукции [3] к исходной бесконечной системе уравнений.

3. Расчет головы шлюза. Приведенный метод применялся к анализу (НДС) головы шлюза, расчетная схема которого представлена на рис. 2. В силу симметрии показана только правая ее часть. Здесь же приведено разбиение расчетного сечения на простые тела. Всего было выявлено 6 простых тел. Материал головы шлюза — бетон — рассматривался как линейно-упругий материал со следующими константами: модуль упругости Е = 4 • 104 МПа и коэффициент Пуассона V = 0,25. Предполагалось, что сооружение опирается на скальное основание, и поэтому на нижних гранях простых тел 1 и 2, а также на правых гранях тел 2 и 3 перемещения и = 0 и V = 0. На левой грани тела 1 в силу симметрии сооружения V = 0, тху = 0. Расчет производился при заполненном водой шлюзе. В представлении нагрузки и начальных функций простых тел тригонометрическими рядами удерживалось по 17 гармоник.

На рис. 3, а представлены графики безразмерных нормальных напряжений /д0 в горизонтальных сечениях х1 = к(г - 1)/4 (/ = 1, ..., 5 и соответствует номеру кривой на рисунке) локальной системы координат тел 1 и 2.

Графики безразмерных нормальных напряжений /д0 в горизонтальных сечениях тел 3, 4, 5, и 6 показаны на рис. 3, б. Кривые с первой по пятую относятся к телу 4 и вычислены в сечениях х4 = Л4(/ - 1)/4 ( = 1, ..., 5), а кривые 6-10 представляют напряжения в горизонтальных сечениях х3 = И3(1 - 6)/4 ( = 6, ..., 10) тела 3. Сечения определены в локальной системе координат соответствующего тела. Нормальные напряжения /д0 в телах 5 и 6 нулевые.

Характер вычисленных напряжений показывает, что вертикальная стенка камеры шлюза изгибается практически как консоль: ее слои, расположенные со стороны нагрузки, на протяжении тел 2, 3 и 4 растянуты вплоть почти до 2/3 ее толщины, а оставшаяся 1/3 сжата. Причем наибольшие растягивающие

напряжения возникают в окрестности точки соединения тел 1, 2 и 3, а сжимающие — в окрестности точки, лежащей на грани соединения тел 3 и 4 с внешней стороны (где завершается скальное основание). Отсюда вытекает вывод, что со стороны нагрузки (растянутая зона) на протяжении тел 2, 3 и 4 стенка должна быть усилена армированием, причем особое внимание следует уделить окрестности точки стыковки тел 1, 2 и 3.

Графики рис. 4 дают представление о распределении вертикальных перемещений в горизонтальных сечениях основания (тела 1 и 2) и стенки (тела 3, 4, 5, 6), которые полностью соответствуют сечениям на рис. 3.

Рис. 5, а представляет графики касательных напряжений в горизонтальных сечениях стенки (тела 3, 4, 5 и 6), которые полностью соответствуют сечениям на рис. 3, б. Видно, что наибольшие касательные напряжения возникают также в окрестности точки соединения тел 1, 2 и 3 (кривая 10), а также в окрестности точки, лежащей на грани соединения тел 3 и 4 с внешней стороны, где завершается скальное основание (кривая 6).

Из графиков горизонтальных перемещений в вертикальных сечениях у2 = Н (/ - 1)/4 ( = 1, ..., 5) стенки головы шлюза (тела 2, 3, 4,

5 и 6), представленных на рис. 5, б, замечаем, что в районе тел 3, 4 и 5 стенка выгнута, что согласуется с графиками нормальных напряжений /#0.

Заключение. Полученные результаты расчета головы шлюза по разработанному численно-аналитическому алгоритму вычисления перемещений и напряжений в конструкциях сложной конфигурации позволяют положительно судить о возможности применения предложенного подхода к анализу НДС реальных сооружений. Однако следует провести дополнительное исследование, связанное с количеством удерживаемых гармоник в тригонометрических рядах представления нагрузки и начальных функций для оценки точности получаемых результатов.

Выпуск4

¡Выпуск 4

Список литературы

1. Матросов А. В. Численно-аналитическое решение граничной задачи деформирования линейно-упругого анизотропного прямоугольника // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. — 2007. Вып. 2. С. 55-65.

1852. — 335 р.

3. Канторович Л. В., Крылов В. И. Приближенные методы высшего анализа. — М.: ГИТТЛ, 1950. — 695 с.

4. Матросов А. В. Численно-аналитический алгоритм решения задач плоской деформации линейно-упругих тел сложной конфигурации // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. — 2008. Вып. 3. С. 70-84.

УДК 626.422.21 А. С. Мишин,

ОЦЕНКА ДЕЙСТВУЮЩИХ НАПРЯЖЕНИЙ В МЕТАЛЛОКОНСТРУКЦИИ НИЖНИХ ДВУСТВОРЧАТЫХ ВОРОТ СУДОХОДНЫХ ШЛЮЗОВ ESTIMATION OF STRESSES IN THE STEEL-WORK OF THE LOWER BUTTERFLY SHIPPING LOCK GATE

В статье рассмотрены вопросы трещинообразования и методы обнаружения дефектов. Установ-лен характер протекающего в нижних двустворчатых воротах критического процесса старения. Определен диапазон действующих напряжений на участках металлоконструкций, имеющих повреждения. Сделан вывод о независимости процесса трещинообразования от сжимающих ригель сил.

In article questions formations of cracks and methods of tracking down of defects are considered. Character of critical process of ageing proceeding in the bottom folding gate is established. The range of operating pressure on sites steelworks, having damages is certain. It is drawn a conclusion on independence ofprocess formations of cracks from forces compressing a crossbar.

Ключевые слова: трещина, усталость, нижние двустворчатые ворота, методы неразрушающего контроля, напряжения, количество циклов.

Key words: crack, weariness, the bottom folding gate, methods of not destroying control, pressure, quantity of cycles.

2. Lamé G. Leçon sur la théorie mathémathique de l’élasticité des corps solids. — Paris: Bachelier,

Вытегорский РГСиС, филиал ГБУ «Волго-Балт»

ДНОЙ из причин, вызывающих необходимость замены нижних двустворчатых ворот (НДВ) шлю-

нию, и оценка уровня фактических напряжений в наиболее повреждаемых участках.

Трещина — дефект материала, вызванный разрывом межатомных связей, в виде линейной несплошности, ширина которой значительно меньше ее длины. Трещинообра-зование и разрушение детали или конструкции — это многостадийный, статистический и многомасштабный процесс. Подробно данный вопрос рассмотрен в [1, 2]. В работе [2]

ljl:

зов Волго-Балтийского водного пути, является образование и развитие трещин. Возникновение этих дефектов обусловлено протеканием процессов старения и действием повышенных нагрузок. Целью настоящей работы является определение вида процесса старения, приводящего к трещинообразова-