Расчет физико-механических характеристик винтовых элементов спирально-анизотропных стержней Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 51-72

В. М. Мусалимов, Г. Б. Заморуев, А. Д. Перечесова

РАСЧЕТ ФИЗИКО-МЕХАНИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ВИНТОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ СПИРАЛЬНО-АНИЗОТРОПНЫХ СТЕРЖНЕЙ

Представлен алгоритм расчета упругих констант винтовых элементов спирально-анизотропных стержней, основанный на методах оптимизации. Расчет производился путем минимизации функционала/(Е1, О!) на заданных интервалах коэффициента Пуассона. В качестве примера спирально-анизотропного стержня рассматривался кабель.

Ключевые слова: спирально-анизотропный стержень, интегральные упругие постоянные, кабель, методы оптимизации.

Теория спирально-анизотропных стержней. Многослойные пружины, канаты, тросы, нити представляют собой объекты механики деформируемого твердого тела, которые моделируются как спирально-анизотропные стержни (САС) [1]. На рис. 1 приведена типичная конструкция гибкого кабеля. Механические свойства винтовых составляющих этих конструкций определяются их физико-механическими характеристиками Е1,С1,\1, соотнесенными

с геометрией подвижного репера ц, г (рис. 1). Механические свойства самих конструкций традиционно соотнесены с геометрией стержня — осью 2 и радиусом г (рис. 1). При механических испытаниях САС регистрируются линейные е и угловые 0 деформации при различных граничных условиях, определяющих деформированное состояние: свободное и стесненное растяжение, свободное и стесненное кручение. В работах [1, 2] представлены уравнения, связывающие внешние силы и моменты с линейными и угловыми деформациями САС:

Р

пР2 Е

= Л11е + Л12 0;

12*

М

пР3 Е

= Л21е + Л220.

22

(1)

Рис. 1

Здесь при Л11, Л22, Л12 = Л21 — соответственно модули растяжения, кручения, растяжения-кручения; Е — модуль упругости САС, Р — осевая нагрузка, М — скручивающий момент. Перепишем уравнения системы (1) в виде:

Р

пР М

2

= Л11Е е + Л12 Е 0;

-12М

пР

= Л21Е е + Л22 Е 0

и введем следующие обозначения:

Л11Е = а1Ъ Л12Е ^^ Л21Е1 =а2Ь Л22Е =а22-

В работах [1, 2] приведены также уравнения, связывающие экспериментально определенные модули с физико-механическими характеристиками винтовых составляющих САС:

где

а11 = ^1(9ф1 + 18ф2)---— 9ф2Е! + E - 3ф^;

2 -v1

а12 = -а1(3ф1 + 12ф2) + —6Ф2 E +Ф1Е1; \ (2)

2 -v1

t 2 1

а 22 = G1( + 8ф2) - т-4ф2 Еь

2 2 - V1

ф1 = 1 - 2ctg а0 ln sec а0; ф2 = 2sin2 а0 -ф1

Соотношения (2) являются нелинейной алгебраической системой уравнений относительно интегральных упругих постоянных E1, G1, v1 . Целью настоящей статьи является разработка новых подходов к решению таких систем уравнений и определение физико-механических характеристик E1, G1, v1 , что актуально для оценки свойств элементов с микронными радиусами.

Алгоритмы решения слабообусловленных нелинейных систем алгебраических уравнений (оптимизаторы). Ранее для решения системы уравнений использовались вероятностные методы и методы минимизации специально построенного функционала [1, 2]. В настоящей работе для определения интегральных упругих постоянных САС использованы оригинальные оптимизаторы.

Оптимизируемая модель представляется вектором функций

У = f (x),

где y- (i = 1, m), m > 1 — функции ряда независимых факторов влияния, Xj (j = 1, n), n > 1. Все функции y объединяются в функционал

m

F (x) = £[[ (x)gi ],

i=1

где gi — вектор весовых коэффициентов для каждой из функций. Производные от F (x) по x формулы

^= (3)

dx i=1 CXj

df-

где —---(m x n )-матрица (матрица Якоби), а f (x) — вектор функций (3).

dxj

С геометрической точки зрения функционал F (x) является гиперповерхностью многих переменных x . Эта так называемая поверхность отклика не может существовать в области отрицательных значений области F (x) и в пределе может касаться гиперплоскости x, в этом случае функционал F (x) имеет точку с нулевым значением и, в свою очередь, y = f (x) является хорошо обусловленной системой уравнений. Во всех других случаях F (x) имеет экстремум (в данной задаче — минимум) при том или ином численном (вещественном) значении F (x).

(Ш (х )

Производная -геометрически является вектором нормали к поверхности отклика

(х

(направление вектора — наружу от поверхности), его длина

п (

, (4)

г=1

V дХ

Единичный вектор нормали (направляющие косинусы) определяет направление скорейшего спуска:

дЕ (х)

П = дХ{

пп

Если произвести сечение поверхности отклика гиперплоскостью, параллельной х, то получим замкнутую линию при п=2, замкнутую поверхность при п=3 или замкнутую гиперповерхность при п>3. Эти геометрические образы принято называть линиями уровня функционала Е (х). Они хорошо отображаются на плоской поверхности при п=2. Вектор нормали (перпендикулярный поверхности отклика) нормален и к линиям уровня в данной точке. Поскольку нормаль направлена в сторону увеличения Е (х), направляющий вектор имеет знак „минус".

Общая стратегия поиска оптимального значения (минимума)

1. Задаются начальные значения переменных х .

2. Рассчитываются значения всех исходных функций и функционала Е (х).

3. Выбирается направление движения, т.е. задается некоторый вектор Б(х) (лучше единичный) для движения в направлении этого вектора с шагом X. На каждом шаге рассчитывается значение Е (х) и сравнивается с предыдущим значением Е0 (х) :

— если Е (х) < Ео (х), движение продолжается в выбранном направлении;

— если Е (х) > Ео (х) , движение осуществляется в обратном направлении с уменьшенным шагом ( X = - — ).

2

Это условие используется до достижения оптимума на данном шаге с требуемой точностью, таким образом хк+1 = хк + Б—.

После уточнения нового значения х шаг считается законченным, направление движения Б изменяется и повторяются шаги с относительными оптимумами, пока не будет достигнуто удовлетворительное решение задачи.

Относительный оптимум на каждом шаге является точкой касания линии движения по направлению Б к некоторой линии уровня функционала Е (х).

Опишем широко используемые методы поиска оптимума.

ёЕ ( х )

Метод перебора координат — простой, в нем не применяются производные -

(х

Направление Б(х) выбирается совпадающим на каждом шаге с одной из осей координат гиперплоскости х. Движение осуществляется с некоторым шагом вдоль произвольной координаты х1 до определения промежуточного оптимума. Затем движение осуществляется вдоль

оси хг+1 и реализуется второй шаг, до тех пор пока не произойдет перебор всех координат х

задачи. Затем следует вернуться к координате х^ и повторить все действия до достижения

удовлетворительного результата.

К достоинствам метода относятся простота, отсутствие необходимости в расчете производных; к недостаткам: как правило, большое количество шагов и иногда фактическая невозможность довести решение до конца в случае сложной, сильно искривленной конфигурации линий уровня.

Метод „деформируемого симплекса". Реализация алгоритма начинается с задания п+1 точки (стартовый симплекс) для гиперплоскости х, что довольно трудно, с этой целью используется некоторая подпрограмма.

Затем для всех п+1 точек определяются значения всех функций и функционалов Е (х), далее производится оценка всех п+1 точек по величине Е(х), в результате определяются „худшая точка", в которой Е (х) имеет наибольшее значение (ей присваивается номер 1), и „лучшая" — где наименьшее (номер п+1).

Далее определяется вектор В(х) (направление движения).

Метод аппроксимации параболой сечения поверхности отклика плоскостью, содержащей нормаль поверхности в рассматриваемой точке и перпендикулярной гиперплоскости параметров х. Такое коническое сечение является параболой, и если найти константы параболы, можно одним вычислительным шагом спуститься к ее критическому значению, т.е. с той или иной точностью совершить шаг промежуточной оптимизации.

Достоинством метода является очень высокая скорость расчета, так как отсутствует необходимость „осторожного" передвижения малыми шагами с расчетом функционала и часто производных. Надежно и быстро может быть получено решение с требуемой точностью при умеренном количестве шагов.

Чрезвычайно эффективным методом оптимизации является метод, условно называемый „Гребень", позволяющий максимально придерживаться линии „гребня" поверхности отклика, т.е. линии наиболее глубокой и наиболее пологой части „дна долины" поверхности отклика. Метод использует два типа шагов и основан на геометрических свойствах поверхностей (гиперповерхностей). Производная от Е (х) по х, как уже говорилось, геометрически является нормалью к поверхности (и линии уровня) и имеет определенную величину (4). Если двигаться в некотором направлении и последовательно

ёЕ (х )

оценивать производную -можно получить множество критических значений на

ёх

„гребне" (первый тип шагов). Далее при движении по гребню оценивается величина Е (х) (второй тип шагов).

Достоинством метода является возможность решить при малом числе шагов практически любую задачу с произвольной топологией линий уровня Е (х). К недостаткам относится большое число арифметических операций при определении производных и нормали на каждом малом шаге и, следовательно, относительно большое время работы процессора, зависящее от изначальной математической модели задачи /(х),..., /т (х).

Примеры расчета. В работе в качестве модулей растяжения а11, кручения а22, растяжения-кручения а12 использованы данные систематических исследований по механике кабеля. В табл. 1 приведены характеристики двух типов кабеля КГ 3x4+1x2. В табл. 2 приведены расчетные данные для кабеля, полученные вероятностным методом [1, 2], численные значения интегральных упругих постоянных, полученные на основе детерминированного подхода [1], а также методом приведенного оригинального функционала.

Таблица 1

№ а11, Па а12, Па а22, Па

1 2,42-109 1,80-106 5,55-105

2 2,20-109 1,94-106 4,23-105

Таблица 2

Метод £1, Па в1, Па V:

1 2 1 2 1 2

Вероятностный 2,38-109 2,16-109 1,66-109 1,50-109 0,300 0,304

На основе детерминированного подхода 2,42-109 2,21-109 3,53-108 2,37-108 0,266 0,428

Приведенного функцио- 2,4465-109 2,2250-109 7,2913-108 6,5977-108 0,300 0,304

нала для различных у1 2,4462-109 2,2260-109 7,3056-108 6,5450-108 0,266 0,428

На рис. 2—5 для У1=0,3 приведены оценки, полученные с помощью алгоритмов описанных методов. В качестве исходных данных использованы параметры, указанные в строке 1 табл. 1, угол наклона к оси анизотропии упруго-эквивалентных спиралей ао = 15°. Рис. 2 — программа „Парабола"; 3 — „Гребень"; 4 — „Координатная"; 5 — „Симплекс" (а — графическое отображение работы программы оптимизации; б — увеличенное графическое отображе-

9 8

ние работы программы оптимизации). Результат: £1=2,4465-10 Па, С1=7,2913-10 Па.

а)

ви 1010 Па

3 2 1 0

-1

-2 -3

1= б)

ви 108 Па 12

10

8

6

4

2

-3 -2 -1 0 1 2 Е1, 1010 Па

Рис. 2

а) б)

Съ 101" Па

3

1,8 2 2,2 2,4 2,6 Е1, 109 Па

2 1

0

-1 -2 -3

Ои 108 Па 7,4

7,3

7,2

-3 -2 -1 0 1 2 Е1, 1010 Па

2,43 2,44 2,45 2,46 Е1, 109 Па

Рис. 3

а)

101" Па

б)

О1, 109 Па

-3 -2 -1

2 Е1, 1010 Па

Рис. 4

2 Е1, 109 Па

а)

101" Па

3 2 1 о

-1

-2 -3

б)

О1, 109 Па 8

6 4 2 0 -2 -4 -6

-3 -2 -1

0

1

2 Е1, 109 Па

2 Е1, 101и Па

Рис. 5

Следует отметить, что с помощью оптимизаторов вычисляются все значения физико-механических характеристик Е1, О1 для 0<у1<5, в то время как для первых двух методов приведены значения наиболее вероятных их значений. На рис. 6 показан характер изменения отношения Е1/О1 в зависимости от функции

3,42

0,2

Рис. 6

0

1

Заключение. В настоящей работе развиты новые подходы к оценке физико-механических характеристик винтовых элементов САС. Показано, что предложенные методы оптимизации позволяют эффективно решать слабообусловленные нелинейные системы алгебраических уравнений.

список литературы

1. Мусалимов В. М. Механика деформируемого кабеля. СПб: СПбГУ ИТМО, 2005. 203 с.

2. Мусалимов В. М., Мокряк С. Я., Соханев Б. В., Шиянов В. Д. Определение упругих характеристик гибких кабелей на основе модели спирально-анизотропного тела // Механика композитных материалов. 1984. № 1. С. 136—141.

3. Фиакко А., Мак-Кормик Г. Нелинейное программирование. Методы последовательной безусловной минимизации. М.: Мир, 1972. 241 с.

Сведения об авторах

Виктор Михайлович Мусалимов — д-р техн. наук, профессор; Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра мехатроники; E-mail: [email protected] Георгий Борисович Заморуев — канд. техн. наук, доцент; Санкт-Петербургский национальный иссле-

довательский университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра мехатроники; E-mail: [email protected] Анна Дмитриевна Перечесова — аспирант; Санкт-Петербургский национальный исследовательский

университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра мехатроники; E-mail: [email protected]

Поступила в редакцию 29.02.12 г.

УДК 620.178

С. В. Сычев, Ю. А. Фадин ФОРМИРОВАНИЕ РЕЛЬЕФА ПОВЕРХНОСТИ ПРИ ТРЕНИИ

В результате экспериментальных исследований начального этапа трения монокристаллов оксида алюминия установлено, что рельеф поверхности циклически изменяется, т.е. протекает амплитудно-модулированный процесс изменения шероховатости поверхностного слоя. Параметры процесса — несущая частота ю и частота модуляции ^ — могут быть получены из экспериментальных данных.

Ключевые слова: трение, износ, приработка, профиль поверхности, монокристалл сапфира, шероховатость.

Известно, что на начальной стадии трения происходят значительные изменения геометрии поверхностей трения и физико-механических свойств поверхностных слоев [1]. Этот процесс называется приработкой и имеет большое практическое значение [2, 3]. Анализ литературы показывает, что процесс приработки при сухом трении при использовании в узлах трения износостойких керамических и хрупких материалов практически не изучен [4, 5]. Этому можно найти несколько объяснений. Во-первых, процессы приработки неравновесные и быстропротекающие, во-вторых, доступ для непосредственных исследований в контактный зазор затруднен и, в-третьих, нет удобных инструментальных способов исследования.

Целью настоящей работы является детальное изучение эволюции шероховатости на начальном этапе сухого трения монокристаллов искусственного сапфира.

Рекомендована кафедрой мехатроники