РАСЧЕТ ФИЛЬТРОВ НЧ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ДЛЯ НАИЛУЧШЕЙ АППРОКСИМАЦИИ ЗВЕНА ЗАПАЗДЫВАНИЯ Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

Расчет фильтров НЧ высших порядков для наилучшей аппроксимации звена запаздывания

В.А. Жмудь 1 2, 3

1 АО «Новосибирский институт программных систем», Россия 2 Институт лазерной физики СО РАН, Россия 3 Алтае-Саянский филиал Федерального государственного бюджетного учреждения науки

Геофизической службы РАН

Аннотация: Аппроксимация передаточной функции звена чистого запаздывания с помощью минимально-фазовых звеньев представляет существенный теоретический интерес и также может быть полезным в практическом плане. Смысл такой аппроксимации состоит в отыскании возможностей применения хорошо развитого и продолжающего развиваться инструментария аналитических методов синтеза регуляторов к задачам управления объектами, содержащими в своей математической модели звенья чистого запаздывания. Разумеется, аппроксимация всегда неточна, но вопрос обеспечения достаточной точности всегда может быть решён путем использования модели более высокого порядка, коль скоро с ростом порядка модели уменьшается погрешность аппроксимации. Как правило, в литературе обсуждают модели аппроксимаций Тейлора и Паде, отдавая явное предпочтение модели Паде. Против этой модели можно выдвинуть такие возражения, как наличие существенного по величине отклика на выходе такой модели в момент поступления на её вход входного сигнала, что явно не соответствует реальному звену запаздывания ни в коей мере. Кроме того, отклик такой модели на ступенчатый скачок содержит большое количество колебаний в обратном направлении, чего также нет в отклике звена запаздывания. Данная статья ставит целью найти лучшую аппроксимацию в классе фильтров низкой частоты. В литературе найдено определение полиномов, получаемых методом численной оптимизации задачи отыскания наилучшего отклика при условии, что старший и младший коэффициенты этих полиномов равны единице. Эти полиномы, получившие название полиномов Чегорского, могут быть после некоторого масштабного преобразования в частотной области использованы для создания нового ряда полиномов, которые целесообразно использовать в знаменателе передаточной функции искомых фильтров, поскольку получаемые таким образом фильтры наилучшим образом отвечают поставленной задаче. Ранее эти полиномы были рассчитаны до 12 порядка включительно, расчетов для более высоких порядков в литературе нет. Причиной этому могли быть технические трудности решения задачи многопараметрической оптимизации, либо недостаточный интерес к полиномам высших порядков, поскольку о таком их применении не было известно. Данная статья решает задачу отыскания указанных полиномов до 26 порядка включительно, что даёт инструментарий для аппроксимации звена чистого запаздывания фильтрами низких частот со всеми положительными коэффициентами.

Ключевые слова: Аппроксимация Паде, Padë, запаздывание, управление, моделирование, полином, фильтр, автоматика

ВВЕДЕНИЕ соответствующего масштабирования по

частотным (временным) характеристикам.

Аппроксимация звена запаздывания рациональной дробью требуется для применения ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

в дальнейшем аналитических методов

Пусть имеется некоторый объект управления,

проектирования регуляторов для управления

математическая модель которого, содержит звено

объектами, содержащими в своей

чистого запаздывания, которое описывается в

математической модели звенья чистого

операторной области (области преобразования запаздывания. Существует много моделей _ ^ ^ „ч „, „

Лапласа) следующей передаточной функцией:

аппроксимации, но все они обладают

собственными недостатками. Так, например, = е-". (1)

аппроксимация рядом Тейлора во многих

публикациях указывается как слишком неточная, Здесь 5 - аргумент пре°браз°вания Лапласа, т

отклик такой модели слишком растянут во - константа времени, измеряемая, например, в

времени. Использование аппроксимации Паде, секувдах.

с- Если рассматривать входной и выходной

которая в публикациях отмечается как наилучшая

сигналы такого элемента, то они должны быть из известных, судя по её отклику на ступенчатый ' "

полностью идентичными, но при этом выходной

скачок, не даёт более точной аппроксимации, а

содержит ряд дополнительных недостатков [1- сигнал отстоит во времени на время ' = т, то есть

21]. В работе [21] описаны и рассчитаны запазДывают, от^да и п^всходаг тазвание

полиномы и образуемые ими фильтры низких этого элемента. Например, если на вход элемента

частот, которые получаются методом численной (1) поступает ступенчатый скачсж с ампли^дов,

оптимизации. Внимательное изучение откликов равной единице, то на выходе будет наблюдаться

такой же в точности скачок, с указанным

этих фильтров различного порядка показало, что

запаздыванием. Отклик на такой скачок

такие фильтры могут использоваться в качестве аппроксимации звена запаздывания при условии

достаточно показательный, поскольку элемент (1) является линейным, а для линейного элемента

реакция на сигнал любой сложности может быть представлен как сумма откликов на элементарные сигналы, из которых состоит этот сложный сигнал. Каждую непрерывную функцию можно представить как последовательность бесконечно малых ступенчатых скачков бесконечно малой амплитуды, что позволяет вычислить выходной сигнал по виду откликов. Естественно, что сигнал любой формы должен появляться на выходе элемента (1) в точно таком же виде и с точно таким же запаздыванием. Следовательно, качество аппроксимации можно оценивать по качеству формирования отклика, который бы по возможности был как можно больше похож на входной сигнал, но сдвинут по времени на величину запаздывания t = т. На этом строятся дальнейшие рассуждения данной статьи.

В литературе сказано, что одним из методов аппроксимации является метод разложения в ряд Тейлора, для которого приводится следующее соотношение:

1

wt(s) =:-v л2 v .з •

(2)

наилучшим приближением для соотношения заданного вида. Иными словами, если мы сначала найдем все наилучшие коэффициенты для бесконечного ряда в знаменателе (2), после чего оставим только первые п членов, то мы получим не лучшие коэффициенты для соотношения вида:

WT(s) =

v (4)

Указанное соотношение является величиной, обратной классическому разложению Тейлора, поэтому оно, строго говоря, не может быть названо соотношением по методу разложения в ряд Тейлора. Как известно, разложение в ряд Тейлора - это разложение функции по степеням, оно должно содержать полином, аналогичный полиному в знаменателе соотношения (2), но только этот полином должен стоять не в знаменателе, а в числителе.

Порассуждаем.

Представим себе, что функцию в виде сдвинутого по времени ступенчатого скачка мы собираемся аппроксимировать выражением вида:

WT(s) ^k0 + k1TS + k2(Ts)2 + k3(Ts)3 + ••• (3)

Добавляя каждый новый член в соотношение (3), мы добавляем функцию с большим количеством точке перегиба, то есть функцию с большим количеством волн, что имеет некоторую аналогию с рядом Фурье, где мы добавляем все более и более высокочастотные компоненты. В обоих случаях новые члены обеспечивают большее уточнение функции, аппроксимация становится всё более точна. Соотношение (2) имеет вид фильтра низких частот. Добавление всё новых и новых членов в знаменателе соотношения (2) в любом случае увеличивает инерционность этого фильтра, следовательно, отклик с каждым новым членом сдвигается на всё большую и большую величину. Следовательно, если имеется соотношение для бесконечного количества членов в знаменателе (2), то отбрасыванием всех членов, начиная с какого-то, мы получаем, разумеется, некоторое приближение, но это приближение не является

к0 + к1т5+к2(т:5)2 + к3(т5)3 + --- + кп(т5)п'

Если же мы поставили бы задачу отыскания наилучших коэффициентов для аппроксимации вида (4) при конечном значении п, а затем сравнили её с наилучшей аппроксимацией для другого значения п, то коэффициенты при одинаковых степенях членов полинома в знаменателе не должны были бы совпадать. По-видимому, при использовании соотношения (2) не вполне разумно было бы использовать какое-то общее соотношение для коэффициентов полинома в знаменателе, затем ограничиться небольшим количеством членов и считать результат наилучшей аппроксимацией. Возможно, что это является причиной того, что аппроксимация Паде считается более удачной. Действительно, аппроксимация Паде задаётся следующим соотношением:

WTn(s) =

Я

,п (п+к)!

--°к\(п-к)\

(ST)n

уП

(п+к)!

k=0kl(n-k)

(ST)"

■. (5)

Здесь п - высшая степень в аппроксимации, и она же является степенью полиномов в числителе и знаменателе соотношения (5). Как видим, значения каждого из коэффициентов зависят от этой величины, то есть все коэффициенты, например, для аппроксимации при п = 3 не совпадают с первыми четырьмя коэффициентами для аппроксимации, например, при п = 4, и вообще при любом п > 3. Исключение составляет коэффициент при свободном члене, который всегда совпадает в числителе и знаменателе, поэтому путем сокращения этой дроби можно сделать его всегда равным единице. Итак, аппроксимация Паде для конечного п вычисляется не путем отбрасывания старших членов, а путем вычисления всех коэффициентов по соотношению (5). Вероятно, это причина его преимущества перед аппроксимацией на основе ряда Тейлора.

Недостатки аппроксимации Паде вытекают из вида соотношения (5). Все коэффициенты в полиноме числителя и знаменателя попарно равны по абсолютному значению, но в знаменателе все они положительны, а в числителе их знак чередуется, при том условии, что коэффициент при свободном члене всегда положителен. Это определяет тот факт, что отклик на скачок в начальный момент времени t = 0 по амплитуде равен величине этого скачка, а по знаку может быть положительным, если п -четное, или отрицательным, если п - нечетное. Статья [21] предлагает модель следующего вида:

1

WVIM(s)='

(6)

1+0.683S+0.184S2'

Эта модель не даёт скачка в момент t = 0, но точность аппроксимации в этом случае также оставляет желать лучшего. Это видно из Рис. 1, где показаны отклики моделей (1), (2), (5) и (6) на ступенчатый скачок при т = 1, причем отклик (1) идеальный, все остальные - аппроксимации.

Step Response

0.8 » 06

та

f 0.4 Е

«0.2 О

■0.2

■VT r / ' if / - Exact

1 f ! к ! ■ 1' ' / — Taylor — Pade

\ J \ //1 — VIM [1]

v7

i i \ / ,

0 05 1 1.5 2 25 3 35 4 4.5 5 Т)те 1зесдгч]5|

Рис. 1. Сравнение откликов моделей (1), (2), (5) и (6) при т = 1 из публикации [21]

Очевидно, что лучшая аппроксимация должна начинаться в точке нуля, желательно также, чтобы она не слишком сильно отклонялась от нуля на интервале 0 < t < 1 и не слишком сильно отклонялась от единицы на интервале 1 < t < да. Эти требования, очевидно, можно удовлетворить в соотношении вида (4) при условии подходящих коэффициентов.

Данная задача ставит целью отыскание лучших в сравнении с (2), (4) и (5) аппроксимаций, причем, желательный вид аппроксимации совпадает с соотношением (4), поэтому необходимо лишь отыскание коэффициентов полинома в знаменателе.

Предлагаемый метод

ИССЛЕДОВАНИЯ

Поставленную задачи предлагается решить методом численной оптимизации. Внимательное изучение полиномов, названных в нескольких публикациях полиномами Чегорского [22, 23], показало, что эти полиномы как нельзя лучше удовлетворяют поставленной задаче. Но коэффициенты этих полиномов не заданы аналитически, они рассчитаны для случая до 12 порядка включительно методом численной оптимизации в работах [24 -26], а ранее были рассчитаны до 9 порядка самим автором этой идеи. Суть идеи этих полиномов состояла в отыскании идеального отклика замкнутой системы автоматического управления при условии, что вид этого отклика соответствует отклику низкочастотного фильтра вида (4) при фиксированной степени полинома в знаменателе. Также предполагалось для единства терминологии, что коэффициенты при старшем и младшем членах полинома в знаменателе равны единице. Следовательно, задача оптимизации

должна отыскать недостающие n - 1 коэффициентов. Условие оптимизации состояло в том, чтобы отклонение отклика такого фильтра от идеального ступенчатого скачка было как можно меньше. С этой целью была предложена целевая функция, у которой отыскивался минимум.

Автором идеи была применена целевая (стоимостная) функция следующего вида [22]:

F(T) = /O^w/ [e(t)g] + |e(t)|t}dt. (7)

Здесь T - время моделирования, kw - весовая функция, в данном случае она была равна единице, kw = 1, f - функция ограничения снизу (отсекает отрицательные значения) следующего вида:

/[х] = max{x,0}. (8)

Предлагается модификация этого соотношения использованием весового коэффициента kw = 200, что позволяет более эффективно подавить колебания. Основания для такой модификации изложены в разделе, посвященном стоимостной (целевой) функции при оптимизации в работе [27].

Полином 2 порядка

Структура для вычисления полинома второго порядка показана на Рис. 2. Внутренняя структура блока оценки стоимостной функции «Cost Estimator» показана на Рис. 3. На Рис. 4 показан полученный переходный процесс в этой системе, а на Рис. 5 - блок вычисления оптимизируемого параметра, где справа, а дисплее показан полученный результат вычисления.

Рис. 2. Структура для вычисления полинома 2 порядка

Рис. 3. Вычислитель стоимостной функции для структуры по Рис. 2

1-0.317s

Рис. 4. Переходный процесс, полученный в схеме по Рис. 2, Рис. 3

Рис. 5. Значение оптимизируемого параметра в схеме по Рис. 2, Рис. 3

PCH2(s) = (l + ^s + s2).

(9)

Значение рассчитанного коэффициента: а1 = 3,1545. Время достижения уровня 60% составляет 4 с. Соответственно для того, чтобы это время равнялось одной секунде, требуется коэффициент при 5 разделить на 4, а коэффициенты при 52, равный единице, разделить на 42 = 16. Получаем следующий результат: Ь = 0,85887, ¿2 = 0,0625.

PC2(s) = (1 + blS + b2S2).

(10)

Таким образом, полином для второго порядка имеет следующий вид:

РС2(Б) = (1 + 0,858875 + 0,0625б2). (11)

Этот результат даёт возможность записать математическое выражение для передаточной функции фильтра второго порядка, который аппроксимирует звено запаздывания (1) при т = 1, т.е. элемент вида

WD(s) = e-

(12)

Математическая модель аппроксимирующего фильтра в этом случае имеет следующий вид:

Wch(s) =

l

1+0,85887s+0,0625s2'

(13)

Отклик такого фильтра на единичный ступенчатый скачок по своему виду похож на график, показанный на Рис. 4, но при условии, что масштаб по времени будет в 4 раза меньше, т.е. точка пересечения этого графика уровня 0,6 соответствует времени t = 1 с.

Полином з порядка

структуре, показанной на Рис. 8. Отметим, что, как и в предыдущем эксперименте, все фрагменты, показанные на Рис. 6-8 являются фрагментами одного проекта в программе

УгяБШ.

Рис. 6. Структура для вычисления полинома 3 порядка

Рис. 7. Переходный процесс, полученный в схеме по Рис. 6

Рис. 8. Значения оптимизируемых параметров в схеме по Рис. 6

Рснз($) = (1 + a-is + a-2S2 + s3).

(14)

Значения коэффициентов: a1 = 3,43548, a2 = 5,726888. Время достижения уровня 60% составляет 5 с. Соответственно для того, чтобы это время равнялось одной секунде, требуется коэффициент при s разделить на 5, коэффициент при s2 разделить на 52 = 25, а коэффициент при s3, равный единице, разделить на 53 = 125.

Получаем следующий промежуточный результат: bi = 0,687096, ¿2 = 0,229076, Ьз = 0,008.

PC3(s) = (1 + biS + b2s2 + b3s3). (15)

Второй график проходит в момент 0,8 вместо 1 с. Вносим дополнительную коррекцию. Получаем следующий окончательный результат: bi = 0,85887, ¿2 = 0,357931, Ьз = 0,015625.

Окончательно полином имеет следующий вид:

pC3(s) = (1 + 0,85887s + 0,357931s2 + 0,015625s3). (16)

Предыдущий раздел показал методику вычисления фильтра, но с повышением порядка фильтра методика усложняется. Для вычисления полинома третьего порядка воспользуемся структурой, показанной на Рис. 6, в результате оптимизации получаем график, показанный на Рис. 7, а также значения оптимизируемых параметров, показанные на дисплеях справа в

На Рис. 9 показана структура для моделирования различных фильтров с целью сравнения переходных процессов. На Рис. 10 показан переходный процесс на выходе фильтра с полиномом (16) в знаменателе.

Рис. 9. Структура для моделирования различных фильтров с целью сравнения переходных процессов

Рис. 10. Переходный процесс на выходе фильтра с полиномом (16) в знаменателе

Данный процесс более точно аппроксимирует элемент запаздывания.

ПОЛИНОМ 4 ПОРЯДКА

Структура для вычисления полинома четвертого порядка показана на Рис. 11. Полученный переходный процесс представлен на Рис. 12, а значения полученных оптимизируемых параметров даны на Рис. 13.

Рис. 11. Структура для вычисления полинома 4 порядка

Рис. 12. Переходный процесс, полученный в схеме по Рис. 11

Рис. 13. Значения оптимизируемых параметров в схеме по Рис. 11

Уравнение для полинома, рассчитанного таким путем, имеет вид:

pch4(s) = (1 + alS + s2)(1 + a3s + s2). (17)

Значения коэффициентов: a1 = 2,67553, a2 = 2,29134. Время достижения уровня 60% составляет 7 с. Для того, чтобы это время равнялось одной секунде, требуется коэффициенты при s разделить на 7, а коэффициенты при s2, равные единице, разделить на 72 = 49. Получаем следующий результат:

bi = 0,382219, b2 = 0,327334, di = d2 = 0,020408. Поскольку два последние коэффициента равны друг другу, достаточно оставить один из них, вводя его в соответствующую новую формулу для полинома четвертого порядка:

pC4(s) = (1 + b1s + d1s2)(1 + b2s + d1s2). (18)

Необходимо ввести коэффициент 0,7 на первой итерации, затем с коррекцией на 1,05 на окончательной итерации. Получаем в первой итерации b1 = 0,546027, b2 = 0,46762, d1 = d2 = 0,041649.

Окончательный вариант: b1 = 0,520025714, b2 = 0,445352381, d = d2 = 0,037777.

Получаем следующий полином:

pC4(s) = (1 + 0,520025714s + 0,037777s2)(1 + 0,445352381s + 0,037777s2).

(19)

На Рис. 14 показана структура для моделирования различных фильтров с целью сравнения переходных процессов. На Рис. 15 показан переходный процесс на выходе фильтра с полиномом (19) в знаменателе.

Видно, что аппроксимация линией 2 по полиному (19) лучше, чем аппроксимация линией 1 по полиному (16).

Рис. 14. Структура для моделирования различных фильтров с целью сравнения переходных процессов

1

-2

1 /

■2

Рис. 15. Переходный процесс на выходе фильтра с полиномом (19) в знаменателе - линия 2 - в сравнении с результатом для полинома (16) - линия 1

Рис. 18. Коэффициенты полинома 5 порядка, полученные в схеме по Рис. 16

РснАэ) = (1 + а^ + а2Б2 + 53)(1 + а3Б + б2).

(20)

Значения коэффициентов: а1 = 2,02279, а2 = 3,50809, аз = 3,21308. Время достижения уровня 60% составляет 7,5 с. Соответственно для того, чтобы это время равнялось одной секунде, требуется коэффициенты при 5 разделить на 7,5, а коэффициенты при 52 разделить на 7,52. Коэффициент при 53, равный единице, необходимо разделить на 7,53. Получаем следующий результат: Ь1 = 0,269705, ¿2 = 0,062366, й1 = 0,00237, Ьз = 0,428411, й2 = 0,017778. Также получаем новую формулу для полинома пятого порядка:

рс4(5) = (1 + Ъ^ + Ъ2Б2 + + Ъ3Б +

й252). (21)

В альтернативном эксперименте, показанном на Рис. 19, 20 и 21, получены другие значения коэффициентов: gl = 2,47388, g2 = 4,13753, Яз = 3,06782.

Полином 5 порядка

Вычисление коэффициентов полинома пятого порядка осуществлено в двух различных структурах. Первая структура показана на Рис. 16. Полученный переходный процесс показан на Рис. 17, а полученные коэффициенты на Рис. 18. Соотношение для полинома дано уравнением (20).

Рис. 19. Альтернативная схема для вычисления полинома 5 порядка

Рис. 16. Схема для вычисления полинома 5 порядка в первом эксперименте

Рис. 17. Переходный процесс в системе по Рис. 16

Рис. 20. Переходный процесс в системе по Рис. 19

EarametsrUnknowri carameterUnknown EarametsrUnknowri

247383

4 13763

3 06782

Рис. 21. Коэффициенты полинома 5 порядка, полученные в схеме по Рис. 19

Для того, чтобы оценить, насколько эти результаты отличаются друг от друга, следует раскрыть скобки

РСН4(Б) = 1 + а^ + а2Б2 + б3 + а3Б + а3а1Б2 +

a3a2S + a3

© Automatics & Software Enginery. 2022, N 1 (39) http://jurnal.nips.ru/en

31

+ a3s4 + a?s4 + s5. (22)

Можно ввести следующее соотношение Рсн4(я) = 1 + q1s + Ц2Б2 + ЦзБ3 + ^ + .

(23)

Отсюда из (22) и (23) получаем

ц1 = а1 + а3. (24)

Ц2=а2+ а3а1 + 1. (25)

ц3=1 + а-ъа2 + (26)

Ц4=а3+й2. (27)

Для первого варианта решения получаем а1 = 2,02279, а2 = 3,50809, аз = 3,21308:

q1 =5,23587. q2 =11,00748. q3 =14,29456. q4 =6,72117.

(28)

(29)

(30)

(31)

Для второго варианта решения получаем gl = 2,47388, Я2 = 4,13753, Я3 = 3,06782:

Ч1 =5,5417. q2 =12,72695. q3 =16,16708. q4 =7,20535.

(32)

(33)

(34)

(35)

Отсюда можно сделать вывод, что эти полиномы имеют различные коэффициенты, то есть результат оптимизации в различных экспериментах может получаться различный. По этом причине целесообразно вычислить коэффициенты и для второго случая, после чего сравнить результаты. Получаем для второго случая следующий результат: Ь\ = 0,329851, ¿2 = 0,073556, ¿1 = 0,00237, ¿3 = 0,409043, ¿2 = 0,017778.

На Рис. 22 показана структура для моделирования различных фильтров с целью сравнения переходных процессов. На Рис. 23 показан переходный процесс на выходе фильтров с полиномами (22) в знаменателе с различными значениями коэффициентов.

Таким образом, первый график (синий) проходит через точку 60% в момент 0,75 с вместо 1 с. Требуются коррекции коэффициентов. Получаем следующий результат: ¿1 = 0,269705 / 0,75 = 0,359607, ¿2 = 0,062366 / 0,752 = 0,110873, ¿1 = 0,00237 / 0,753 = 0,005617778, ¿3 = 0,428411 / 0,75 = 0,571215, ¿2 = 0,017778 / 0,752 = 0,031605.

Также получаем новую формулу для полинома пятого порядка:

РС4(5) = (1 + М + Ъ2Б2 + й153)(1 + М +

d2S2). (36)

Л/с. 22. Структура для моделирования различных фильтров с целью сравнения переходных процессов

Рис. 23. Переходный процесс на выходе фильтров с полиномами (22) в знаменателе с различными значениями коэффициентов

Второй график проходит в момент 0,8 вместо

1 с.

Получаем следующий результат: ¿1 = 0,329851 / 0,8 = 0,412314, ¿2 = 0,073556 / 0,82 = 0,114931, ¿1 = 0,00237 / 0,83 = 0,004628906, ¿3 = 0,409043 / 0,8 = 0,511304, ¿2 = 0,017778 / 0,82 = 0,027778.

На Рис. 24 показаны структуры для моделирования разных фильтров, полученных ранее, переходные процессы показаны на Рис. 25. Эти графики не проходят через контрольную точку, которая определена в момент t = 1 с, где значение кривой переходного процесса должно быть равным 0,6 (т.е. 60% установившегося значения). На этом основании по ранее рассмотренной методике внесены

дополнительные корректировки коэффициентов фильтров, после чего получены фильтры, структура для моделирования которых показана на Рис. 26, а полученные процессы показаны на Рис. 27. Эти процессы проходят через контрольную точку.

Рис. 24. Структуры для моделирования разных фильтров, полученных ранее

......

>

/у

"и ! J - >

■t 1 г 4 is и 1 ? ■ д ■ е и

Рис. 25. Процессы, полученные при моделировании по структурам Рис. 24.

Рис. 26. Структуры для моделирования скорректированных фильтров

Сравнение двух фильтров пятого порядка осуществлено с помощью структур, показанных на Рис. 28.

Рис. 28. Структуры для моделирования двух скорректированных фильтров пятого порядка

У 1

/

/

1 1! 14 15 Ч 2 22 и 2 t 21 ! 12 34

Рис. 29. Процессы, полученные при моделировании по структурам Рис. 28

Сравнение этих переходных процессов, показанных на Рис. 29, показывает, что они очень близки между собой, практически, они совпадают. Таким образом, любой из полученных вариантов, является в одинаковой степени подходящим.

ПОЛИНОМ 6 ПОРЯДКА

Для вычисления полинома 6 порядка потребуется структура, показанная на Рис. 30. Полученный переходный процесс показан на Рис. 31. Полученные коэффициенты показаны на Рис. 32.

Рис. 30. Структура для вычисления полинома 6 порядка

Рис. 27. Процессы, полученные при моделировании по структурам Рис. 26

/

/

/

О 2.5 5 7 5 10 12 5 15 17 5 20 22 5 25 27 5 30 32 5 36 37 5 40 Тт.в (sec;

Рис. 31. Переходный процесс в системе по Рис. 30

Рис. 32. Коэффициенты полинома 6 порядка, полученные в схеме по Рис. 30

pch6(s) = (1 + ais + a2s2 + s3)(1 + a3s +

a4s2 + s3). (37)

Значения коэффициентов: a1 = 1,90643, ü2 = 3,78036, аз = 4,767, a4 = 7,02304.

Время достижения уровня 60% составляет 8,5 с. Соответственно для того, чтобы это время равнялось одной секунде, требуется коэффициенты при s в первой степени разделить на 8,5 коэффициенты при s2 разделить на 8,52. Коэффициенты при s3, равные единице, необходимо разделить на 8,53.

Получаем следующий результат:

bi = 0,224286, b2 = 0,05232, ¿3 = 0,56082, b4 = 0,09720, di = 0,00162. Уравнение этого полинома имеет вид:

PC6(s) = (1 + bis + b2s2 + dis3)(1 + ЬзБ +

b4s2 + d1s3). (38)

Структура для моделирования уточненного фильтра 6 порядка показана на Рис. 33, а соответствующий переходный процесс показан на Рис. 34.

Рис. 33. Структура для моделирования уточненного фильтра 6 порядка

Требуется ввести коэффициент 0,85. Получаем следующий результат: ¿1 = 0,263866, ¿2 = 0,072415, ¿3 = 0,659788, ¿4 = 0,134533, ¿1 = 0,002637899. Уравнение этого полинома имеет вид:

рс6(б) = (1 + ъ1б + ь2б2 + ^153)(1 + ъ3б +

ъ4б2 + d1s3). (39)

На Рис. 35 показана структура для моделирования ранее рассчитанного фильтра пятого порядка и нового фильтра шестого порядка. На Рис. 36 показаны переходные процессы в этих структурах.

Рис. 35. Структура для моделирования ранее рассчитанного фильтра пятого порядка и нового фильтра шестого порядка

Рис. 34. Переходный процесс в системе по Рис. 33 © Automatics & Software Enginery. 2022, N 1 (39) http://jurnal.nips.ru/en

Рис. 36. Переходные процессы в фильтрах пятого порядка и шестого порядка по структурам Рис. 36.

Полином 7 порядка

Для вычисления полинома 7 порядка потребуется структура, показанная на Рис. 37. Полученный переходный процесс показан на Рис. 38. Полученные коэффициенты показаны на Рис. 39. Полученный полином в общем виде записывается по соотношению (40).

pchi(s) = (1 + ais + a2S2 + s3)(1 + a3s + s2)(1 + a4s + s2). (40)

Значения коэффициентов: a1 = 1,88317, a2 = 3,05868, as = 2,77712, a4 = 2,10276.

Время достижения уровня 60% составляет 10 с. Для того, чтобы это время равнялось одной секунде, требуется коэффициенты при s разделить на 10 коэффициенты при s2 разделить

на 102, а коэффициенты при 53 необходимо разделить на 103.

Рис. 37. Схема для вычисления полинома 7 порядка

Рис. 38. Переходный процесс в системе по Рис. 37

Рис. 39. Коэффициенты полинома 7 порядка, полученные в схеме по Рис. 37

Получаем следующий результат: ¿1 = 0,188317, ¿2 = 0,0305868, ¿3 = 0,277712, ¿4 = 0,210276, ё = 0,001, ¿2 = 0,01. Уравнение этого полинома имеет вид:

рС7(б) = (1 + Ъ^ + ъ2б2 + й1Б3)(1 + ъ3б + (12б2х1 + ъ4б + <л2б2). (42)

Коэффициент 0,72. Получаем следующий результат: ¿1 = 0,261551389, ¿2 = 0,059002, ¿3 = 0,385711111, ¿4 = 0,29205, ё = 0,002679184, ё2 = 0,01929. Уравнение этого полинома имеет вид:

рС7(б) = (1 + 0,261551389б + 0,059002б2 + й1з3)(1 + 0,3857111115 +

0,002679184з2)(1 + 0,29205б + 0,01929б2).

(42)

После всех итераций получаем структуру, показанную на Рис. 40, а переходные процессы в ней показаны на Рис. 41.

Рис. 40. Структура для моделирования фильтра 7 порядка

Рис. 41. Переходный процесс в фильтре 7 порядка по Рис. 40

ПОЛИНОМ 8 ПОРЯДКА

Для вычисления полинома 8 порядка потребуется структура, показанная на Рис. 42. Полученный переходный процесс показан на Рис. 43. Полученные коэффициенты показаны на Рис. 44. Полученный полином в общем виде записывается по соотношению (43).

Рис. 42. Схема для вычисления полинома 8 порядка

Рис. 43. Переходный процесс в системе по Рис. 42

Рис. 44. Коэффициенты полинома 8 порядка, полученные в схеме по Рис. 42

PcH8(s) = (1 + aiS + a2s2 + s3)(1 + азБ + a4s2 + s3)(1 + a5s + s2). (43)

Значения коэффициентов: а = 1,20594, а2 = 2,23292, аз = 4,08461, а4 = 6,89672, а5 = 2,31103.

Время достижения уровня 60% составляет 11 с. Для того, чтобы это время равнялось одной секунде, требуется коэффициенты при 5 разделить на 10 коэффициенты при я2 разделить на 112, а коэффициенты при я3 необходимо разделить на 113. Получаем следующий результат: ¿1 = 0,109631, ¿2 = 0,01845, ¿3 = 0,37132, ¿4 = 0,05699, ¿5 = 0,21009, ё = 0,090909, ¿2 = 0,008264. Уравнение этого полинома имеет вид:

рС8(б) = (1 + Ъ1Б + Ь2Б2 + й1Б3)(1 + Ъ3Б + ь4б2 + й1Б3)(1 + ь5б + й2Б2). (44)

Также применялась альтернативная структура, показанная на Рис. 45. Переходный процесс показан на Рис. 46, а коэффициенты - на Рис. 47.

Рис. 45. Альтернативная схема для вычисления полинома 8 порядка

Значения коэффициентов: а1 = 2,472044, а2 = 2,77879, а3 = 2,42628, а4 = 2,70795, а5 = 2,18399.

Время достижения уровня 60% составляет 10,5 с. Для того, чтобы это время равнялось одной секунде, требуется коэффициенты при я разделить на 10 коэффициенты при я2 разделить на 10,52, а коэффициенты при я3 необходимо разделить на 10,53. Получаем следующий результат: ¿1 = 0,235433, ¿2 = 0,025204, ¿3 = 0,231074, ¿4 = 0,024562, ¿5 = 0,207999, й\ = 0,00907, ¿2 = 0,000864. Уравнение этого полинома имеет ранее представленный вид (44).

Полином 9 порядка

Для вычисления полинома 9 порядка потребуется структура, показанная на Рис. 48. Полученный переходный процесс показан на Рис. 49. Полученные коэффициенты показаны на Рис. 44. Полученный полином в общем виде записывается по соотношению (45).

Рис. 48. Схема для вычисления полинома 9 порядка

Рис. 49. Переходный процесс в системе по Рис. 48

2 4 5 5 4 -► -► parameterllnknown paiamelerUn known -► -► a1 a' 1.20996 2.98921

-► parameterUn known -► al 4.2351

-► -► a4 2.80048

-► paiamelerUn known -► a5 3.74852

10 I-► parameterllnknown -► аб 8 11247

Рис. 46. Переходный процесс в системе по Рис. 45

Рис. 50. Коэффициенты полинома 9 порядка, полученные в схеме по Рис. 48

Рис. 47. Коэффициенты полинома 8 порядка, полученные в схеме по Рис. 45

pch9(s) = (1 + а15 + a2s2 + 53)(1 + a3s + a4s2 + s3)(1 + a5s + a6s2 + s3). (45)

Значения коэффициентов: a1 = 1,20996, a2 = 2,98921, аз = 4,2351, a4 = 2,380048, a5 = 3,74852, a6 = 8,11247.

Время достижения уровня 60% составляет 10 с. Соответственно, для того чтобы это время равнялось одной секунде, требуется все коэффициенты при 5 в первой степени разделить на это число 13, а все коэффициенты при 5 во второй степени разделить на это число в квадрате 102.

Получаем следующий результат:

¿1 = 0,120996, ¿2 = 0,0298921, ¿3 = 0,42351, ¿4 = 0,02380048, ¿5 = 0,374852, ¿6 = 0,0811247, й\ = 0,001.

Уравнение этого полинома имеет вид:

рС9(5) = (1 + Ъ^ + ъ2б2 + й1Б3)(1 + ъ3б + ъ4б2 + ^^ + ъ5б + ъ6б2 + <^3). (46)

После всех итераций получаем структуру, показанную на Рис. 51, а переходные процессы в ней показаны на Рис. 52.

на Рис. 55. Полученный полином в общем виде записывается по соотношению (47).

Рис. 51. Структура для моделирования фильтров 8 и 9 порядков

<

2,

// 1

?

1

2

Рис. 52. Переходные процессы в фильтрах 8 и 9 порядков по структурам по Рис. 51

Рис. 53. Схема для вычисления полинома 10 порядка

Рис. 54. Переходный процесс в системе по Рис. 53

Рис. 55. Коэффициенты полинома 10 порядка, полученные в схеме по Рис. 53

Pchio(s) = (1 + а^ + a2s2 + s3)(1 + a3s + a4s2 + s3)(1 + a5s + s2)(1 + a6s + s2). (47)

Значения коэффициентов: a1 = 2,02472, a2 = 2,46995, аз = 2,30834, a4 = 2,51757, a5 = 2,05514, a6 = 2,30863.

Время достижения уровня 60% составляет 12 с. Для того, чтобы это время равнялось одной секунде, требуется все коэффициенты при s разделить на 12, все коэффициенты при s2 разделить на 122, все коэффициенты при s3 разделить на 123.

Получаем следующий результат:

bi = 0,168727, b2 = 0,017152, ¿3 = 0,192362, b4 = 0,017483, ¿5 = 0,171262, ¿6 = 0,192386, d1 = 0,000579, d2 = 0,006944.

ПОЛИНОМ 10 ПОРЯДКА

Для вычисления полинома 10 порядка потребуется структура, показанная на Рис. 53. Полученный переходный процесс показан на Рис. 54. Полученные коэффициенты показаны

Pcio(s) = (1 + bis + b2s2 + dis3)(1 + b3s + b4s2 + d1s3)(1 + b5s + d2s2)(1 + b6s + d2s2).

(48)

Полином 11 порядка

Для вычисления полинома 11 порядка потребуется структура, показанная на Рис. 56. Полученный переходный процесс показан на Рис. 57. Полученные коэффициенты показаны на Рис. 58. Полученный полином в общем виде записывается по соотношению (49).

П—-——,_,

Рис. 56. Схема для вычисления полинома 11 порядка

Рис. 57. Переходный процесс в системе по Рис. 56

2 4 5 5 4 -► paiamsterUn known -► a1 -► 1.3139

-► paiamaterUn known -► a? -► 2.98831

-► paiamaterUn known -► a3 -► 4.23246

-► paiamsterUn known -► a4 -► 2.40911

-► paiamsterUn known -► a5 -► 3.83888

1Г1 1-► paiamaterUn known -► a6 -► 8.26631

1|-И parameterUn known -► a7 -► .347576

Рис. 58. Коэффициенты полинома 11 порядка, полученные в схеме по Рис. 56

РСн11(5) = (1 + ^ + а2Б2 + ^Х! + аъБ +

а4Б2 + 53)(1 + а5Б + а6Б2 + 53)(1 + а7Б + б2).

(49)

Значения коэффициентов: а\ = 1,3139, а2 = 2,98831, аъ = 4,23245, а4 = 2,40911, а5 = 3,83888, а6 = 8,26631, а7 = 0,347576.

Время достижения уровня 60% составляет 14 с. Для того, чтобы это время равнялось одной секунде, требуется коэффициенты при я разделить на 14, коэффициенты при я2 разделить на 142, а коэффициенты при я3 разделить на 143.

Получаем следующий результат: Ьх = 0,09385, ¿2 = 0,015246, Ьъ = 0,302318, ¿4 = 0,012291, ¿5 = 0,274206, ¿6 = 0,042175, ¿7 = 0,024827, & = 0,000364, ¿2 = 0,005102.

рс11(б) = (1 + ъ1б + ь2б2 + ^53)(1 + ъ3б + ь4б2 + й1Б3)(1 + ь5б + ь6б2 + й1Б3)(1 + ь7б +

й232). (50)

Эту задачу также можно решить альтернативной структурой, показанной на Рис. 59. Полученный переходный процесс показан на Рис. 60. Полученные коэффициенты показаны на Рис. 61. Полученный полином в общем виде записывается по соотношению (50) с новыми коэффициентами.

Рис. 59. Альтернативная схема для вычисления полинома 11 порядка

/

/

/

/

/

Рис. 60. Переходный процесс в системе по Рис. 59

-► -► pa га mete ("Unknown pa га m et e rU n known -► -► a1 я? 2.62958 2.80036

-► -► аЧ 2.35318

-► paiamsterUn known -► a4 2.30454

-► paiamaterUn known -► a5 2.00026

-► paiameterUn known -► а7 2.22495

Рис. 61. Коэффициенты полинома 11 порядка, полученные в схеме по Рис. 59

Значения коэффициентов: а1 = 2,62958, а2 = 2,80036, аэ = 2,35318, а4 = 2,30454, аз = 2,00026, а6 = 2,22388, ап = 2,22495.

Время достижения уровня 60% составляет 13 с. Для того, чтобы это время равнялось одной секунде, требуется коэффициенты при я разделить на 13, коэффициенты при я2 разделить на 132, а коэффициенты при я3 разделить на 133.

Получаем следующий результат: ¿1 = 0,202275, ¿2 = 0,01657, ¿3 = 0,181014,

¿4 = 0,013636, Ь = 0,153866, Ьб = 0,013159, Ь = 0,17115, й = 0,000455, ёг = 0,005917.

Полином 12 порядка

Для вычисления полинома 12 порядка потребуется структура, показанная на Рис. 62. Полученный переходный процесс показан на Рис. 63. Полученные коэффициенты показаны на Рис. 64. Полученный полином в общем виде записывается по соотношению (51).

Рис. 62. Структура для вычисления полинома 12 порядка и полученные коэффициенты

•

•

Рис. 63. Переходный процесс в системе по Рис. 62

2 _5_ T -► -► parameterUnknown -► -> a1 i? -» -к 1 20085 1 42169

-» parameterUnknown -► a3 -► 4.36175

-► parameterUnknown -► a4 -► 3 49134

-► parameterUnknown -► ab -► 3 5366

10 I—► parameterUnknown -► аб -► 751162

3 -► parameterUnknown -► эЗ -► 2 57021

Рис. 64. Коэффициенты полинома 12 порядка, полученные в схеме по Рис. 62

Рсн12(я) = (1 + а^ + а2Б2 + 53)(1 + азБ + а4Б2 + 53)(1 + а5Б + а6Б2 + 53)(1 + а7Б +

а8Б2 + Б3). (51)

Значения коэффициентов: а = 1.20085, аг = 1.42169, аъ = 4.36175, а4 = 3.49134, аз = 3.5366, а6 = 7.51162, ап = 1.28631, а8 = 2.57021.

Время достижения уровня 60% составляет 15,5 с. Для того, чтобы это время равнялось одной секунде, требуется коэффициенты при 5 разделить на 15,5, коэффициенты при 52

разделить на 15,52, а коэффициенты при s3 разделить на 15,53.

Получаем следующий результат: b = 0,077474, b2 = 0,005918, Ьз = 0,281403, b4 = 0,014532, b5 = 0,228168, b6 = 0,031266, bv = 0,082988, b8 = 0,010698, d = 0,000269.

PCi2(s) = (1 + bis + b2s2 + dis3)(1 + b3s + b4s2 + d1s3)(1 + b5s + b6s2 + d1s3)(1 + b7s +

b8s2 + d1s3). (52)

Полином 13 порядка

Для вычисления полинома 13 порядка потребуется структура, показанная на Рис. 65. Полученный переходный процесс показан на Рис. 66. Полученные коэффициенты показаны на Рис. 67. Полученный полином в общем виде записывается по соотношению (53).

Ш—Mib---к

+и-1—1 —ии>—I L+m-

Г Cast Estimator

Рис. 65. Структура для вычисления полинома 13 порядка и полученные коэффициенты

Tine (sec)

Рис. 66. Переходный процесс в системе по Рис. 65

-► parameterUnknown -► a1 -► 2 23623

-► parameterUnknown -► a? -► 2.4-3215

-► parameterUnknown -► -► 2 23459

-► parameterUnknown -► a4 -► 2.28208

parameterUnknown a5 2.01029

-► -► -►

parameterUnknown afi 2.14003

-► parameterUnknown -► я7 -► 2.16634

parameterUnknown aB 2.10532

Рис. 67. Коэффициенты полинома 13 порядка, полученные в схеме по Рис. 65

pchis(s) = (1 + + Ü2S2 + s3)(1 + a3s + a4s2 + s3)(1 + a5s + a6s2 + s3)(1 + a7s + s2)(1 + a8s + s2). (53)

коэффициентов:

аз = 2,23459, a6 = 2,14003,

ai = 2,23623, a4 = 2,28208, av = 2,16634,

Значения a2 = 2,43215, as = 2,01029, as = 2,10532.

Время достижения уровня 60% составляет 16 с. Для того, чтобы это время равнялось одной секунде, требуется коэффициенты при s разделить на 16, коэффициенты при s2 разделить на 162, а коэффициенты при s3 разделить на 163.

Получаем следующий результат: bi = 0,139764, b2 = 0,009501, Ьз = 0,139662, b4 = 0,008914, bs = 0,125643, Ьб = 0,008359, b7 = 0,135396, bs = 0,131583, d1 = 0,000244, d2 = 0,003906.

Pci3(s) = (1 + bis + b2s2 + dis3)(1 + ЬзБ + b4s2 + d1s3)(1 + b5s + d2s2)(1 + b6s + d2s2).

(54)

Полином 14 порядка

Для вычисления полинома 14 порядка потребуется структура, показанная на Рис. 68. Полученный переходный процесс показан на Рис. 69. Полученные коэффициенты показаны на Рис. 70. Полученный полином в общем виде записывается по соотношению (55).

zstimatar

Рис. 68. Схема для вычисления полинома 14 порядка

Рис. 70. Коэффициенты полинома 14 порядка, полученные в схеме по Рис. 68

PCHI4(s) = (1 + ais + a2s2 + s3)(1 + a3s + a4s2 + s3)(1 + a5s + a6s2 + s3)(1 + a7s + a8s2 + s3)(1 + a9s + s2). (55)

ai = 2,79106, a4 = 2,25015, av = 2,12369,

Значения коэффициентов: а2 = 2,89997, а3 = 2,30287, а5 = 2,01523, а6 = 2,10832, а8 = 2,02382, а9 = 2,003696.

Время достижения уровня 60% составляет 17 с. Для того, чтобы это время равнялось одной секунде, требуется коэффициенты при я разделить на 17, коэффициенты при я2 разделить на 172, а коэффициенты при я3 разделить на 173.

Получаем следующий результат: ¿1 = 0,16418, ¿2 = 0,010034, ¿3 = 0,135463, ¿4 = 0,007786, ¿5 = 0,118543, ¿6 = 0,007295, ¿7 = 0,124923, ¿8 = 0,007003, ¿9 = 0,117864, & = 0,000204, ¿2 = 0,00346.

рс14(б) = (1 + ъ1б + ь2б2 + ^53)(1 + ъ3б + ь4б2 + d1s3)(1 + ь5б + ь6б2 + d1s3)(1 + ь7б + Ь6852 + d1s3)(1 + ь9б + d2s2). (56)

ПОЛИНОМ 15 ПОРЯДКА

Для вычисления полинома 15 порядка потребуется структура, показанная на Рис. 71. Полученный переходный процесс показан на Рис. 72. Полученные коэффициенты показаны на Рис. 73. Полученный полином в общем виде записывается по соотношению (57).

Рис. 71. Схема для вычисления полинома 15 порядка

Рис. 69. Переходный процесс в системе по Рис.

© Automatics & Software Enginery. 2022, N 1 (39) http://jurnal.nips.ru/en

Рис. 72. Переходный процесс в системе по Рис. 71

2 4 5 _5_ Т 1П -► parameterUnknown -► a1 6.59981

-► parameterUnknown -► a2 .239132

-► parameterUrknown -► a3 3.34287

-► parameterUnknown -► a4 9.60619

-► 1—► parameterUnknown parameterUnknown -► -► ab afi 1 67611 5 13607

1 3 1 1 -► parameterUnknown -► яТ 914002

-► pafamaterUn known -► af? 2.02667

-► parameterUnknown -► аЧ 1 02014

-► parameterUnknown -► a 10 I—► 1.37222

Рис. 73. Коэффициенты полинома 15 порядка, полученные в схеме по Рис. 71

pchis(s) = (1 + a-tS + a2s2 + s3)(1 + азБ + a4s2 + s3)(1 + a5s + a6s2 + s3)(1 + a7s + a8s2 + s3)(1 + a9s + a10s2 + s3). (57)

Значения коэффициентов: a1 = 6,59981, Ü2 = 0,239132, аз = 3,34287, a4 = 9,60619, ü5 = 1,67611, a6 = 5,13607, av = 0,914002, a8 = 2,02667, ag = 1,02014, aw = 1,37222.

Время достижения уровня 60% составляет 18 с. Для того, чтобы это время равнялось одной секунде, требуется коэффициенты при s разделить на 18, коэффициенты при s2 разделить на 182, а коэффициенты при s3 разделить на 183. Получаем следующий результат: b = 0,366656, b2 = 0,000738, ¿3 = 0,185715, b4 = 0,029649, ¿5 = 0,093117, ¿6 = 0,015852, ¿7 = 0,050778, ¿8 = 0,006255, ¿9 = 0,056674, ¿10 = 0,004235, d = 0,000171.

Pcis(s) = (1 + bis + b2S2 + dis3)(1 + ЬзБ + b4s2 + d1s3)(1 + b5s + b6s2 + d1s3)(1 + b7s + b8s2 + d1s3)(1 + b9s + b10s2 + d1s3). (58)

Коэффициент 0,76. Получаем следующий результат:

¿1 = 0,482442, ¿2 = 0,001278, ¿3 = 0,244362, ¿4 = 0,051331, ¿5 = 0,122522, ¿6 = 0,027445, ¿7 = 0,066813, ¿8 = 0,010829, ¿9 = 0,074571, ¿10 = 0,007332, d\ = 0,000389543.

Pc1s(s) = (1 + hs + b2S2 + d1S3)(1 + ЬзБ + b4s2 + d1s3)(1 + b5s + b6s2 + d1s3)(1 + b7s + b8s2 + d1s3)(1 + b9s + b10s2 + d1s3). (59)

V

1

1-

0 001s +0 0299821s°+0 120996s+1

1

0 001s +0 02380048s +0.42351s+1

1

0 001s+0 0811247s'+0.374852s+1

1

1-

0 000389543s +0 001278з"+0 482442s+1

+ 1

0 000389543s3+0 051331s2+0.244362s+1

+ 1

0 000389543s3+0.027445s2+0 122522s+1

+ 1

' 0 000389543sJ#0.010829s2+0 06G813s+1

1

1-

0 000389543s +0 007332s -+0.074571 s+1

Рис. 74. Структура для моделирования фильтров 9 и 15 порядков

l i

/

■■■

/

1 //

У 2

Рис. 75. Переходные процессы в фильтрах 9 и 15 порядков по Рис. 74

Полином 16 порядка

Для вычисления полинома 16 порядка потребуется структура, показанная на Рис. 76. Полученный переходный процесс показан на Рис. 77. Полученные коэффициенты показаны на Рис. 78. Полученный полином в общем виде записывается по соотношению (60).

Pchi6(s) = (1 + ais + a2s2 + s3)(1 + a3s + a4s2 + s3)(1 + a5s + a6s2 + s3)(1 + a7s +

a8s2 + s3)(1 + a9s + s2)(1 + a10s + s2). (60)

Значения коэффициентов: a = 2,4846, a2 = 2,45634, аз = 2,21381, a4 = 2,24246, as = 2,01125, a6 = 2,13095, an = 2,12934, a8 = 2,021, a9 = 2,06349, aw = 1,96881.

Время достижения уровня 60% составляет 18 с. Для того, чтобы это время равнялось одной секунде, требуется коэффициенты при s разделить на 18, коэффициенты при s2 разделить на 182, а коэффициенты при s3 разделить на 183. Получаем следующий результат:

bi = 0,138033, b2 = 0,007581, Ьз = 0,122989, b4 = 0,006921, b5 = 0,111736, Ьб = 0,006577, b7 = 0,118297, b8 = 0,006238, b9 = 0,114638, Ью = 0,109378, d = 0,000171, d2 = 0,000171.

Рис. 81. Полученный полином в общем виде записывается по соотношению (62).

Рис. 76. Схема для вычисления полинома 16 порядка

Рис. 77. Переходный процесс в системе по Рис. 76

Рис. 78. Коэффициенты полинома 16 порядка, полученные в схеме по Рис. 76

PCi6(s) = (1 + bis + b2s2 + dis3)(1 + b3s + b4s2 + d1s3)(1 + b5s + b6s2 + d1s3)(1 + b7s + b8s2 + d1s3)(1 + b9s + d2s2)(1 + b10s + d2s2).

(61)

Полином 17 порядка

Для вычисления полинома 17 порядка потребуется структура, показанная на Рис. 79. Полученный переходный процесс показан на Рис. 80. Полученные коэффициенты показаны на

Рис. 79. Схема для вычисления полинома 17 порядка

Рис. 80. Переходный процесс в системе по Рис. 79

Рис. 81. Коэффициенты полинома 17 порядка, полученные в схеме по Рис. 79

Pchi7(s) = (1 + ais + a2s2 + s3)(1 + a3s + a4s2 + s3)(1 + a5s + a6s2 + s3)(1 + a7s + a8s2 + s3)(1 + a9s + a10s2 + s3)(1 + a11s +

s2). (62)

Значения коэффициентов: a\ = 3,01097, a2 = 2,95783, аз = 2,28901, a4 = 2,2362, as = 2,02082, a6 = 2,10473, an = 2,10309, a8 = 2,00321, a9 = 2,0651, a10 = 2,07453, an = 1,93357.

Время достижения уровня 60% составляет 19 с. Для того, чтобы это время равнялось одной секунде, требуется коэффициенты при s разделить на 19, коэффициенты при s2 разделить на 192, а коэффициенты при s3 разделить на 193. Получаем следующий результат: b = 0,158472, b2 = 0,008193, Ьз = 0,120474, ¿4 = 0,006194, b5 = 0,106359, b6 = 0,00583, b7 = 0,110689, b8 = 0,005549, b9 = 0,108689, Ью = 0,005747, bu = 0,101767, d1 = 0,000145794, d2 = 0,00277.

Pc17(s) = (1 + b1s + b2s2 + d1s3)(1 + b3s + b4s2 + d1s3)(1 + b5s + b6s2 + d1s3)(1 + b7s + b8s2 + d1s3)(1 + b9s + b10s2 + d1s3)(1 + b11s + d2s2). (63)

Полином 18 порядка

Для вычисления полинома 18 порядка потребуется структура, показанная на Рис. 83. Полученный переходный процесс показан на Рис. 84. Полученные коэффициенты показаны на Рис. 85. Полученный полином в общем виде записывается по соотношению (64).

Рис. 83. Схема для вычисления полинома 18 порядка

2 4 5 5 4 -► para mete ["Unknown -► a1 1.60191

-► pa ra m eterUn known -»- a? 4.21 B28

-► pa ra m eterUn known -»- a3 5 02156

-► pa ra m eterUn known -► a4 6.76526

-► pa ram eterUn known -► ah 3.80613

10 pa ram eterUn known at 7.62689

J Г

1 3 1 1 4 1 -> pa ram eterUn known -► a7 .932175

-*■ pa ram eterUn known -► aR 2.02697

-► pa ram eterUn known -► a4 1 05013

-► pa ram eterUn known -У аШ 1 30658

-► pa ram eterUn known -► a11 2.72664

-► pa ram eterUn known -► a 12 .429772

Рис. 85. Коэффициенты полинома 18 порядка, полученные в схеме по Рис. 83

Pchi8(s) = (1 + ais + a2s2 + s3)(1 + a3s + a4s2 + s3)(1 + a5s + a6s2 + s3)(1 + a7s + a8s2 + s3)(1 + a9s + a10s2 + s3)(1 + a11s +

ai2s2+s3). (64)

ai = 1,60191, a4 = 6,76526, av = 0,932175, aio = 1,30658,

Значения a2 = 4,21628, as = 3,80613, a8 = 2,02697,

коэффициентов: as = 5,02156, a6 = 7,62689, a9 = 1,05013,

а,, = 2,72664, Я12 = 0,429772.

Время достижения уровня 60% составляет 22 с. Для того, чтобы это время равнялось одной секунде, требуется коэффициенты при я разделить на 22, коэффициенты при я2 разделить на 222, а коэффициенты при я3 разделить на 223.

Получаем следующий результат:

bi = 0,072814, b4 = 0,013978, b7 = 0,042372, b10 = 0,0027,

b2 = 0,008711, bs = 0,173006, b8 = 0,004188, bu = 0,123938,

b3 = 0,228253, b6 = 0,015758, b9 = 0,047733, b12 = 0,000888,

d1 = 0,000093914.

Pc18(s) = (1 + b1s + b2s2 + d1s3)(1 + b3s + b4s2 + d1s3)(1 + b5s + b6s2 + d1s3)(1 + b7s + b8s2 + d1s3)(1 + b9s + b10s2 + d1s3)(l + b11s + b12s2 + d1s3). (65)

Коэффициент 7. Получаем следующий результат: b = 0,10402, b4 = 0,028527, bv = 0,060531, Ью = 0,00551,

b2 = 0,017778, Ьз = 0,247151, b8 = 0,008547, Ьц = 0,177054,

b3 = 0,326076, b6 = 0,032159, b9 = 0,06819, b12 = 0,001812,

d1 = 0,000273802.

Pc18(s) = (1 + b1s + b2s2 + d1s3)(1 + b3s + b4s2 + d1s3)(1 + b5s + b6s2 + d1s3)(1 + b7s +

b8s2 + d1s3)(1 + b9s + b10s' ЬттБ + b12s2

+ d1s3)(1 + + d1s3). (66)

Рис. 84. Переходный процесс в системе по Рис. 83

Рис. 86. Структура для моделирования фильтров 15 и 18 порядков

2

Г

J !

/

v

1

7 2

2 г: 24 :в

;г ji у» эе

Рис. 86. Переходные процессы в фильтрах 15 и 18 порядков по Рис. 86

Полином 19 порядка

Для вычисления полинома 19 порядка потребуется структура, показанная на Рис. 87. Полученный переходный процесс показан на Рис. 88. Полученные коэффициенты показаны на Рис. 89. Полученный полином в общем виде записывается по соотношению (67).

Рсн19(5) = (1 + + а2Б2 + 53)(1 + аъБ +

a4s2 + s3)(1 + a5s + a6s2 + s3)(1 + a7s + a8s2 + s3)(1 + a9s + a10s2 + s3)(1 + a11s + s2)(1 + ai2s + s2). (67)

Значения a2 = 2,41061, as = 2,01097, a8 = 2,00152,

коэффициентов: a3 = 2,17508, a6 = 2,12548, a9 = 2,07646,

ai = 2,67312, a4 = 2,22166, av = 2,10926, a10 = 2,031118,

Рис. 87. Схема для вычисления полинома 19 порядка

Рис. 88. Переходный процесс в системе по Рис. 87

Рис. 89. Коэффициенты полинома 19 порядка, полученные в схеме по Рис. 87

Время достижения уровня 60% составляет 22 с. Для того, чтобы это время равнялось одной секунде, требуется коэффициенты при 5 разделить на 22, коэффициенты при 52 разделить на 222, а коэффициенты при 53 разделить на 223.

Получаем следующий результат: Ь = 0,121505, ¿2 = 0,004981, Ьз = 0,007958, ¿4 = 0,00459, ¿5 = 0,091408, Ьб = 0,004391, Ь7 = 0,095875, Ь8 = 0,004135, Ь9 = 0,094385,

a11 = 1,93299, a12 = 2,00062.

© Automatics & Software Enginery. 2022, N 1 (39) http://jurnal.nips.ru/en

Ью = 0,004197, Ьи = 0,087863, ¿12 = 0,090937, d = 0,000093914, d2 = 0,002066.

PC19(S) = (1 + b1s + b2s2 + d1s3)(1 + b3s +

a8 = 1,99021, ag = 2,04631, aw = 2,09033, an = 2,0036, a12 = 1,98412, aB = 1,99728.

1 2 1 b4s2 + d1s3)(1 + b5s + b6s2 + d1s3)(1 + b7s + ,2 j. и c3\n -l b9S + b10s2 + d1s3' 22

b8s2 + d1s3)(1 + b9s + b10s2 + d1s3)(1 + b11s + d2s2)(1 + b12s + d2s2). (68)

Полином 20 порядка

Для вычисления полинома 20 порядка потребуется структура, показанная на Рис. 90. Полученный переходный процесс показан на Рис. 91. Полученные коэффициенты показаны на Рис. 92. Полученный полином в общем виде записывается по соотношению (69).

Рис. 90. Схема для вычисления полинома 20 порядка

Рис. 91. Переходный процесс в системе по Рис. 90

Pch20(s) = (1 + ais + a.2S2 + s3)(1 + 0.3s + a4s2 + s3)(1 + a5s + a6s2 + s3)(1 + a7s + a8s2 + s3)(1 + a9s + a10s2 + s3)(1 + a11s + a12s2 + s3)(1 + a13s + s2). (69)

Значения a2 = 3,17341, a5 = 2,02063,

коэффициентов: as = 2,28771, a6 = 2,09415,

a1 = 3,1874, a4 = 2,203456,

a7 = 2,0822,

Рис. 92. Коэффициенты полинома 20 порядка, полученные в схеме по Рис. 90

Время достижения уровня 60% составляет 22 с. Для того, чтобы это время равнялось одной секунде, требуется коэффициенты при я разделить на 22, коэффициенты при я2 разделить на 222, а коэффициенты при я3 разделить на 223.

Получаем следующий результат: Ь, = 0,144882, ¿2 = 0,006557, Ьз = 0,103987, ¿4 = 0,004553, ¿5 = 0,091847, Ьб = 0,004327, ¿7 = 0,094645, ¿8 = 0,004112, ¿9 = 0,093014, Ь,0 = 0,004319, ¿11 = 0,091073, ¿12 = 0,004099, ¿13 = 0,090785, й = 0,000093914, ¿2 = 0,002066.

Рс2о($) = (1 + М + Ь2Б2 + d1s3)(1 + ь3б + ь4б2 + d1s3)(1 + ь5б + Ь6з2 + d1s3)(1 + ь7б + ъ8б2 + й153)(1 + ь9б + ъ10б2 + d1s3)(1 + ь11б + ь12б2 + d1s3)(1 + ъ13б + d2s2). (70)

ПОЛИНОМ 21 ПОРЯДКА

Для вычисления полинома 21 порядка потребуется структура, показанная на Рис. 93. Полученный переходный процесс показан на Рис. 94. Полученные коэффициенты показаны на Рис. 95. Полученный полином в общем виде записывается по соотношению (71).

Рис. 93. Схема для вычисления полинома 21 порядка

Рис. 94. Переходный процесс в системе по Рис. 93

Рис. 95. Коэффициенты полинома 21 порядка, полученные в схеме по Рис. 93

Рсн21(я) = (1 + а^ + а2Б2 + й1Б3)(1 + азБ + а4Б2 + ^153)(1 + а5Б + а6Б2 + ^153)(1 + а7Б + а8Б2 + ^з3)(1 + а9Б + а10Б2 + ^з3)(1 + а11Б + а12Б2 + ^153)(1 + а13Б + а14Б2 + й1Б3).

(71)

коэффициентов:

a3 = 5,06502, a6 = 6,98318, a9 = 0,973853, a12 = 0,37784,

a1 = 1,60359, a4 = 7,84924, a7 = 0,920153, a10 = 1,50012, a13 = 1,83422,

Значения а2 = 4,71012, аъ = 3,738, а8 = 2,12962, а11 = 3,0345, а14 = 0,638813.

Время достижения уровня 60% составляет 24 с. Для того, чтобы это время равнялось одной секунде, требуется коэффициенты при 5 разделить на 24, коэффициенты при 52 разделить на 242, а коэффициенты при 53 разделить на 243.

Получаем следующий результат: ¿1 = 0,066816, ¿2 = 0,008177, ¿3 = 0,211043, ¿4 = 0,013627, ¿5 = 0,15575, ¿6 = 0,012124, ¿7 = 0,03834, ¿8 = 0,003697, ¿9 = 0,040577, ¿10 = 0,002604, ¿11 = 0,126438, ¿12 = 0,000656, ¿13 = 0,076426, ¿14 = 0,001109, к = 0,00007233.

РС21(з) = (1 + Ъ^ + Ь232 + 53)(1 + М + V2 + 53)(1 + Ь5Б + Ь6Б2 + 53)(1 + Ъ7Б + Ь8Б2 + 53)(1 + Ь9Б + Ь10Б2 + 53)(1 + Ь11Б + Ь12Б2 + 53)(1 + Ь13Б + Ь14Б2 + Б3). (72)

Коэффициент 0,75. Получаем следующий результат:

¿1 = 0,089088, ¿2 = 0,014537, ¿3 = 0,281391, ¿4 = 0,024226, ¿5 = 0,207667, ¿6 = 0,021554, ¿7 = 0,05112, ¿8 = 0,006572, ¿9 = 0,054103,

¿10 = 0,004629, Ьи = 0,168584, ¿12 = 0,001166, ¿13 = 0,101901, ¿14 = 0,001972, h = 0,000171449.

PC2i(s) = (1 + bis + b2S2 + s3)(1 + b3S + b4s2 + s3)(1 + b5s + b6s2 + s3)(1 + b7s + b8s2 + s3)(1 + b9s + b10s2 + s3)(1 + b11s + b12s2 + s3)(1 + b13s + b14s2 + s3). (73)

Рис. 96. Структура для моделирования фильтров 18 и 21 порядков

Рис. 97. Переходные процессы в фильтрах 18 и 21 порядков по Рис. 96

ПОЛИНОМ 22 ПОРЯДКА

Для вычисления полинома 22 порядка потребуется структура, показанная на Рис. 98. Полученный переходный процесс показан на Рис. 99. Полученные коэффициенты показаны на Рис. 100. Полученный полином в общем виде записывается по соотношению (74).

Рис. 98. Схема для вычисления полинома 22 порядка

Рис. 99. Переходный процесс в системе по Рис. 98

Рис. 100. Коэффициенты полинома 22 порядка, полученные в схеме по Рис. 98

pch22(s) = (1 + ais + a.2S2 + s3)(1 + Ü3S + a4s2 + s3)(1 + a5s + a6s2 + s3)(1 + a7s + a8s2 + s3)(1 + a9s + a10s2 + s3)(1 + a11s + a12s2 + s3)(1 + a13s + s2)(1 + a14s + s2). (74)

Значения коэффициентов: а1 = 2,87574, а2 = 2,36682, а3 = 2,14628, а4 = 2,21731, аз = 2,00752, а6 = 2,129, ап = 2,10009, а8 = 1,98734, а9 = 2,06397, аю = 2,12522, ац = 2,00487, а^ = 1,97809, ав = 1,97777, а14 = 1,99063.

Время достижения уровня 60% составляет 25 с. Для того, чтобы это время равнялось одной секунде, требуется коэффициенты при я разделить на 25, коэффициенты при я2 разделить на 252, а коэффициенты при я3 разделить на 253.

Получаем следующий результат:

Ь = 0,11503, b4 = 0,003548, Ь7 = 0,084004, Ью = 0,085009, Ь13 = 0,079111, d2 = 0,0016.

b2 = 0,003787, b5 = 0,080301, b8 = 0,00318, Ьц = 0,080195, b14 = 0,079625,

Ьэ = 0,085851, b6 = 0,003406, b9 = 0,082559, b 12 = 0,003165, d1 = 0,000064,

PC22(s) = (1 + hs + b2S2 + d1S3)(1 + b3S + b4s2 + d1s3)(1 + b5s + b6s2 + d1s3)(1 + b7s + b8s2 + d1s3)(1 + b9s + b10s2 + d1s3)(1 + b11s + b12s2 + d1s3)(1 + b13s + d2s2)(l +

b14s + d2s2). (75)

ПОЛИНОМ 23 ПОРЯДКА

Для вычисления полинома 23 порядка потребуется структура, показанная на Рис. 101. Полученный переходный процесс показан на Рис. 101. Полученные коэффициенты показаны на Рис. 102. Полученный полином в общем виде записывается по соотношению (76).

Pch23(s) = (1 + a^ + Ü2S2 + s3)(1 + Ü3S + a4s2 + s3)(1 + a5s + a6s2 + s3)(1 + a7s + a8s2 + s3)(1 + a9s + a10s2 + s3)(1 + a11s + a12s2 + s3)(1 + a13s + a14s2 + s3)(1 + a15s +

s2). (76)

Значения коэффициентов: а1 = 3,44464, a2 = 3,8958, a3 = 2,35118, = 2,11434,

as = 2,02762, a6 = 2,05991, an = 2,04447, a8 = 1,9916, a9 = 2,02747, a10 = 2,05643, an = 2,00177, a12 = 1,98961, aB = 2,02058, a14 = 1,92099, an = 1,89747.

Время достижения уровня 60% составляет 26 с. Для того, чтобы это время равнялось одной секунде, требуется коэффициенты при s разделить на 26, коэффициенты при s2 разделить на 262, а коэффициенты при s3 разделить на 263. Получаем следующий результат: b = 0,132486, b2 = 0,005763, b3 = 0,09043, b4 = 0,003128, Ьз = 0,077985, b6 = 0,003047,

¿7 = 0,078633, ¿8 = 0,002946, ¿9 = 0,07798,

¿10 = 0,003042, ¿11 = 0,076991, ¿12 = 0,002943,

¿13 = 0,077715, ¿14 = 0,002842, ¿15 = 0,07298, (1 = 0,0000568958, (2 = 0,001479.

b4s

С23 2

Рис. 101. Схема для вычисления полинома 23 порядка

Рис. 102. Переходный процесс в системе по Рис. 101

(s) = (1 + b1s + b2s2 + d1s3)(1 + b3s + + d1s3)(1 + b5s + b6s2 + d1s3)(1 + b7s + b8s2 + d1s3)(1 + b9s + b10s2 + d1s3)(l + b11s + b12s2 + d1s3)(1 + b13s + b14s2 + d1s3)(1 + b14s + d2s2). (77)

ПОЛИНОМ 24 ПОРЯДКА

Для вычисления полинома 24 порядка потребуется структура, показанная на Рис. 103. Полученный переходный процесс показан на Рис. 104. Полученные коэффициенты показаны на Рис. 105. Полученный полином в общем виде записывается по соотношению (78).

Рис. 103. Схема для вычисления полинома 24 порядка

Рис. 104. Переходный процесс в системе по Рис. 103

Рсн24(я) = (1 + а^ + а2Б2 + 53)(1 + а^ + а4Б2 + 53)(1 + а5Б + а6Б2 + 53)(1 + а7Б + а8Б2 + 53)(1 + а9Б + а10Б2 + 53)(1 + а11Б + а12Б2 + 53)(1 + а13Б + а14Б2 + 53)(1 + а155 +

а^+з3). (78)

Рис. 102. Коэффициенты полинома 23 порядка, полученные в схеме по Рис. 101

Рис. 105. Коэффициенты полинома 24 порядка, полученные в схеме по Рис. 103

Значения

Ü2 = 7,34569, as = 2,66245, ü8 = 3,28928, an = 3,27015

ai = 5,65212, a4 = 8,57657, a7 = 1,03197, aio = 1,80999, a13 = 1,82919,

коэффициентов: аз = 2,94579, a6 = 3,74372, a9 = 0,891651, ai2 = 0,315339, ai4 = 0,619403, a15 = 1,26512, a16 = 0,989648.

Время достижения уровня 60% составляет 28 с. Для того, чтобы это время равнялось одной секунде, требуется коэффициенты при s разделить на 28, коэффициенты при s2 разделить на 282, а коэффициенты при s3 разделить на 283. Получаем следующий результат: b1 = 0,201861, b2 = 0,00937, ¿3 = 0,105207, b4 = 0,01094, ¿5 = 0,095088, ¿6 = 0,004775, ¿7 = 0,036856, ¿8 = 0,004196, ¿9 = 0,031845, ¿10 = 0,002309, ¿11 = 0,116791, ¿12 = 0,000402, ¿13 = 0,065328, ¿14 = 0,00079, ¿15 = 0,045183, ¿16 = 0,001262, d1 = 0,0000455539.

PC24(s) = (1 + M + b2S2 + dlS3)(1 + b3s + b4s2 + d1s3)(1 + b5s + b6s2 + d1s3)(1 + b7s + b8s2 + d1s3)(1 + b9s + b10s2 + d1s3)(1 + b11s + b12s2 + d1s3)(1 + b13s + b14s2 + d1s3)(1 + b15s + b16s2 + d1s3). (79)

Коэффициент 0,725. Получаем следующий результат:

¿1 = 0,278428966, ¿2 = 0,017826,

¿3 = 0,145113103, ¿4 = 0,020813,

¿5 = 0,131155862, ¿6 = 0,009084,

¿7 = 0,050835862, ¿8 = 0,007983,

¿9 = 0,043924138, ¿10 = 0,004393,

¿11 = 0,161091034, ¿12 = 0,000765,

¿13 = 0,090107586, ¿14 = 0,001503,

¿15 = 0,062321379, ¿16 = 0,002401,

d1 = 0,00011954.

PC24(s) = (1 + M + b2S2 + d1S3)(1 + b3S + b4s2 + d1s3)(1 + b5s + b6s2 + d1s3)(1 + b7s + b8s2 + d1s3)(1 + b9s + b10s2 + d1s3)(1 + b11s + b12s2 + d1s3)(1 + b13s + b14s2 + d1s3)(1 + b15s + b16s2 + d1s3). (80)

Рис. 106. Структура для моделирования фильтров 21 и 24 порядков

Рис. 107. Переходные процессы в фильтрах 21 и 24 порядков по Рис. 106

Рис. 107. Сравнение переходных процессов в фильтре 24 порядка (линия 1) с процессами в томской модели (линия 2)

Зч

'"2

1

In

/3

4 // ...... ...... ...... ...... ......

......

1 ...... ...... ...... ...... ...... ......

з

4 0 2 4 6 3 1 12 14 1.6 13 2 22 24 2.6 23 3 32 34 3.6 33 4

Time isec)

Рис. 108. Сравнение переходных процессов в фильтре 24 порядка (линия 2) с процессами в томской модели (линия 3) и с моделью Паде пятого порядка (линия 1)

ПОЛИНОМ 25 ПОРЯДКА

Для вычисления полинома 25 порядка потребуется структура, показанная на Рис. 109. Полученный переходный процесс показан на Рис. 110. Полученные коэффициенты показаны на Рис. 111. Полученный полином в общем виде записывается по соотношению (81).

Рсн25(я) = (1 + а^ + а2Б2 + 53)(1 + а^ + а4Б2 + 53)(1 + а5Б + а6Б2 + 53)(1 + а7Б + а8Б2 + Б3) (1 + а9Б + а10Б2 + 53)(1 + а11Б + а12Б2 + 53)(1 + а13Б + а14Б2 + 53)(1 + а155 + б2)(1 + а16Б + б2). (81)

Значения коэффициентов: а! = 3,06793, а2 = 2,29217, а3 = 2,11572, а4 = 2,2201, аз = 2,00493, а6 = 2,13348, ап = 2,09527, а8 = 1,97666, ад = 2,05601, аю = 2,1285, ап = 2,00331, а12 = 1,97435, ап = 2,04631, а14 = 1,98342, а^ = 1,92129, аХ6 = 2,00613.

Время достижения уровня 60% составляет 27,5 с. Для того, чтобы это время равнялось

одной секунде, требуется коэффициенты при 5 разделить на 27,5, коэффициенты при 52 разделить на 27,52, а коэффициенты при 53 разделить на 27,53. Получаем следующий результат:

¿1 = 0,111561, ¿2 = 0,003031, ¿3 = 0,076935, ¿4 = 0,002936, ¿5 = 0,072907, ¿6 = 0,002821, ¿7 = 0,076192, ¿8 = 0,002614, ¿9 = 0,074764, ¿10 = 0,002815, ¿11 = 0,072848, ¿12 = 0,002611, ¿13 = 0,074411, ¿14 = 0,072124, ¿15 = 0,069865, ¿16 = 0,07295, ¿1 = 0,0000480841, к2 = 0,001322.

РС25(5) = (1 + Ъ^ + Ь232 + й153)(1 + + Ь4Б2 + й1Б3)(1 + Ь5Б + Ь6Б2 + й1Б3)(1 + Ь7Б + Ь8Б2 + й1Б3)(1 + Ь9Б + Ь10Б2 + й153)'(1 + Ъ11Б + Ь12Б2 + Й153)(1 + Ъ13Б + Ъ14Б2 + ^153)(1 + Ь15Б + ^Б2)(1 + Ь16Б + й2з2). (82)

ПОЛИНОМ 26 ПОРЯДКА

Для вычисления полинома 26 порядка потребуется структура, показанная на Рис. 112. Полученный переходный процесс показан на Рис. 113. Полученные коэффициенты показаны на Рис. 114. Полученный полином в общем виде записывается по соотношению (83).

Рис. 109. Схема для вычисления полинома 25 порядка

Рис. 110. Переходный процесс в системе по Рис. 109

Рис. 112. Схема для вычисления полинома 26 порядка

Рис. 113. Переходный процесс в системе по Рис. 112 PrH-?f,(s) = (1 + a1s + a2s2 + s3)(1 + a3s +

a4s2 + s3)(1 + a5s + a6s2 + s3)(1 + a7s +

Рис. 111. Коэффициенты полинома 25 порядка, полученные в схеме по Рис. 109

2'

.40 + о )(1 + + + о )(1 + и-7Э

a8s2 + s3)(1 + a9s + a10s2 + s3)(1 + a11s + a12s2 + s3)(1 + a13s + a14s2 + s3)(1 + a15s + a16s2 + s3)(1 + a17s + s2). (83)

Рис. 114. Коэффициенты полинома 24 порядка, полученные в схеме по Рис. 112

Значения коэффициентов: а1 = 3,65672, Ü2 = 4,66486, аз = 2,414812, щ = 1,98075, Ü5 = 2,03839, а6 = 2,00099, а7 = 1,99575, а8 = 1,999849, ад = 1,99939, аю = 1,9994, an = 2,000276, ап = 1,99996, а13 = 1,999936, а14 = 1,99863, а15 = 2,00, а16 = 1,99997, ац = 1,95403.

Время достижения уровня 60% составляет 28 с. Для того, чтобы это время равнялось одной секунде, требуется коэффициенты при s разделить на 28, коэффициенты при s2 разделить на 282, а коэффициенты при s3 разделить на 283. Получаем следующий результат:

bi = 0,130597, Ь4 = 0,002526, b7 = 0,071277, bi0 = 0,00255, bi3 = 0,071426, bi6 = 0,002551, d2 = 0,001276.

b2 = 0,00595, b5 = 0,0728, bs = 0,002551, bn = 0,071438, b14 = 0,002549,

Ьз = 00,086243, b6 = 0,002552, b9 = 0,071407, b12 = 0,002551, b15 = 0,071429,

b17 = 0,069787, d1 = 0,0000455539,

РС26(5) = (1 + V + Ь252 + й153)(1 + Ь35 +

ъ4б2 + + Ь5Б + Ь6Б2 + ^153)(1 + ъ7б +

Ь8Б2 + й1Б3)(1 + Ь9Б + Ь10Б2 + d1s3) (1 + Ъ11Б + Ь12Б2 + Й153)(1 + Ъ13Б + Ъ14Б2 + ^153)(1 + Ь15Б + Ь16Б2 + Й153)(1 + Ь17Б +

й252). (84)

Обсуждение

Таким образом, данная статья впервые дала расчет полиномов для аппроксимации звена запаздывания вплоть до двадцать шестого порядка, чего ранее никогда не было. Полиномы этого вида ранее были рассчитаны не более чем до двенадцатого порядка. Сложности этого расчета состоят в том, что необходимо делать проект с чрезвычайно большим количеством элементов, малейшая ошибка в структуре может привести к неудаче, но даже безошибочно запрограммированная структура может в некоторых случаях не позволить эффективно рассчитать интересующий нас фильтр. Во многих случаях результат оптимизации не был получен, программа сообщала о недопустимой

ошибке. Наиболее часто возникала ошибка, состоящая в том, что какой-то из сигналов или какой-то из коэффициентов достигал недопустимо большого значения, что возникало вследствие нарушения устойчивости переходного процесса или нарушения устойчивости процедуры поиска. Предлагаемые результаты получены в итоге ряда сложных серий моделирования и оптимизации, которые заняли в общей сложности два месяца исследований.

Безусловно, при использовании методов численной оптимизации, с помощью которых были получены эти результаты, указанная аппроксимация звена чистого запаздывания звеном в виде фильтра низких частот не требуется, поскольку программы моделирования достаточно просто моделируют звено чистого запаздывания. Эти результаты могут быть интересны с теоретической точки зрения, а их практическая ценность состоит в возможности применения аналитических методов расчета, которые не могут быть использованы без подобной аппроксимации. Обилие научных статей, обращающихся вновь и вновь к этой проблеме, доказывает, что многие исследователи до сих пор используют аппроксимацию Паде и занимаются изысканиями более эффективных аппроксимаций для использования их в аналитических методах решения задач управления объектами с запаздыванием.

Продемонстрированный подход к решению данной задачи не единственен. Во-первых, можно было применять элементарные структуры не третьего порядка, а только лишь второго порядка. Разумеется, результат мог бы в этом случае несколько отличаться. Действительно, если, например, рассмотреть полином шестого порядка, который имеет все корни комплексные, такой полином нельзя представить в виде произведения двух полиномов третьего порядка с действительными коэффициентами. Но такой полином можно представить в виде произведения трех полиномов второго порядка с действительными коэффициентами.

Следовательно, более универсальный вариант состоял бы именно в использовании такого метода. Но он ещё более сложен, так как требует ещё большего количества элементов для решения задачи такой же сложности, например, полином 26 порядка, вероятнее всего, уже невозможно было бы рассчитать с применением той версии программы ¥1я8т, которая нами использовалась.

Возможен и другой подход. Можно после отыскания первого приближения аппроксимации вычислить разницу между откликами точной модели и этой аппроксимации, после чего отыскивать аппроксимацию, которая бы, будучи добавленной к полученной модели, минимизировала эту разницу.

Литература

[1] J. Busek, P. Zitek and T. Vyhlidal, "Astatism analysis of time delay controllers towards effective anti-windup schemes," 2019 22nd International Conference on Process Control (PC19), 2019, pp. 7479, doi: 10.1109/PC.2019.8815283.

[2] M. Cao and J. Yang, "The Effect of the Approximation Method for Large Time Delay Process on the Performance of IMC-PID Controller," 2018 International Conference on Control, Power, Communication and Computing Technologies (ICCPCCT), 2018, pp. 73-77, doi: 10.1109/ICCPCCT.2018.8574299.

[3] V. V. Tyutikov and A. A. Voronenkova, "Analytical synthesis and analysis of industrial facility control system versions," 2017 International Conference on Industrial Engineering, Applications and Manufacturing (ICIEAM), 2017, pp. 1-5, doi: 10.1109/ICIEAM.2017.8076118.

[4] K. Zhang and K. Li, "Quantitative robust control design of discharge air temperature system," 2017 11th Asian Control Conference (ASCC), 2017, pp. 2612-2617, doi: 10.1109/ASCC.2017.8287588.

[5] C. I. Muresan, I. R. Birs, C. Darab, O. Prodan and R. De Keyser, "Alternative Approximation Method for Time Delays in an IMC Scheme," 2019 International Aegean Conference on Electrical Machines and Power Electronics (ACEMP) & 2019 International Conference on Optimization of Electrical and Electronic Equipment (OPTIM), 2019, pp. 532-539, doi: 10.1109/ACEMP-0PTIM44294.2019.9007220.

[6] V. V. Tyutikov and A. A. Voronenkova, "Analytical synthesis and analysis of industrial facility control system versions," 2017 International Conference on Industrial Engineering, Applications and Manufacturing (ICIEAm), 2017, pp. 1-5, doi: 10.1109/ICIEAM.2017.8076118.

[7] Haitao Xing, J. Ploeg, H. Nijmeijer. Pade Approximation of Delays in Cooperative ACC Based on String Stability Requirements. Published 2016. Computer Science, Mathematics. IEEE Transactions on Intelligent Vehicles. https://www.semanticscholar.org/paper/Pad%C3%A9 -Approximation-of-Delays-in-Cooperative-ACC-on-Xing-

Ploeg/949b761 f628c2d4156b14211 c5ec62b714070d 56?sort=relevance&citationIntent=methodology

[8] Ситников Е. А. Математическое моделирование и разработка моделей компенсации запаздывания для систем управления процессами полимеризации. тема. дисс. на соиск. уч. степ. канд. техн. наук, спец. 05.13.18. 2004 г. https://www.dissercat.com/content/matematicheskoe-modelirovanie-i-razrabotka-modelei-kompensatsii-zapazdyvaniya-dlya-sistem-up

[9] Тхан В. З. Синтез систем автоматического управления с запаздыванием численным методом. дисс. на соиск. уч. степ. канд. техн. наук, спец. 05.13.01. 2018 г. https://etu.ru/assets/files/nauka/dissertacii/2018/zung/ avtoreferat zung.pdf

[10] Каримов В. С. Синтез систем автоматического управления многосвязными объектами с запаздываниями на основе технологии вложения систем. дисс. на соиск. уч. степ. канд. техн. наук, спец. 05.13.01. https://ugatu. su/media/uploads/MainSite/Science/diss

ovet/03/2012/11.03.13/karimov avtoreferat.pdf

[11] B. K. Kushwaha and A. Narain, "Controller design for Cuk converter using model order reduction," 2012 2nd International Conference on Power, Control and Embedded Systems, 2012, pp. 1-5.

[12] R. B. Jedynak and J. Gilewicz. Computation of the c-Table Related to the Padé Approximation. Hindawi Publishing Corporation Journal of Applied Mathematics Volume 2013, Article ID 185648, 10 p. http://dx.doi.org/10.1155/2013/185648

[13] O. V. Turut and N. Güzel. Multivariate Padé Approximation for Solving Nonlinear Partial Differential Equations of Fractional. Hindawi Publishing Corporation Abstract and Applied Analysis Volume 2013, Article ID 746401, 12 p.

[14] S. Bhattacharjee, A. Banerjee and B. Neogi. An Application of Pade Approximation and PID Tuning Technique to Improve the System Performance of Electric Ventricular Assist Device. InternationalJournal of Advanced Scientific Research and Management, Volume 4 Issue 5, May 2019. pp. 274-280. http://ijasrm.com/wp-content/uploads/2019/05/IJASRM V4S5 1467 274 280.pdf

[15] S.P. Ognev. Variant approximations of the delay link. https://www.sworld.education/konfer24/142.htm

[16] A.A. Stopakevich, A.A. Stopakevich. Stable precision modeling of the delay operator. https://biblio.onat.edu.ua/bitstream/handle/12345678 9/3081/Stopakevych.pdf?sequence= 1 &isAllowed=y

[17] Truntyagin I.M. Analysis of the stability of automatic control systems with delay using the Bode integral // Synergy of Sciences. 2017. No. 18. pp. 888899. URL: http://synergy-journal.ru/archive/article1516

[18] The Padé Approximation and its Physical Applications. January. 1972. https://www.researchgate.net/publication/229531069

The Pade Approximation and its Physical Applic ations

[19] Pade Approximation and its Applications. Proceedings of a Conference held in Antwerp, Belgium, 1979. Lecture Notes in Mathematics. Editors-in-chief: Morel, J.-M., Teissier, B. Series Editors: Baur, K., Brion, M., Figalli, A., Huber, A., Khoshnevisan, D., Kontoyiannis, I., Kunoth, A., Szekelyhidi, L., Mézard, A., Podolskij, M., Serfaty, S., Vezzosi, G., Wienhard, A. https://www.springer.com/series/304

[20] Baker J., Graves-Morris P. Padé Approximations. Cambridge Univ. Press, 1996, 764 p. (Russ. ed.: Moscow, Mir Publ., 1986, 502 p.)

[21] В.З. Тхан, Дементьев Ю.Н. Повышение точности расчета систем автоматического управления с запаздыванием. Программные продукты и системы. 2018, том 31, № 3. С. 521-526. (Improving the accuracy calculation of time delay automatic control. Software & Systems (Programmnye Produkty i Sistemy. 2018, V. 31, N 3. pp. 521 - 526). http://swsys.ru/index.php?page=article&id=449

[22] К.Ш.К. Чегорски. Полиномы чегорского-арка и их свойства. https://proza.ru/2007/05/30-142

[23] В.А. Жмудь. Выбор Желаемых Полиномов Характеристического Уравнения Замкнутой Динамической Системы. http://samlib.ru/z/zhmudx w a/polinom.shtml

[24] В.А. Жмудь, Л.В. Димитров. Выбор характеристических полиномов замкнутой

системы автоматического управления высокого порядка. Автоматика и программная инженерия. 2016. 2(16). С.35-46.

http://iurnal.nips.ru/sites/default/files/%D0%90%D0 %98%D0%9F%D0%98-2-2016-5 1 .pdf

[25] В.А. Жмудь. Выбор желаемых полиномов характеристического уравнения замкнутой динамической системы. http://zhurnal.lib.ru/editors/z/zhmudx w a/polinom.s html

[26] В.А. Жмудь, Л.В. Димитров. Вычисление желаемых коэффициентов характеристического уравнения замкнутой системы автоматического управления. Автоматика и программная инженерия. 2016. № 1 (15). С. 58-66. http://jurnal.nips.ru/sites/default/files/%D0%90%D0 %98%D0%9F%D0%98-1-2016-7 0.pdf

[27] Automatic Control Systems. New Concepts and Structures of Regulators. Monograph / V.A. Zhmud, L. Dimitrov, J. Nosek. - Moscow: RuScience, 2018.

[28] В.А. Жмудь, Л.В. Димитров, Г.В. Саблина, Г. Рот, Я. Носек, В. Хардт. О целесообразности и возможностях аппроксимации звена с чистым запаздыванием. Труды СПИИРАН. Выпуск 21 (1), 2022: Информатика и автоматизация. С. 41 - 67. http://proceedings.spiiras.nw.rU/index.php/sp/article/v iew/15095/15047

Вадим Жмудь - замеситель директора АО «НИПС», доктор технических наук, доцент.

E-mail: oao nips@bk.ru

630090, Новосибирск, просп. Академика

Лаврентьева, д. 6/1

Статья поступила 16.01.2022.

Calculation of High-Order Low-Pass Filters for the Best Approximation of the Delay Link

V.A. Zhmud 1 2 3 1 Novosibirsk Institute of Program Systems, Russia 2 Institute of Laser Physics SB RAS, Russia 3 Altae-Sayan Branch of the Federal State Budgetary Institution of Science of the Geophysical

Service of the RAS

Abstract: The approximation of the transfer function of a pure delay link using minimum phase links is of significant theoretical interest and can also be useful in practical terms. The meaning of such an approximation is to find the possibilities of applying a well-developed and continuing to develop toolkit of analytical methods for the synthesis of controllers to control problems for objects containing pure delay links in their mathematical model. Of course, the approximation is always imprecise, but the issue of ensuring sufficient accuracy can always be solved by using a higher-order model, as soon as the approximation error decreases with an increase in the order of the model. As a rule, the Taylor and Pade approximation models are discussed in the literature, with a clear preference for the Pade model. Against this model, one can put forward such objections as the presence of a significant response at the output of such a model at the moment the input signal arrives at its input, which clearly does not correspond to the real delay link in any way. In addition, the response of such a model to a step jump contains a large number of oscillations in the opposite direction, which is also absent in the response of the delay link. This article aims to find the best approximation in the class of low-pass filters. In the literature, the definition of polynomials obtained by the method of numerical optimization of the problem of finding the best response has been found, provided that the major and minor coefficients of these polynomials are equal to one. These polynomials, called Chegorsky polynomials, can be used after some scale transformation in the frequency domain to create a new series of polynomials, which are advisable to use in the denominator of the transfer function of the sought filters, since the filters obtained in this way best suit the task at hand. Previously, these polynomials were calculated up to the 12th order, inclusive; there are no calculations for higher orders in the literature. The reason for this could be technical difficulties in solving the multiparameter optimization problem, or insufficient interest in higher-order polynomials, since no such application was known. This article solves the problem of finding the specified polynomials up to order 26 inclusive, which provides a toolkit for approximating the pure delay link by low-pass filters with all positive coefficients.

Key words: Pade approximation, Pade, delay, control, simulation, polynomial, filter, automation

References

[1] J. Busek, P. Zitek and T. Vyhlidal, "Astatism analysis of time delay controllers towards effective anti-windup schemes," 2019 22nd International Conference on Process Control (PC19), 2019, pp. 7479, doi: 10.1109/PC.2019.8815283.

[2] M. Cao and J. Yang, "The Effect of the Approximation Method for Large Time Delay Process on the Performance of IMC-PID Controller," 2018 International Conference on Control, Power,

Communication and Computing Technologies (ICCPCCT), 2018, pp. 73-77, doi: 10.1109/ICCPCCT.2018.8574299.

[3] V. V. Tyutikov and A. A. Voronenkova, "Analytical synthesis and analysis of industrial facility control system versions," 2017 International Conference on Industrial Engineering, Applications and Manufacturing (ICIEAm), 2017, pp. 1-5, doi: 10.1109/ICIEAM.2017.8076118.

[4] K. Zhang and K. Li, "Quantitative robust control design of discharge air temperature system," 2017

11th Asian Control Conference (ASCC), 2017, pp. 2612-2617, doi: 10.1109/ASCC.2017.8287588.

[5] C. I. Muresan, I. R. Birs, C. Darab, O. Prodan and R. De Keyser, "Alternative Approximation Method for Time Delays in an IMC Scheme," 2019 International Aegean Conference on Electrical Machines and Power Electronics (ACEMP) & 2019 International Conference on Optimization of Electrical and Electronic Equipment (OPTIM), 2019, pp. 532-539, doi: 10.1109/ACEMP-0PTIM44294.2019.9007220.

[6] V. V. Tyutikov and A. A. Voronenkova, "Analytical synthesis and analysis of industrial facility control system versions," 2017 International Conference on Industrial Engineering, Applications and Manufacturing (ICIEAm), 2017, pp. 1-5, doi: 10.1109/ICIEAM.2017.8076118.

[7] Haitao Xing, J. Ploeg, H. Nijmeijer. Padé Approximation of Delays in Cooperative ACC Based on String Stability Requirements. Published 2016. Computer Science, Mathematics. IEEE Transactions on Intelligent Vehicles. https://www.semanticscholar.org/paper/Pad%C3%A9 -Approximation-of-Delays-in-Cooperative-ACC-on-Xing-

Ploeg/949b761 f628c2d4156b14211 c5ec62b714070d 56?sort=relevance&citationIntent=methodology

[8] Sitnikov Ye. A. Matematicheskoye modelirovaniye i razrabotka modeley kompensatsii zapazdyvaniya dlya sistem upravleniya protsessami polimerizatsii. tema. diss. na soisk. uch. step. kand. tekhn. nauk, spets. 05.13.18. 2004 g. https://www.dissercat.com/content/matematicheskoe-modelirovanie-i-razrabotka-modelei-kompensatsii-zapazdyvaniya-dlya-sistem-up

[9] Tkhan V. Z. Sintez sistem avtomaticheskogo upravleniya s zapazdyvaniyem chislennym metodom. diss. na soisk. uch. step. kand. tekhn. nauk, spets. 05.13.01. 2018 g. https://etu.ru/assets/files/nauka/dissertacii/2018/zung/ avtoreferat zung.pdf

[10] Karimov V. S. Sintez sistem avtomaticheskogo upravleniya mnogosvyaznymi ob"yektami s zapazdyvaniyami na osnove tekhnologii vlozheniya sistem. diss. na soisk. uch. step. kand. tekhn. nauk, spets.05.13.01.

https://ugatu.su/media/uploads/MainSite/Science/diss ovet/03/2012/11.03.13/karimov avtoreferat.pdf

[11] B. K. Kushwaha and A. Narain, "Controller design for Cuk converter using model order reduction," 2012 2nd International Conference on Power, Control and Embedded Systems, 2012, pp. 1-5.

[12] R. B. Jedynak and J. Gilewicz. Computation of the c-Table Related to the Padé Approximation. Hindawi Publishing Corporation Journal of Applied Mathematics Volume 2013, Article ID 185648, 10 p. http://dx.doi.org/10.1155/2013/185648

[13] O. V. Turut and N. Guzel. Multivariate Padé Approximation for Solving Nonlinear Partial Differential Equations of Fractional. Hindawi Publishing Corporation Abstract and Applied Analysis Volume 2013, Article ID 746401, 12 p.

[14] S. Bhattacharjee, A. Banerjee and B. Neogi. An Application of Pade Approximation and PID Tuning Technique to Improve the System Performance of Electric Ventricular Assist Device. InternationalJournal of Advanced Scientific Research and Management, Volume 4 Issue 5, May 2019. pp. 274-280. http://ijasrm.com/wp-content/uploads/2019/05/IJASRM V4S5 1467 274

280.pdf

[15] S.P. Ognev. Variant approximations of the delay link. https://www.sworld.education/konfer24/142.htm

[16] A.A. Stopakevich, A.A. Stopakevich. Stable precision modeling of the delay operator. https://biblio.onat.edu.ua/bitstream/handle/12345678 9/3081/Stopakevych.pdf?sequence= 1 &isAllowed=y

[17] Truntyagin I.M. Analysis of the stability of automatic control systems with delay using the Bode integral // Synergy of Sciences. 2017. No. 18. pp. 888899. URL: http://synergy-journal.ru/archive/article1516

[18] The Pade Approximation and its Physical Applications. January. 1972. https://www.researchgate.net/publication/229531069

The Pade Approximation and its Physical Applic ations

[19] Pade Approximation and its Applications. Proceedings of a Conference held in Antwerp, Belgium, 1979. Lecture Notes in Mathematics. Editors-in-chief: Morel, J.-M., Teissier, B. Series Editors: Baur, K., Brion, M., Figalli, A., Huber, A., Khoshnevisan, D., Kontoyiannis, I., Kunoth, A., Szekelyhidi, L., Mezard, A., Podolskij, M., Serfaty, S., Vezzosi, G., Wienhard, A. https://www.springer.com/series/304

[20] Baker J., Graves-Morris P. Pade Approximations. Cambridge Univ. Press, 1996, 764 p. (Russ. ed.: Moscow, Mir Publ., 1986, 502 p.)

[21] V.Z. Tkhan, Dement'yev YU.N. Povysheniye tochnosti rascheta sistem avtomaticheskogo upravleniya s zapazdyvaniyem. Programmnyye produkty i sistemy. 2018, tom 31, № 3. S. 521-526. (Improving the accuracy calculation of time delay automatic control. Software & Systems (Programmnye Produkty i Sistemy. 2018, V. 31, N 3. pp. 521 - 526). http://swsys.ru/index.php?page=article&id=449

[22] K. Sh. K. Chegorski. Polinomy chegorskogo-arka i ikh svoystva (K. Sh.K. Chegorski. Chegorsky-Ark polynomials and their properties). https://proza.ru/2007/05/30-142

[23] V.A. Zhmud. Vybor Zhelayemykh Polinomov Kharakteristicheskogo Uravneniya Zamknutoy Dinamicheskoy Sistemy (V.A. Zhmud. Choosing the Desired Polynomials of the Characteristic Equation of a Closed-Loop Dynamical System). http://samlib.ru/z/zhmudx w a/polinom.shtml

[24] V.A. Zhmud, L.V. Dimitrov. Vybor kharakteristicheskikh polinomov zamknutoy sistemy avtomaticheskogo upravleniya vysokogo poryadka. Avtomatika i programmnaya inzheneriya. 2016. 2(16). S.35-46. (V.A. Zhmud, L.V. Dimitrov. The choice of characteristic polynomials of a closed-loop high-order automatic control system. Automation and software engineering. 2016.2 (16). Pp. 35-46). http://jurnal.nips.ru/sites/default/files/%D0%90%D0 %98%D0%9F%D0%98-2-2016-5 1 .pdf

[25] V.A. Zhmud. Vybor zhelayemykh polinomov kharakteristicheskogo uravneniya zamknutoy dinamicheskoy sistemy (V.A. Zhmud. Choice of the desired polynomials of the characteristic equation of a closed-loop dynamic system). http://zhurnal.lib.ru/editors/z/zhmudx w a/polinom.s html

[26] V.A. Zhmud, L.V. Dimitrov. Vychisleniye zhelayemykh koeffitsiyentov kharakteristicheskogo uravneniya zamknutoy sistemy avtomaticheskogo upravleniya. Avtomatika i programmnaya

inzheneriya. 2016. № 1 (15). S. 58-66. (V.A. Zhmud, L.V. Dimitrov. Calculation of the desired coefficients of the characteristic equation of a closed-loop automatic control system. Automation and software engineering. 2016. No. 1 (15). P. 58-66). http://jurnal.nips.ru/sites/default/files/%D0%90%D0 %98%D0%9F%D0%98-1-2016-7 0.pdf

[27] Automatic Control Systems. New Concepts and Structures of Regulators. Monograph / V.A. Zhmud, L. Dimitrov, J. Nosek. - Moscow: RuScience, 2018. 84 p.

[28] V.A. Zhmud, L.V. Dimitrov, G.V. Sablina, G. Roth, J. Nosek, W. Hardt. On the expediency and possibilities of approximating a link with a pure delay. Proceedings of SPIIRAS. Issue 21 (1), 2022:

Informatics and automation. pp. 41-67. http://proceedings.spiiras.nw.ru/index.php/sp/article/v iew/15095/15047

Vadim Zhmud - Vice-Head of NIPS, Assistant Professor, Doctor of Technical Sciences. E-mail: oao nips@bk.ru

630073, Novosibirsk,

str. Prosp. Lavrientieva, h. 6/1

The paper has been received on 16/01/2022.