CC BY
9DOI УДК 621.396
ПРИМЕНЕНИЕ ПОЛИНОМОВ НАИЛУЧШЕГО ПРИБЛИЖЕНИЯ К СИНТЕЗУ БИХ-ФИЛЬТРОВ
Жиганов Сергей Николаевич
кандидат технических наук, доцент кафедры радиотехники Муромского института (филиала) ФГБОУ ВО «Владимирский государственный университет имени Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых». E-mail: s zh 72@mail.ru
Жиганова Елена Александровна
кандидат технических наук, доцент кафедры радиотехники Муромского института (филиала) ФГБОУ ВО «Владимирский государственный университет имени Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых». E-mail: zhiganova.el@gmail.com
Романов Дмитрий Николаевич
кандидат технических наук, доцент кафедры радиотехники Муромского института (филиала) ФГБОУ ВО «Владимирский государственный университет имени Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых». E-mail: radon81@mail.ru
Ракитин Алексей Валерьевич
кандидат технических наук, доцент кафедры радиотехники Муромского института (филиала) ФГБОУ ВО «Владимирский государственный университет имени Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых». E-mail: alexey.rakitin@mail.ru
Адрес: 602264, Российская Федерация, Владимирская обл., г. Муром, ул. Орловская, д. 23.
Аннотация: В работе на примере заданной частотной характеристики фильтра нижних частот проведено исследование влияния используемых полиномов на качество аппроксимации частотной характеристики. Был рассмотрен синтез частотной характеристики с использованием полиномов Чебышева I рода. Построены АЧХ для фильтров четвёртого и шестого порядков. Предложено при синтезе фильтра использовать полиномы Чебышева II рода и полиномы наилучшего приближения. Полученные результаты показали, что применение этих полиномом приводит к измерению частотной характеристики фильтра, причем полиномы Чебышева II рода приводят к увеличению неравномерности частотной характеристики в полосе пропускания и к сужению самой полосы пропускания. В то время как полиномы наилучшего приближения позволяют на 12,5 % уменьшить величину неравномерности частотной характеристики по сравнению с классическим фильтром и полоса пропускания уменьшается меньше.
Ключевые слова: Синтез БИХ-фильтра, аппроксимация, полиномы наилучшего приближения, полиномы Чебышева первого и второго рода.
Введение
Одним из направлений цифровой фильтрации сигналов является разработка методов синтеза фильтров с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ). Большинство из этих методов основано на преобразовании передаточной функции аналогового фильтра-прототипа в передаточную функцию БИХ-фильтра [1-7].
В классической теории аналоговой фильтрации были получены аналитические соотношения, описывающие четыре типа филь-
тров, а именно фильтры Баттерворта, Чебышева I и II типов и Золотарёва-Кауэра (эллиптические). Были разработаны методики расчёта их параметров на основе ФНЧ-прототипов [8-10]. Отличие этих четырёх фильтров друг от друга состоит в получении аналитического выражения результирующей частотной характеристики. Если для фильтра Баттерворта это выражение достаточно простое и требует знания только порядка фильтра и частоты среза, то для трёх других фильтров требуется проде-
лать сложные математические вычисления. При построении фильтров Чебышева I и II типов используются полиномы Чебышева необходимого порядка, а для построения эллиптических фильтров — полиномы Якоби.
В известной литературе [1-7] для нахождения частотной характеристики фильтров Че-бышева I и II типов используют только полиномы Чебышева I рода. Вызывает интерес, как изменится частотная характеристика фильтра при использовании полиномов Чебышева II рода.
В работах [11-13] предложен метод получения полиномов наилучшего приближения разного порядка для аппроксимации ряда функциональных зависимостей. Полученные в этих работах результаты позволяют улучшить качество аппроксимации и уменьшить вычислительные затраты на реализацию алгоритмов.
Целью работы является сравнение частотных характеристик синтезированного фильтра Чебышева I типа при использовании полиномов Чебышева I и II рода, а так же полиномов наилучшего приближения.
1. Построение фильтра Чебышева I типа
Отличительной чертой фильтров Чебышева является наименьшая величина максимальной ошибки аппроксимации в заданной полосе частот при меньшем порядке фильтра по сравнению с другими аналоговыми фильтрами-прототипами. В этом случае ошибка аппроксимации идеальной частотной характеристики равномерно распределена в полосе пропускания или затухания. В зависимости от того, где минимизируется ошибка аппроксимации — в полосе пропускания или в полосе задержания -различают фильтры Чебышева I и II рода. АЧХ фильтра Чебышева I рода в полосе пропускания имеет равноволновый характер, а в полосе задержания равномерно спадает. У фильтра Чебышева II типа наоборот — в полосе пропускания АЧХ имеет плато, как у фильтра Бат-терворта, а в полосе задержания принимает равноволновый характер.
При практическом построении фильтров наибольшее распространение получили фильтры Чебышева I рода, поэтому здесь на их примере сравним возможности применения различных полиномов для аппроксимации частотной характеристики идеального ФНЧ. Фильтры Чебышева I рода чаще всего применяются в радиосистемах для подавления помех в силу лучших характеристик из всех четырёх классических фильтров.
Начнём с классического описания фильтра Чебышева I рода. Квадрат амплитудной характеристики описывается выражением [5]
1
W)|2 =
1 + £2С*
(0
(1)
где ^^ — полином Чебышева ^-го порядка; /р — граничная частота полосы пропускания ФНЧ; £ - определяет величину пульсаций, которая зависит от значения неравномерности частотной характеристики в полосе пропускания Ар в децибелах и определяется из выражения
£ = ^1010-1. (2) Порядок фильтра можно определить из соотношения
Arch
N >
ds. 10io
10TÖ- 1
Arch
ft)
(3)
Здесь Arch(.) — обратный гиперболический косинус (ареа-косинус); — величина подавления в полосе задержания в децибелах; fs — граничная частота полосы задержания фильтра.
Многочленом Чебышева первого рода называется функция [14, 15]:
Сп(х) = cos(п • arccos(x)) ,х е [-1; 1],
п = 0,1, ...,N — 1. (4)
Несмотря на присутствие тригонометрических составляющих в выражении (4), функция Сп(х), тем не менее, представляет собой поли-
ном, значения которого рекуррентно вычисляются на основе выражений полиномов двух меньших порядков. При п = 0 и п = 1 полином определяется выражением С0(х) = 1, Сг(х) = х, а для вычисления полиномов следующих порядков используется формула
^п+1(х) = 2хСп(х) — Сп_1(х). (5) Как показано в [15], при любом значении п > 0 при хе[-1; 1] функция Сп(х) центрирована относительно нуля, является либо чётной, либо нечётной. Экстремумы этой функции на интервале [-1; 1] поочерёдно меняют знак и равны единице по абсолютной величине.
Таким образом, для построения частотной характеристики фильтра Чебышева I типа по (3) необходимо рассчитать порядок фильтра N по соотношению (2), исходя из значения неравномерности фильтра в полосе пропускания, рассчитать значение £ и по соотношению (4) или (5) определить выражение для многочлена Чебышева Сп (х).
В качестве примера получим квадрат АЧХ ФНЧ Чебышева I типа со следующими характеристиками:
граничная частота полосы пропускания /р =1000 Гц;
граничная частота полосы затухания ^ =4000 Гц;
неравномерность в полосе пропускания Ар = 2 дБ;
затухание в полосе задержания = —25 дБ;
По формуле (2) рассчитаем величину пульсаций
£ = л] 10То — 1 = 0,765. Из соотношения (3) определяем порядок фильтра
Arch
N >
1 25 \
110io - Л
2 1
J10То - 1
Arch (S)
= 3,384.
Будем считать, что порядок фильтра N=4. Полином Чебышева 4 порядка определяется выражением
С4(х) = 8х4 - 8х2 + 1. Для этих значений квадрат АЧХ фильтра Чебышева I типа определяется соотношением
|Я(/)|2 =-1-
1 + £■
Ю-©2
+1
2.
^/р/ \JTpZ
На рис. 1 приведён график квадрата АЧХ. Из рисунка видно, что кривая АЧХ в полосе пропускания совершает равноволновые пульсации, причём количество экстремумов в полосе пропускания равно порядку фильтра, оба минимума одинаковые по величине и равны 2 дБ. В полосе пропускания АЧХ монотонно уменьшается, значение затухания на граничной частоте полосы пропускания составляет -63,3 дБ.
Увеличим порядок фильтра до 6, тогда полином Чебышева 1 рода 6 порядка определяется из соотношения
С6(х) = 32х6 - 48х4 + 18х2 - 1, а квадрат частотной характеристики определяется из выражения
|Я(/)|2=- 1
1 + £2(32({)°-48(^ + 18(0-1]
На рис. 2 приведён квадрат АЧХ получен-
-10 -20 -30 ) -40 -50 -60 -70 ] ■гл..
\
\
0 400 300 1.2х103 1.6*103 ыо3 2.4x1с)3 2м03 З.2х103 З.бхЮ3 4*103 ( *ис. 1. АЧХ фильтра Чебышева I типа при N=4
ного фильтра. Из сравнения кривых рис.1 и рис. 2 видно, что при увеличении порядка фильтра равноволновый характер пульсаций в полосе пропускания сохраняется, количество экстремумов по прежнему равно порядку фильтра, а величина минимумов сохранилась на уровне -2 дБ, но при этом, как и следовало ожидать, величина затухания на граничной частоте полосы задержания увеличилась более чем на 35 дБ и составила -99,2 дБ.
2. Многочлены Чебышева II рода
Многочлены Чебышева второго рода Un(x) могут быть определены с помощью рекуррентного соотношения при U0(x) = 1 и U1(x) = 2х
Un+1(x) = 2xUn(x) - Un_1(x), (5) либо могут быть также заданы с помощью равенства
sin((n + 1)0)
Un(cos6)= V . д-(6)
Sin tí
При синтезе фильтра подставим в выражение для квадрата частотной характеристики (1) вместо полинома Сп(х) полином Чебышева II рода Un(x).
Вернемся к рассматриваемому примеру и в случае порядка фильтра N = 4 полином Чебышева II рода будет иметь вид:
UA(x) = 16х4 - 12х2 + 1, а квадрат частотной характеристики определяется выражением
|Я2(/)|2=- '
1 + £2( 16Í-M -12Í-M +1
На рис. 3 приведены две кривые АЧХ, соответствующие синтезированным фильтрам с полиномами Чебышева I рода — сплошная кривая, и II рода — пунктирная кривая. На рис. 4 обе кривых показаны в большем масштабе в пределах полосы пропускания.
Из рис. 3 и рис. 4 видно, что замена полинома Чебышева при синтезе фильтра приводит к следующим эффектам: равноволновый характер изменения АЧХ в полосе пропускания пропадает, хотя сохраняется тоже количество экстремумов; максимальное отклонение АЧХ в полосе пропускания увеличивается и дохо-
дит почти до -3дБ; полоса пропускания фильтра уменьшается на 1,3%; величина подавления возрастает и на граничной частоте полосы пропускания составляет - 70 дБ.
В случае, если порядок фильтра увеличить до N=6, то полином Чебышева II рода определяется следующим выражением:
и6(х) = 64хб - 80х4 + 24х2 - 1, а квадрат частотной характеристики —
1Я2(/)|2 =-/-1-—4-2-*
1 + £2(64(0 -80® + 24® -1
Характер изменения частотной характеристики такой же, как и в случае N=4, затухание на граничной частоте полосы пропускания возросло до величины 105,3 дБ; равноволно-вость изменения АЧХ в полосе пропускания пропала, а максимальное отклонение увеличилось до -4 дБ; полоса пропускания фильтра так же уменьшилась 1,3 %.
3. Полиномы наилучшего приближения
В работе [11] были получены полиномы наилучшего приближения различных порядков для аппроксимации ряда функциональных зависимостей. Воспользуемся результатами этой работы для получения частотной характеристики фильтра Чебышева I типа. Как и в предыдущем случае для получения Н(/) в выражение (1) вместо полинома Сп(х) для фильтра четвертого порядка подставим полином наилучшего приближения вида
Р4(х) = 13,3х4 - 32,22х2 + 1. Тогда квадрат частотной характеристики будет выглядеть следующим образом
|яз(/)Р =---^-—
1 + £2(13'3® -32'22® +1
На рис. 5 приведены кривые квадрата АЧХ полученных фильтров: сплошная кривая - синтезированный фильтр с использованием полинома Чебышева I рода; пунктирная кривая - с использованием полинома Чебышева II рода; точечная кривая - с использованием полинома наилучшего приближения. Из рис. 5 видно, что при использовании полиномов наилучшего
•"V V "у
\ % » /» / » У
ч V г 1 \
1 ♦ \
\
\
\
1
*
» I
110 220 330 440 550 660 770 I
Рис. 5. АЧХ фильтра в полосе пропускания при N=4 и использовании трех различных полиномов
приближения равноволновый характер изменения АЧХ в полосе пропускания фильтра пропадает, но максимальное отклонение в пределах полосы пропускания становится равным — 1,75 дБ, кроме этого полоса пропускания уменьшается только на 1% по сравнению с использованием полинома Чебышева I рода.
В случае фильтра шестого порядка полином наилучшего приближения определяется из выражения
р6(х) = 4,4х6 - 22,2х4 + 9,4х2 + 1, а квадрат частотной характеристики имеет вид |Я3(ЯР =---1—----Т.
1 + £2(4'4(06-22'2(04 + 94(02 + 1) Как показали результаты экспериментов, в случае использования полинома наилучшего приближения шестого порядка полоса пропускания синтезированного фильтра уменьшается на 1% по сравнению с полиномом Чебышева I рода, равноволновый характер изменения АЧХ в пределах полосы пропускания пропадает, а неравномерность частотной характеристики не превосходит — 1,75%
Заключение
В представленной работе рассмотрена возможность построения фильтра Чебышева I типа с использованием полиномов Чебышева II типа и полиномов наилучшего приближения на
примере синтеза фильтров 4-го и 6-го порядков. Получены следующие результаты:
1. Использование полиномов, отличных от полинома Чебышева I рода, приводит к тому, что равноволновый характер изменения АЧХ в пределах полосы пропускания фильтра пропадает, при этом максимальная величина неравномерности частотной характеристики для полиномов Чебышева II рода возрастает 1,5 раза для фильтра 4-го порядка и в 2 раза для фильтра 6-го порядка, а для полиномов наилучшего приближения уменьшается на 12,5% для фильтров обоих порядков;
2. Применение отличных от классического полинома при синтезе фильтра приводит к сужению полосы пропускания фильтра, в случае полиномов Чебышева II рода на 1,3%, а при использовании полиномов наилучшего приближения на 1% по сравнению с классическим фильтром.
Следует отметить, что полиномы наилучшего приближения могут быть использованы для улучшения частотных характеристик аналоговых фильтров по сравнению с классическим подходом, но это потребует отдельной разработки методики синтеза фильтра по заданным исходным параметрам.
Литература
1. Оппенгейм А., Шафер Р. Цифровая обработка сигналов. М.: Техносфера, 2006. 856 с.
2. Голд Б., Рэйдер Ч. Цифровая обработка сигналов. Пер. с англ., под ред. А.М. Трахтмана. М.: «Сов. радио», 1973, 368 с.
3. Гольденберг Л.М., Матюшкин Б.Д., Поляк М.Н. Цифровая обработка сигналов: учеб. пособие для вузов / М.: Радио и связь, 1990. 256 с.
4. Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов: учеб. для вузов. 2-е изд. СПб.: Питер, 2006. 751 с.
5. Айфичер Э.С., Джервис Б.У. Цифровая обработка сигналов: практический подход, 2-е издание.: пер. с англ. М.: Вильямс, 2004. 992 с.
6. Лайонс Р. Цифровая обработка сигналов: Второе издание. Пер. с англ. М.: ООО «Бином-Пресс», 2006. 656 с.
7. Солонина А.И., Улахович Д.А., Арбузов С.М., Соловьева Е.Б. Основы цифровой обработки сигналов: Курс лекций. Изд. 2-е испр. и перераб. СПб.: БХВ-Петербург, 2005. 768 с.
8. Лэм Г. Аналоговые и цифровые фильтры. М.: Мир, 1982. 589 с.
9. Херреро Д., Уиллонер Г. Синтез фильтров. Пер. с англ., под ред И.С. Гоноровского. М.: Сов. радио», 1971. 232 с.
10. Джонсон Д. и др. Справочник по активным фильтрам: Пер. с англ. / Д. Джонсон, Дж. Джонсон, Г. Мур. М.: Энергоатомиздат,1983. 128 с.
11. Chekushkin V.V., Zhiganov S.N. Computational methods in optimization of engineering problems // Raleigh, North Carolina, USA: Open Science Publishing, 2018. 202 p.
12. Bordanov I.A., Zhiganov S.N., Danilin S.N. Оп the problem of choosing optimal methods for approximating functions // Journal of Physics: Conference Series. Сер. "International Conference on Automatics and Energy, ICAE 2021" 2021. С. 012054.
13. Жиганов С.Н., Михеев К.В., Жиганова Е.А., Ракитин А.В. Применение полиномов при аппроксимации функциональных зависимостей в ЦОС // Радиотехнические и телекоммуникационные системы. 2020. № 1. С. 30-40.
14. Прасолов В.В. Многочлены. 4-е изд., исправленное. М.: МЦНМО, 2014. 336 с.
15. Жиганов С.Н., Михеев К.В., Ракитин А.В., Ушаков В.А. Многочлены Чебышева первого рода в задачах аппроксимации функциональных зависимостей // Наука и образование в развитии промышленной, социальной и экономической сфер регионов России. XII Всероссийские научные Зворыкин-ские чтения: сб. тез. Докл. Всероссийской межвузовской научной конференции. Муром, 5 февр. 2021 г. Муром.
Поступила 6 апреля 2022 г.
English
APPLICATION OF POLYNOMIAL OF BEST APPROXIMATION FOR IIR FILTER SYNTHESIS
Sergey Nikolayevich Zhiganov — PhD, Associate Professor, Radio Engineering Department, Murom Institute (Branch) Federal State Budgetary Educational Institution of Higher Professional Education "Vladimir State University named after A.G. and N.G. Stoletovs". E-mail: s zh 72@mail.ru
Elena Aleksandrovna Zhiganova — PhD, Associate Professor, Radio Engineering Department, Murom Institute (Branch) Federal State Budgetary Educational Institution of Higher Professional Education "Vladimir State University named after A.G. and N.G. Stoletovs". E-mail: zhiganova.el@gmail.com
Dmitriy Nikolaevich Romanov — PhD, Associate Professor, Radio Engineering Department, Murom Institute (Branch) Federal State Budgetary Educational Institution of Higher Professional Education "Vladimir State University named after A.G. and N.G. Stoletovs". E-mail: radon81@mail.ru
Alexey Valeryevich Rakitin — PhD, Associate Professor, Radio Engineering Department, Murom Institute (Branch) Federal State Budgetary Educational Institution of Higher Professional Education "Vladimir State University named after A.G. and N.G. Stoletovs". E-mail: alexey.rakitin@mail.ru
Address: 602264, Russian Federation, Vladimir region, Murom, Orlovskaya st., 23.
Abstract: Transform methods are widely used for transfer function of analog prototype filter into transfer function of digital filter when synthesizing filters with infinite impulse response. There are obtained analytical relations in classical theory of analog filtering describing four types of filters, namely Butterworth filters, Chebyshev types I and II filters and Zolotarev-Kauer (elliptic) filters. These expressions are simple for Butterworth filter and require only setting filter order and cutoff frequency, while other filters require additionally Chebyshev polynomials of necessary order, and Jacobi polynomials are required to construct elliptic filters. Moreover, only Chebyshev I kind polynomials are used to find frequency response for Chebyshev filters of I and II kind. The paper's objective is to compare frequency response of synthesized Chebyshev filters of type I using Chebyshev I and II kind polynomials and polynomials of the best approximation. The paper presents an algorithm for constructing Chebyshev type I filter. Chebyshev I and II kind polynomials and algorithm for obtaining polynomials of the best approximation are examined. Chebyshev low-frequency I type filter of the third and fifth order was synthesized as per specified data. Three types of polynomials such as Chebyshev polynomials of I and II kind and polynomials of the best approximation were used for synthesis. Obtained frequency response of synthesized filters were compared by value of frequency response fluctuations in filter bandwidth.
Keywords: IIR filter synthesis, approximation, best approximation polynomials, Chebyshev polynomials of the first and second kind.
References
1. Oppenheim A., Shafer R. Digital signal processing. Moscow: Tehnosfera, 2006. 856 p.
2. Gold B., Rader Ch. Digital processing of signals. Translated from English, edited by A.M. Trakhtman. Moscow: Sovetskoe radio, 1973. 368 p.
3. Goldenberg L.M., Matyushkin B.D., PolyakM.N. Digital signal processing: textbook. manual for universities. Moscow: Radio i svyaz', 1990. 256 p.
4. Sergienko A.B. Digital signal processing: textbook. for universities. 2nd ed. St. Petersburg: Piter, 2006. 751 p.
5. Aificher E.S., Jervis B. U. Digital signal processing: a practical approach, 2nd edition.: translated from English. Moscow: Williams, 2004. 992 p.
6. Lyons R. Digital signal processing: Second edition. Translated from English. Moscow: OOO "Binom-Press", 2006. 656 p.
7. Solonina A.I., Ulakhovich D.A., Arbuzov S.M., Solovieva E.B. Fundamentals of digital signal processing: A course of lectures. Ed. 2nd ispr. and reprint St. Petersburg: BHV-Petersburg, 2005. 768 p.
8. Lam G. Analog and digital filters. Moscow: Mir, 1982. 589 p.
9. Herrero D., Willoner G. Synthesis of filters. Translated from English, edited by I.S. Gonorovsky. Moscow: Sov. radio, 1971. 232 p.
10. Johnson D. et al. Handbook of active filters: Translated from English / D. Johnson, J. Johnson, G. Moore. Moscow: Energoatomizdat, 1983. 128 p.
11. Chekushkin V. V., Zhiganov S.N. Computational methods in optimization of engineering problems. Raleigh, North Carolina, USA: Open Science Publishing, 2018. 202 p.
12. Bordanov I.A., Zhiganov S.N., Danilin S.N. Op the problem of choosing optimal methods for approximating functions. Journal of Physics: Conference Series. Ser. "International Conference on Automatics and Energy, ICAE 2021" 2021. Pp. 012054.
13. Zhiganov S.N., Mikheev K. V., Zhiganova E.A., Rakitin A. V. Application of polynomials in the approximation of functional dependencies in DSP. Radio and telecommunication systems. 2020. No. 1. Pp. 30-40.
14. Prasolov V. V. Polynomials. 4th ed., edited. Moscow: ICNMO, 2014. 336 p.
15. Zhiganov S.N., Mikheev K. V., Rakitin A. V., Ushakov V.A. Chebyshev polynomials of the first kind in problems of approximation of functional dependencies // Science and education in the development of industrial, social and economic spheres of the regions of Russia. XII All-Russian Scientific Zvorykin Readings. Murom, February 5, 2021 Murom.
