17РАСЧЕТ ФИЛЬТРАЦИОННЫХ ТЕЧЕНИЙ В ТРЕЩИНОВАТО-ПОРИСТЫХ
СРЕДАХ ПРИ НАЛИЧИИ КАВЕРН
Д. А. Митрушкин, П.Ю. Томин ИПМ им. М.В.Келдыша РАН, e-mail: office@keldysh.ru
Введение
Трещиновато-пористые среды при наличии каверн достаточно сложны для численного моделирования фильтрационных задач. Такие среды характеризуются несколькими типов пустот (рис.1).
Мезомасштаб
Рис. 1. Многомасштабный характер каверн и трещин [1]
Одновременное присутствие зон пористости и свободного течения существенно влияет на эффективную проницаемость среды в целом, особенно в случае связанных сетей трещин и каверн.
Моделирование кавернозно-пористых сред традиционно осуществляется с помощью совместного решения уравнений Стокса и Дарси [2-6]. Течение в пористых зонах описывается уравнением Дарси, в то время как уравнение Стокса используется для зон свободного течения. На границе между двумя зонами могут задаваться различные типы условий согласования [3-5].
Существует несколько аспектов, которые затрудняют применение подхода Дарси-Стокса для моделирования течения в кавернозных коллекторах. Во-первых, требуется
точное знание геометрии зон свободного течения. Во-вторых, необходимо численно или экспериментально определить параметры для условий согласования на границе раздела зон.
Альтернативным способом моделирования кавернозных сред является использование уравнения Стокса-Бринкмана [1, 2, 7], позволяющее реализовать единый подход к расчету течения как для пористых, так и пустотных зон. Уравнение Стокса-Бринкмана переходит в уравнения Стокса и Дарси при соответствующем выборе параметров модели. Так как различные типы сред задаются лишь коэффициентами в уравнении, то нет необходимости формулировать дополнительные условия на границе раздела зон, что упрощает численную реализацию, а также позволяет использовать более грубые расчетные сетки, не адаптированные к структуре среды.
1. Многомасштабные модели кавернозной среды
Целесообразно учитывать два масштаба среды: подробный (мелкомасштабный) и грубый (крупномасштабный). Мелкомасштабная среда состоит из пористых зон и зон свободного течения, которые представлены кавернами и трещинами. Пористые зоны состоят из непроницаемого скелета и порового пространства, заполненного флюидом. Эта подробная мелкомасштабная структура описывается такими макропараметрами, как пористость и проницаемость. Характерные мелкомасштабные и крупномасштабные размеры обозначаются I и Ь соответственно. Все величины, характерные для подробного масштаба, отмечаются индексом е(е = ¡¡Ь ), остальные - относятся к грубому масштабу.
Крупномасштабное описание среды основано на модели течения Дарси. При этом мелкомасштабные особенности (каверны и трещины), наряду с окружающей пористой матрицей, показываются как осредненная среда с эффективными значениями пористости и проницаемости.
Введем обозначения: О^ - зона свободного течения, Ор - пористая зона, Г -граница между ними. Мелкомасштабную скорость обозначим как Vе, а давление - ре.
При этом в зоне свободного течения скорость Vе является реальной скоростью течения флюида, а в пористой среде - осредненной скоростью Дарси.
2. Модель Дарси-Стокса
Данная модель описывается связанной системой уравнений для определения полей давления и скоростей. Уравнение Стокса, используемое для описания зоны свободного течения, имеет вид:
Уре-^Е=Ф в О7. (1)
V- Vе = 0 в О7. (2)
Уравнение (1) выражает баланс импульса, а (2) - закон сохранения массы. В пористой зоне закон сохранения импульса выражается законом Дарси. В этом случае полная система уравнений будет иметь вид:
Vе =-К ((ре-р) в Ор (3)
/к '
V-Vе = 0 в Ор. (4)
Входящие в уравнения параметры описываются ниже.
Эти две системы уравнений должны быть связаны на границе раздела зон Г с помощью дополнительных условий, а именно, условий непрерывности потока массы и импульса через границу и выражений для тангенциальной компоненты скорости [3-5].
3. Модель Стокса-Бринкмана
В качестве альтернативного подхода предлагается использовать единое для пористой зоны и зоны свободного течения уравнение Стокса-Бринкмана:
/К"V + Vpе - u*Avе = р в О. (5)
V -Vе = 0 в О, (6)
где К - тензор абсолютной проницаемости, / - вязкость флюида, /и - эффективная вязкость, р - объемные силы (например, гравитация).
Вязкость флюида и является свойством рассматриваемой жидкости (воды, нефти и т. д.) и не зависит от того, в какой зоне рассматривается течение, в то время как К и /и непосредственно зависят от типа рассматриваемой среды.
Предполагается, что в зоне свободного течения О7 проницаемость формально равна бесконечности, а эффективная вязкость - вязкости флюида:
К = ю, / = и в О7. (7)
Отметим, что при таких значениях параметров система уравнений (5)-(6) переходит в систему уравнений Стокса (1)-(2).
В пористой зоне О р тензор проницаемости К эквивалентен проницаемости Дарси пористой среды. Представим соотношение (5) в виде:
Vpе = -/К-'V + /1*Ауе +р в О. (8)
В пористой среде значения проницаемости К обычно варьируются в диапазоне 0.001 ^ 1 Дарси. Так, если эффективная вязкость имеет тот же порядок величины, что и вязкость флюида, то значение слагаемого /^Klv£ в уравнении (8) на несколько порядков превосходит значение u*Avе. Таким образом, дополнительный член, включающий эффективную вязкость, вносит лишь небольшие возмущения в закон Дарси, и в результате уравнение (8) переходит в (3). Простейшим возможным значением для эффективной вязкости /и является /и = /.
4. Ремасштабирование
Кратко опишем процедуру ремасштабирования для уравнения Стокса-Бринкмана при переходе от подробного к грубому масштабу среды. Рассмотрим элементарный объем У, который содержит как пористые зоны, так и зоны свободного течения. Подставляя разложения Vе и ре по степеням малого параметра е в систему уравнений (5)-(6) и предполагая, что
/К-1 > 0(е 2), (9)
получаем набор задач для расчета эффективной (ремасштабированной) проницаемости.
Пусть d - размерность пространства (2 или 3), а е{ - единичный вектор в г -м направлении (г = 1,...,d). Тогда d -мерные мелкомасштабные задачи для
ремасштабирования имеют вид:
*
К"V +Vrqг -/АГ^ = вг в У (10)
/
Vr - w = 0 в У . (11)
Здесь ^ и q - мелкомасштабные скорость и давление, соответствующие действию единичной силы в направлении г.
Крупномасштабная (ремасштабированная) проницаемость К* вычисляется с помощью осреднения мелкомасштабных скоростей:
К :=( ™1)г = р^ I ^ . (12)
5. Результаты расчетов
Допустим, что рассматривается образец среды с однородной проницаемостью К = 67 мД и включением каверн, доля которых в общем объеме составляет (рк = 0.1 (рис. 2).
Согласно описанному выше алгоритму расчета эффективной проницаемости проводятся два расчета: для е1 = (1,0) и е2 =(0,1), см. формулу (10). Как для давления р,
так и для скорости V задаются периодические граничные условия. Соответствующие распределения давления и линии тока представлены на рис. 3.
а б
Рис. 2. Распределение каверн в образце
Рис. 3. Распределение давления и линии тока: а - для е и б - для е2
Полученный по формуле (12) тензор эффективной проницаемости образца имеет
вид:
К =
85.6 0.6 ^ ч 0.6 86.0,
(13)
Как видно, образец оказался практически изотропным, что обусловлено равномерным пространственным распределением каверн и их слабой связностью, за счет каверн проницаемость возросла почти на 30%. Отметим симметричность полученного тензора, что является следствием физической корректности алгоритма.
6. Двухфазный случай
Представленные выше модели и алгоритмы справедливы для описания однофазного течения жидкости. Рассмотрим далее случай двухфазного течения несмешивающихся жидкостей (нефти и воды).
Для описания свободного течения в кавернах и трещинах используется следующий метод (Volume of fluid method [8]). Двухфазная система рассматривается как единый флюид с вязкостью л, зависящей от насыщенностей фаз:
Л = + so/o в Qf. (14)
Для насыщенностей выполняется следующее соотношение:
So +Sw = 1. (15)
Распределение насыщенности меняется со временем в соответствии с уравнением переноса:
ds
—a + V( sav£) = 0, a = o, w в Qf (16)
dt
Уравнение для закона сохранения импульса в двухфазном случае будет иметь вид [9]:
Vpe-/vf=v + vcap (sa) в Qf, (17)
где <pcap - капиллярные силы между двумя фазами, для которых справедливо следующее приближение [10]:
<ap (О = . (18)
Здесь у - поверхностное натяжение, х - кривизна границы раздела, sa -
насыщенность одной из фаз.
Обобщенный закон Дарси в пористой зоне в двухфазном случае записывается для каждой из фаз и содержит дополнительный множитель - относительную фазовую проницаемость fa , зависящую от насыщенности фазы sa (объемной доли фазы):
т) к
(pea-<), a = o, w в Qp. (19)
Ма
Для однородного описания двухфазного течения в порово-кавернозном коллекторе предлагается использовать следующее обобщение модели Стокса-Бринкмана. Закон сохранения импульса для каждой из фаз:
(/ () К ) 1 + Ур ' - М V ' = Р + Срсар (8 а) в О ; (20)
Закон сохранения массы каждой фазы:
(0) в О. (21)
Уравнение переноса для насыщенности (16) и соотношение для насыщенностей
Отметим, что для случая свободного течения из пары уравнений в (20) и (21) остается только по одному уравнению для скорости единой фазы.
7. Ремасштабирование абсолютных и фазовых проницаемостей
Аналогично однофазному случаю, для перехода от мелкого к крупному масштабу проводится расчет эффективных (ремасштабированных) параметров модели, d -мерные мелкомасштабные задачи, необходимые для ремасштабирования уравнения Стокса-Бринкмана для двухфазного случая, имеют вид:
(( (*„)К)-1 + ^г^ - = el в Г, (22)
УГ ■ w = 0 в Г . (23)
При этом ремасштабированная абсолютная проницаемость К вычисляется согласно формулам (12), а для ремасштабированных фазовых проницаемостей /а(яа) справедливо следующее соотношение [11]:
/ (8а )= , а = ^ ™ . (24)
К Ъ Нг
По границе области Г производится суммирование. Здесь к1 - значения коэффициента проницаемости в ячейках подробной сетки, ^ - длины ребер ячеек, 8а1 -насыщенности в ячейках подробной сетки. Величина насыщенности 8а вычисляется как среднее арифметическое от насыщенностей в ячейках подробной сетки.
8. Результаты расчетов для двухфазного случая
Возьмем тестовый пример из расчета однофазного течения (п. 5) и посмотрим, как будет выглядеть картина течения для двухфазного случая. В образец породы, заполненный нефтью, через верхнюю границу области начинают закачивать воду. Распределение насыщенности воды представлено на рис. 4. Здесь красный цвет соответствует значению насыщенности, равному 1, а синий - 0. Относительные фазовые проницаемости для этого случая показаны на рис. 5. Из рис.5 видно, что анизотропия присутствует, но не столь существенна.
Рис. 4. Распределение каверн (а) и результаты расчета - поле насыщенности воды (б),
см. текст
Рис. 5. Относительные фазовые проницаемости для нефти и воды, см. текст
Перейдем к случаю протяженных каверн, которые ориентированы в вертикальном направлении. Рассматривается образец среды с однородной проницаемостью К = 90 мД и включением каверн, доля которых в общем объеме составляет уже 20% (рис. 6).
Эффективный тензор абсолютной проницаемости имеет более выраженный анизотропный характер:
025.8 -0.3 ^ -0.3 85.6.
К =
Рис. 6. Распределение каверн (а) и результаты расчета - поле насыщенности воды (б),
см. текст
Аналогичный характер анизотропии показывают и эффективные фазовые проницаемости (рис. 7).
■ Нефть [гор.)
Рис. 7. Относительные фазовые проницаемости для нефти и воды, см. текст
Полученные кривые качественно согласуются с экспериментами [12, 13] и с теоретическим анализом [14, 15], в частности подтверждается тот факт, что направлению с большим значением абсолютной проницаемости соответствует большее значение относительной фазовой проницаемости.
Заключение
Главным преимуществом однофазной модели Стокса-Бринкмана является единообразное описание течения как для пористого коллектора, так и для пустот,
включающих каверны и трещины различных масштабов. Предложено обобщение данной модели на двухфазный случай. Такой подход позволяет, в первую очередь, существенно упростить численные расчеты из-за отсутствия необходимости задания дополнительных условий на границе раздела пористой зоны и зоны свободного течения.
Поскольку проведение численных расчетов на уровне подробного масштаба среды требует большого объема вычислительных ресурсов и может занять продолжительное время, в работе описывается процедура ремасштабирования - перехода от подробных расчетных сеток к грубым. Данная процедура позволяет получить эффективные значения тензора абсолютной проницаемости, относительных проницаемостей, давления и скорости для грубого масштаба среды, с учетом мелкомасштабных особенностей исходного образца породы.
На тестовых примерах продемонстрированы результаты работы процедуры ремасштабирования для случайно-равномерного и анизотропного пространственного распределения каверн. Эффективные алгоритмы ремасштабирования позволяют корректно использовать детализированный анализ образцов керна для задания макроскопических параметров гидродинамической модели, таких, как абсолютная и фазовая проницаемости. Отдельно отметим, что данные алгоритмы хорошо работают для описания свойств анизотропных сред, а симметричность полученных тензоров является подтверждением их физической корректности. Корректный учет неоднородности пластов (трещины, каверны) позволит значительно повысить качество гидродинамических моделей, а также достоверность создаваемых на их основе проектов разработки месторождений углеводородов.
Кроме того, предложенные в работе подходы позволяют существенно сократить время расчета гидродинамической модели вследствие использования более грубых расчетных сеток с сохранением требуемой точности и качества решения. На практике это позволяет существенно ускорить процесс адаптации гидродинамической модели, когда требуется проводить многочисленные серии расчетов.
Уже на данном этапе выполнения работ по настоящему проекту можно с уверенностью говорить о хороших перспективах использования представленных алгоритмов в основе коммерческих программных продуктов, ориентированных на гидродинамические расчеты месторождений углеводородов и моделирование лабораторных экспериментов на образцах керна.
ЛИТЕРАТУРА
1. Popov P., Efendiev Ya., Qin G. Multiscale Modeling and Simulations of Flows in Naturally Fractured Karst Reservoirs // Commun. Comput. Phys. 2009. 6, 1, 162-184.
2. Hornung U. Homogenization and porous media // Interdisciplinary Applied Mathematics. New York, Springer, 1997. 6.
3. Beavers G. & Joseph D. // Boundary Conditions at a Naturally Permeable Wall, 1967. 30, 197.
4. Saffman P. On the boundary condition at the surface of a porous medium // Studies appl. Math. 1971. 50, 93.
5. Jaeger W. & Mikelic A. On the interface boundary condition of Beavers, Joseph and Saffman // SIAM J. Appl. Math. 2000. 60, 1111.
6. Arbogast T. & Lehr H.L. Homogenization of a Darcy-Stokes system modeling vuggy porous media // Comput. Geosci. 2006. 10, 291.
7. Brinkman H.C. A Calculation of the Viscous Force Exerted by a Flowing Fluid on a Dense Swarm of Particles // Applied Scientific Research Section A-Mechanics Heat Chemical Engineering Mathematical Methods 1947. 1, 27.
8. Hirt C.W., Nichols B.D. Volume of fluid (VOF) method for the dynamics of free boundaries, Journal of Computational Physics. 1981. 39 (1): 201-225.
9. Eckhardt B., Buehrle J. Time-dependent effects in high viscosity fluid dynamics // The European Physical Journal Special Topics. 2008. 157 (1): 135-148.
10. Brackbill J.U., Kothe D.B., Zemach C. A continuum method for modeling surface tension // Journal of Computational Physics. 1992. 100 (2): 335-354.
11. Coats K.H., Nielsen R.L., Terhune M.H., Weber A.G. Simulation of three-dimensional two-phase flow in oil and gas reservoirs // SPE J. 1967. Vol. 7. № 12. P. 377-388.
12. Рассохин С.Г. Влияние анизотропии пористой среды на процессы фильтрации углеводородов // Актуальные проблемы освоения, разработки и эксплуатации месторождений природного газа. М.: ВНИИГАЗ, 2003. С. 74-83.
13. Рассохин С.Г. Относительные фазовые проницаемости при фильтрации углеводородов в гидрофильном и гидрофобном керне // Актуальные проблемы освоения, разработки и эксплуатации месторождений природного газа. М.: ВНИИГАЗ, 2003. С. 50-64.
14. Дмитриев Н.М., Максимов В.М. Определяющие уравнения двухфазной фильтрации в анизотропных пористых средах // Изв. РАН. 1998. № 2. С. 87-94.
15. Дмитриев М.Н., Дмитриев Н.М., Масленников В.В. К представлению функций относительных фазовых проницаемостей для анизотропных пористых сред // Изв. РАН. 2005. № 3. С. 118-125.
