CC BY
214
ВЕСТНИК 9/2012
УДК 624.072.2
И.А. Петров
ФГБОУ ВПО «МГСУ»
РАСЧЕТ ДВУХПРОЛЕТНОЙ НЕРАЗРЕЗНОЙ БАЛКИ С ВЫКЛЮЧАЮЩЕЙСЯ СВЯЗЬЮ
Подробно рассмотрен расчет двухпролетной неразрезной балки с распределенной массой с выключающейся связью. Рассмотрены два примера: выключение связи в системе, находящейся в положении статического равновесия, и в системе, совершающей вынужденные колебания. Приведены формулы для определения перемещений и эквивалентных статических сил, с помощью которых определяется напряженно-деформированное состояние в системе после выключения связи.
Ключевые слова: свободные колебания, вынужденные колебания, эквивалентные статические силы, выключающаяся связь, прогрессирующее обрушение.
Выводы формул, теоретическое обоснование, на которых основан алгоритм и выполнен пример расчета в данной статье, даны в [1, 2].
I. В качестве первого примера рассмотрим расчет системы, находящейся в положении статического равновесия, с выключающейся связью.
Общая схема расчета: рассматриваются последовательно две системы — до и после выключения связей; результат выключения связей — возбуждение свободных колебаний в системе; начальные условия (начальные смещения), определяющие свободные колебания, вычисляются из статических расчетов системы со связью (система 1) и системы без связи (система 2). Эквивалентные статические силы вычисляются по формулам, приведенным в [2]. Определяется напряженно-деформированное состояние системы без связи. Схема алгоритма:
1. Система с распределенной массой редуцируется системой с конечным числом степеней свободы.
2. Выполняется статический расчет систем 1 и 2 МКЭ. Записываются начальные условия, определяющие свободные колебания.
3. Система 2 рассчитывается на свободные колебания МКЭ. Определяются перемещения масс в главных координатах.
4. Вычисляются эквивалентные статические силы и напряженно-деформированное состояние системы 2.
Исходные данные. Рассматривается двухпролетная неразрезная балка (рис. 1, а) с жесткими закреплениями на концах. Выключающаяся связь в середине пролета балки (рис. 1, б). Поперечное сечение балки — двутавр 30Б1, с характеристиками А = 41,9210-4 м2, Е1 = 1329,27т м2.
д = 1 т/м д = 1 т/м
Рис. 1. Система 1 (а), система 2 (б)
Решение. 1. Распределенная масса редуцируется точечными массами. В результате получены расчетные схемы системы до и после выключения связи (рис. 2).
Проектирование и конструирование строительных систем. Проблемы механики в строительстве ВЕСТНИК
_МГСУ
0,75 m 1,5 m 1,5 m 1,5 m 1,5 m 1,5 m 1,5 m 1,5 m 0,75 m 0,75 m 1,5 m 1,5 m 1,5 m 1,5 m 1,5 m 1,5 m 1,5 m 0,75 m
41111111^ zj/lllllllk
* 1500x4=6000 ^ 1500x4=6000 f J, 1500x4=6000 } 1500x4=6000 | а б
Рис. 2. Расчетные схемы системы 1 (а) и системы 2 (б)
Для иллюстрации адекватности системы с точечными массами сравнивались эпюры моментов при статическом приложении нагрузки системы 1 (рис. 3, а, б) и системы 2 (рис. 3, в, г).
3 3 3 12 12
2,8125 ^2,8125 2,8125 J1,8125
2,8125. J1,8125 11,8125,
6,1875
"ULJ-UJJJ1111111 lil 1111 LLLLLu^ ■
11,8125^
Рис. 3. Эпюры моментов. Единицы измерения — тм
В результате редуцирования погрешность значения эпюры моментов системы 1 в пролете А = (1,6875 -1,5)/1,5 = 12,5 %, на опорах А = 6,3 % ; системы 2 — в пролете А = 3,1 %, на опорах А = 1,6 %. На основании результатов сравнения возможно считать, что распределенная масса заменена точечными массами с достаточной степенью приближения.
2. Выполняется статический расчет МКЭ системы 1 (см. рис. 2, а) и системы 2 (см. рис. 2, б). На основании результатов расчета записываются векторы, отображ а-ющие перемещения масс в положении статического равновесия системы 1 — и системы 2 — (рис. 4).
^ = {{1,42}, {2,53}, {1,42}, {0}, {1,42}, {2,53}, {1,42 }}мм,
= {{7,77},{22,85},{35,71},{40,63},{35,71},{22,85},{7,77}}г мм.
1,5 m
1,5 m
1,5 m
1,5 m
1,5 m 1,5 m
1,5 m
-т
Рис. 4. Перемещения масс в системе 1 и системе 2
Вектор = ¡1 - ¡2 определяет начальные условия (перемещения) и, соответственно, характер свободных колебаний в системе после выключ ения связи (см. рис. 4). Если 2-у - 22 , т.е. выключения связи не происходит, вектор А2ст = 0 — свободные колебания в системе не возбуждаются.
_. -r f{-6,34}, {-20,31}, {-34,28}, {-40,63}, {-34,28}, 1
Az = z1 - z2 = <| мм.
ст 1 2 [{-20,31}, {-6,34} )
(1)
3. Расчет системы 2 (рис. 2, б) на свободные колебания МКЭ производится в любом программном комплексе (в данном случае ПК SCAD [3]), в результате которого вычисляются собственные частоты и формы системы без связи.
ВЕСТНИК 9/2012
Матрица собственных форм Ф [4—6], столбцами которой являются векторы собственных форм, имеет вид
ф={{Y}, {Y2}, {Y}, {}, {Y}, {Y6}, {}}. (2)
Удобно воспользоваться свойствами нормированных форм. Постоянный нормирующий множитель вычисляется по формуле
N =JimY2, (3)
где r — номер формы (частоты) собственных колебаний; j — номер точечной массы; n — количество масс (в данном расчете n = 7).
Нормированные векторы собственных форм и матрица нормированных собственных фо рм определяются из выражений
W = N- , ФN = {}, {{*}, {^}, {^}, {°f}, {°f}}. (4)
Индексы N далее опускаем. Ортогональность и нормирование собственных форм проверяется по формуле ФТМФ = E, где E — единичная матрица.
Вычислив вектор начальных перемещений масс системы (рис. 2, б) в главных коордо натах
= ФГМ Д7Т = {(-0,0857}, {0}, (0,0025}, {0}, (0,0005}, {0}, (0,0002}}г м, (5)
запишем уравнения движения масс системы 2:
агсв (t ) = e~"r'a0r C0s (p'rt) + ""Г sin (p'rt)
Pr
где у — коэффициент внутреннего трения (для данного расчета у = 0,15); p* — собственная частота с учетом трения; r = 1, 2, ... n — номер собственной формы (частоты).
4. Формулы для нахождения вектора эквивалентных статических сил и вектора перемещений масс приведены в [2]
s(t)=мФл^в(t), г(t)=ф^в(t), (7)
где Л — диагональная матрица, на главной диагонали которой квадраты собственных частот.
Величины эквивалентных статических сил вычисляются в момент максимального прогиба балки. Этому моменту соответствует половина пе ооо го периода колебаний: tpaC4 = п/p*1 = 0,178 с. График перемещений 52дин (t) = Фасв (t) + z2 приведен на рис. 5 [7]. На графике момент времени t = 0 — время выключения связи. Вектор ^2дин (t) показывает перемещение каждой^ массы относительно своего положения равновесия, т.е. относительно положения z2 (см. рис. 4).
Результаты расчета. Вектор эквивалентных статических сил вычисляется из выражения (7) при t = tpac4
=Yf, p'r=v pr - nr, (6)
S (tpac4) = {{0,154},{0,631},{1,303},{1,725},{1,303},{0,631},{0,154}}T
т.
Эпюра моментов от действия вычисленных эквивалентных статических сил и имеющейся статической нагрузки построена на рис. 7, а. Для сравнения приведена эпюра моментов (рис. 7, б), построенная по расчетной схеме, в соответствии с которой выключающаяся связь учитывается добавлением нагрузки, равной удвоенной реакции в выключающейся связи. Подобный подход используется в [8].
Проектирование и конструирование строительных систем. Проблемы механики в строительстве
ВЕСТНИК
-МГСУ
N 40 г.
0 0.178
t, с
Рис. 5. График колебаний масс в системе относительно положения 2г
На рис. 6 приведен график изменения значений момента на опорах и в пролете при действии эквивалентных статических сил (как функций от времени) (7) и имеющейся статической нагрузки.
12
0 0.178
t, с
Рис. 6. Изменение значений момента на опорах и в пролете
II. В качестве второго примера рассмотрим расчет этой же системы при выключении связи в процессе колебаний.
Общая схема расчета точно такая же, как и общая схема расчета из примера I, за исключением начальных условий для 2-й системы: начальное смещение — сумма
ВЕСТНИК
9/2012
Лzст и динамического перемещения системы 1 в момент выключения связей, начальная скорость — скорость системы 1 в момент выключения связей.
19,69 ,
0,15 т 0,63 т 1,30 т 1,72 т 1,30 т 0,63 т 0,15 т ^
0,75 т
1,5 т 1,5 т
г 11,47
0,75 т
29,80
0,75
12 т 1,5 т
29,80 ,
1,5 т 1,5 т
0,75 т
Рис. 7. Эпюры моментов, единицы измерения — тм
Начальные условия для 2-й системы (после выключения связей) определялись по формулам
¿20 = ¿1 (*0)- Лст ' ¿20 = ¿1 ('X (8)
где t0 — время выключения связей; Лгст определена по формуле (1).
¿1 (') = Ф1 а1 ('), ¿1 (') = Ф1 а (') — уравнения движения и скоростей м асс системы 1;
где Ф1 — нормированная матрица собственных форм системы 1 (4); а1 ^) — уравнения движения масс системы 1 в главных координатах.
Решение уравнения движения системы 2 — это сумма решений уравнений движения вынужденных колебаний (при действии внешней динамической нагрузки) и свободных колебаний (при выключении связей):
а2 - (') = а2 гв(') + а2 гсв('). (9)
Уравнения вынужденных колебаний в главных координатах:
а2„(0 = \ЬГ (т)Уг (рг, ' - т) сСт = ('), (10)
0 1=0
где Хгг — ¡-й элемент вектора г-й нормированной формы системы 2.
• = }<?,-(т)Уг (Я, ' - т) Ск Уг = -1 е--' 8т(р»,
где Г = Л в"- з1п(р>) — импульсная переходная функция для г-й формы колеба-
Р*
ний; ^ (t) — внешняя динамическая нагрузка, приложенная в ¡-й массе; р* — собственная частота системы 2 с учетом трения (6).
Уравнения свободных колебаний в главных координатах:
а, (') = е -^
а,«- ссз(р'х) + 8;п(р )
(11)
где а20г, аа20г — начальное отклонение и скорость системы 2 в главных координатах,
которые определяются из выражений а20 = Ф2ТМ2 ¿20, а&20 = Ф2ТМ2 ¿20.
Перемещения и эквивалентные статические силы системы 2 вычисляются по формулам
а
Проектирование и конструирование строительных систем. Проблемы механики в строительстве ВЕСТНИК
_МГСУ
(7) = Ф2 а2 (г), S2 = М2Ф2Л2 а2 (/). (12)
Рассматривалась балка, на которой установлено оборудование с гармоническими нагрузками, и оценивалось влияние времени выключения связи (и величины перемещений в этот момент). При расчете принималось (рис. 8): #(г) = Q0 б1п(ю г), Q0 = 1,5 т— амплитуда внешней нагрузки, ю = 62рад / с — частота внешней нагрузки.
Рис. 8. Расчетные схемы системы 1 (а) и системы 2 (б).
Влияние выключения связи оценивалось в момент нахождения масс системы 1 в крайнем нижнем при г = 0,946 с (рис. 9) и в крайнем верхнем положении при г = 0,996 с (рис. 10).
о
10 20
30
N 40 50 60 70
0 1 2 3 4 5
г, с
Рис. 9. График колебаний масс в системе с выключением связи при г = 0,946 с
Свободные колебания после выключения связи возбуждаются также при нулевом перемещении в начальной системе (системе 1) и максимальной скорости в мо -мент выключения связи.
Выводы. Приведенный алгоритм, по нашему мнению, является обоснованным и достаточно простым. Существенно, что при расчете могут быть использованы какие-либо из многочисленных программных комплексов МКЭ.
Выключение связи в системе, находящейся в положении статического равновесия, дает увеличение значения момента в пролете в 1,65 раза и на опорах в 1,85 раз по сравнению с системой без связи, находящейся в положении статического равновесия (см. рис. 2, б, 3, г и 7, а). По сравнению с одной из ранее применяемых методик (см. рис. 7, б) приведенный расчет дает существенное уточнение.
В системе, совершающей вынужденные колебания, выключение связи может как уменьшать пиковые значения перемещений (см. рис. 5 и 9), так и увеличивать (см. рис. 5 и 10). Это зависит от фазы внешней динамической нагрузки в момент выключения связи.
0.946
ВЕСТНИК
О
10
20
N 40 50 60 70
0 1 2 3 4 5
t, с
Рис. 10. График колебаний масс в системе с выключением связи при t = 0,996 с
Использование приведенного алгоритма для расчета систем с выключающимися связями не представляет особой сложности: алгоритм основан на результатах расчетов МКЭ по одному из многочисленных программных комплексов. Полученные значения вводятся как исходные данные в программу, написанную в системе компьютерной математики.
Библиографический список
1. Чернов Ю.Т. К расчету систем с выключающимися связями // Строительная механика и расчет сооружений. 2010. № 4. С. 53—57. Режим доступа: http://elibrary.ru. Дата обращения: 18.06.12.
2. ЧерновЮ.Т., ПетровИ.А. К определению эквивалентных статических сил при расчете систем с выключающимися связями // Вестник МГСУ 2012. № 4. С. 98—101. Режим доступа: http://vestnikmgsu.ru. Дата обращения: 18.06.12.
3. Вычислительный комплекс SCAD / В.С. Карпиловский, Э.З. Криксунов, А.А. Маляренко и др. М. : Изд-во АСВ, 2008. 592 с.
4. Тимошенко С.П., Янг Д.Х., Универ У. Колебания в инженерном деле. М. : Машиностроение, 1985. 472 с.
5. Дарков А.В., ШапошниковН.Н. Строительная механика. М. : Высш. шк., 1986. 607 с.
6. Чернов Ю.Т. Вибрации строительных конструкций. М. : Изд-во АСВ, 2011. 382 с.
7. Salvatore Mangano. Mathematica Cookbook. O'Reilly Media, 2010. 830 p.
8. Перельмутер А.В., Криксунов Э.З., Мосина Н.В. Реализация расчета монолитных жилых зданий на прогрессирующее (лавинообразное) обрушение в среде вычислительного комплекса «SCAD Office» // Инженерно-строительный журнал. 2009. № 2. С. 13—18. Режим доступа: http:// engstroy.spb.ru. Дата обращения: 18.06.12.
Поступила в редакцию в июле 2012 г.
Об авторе: Петров Иван Александрович — аспирант кафедры строительной механики, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет» (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г Москва, Ярославское шоссе, д. 26, [email protected].
Для цитирования: Петров И.А. Расчет двухпролетной неразрезной балки с выключающейся связью // Вестник МГСУ 2012. № 9. С. 148—155.
9/2012
0.996
