CC BY
18
РАСЧЕТ ДИНАМИЧЕСКИХ ДОГРУЖЕНИЙ В СТЕРЖНЕВОЙ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ СИСТЕМЕ С ВНЕЗАПНО ВЫКЛЮЧАЮЩИМИСЯ ЭЛЕМЕНТАМИ
Н.В.КЛЮЕВА, канд. техн. наук, доцент В.А. ГОРДОН, д-р техн. наук, профессор Орловский государственный технический университет
Проблема обеспечения конструктивной безопасности и живучести при проектировании и реконструкции объектов строительства приобретает все большую актуальность. Одной из важнейших задач в решении этой проблемы является задача предотвращения прогрессирующих обрушений конструкций зданий и сооружений. В действующих нормативных документах г. Москвы предусмотрено решение такой задачи применительно к некоторым типам зданий повышенного уровня ответственности и, в частности, к панельным и высотным зданиям [1-3] В этих документах поиволится ояд оекомендаций конструктивного характера по адаптационной приспособляемости зданий в случае внезапного изменения конструктивной, а следовательно, и расчетной схемы. Например, обобщая данные аварийных ситуаций от внезапных запроектных воздействий, рекомендуется несколько вариантов изменения расчетных схем конструктивной системы и проверка конструкций на возникающее при этом изменение силовых потоков. С позиции строительной механики здесь возникает необходимость расчета таких систем как конструктивно нелинейных с динамическими догружениями, вызванными внезапным выключением связей или других конструктивных элементов системы. Решению этой задачи применительно к простейшим балочным системам и плоским рамам в квазистатической постановке посвящен ряд работ [4-6]. В развитие этих исследований в данной работе рассмотрена задача по определению динамических догружений в элементах пространственной рамно-стержневой системы. Для исследования принят характерный фрагмент, пространственной системы многоэтажного каркаса здания с внезапно выключающейся центральной стойкой (рис. 1, а). Расчетная схема заданной конструктивной системы, включающей две расположенные ортогонально двухпролетные неразрезные балки и центральную колонну-стойку, представлена на рис. 1, б. Балки нагружены равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью д. Соединение балок с колонной (узел О) принято жестким. Опирание на другие колонны-стойки (1, 2, 3 и 4) принято шарнирным.
Из-за симметрии конструкции и нагрузки реакции Я во всех крайних опорах одинаковы. Обозначая реакцию в центральной опоре Яо, запишем единственное уравнение равновесия для рассматриваемой системы
£7 = 0' 4Д + Д0=4<?/. (1)
Для определения реакций выберем основную систему (рис. 1, в), удалив лишнюю связь в центре; далее используем метод сравнения деформаций для определения реакции Ло.
Очевидно, прогиб уо основной системы в точке О под действием нагрузок 4д7 и Я0 равен нулю, т.е.
>>0 = 0. (2)
Решая совместно уравнения (1) и (2), определим реакции опор. Прогиб в точке О складывается из двух составляющих:
1. уод - прогиб, вызванный внешними нагрузками
2. уо^ - прогиб, вызванный действием силы Я0.
Рис. 1. Фрагмент исследуемой пространст-~ ' венной системы:
а - конструктивная схема; б - расчетная схема; в - основная система
Тогда уравнение (2) принимает вид:
УО=УОЧ+УОЯ0=°- (3)
Вычислим составляющие прогибало
1. Загрузим основную систему только силами 4д/. Найдем прогиб в точке О. В силу симметрии задачи опорные
реакции равны ql. Приняв начало координат в точке О, запишем изгибающий момент в произвольном сечении х в каждом пролете неразрезной балки:
М = дЩ-х)-
?(/ -хУ
(рис. 2а).
Найдем прогиб уч в произвольном сечении из дифференциального уравне-
•>2
ния:
¿¡Г 2
(4)
X _
Введем безразмерные переменные и параметры £ = —; уд =
Уя
- ц1
я- —
Е1
Тогда уравнение (4) принимает вид:
интегрируя которое получим
( ( > \
е 5
6 6
V ч > /
(5)
(6)
Постоянные интегрирования находим, удовлетворяя граничным условиям
г
при £ = О - 0; при 4 = 1 ->уч =0(...' означает дифференцирование по £). Прогиб в точке О, как следует из формулы (6), у0ч = -Щ / 24.
2. Нагрузим основную систему силой На. Реакции в опорах при этом составят (рис. 2, б): Я = Ко/4
Изгибающий момент в произвольном сечении х (рис. 2, в): М= -Но(1~х)/4. Прогибы в произвольном сечении х каждого пролета системы определяются из уравнения ЕЫ2у^/(1х2 = -Д0(/ - х)/4, или в безразмерном виде
* У*о _ * п
¿Г
(7) 73
где обозначено у^ = у , Я = Я012/(Е1).
Интегрируя уравнение (7) и удовлетворяя граничным условиям: при £ = 0 у'к<1 = 0; при £ = 1 -» у^=0, получим функцию прогибов от
действия силы Я0:
УЯь =
Я_ 12
1-Vi-í
2Ь { 3
В частности, прогиб от силы Rq в точке £ = О будет у^ - Я/12. Используя полученные соотношения уравнение (3) можно представить в
безразмерном виде:
S _ Я - S
--а + — = О =>R=— а или Ял= — а1.
24 12 2 2
Из уравнения (1) получим значения реакции Я:
R = (4ql-R0)/4 = l(4ql-5q/2)/4 = 3ql/S.
Л 1<ат i'n /*м>л 'З у-»\ т> i'i /чг^тiч« /пил
Un ту гтл» л iinmmni/MTTiiTT * т.
nariAvivi nal пиашщг-"......
Т1лЛл» я rr«л
irwwwivi при-
лете пространственной системы:
М = 3ql(l - х) / S - q(l - х)2 ¡2;
q(l- х)2
El
dx¿
3 8'
(8) (9)
или приводя к безразмерному виду и дважды интегрируя, получим
Уст =-
а)
Як
1-х
Ч\чЧ\
в;
0е"
/
R»
Рис. 2. Фрагмент основной системы а - нагружение распределенной нагрузкой; б, в - нагружение силой
Эта функция в дальнейшем используется для формулировки начальных условий динамического процесса, возникающего в системе после внезапного удаления центральной опоры.
Уравнение изгибных колебаний перекрестных балок после внезапного удаления центральной опоры запишем в виде:
El—V- + рА—ir = -q
дхн
dt¿
(И)
при следующих граничных условиях (рис. 3, б)
1. y{l,t) = О, (12,а) 2./(/,0 = 0,
3. У(0,0 = 0, (12, в) 4. У(0,0 = 0.
(12,6) (12, г)
а)
л (
У
б)
I
~7<-
1-х
\Z\V\
^ у 1
№
■ж.
ччччч
/ Ус,
Рис. 3. Определение изгибающего момента а) статического прогиба; б) каждого пролета системы
Условие (12, в) означает, что ввиду симметрии задачи касательная к изогнутой средней линии стержня в точке х = 0 всегда будет горизонтальной. Следовательно, первая производная от функции прогибов в х = 0 будет равна 0. Условие (12, г) означает, что в сечении х = 0 отсутствует перерезывающая сила, так как опорная реакция Л0 исчезла вместе с опорой. Кроме граничных условий, уравнение (11) должно удовлетворять и начальным условиям
У(х,0) = ут (*), Оу/ЩХг0 = 0 . (13)
Приведем уравнение (11) и предельные условия (12), (13) к безразмерному виду, введя следующие безразмерные переменные и параметры:
(14)
Уравнение (11) принимает вид
д^у д2у _
д.Г дтг
соответственно граничные и начальные условия:
1. 5?(1,г) = 0; (15,а) 2. Г(1,г) = 0; (15,6)
3. ?(0,г) = 0; (15,в) 4. ую(0,т) = 0; (15,г)
Ж,0) = 3?еи(#), ду/дт(<0= 0. (16)
Решение неоднородного дифференциального уравнения (14) будем искать, раскладывая его правую часть в ряд по собственным функциям соответствую-
щей однородной задачи
(14')
д? дтл
Разделим переменные в уравнении (14') и в граничных условиях (15), предполагая свободные колебания гармоническими
В результате получим уравнение для форм собственных колебаний 1Р = Щ£) 1Г/У-Л2И' = 0, (17)
и граничные условия для него 1.1^(1) = 0; (18, а) 2. РР"(1) = 0; (18,6)
3. Г(0) = 0; (18,в) 4.И/т(0) = 0. (18,г) Общее решение дифференциального уравнения (17) имеет вид
= + + + 1У0т Кх (#), (19)
где К1 (£) (/ = 1,4) - функции Крылова; - эш
- сое ГЦ + с Ил/Д£
= Шя ; = 2Л :
БШ + #
2лЦ
Кл
соэ
2 2
= 0, или в раскрытом виде К2 (1) - К4 (1) = 0. (22)
№0=Т¥(0), №¿=¡¥'(0), Ж0" = *Г(0), №т(0) - начальные параметры.
Заметим, что функции Крылова связаны между собой соотношениями
К{ = К2, К'2 = К3, = К4, К'4 = Р?К\. (20)
Из граничных условий (18, в) и (18, г) следует, что два начальных параметра, а именно Щ и , равны нулю. Два оставшихся начальных параметра Щ и И^д определяются из граничных условий (18, а) и (18, б):
1^4(1)+ЩК2(1) = 0;
Условием существования ненулевых решений системы уравнений (21) является равенство нулю ее определителя
ад к2(\) т) ад)
Уравнение (22) частотное: совл/я = 0. (23)
Откуда получаем спектр частот собственных изгибных колебаний рассмат-
риваемой конструкции Я„ = ^ ^ * л^ . (24)
Каждой частоте Лп соответствует форма собственных колебаний
ад = +^о А = Щ„(К4„(4) - К2п(0) = Щп С08 • (25)
Далее представляем решение неоднородного уравнения в виде разложения по собственным функциям с неизвестными функциями <2п(т) в виде ко-
эффициентов Щ,т) = ■ (26)
п=\
Функции <2п{т) находим, применяя следующую процедуру:
- подставляем формулу (26) в уравнение (14)
+ (27)
„=1 ¿/г
- из уравнения (17) выразим (£) = %1УП(£); (28)
- подставляя выражение (28) в уравнение (27), получим
П = 1
d2Q„ , i2
л
+ КО,
= (29)
drl
- умножим обе части (29) на , проинтегрируем обе части по £ от 0 до 1 и, используя свойство ортогональности форм собственных колебаний, получим дифференциальные уравнения для функций Q„(t)
^ + A2nQn=Rn,Q0) где обозначено Rn =-)gWn ; (31)
- интегрируя неоднородное уравнение (30) методом вариации произвольных постоянных, получим функции Q„(t) :
en(r) = C,„ sin Л„т + С2„ cos Л„т Согласно (26), функция прогибов имеет вид
и=1
С|„ БШ Я„Т + С2п сое Х^ -
сое
Используя первое начальное условие (16), найдем
Ш,0)= I
С
2 и'
5_5
(2и-1) л-
сое.
8
6Ь 3* 2)
Умножая (32) на сов^/Л^ и интегрируя по ^ от 0 до 1, найдем С2„
20д
(2«-1)2^4 '
Постоянные С]п — О из-за второго начального условия (16). Максимальный прогиб и напряжения в середине пролета будет в центре балки при £ = О
Ж г) _ £
1
пТ1(2И-1)4Л-4
20соз
64
(2«-1)я-
1
(-1)
и+1
16
(33)
(34)
(2«-1)л-
Найдем напряжения в элементах конструкции в исходном статическом состоянии. Безразмерное напряжение в произвольном сечении 0 < % < 1
Уст/д=(5£-4£2-1)/8; _ (35)
Определим координату точки экстремума функции сгтах(£):
£/<7тах
</£ Ь 4
(36)
Для определения числа удерживаемых членов ряда (34), характеризующего напряжения, сравним функции
1)
У
Я
00
1
£0 я=1(2И-1)2Я2
(-1)
п+1
16
— 5
2л-1 . соэ-лд,
(2и-1)ж
полагая что при г = 0 распределение напряжений должно быть как в статическом случае.
2) Уст/я = ~2 -1)/8. Сходимость (34) ряда для напряжений (моментов) (34) должна быть хуже (более медленной), чем ряда для прогибов (из-за степени Яп в знаменателе: ряд (33) - 1/Л2, ряд (34) - 1/Я).
Следовательно, в ряде (34) необходимо удерживать больше членов (п > 5), чтобы удовлетворительно совпадали функции 0 и у"ст /д .
Найдем локализацию и величину наибольших прогибов и напряжений в статическом состоянии конструкций.
Значение производной от прогиба в статическом состоянии (см. уравнение (10)) составит
I. Прогибы уст. Значение производной от прогиба в статическом состояло
нии (см. уравнение (10) составит:
4„2 . 5
--г2 +-г+\
¿1% 84 3 2
Точки экстремума функции (10): минимума £ = 0, максимума ^ = 0,5785
Устщт = ~0,0054? ; устта = 0 . II. Напряжения. Максимальное напряжение в произвольном сечении элементов фрагмента ¿гсттах = - 2 -1)/ 8 . (37)
с1(7 г
Точка экстремума функции (37): ии = — (5 - 8^); 5 - 8£ = 0; ^ = —;
8 8
Найдем напряжения на границах пролета:
- на шарнирной опоре (£ = 1) <7с,„тах = 0.
- над центральной опорой (£ = 0) <тсттах = - ?/8 = -0,125с?.
и»птАл«« * / /)Л П1/Т11М М 1 • ( ЛИ I ^П П1. 1 / М IV II Т</ТИПП 14/11 /У
пинией 14 ОСЛМПЙП^ ПиИ1/С/;»(/М«ИЛ Г»риСИ1/1/и (4 и 1/Ц-
намическом состоянии конструкций (рис. 4).
I. Прогибы. Максимальное значение прогиба будет под удаленной стойкой, т.е. при д = 0 :
Я0,г)
<7
1
7
И^(2«-1)Ч4
-(-1)
л+1
64
(2и-1)я-
■ + 20соз
'т 2 2
— (2и -1) я 4
Максимальные напряжения в этом же сечении:
Стах(0,г) = X
1
„Т1(2и-1)2ж2
(-1)
л+1
16
- - 5 сое
4
(38)
(39)
(2 л-1)*
Графики функций (38) и (39) приведены на рис. 4. Расчеты производились с учетом 10 первых членов рядов в правых частях формул (38) и (39).
Максимальный прогиб и напряжения развиваются примерно в один момент времени г = 1,25 и равны соответственно адин = 1,125с?; \удин | = 0,4?.
Сравнение напряжений:
1. Наибольшее напряжение в статическом состоянии (с центральной опо-рой)% аст =-0,125?.
2. Наибольшее напряжение при квазистатическом удалении центральной опоры согласно формуле 5: сткваз = 0,5? .
V »
а
Рис. 4. Прогибы (1) и напряжения (2) в опасном сечении £ = 0 после внезапного выключения центральной стойки
3. Влияние рассматриваемого изменения условий опирания можно оценивать двумя безразмерными коэффициентами, показывающими во сколько раз напряжения в дефектной конструкции превышают напряжения в исходном статическом (рабочем) состоянии:
78
при квазистатическом структурном преобразовании:
КСквад.наиб. 0,5 . 1 =~=-= F7rsi '
при мгновенном преобразовании: К2 = °_дин наиб' = = 9
Т ст.наиб. 0,125
Полученные зависимости для определения динамических догружений в элементах стержневой пространственной системы при внезапном выключении отдельных элементов позволяют определять не только значения динамических догружений, но и время динамического воздействия. Эти данные необходимы для оценки сооружений и предельных усилий при расчете живучести сооружений [3].
Литература
1. Рекомендации по зашите жилых каокасных зданий пои чоезвычайных ситуациях
• ■ • * • • * » *
[Текст]. - М.: Правительство Москвы, Москомархитектура. - 2002. - 20 с.
2. МГСН 4.19-2005. Временные нормы проектирования многофункциональных высотных зданий и зданий-комплексов в г. Москве. М. - 2006.
3. Алмазов В.О., Белов С.А., Набатников A.M. Предотвращение прогрессирующего разрушения [Текст]. - М.: МГСУ, 09-10 ноября, 2005 г. - С. 128-152.
4. Гениев,Г.А., КолчуновВ.И., КлюеваН.В., ПятшрестовскийКП. Вопросы конструктивной безопасности железобетонных конструкций при внезапных запроектных воздействиях [Текст]: Научн. труды 2-ой Всероссийской (Международной) конференции «Бетон и железобетон - пути НИИЖБ, 2005. - Том 2. -С. 359-367.
5. Бондаренко, В.М.К расчету сооружений, меняющих расчетную схему вследствие коррозионных повреждений [Текст] /' В.М. Бондаренко, Н.В. Клюева // Известия вузов. Серия «Строительство». - 2008. - №1 - С. 4-12.
6. Колчунов В.И., Гордон В.А. К оценке динамических эффектов при внезапных структурных изменениях конструктивных систем [Текст]: Сб. докладов тематической научно-практической конференции «Городской строительный комплекс и безопасность жизнеобеспечения граждан». - М.: МГСУ. Часть I. - С. 189-196.
THE CALCULATION OF DYNAMIC LOADINGS IN THE FRAME - PIVOTAL 3D SYSTEM WITH THE SUDDENLY TURNED OFF STRUCTURAL ELEMENTS
Kliueva N.V., Gordon V.A.
The influence of the type of sudden removal of one of the supports on the stress-strain state of the construction of structural conversion is investigated on the example of the model of the element of many-storied building.
Численные методы расчета конструкций
РАСЧЕТ СОЧЛЕНЕННЫХ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ ЗА ПРЕДЕЛОМ УПРУГОСТИ ПРИМЕНЯЕМОГО МАТЕРИАЛА ПРИ ИСПОЛЬЗОВАНИИ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Ю. В. КЛОЧКОВ, д. т. н., профессор О. А. ПРОСКУРНОВА, аспирант
Волгоградская государственная сельскохозяйственная академия
В настоящее время перед инженерной практикой стоит важнейшая задача рационального использования прочностных свойств применяемого в качестве
