CC BY
126
Расчет диаграмм динамического деформирования металлов и сплавов
Л.А. Мержиевский, А.В. Палецкий
Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН, Новосибирск, 630090, Россия
Приведены результаты расчетов диаграмм динамического деформирования ряда металлов и сплавов. Для расчетов использована модель вязкоупругого тела максвелловского типа, в рамках которой удается совместить описание процессов необратимого деформирования на микро-, мезо- и макроуровнях. Для рассматриваемых материалов построены замыкающие соотношения модели — уравнение состояния при нешаровом тензоре деформации и зависимости для времени релаксации касательных напряжений. Полученные данные позволяют расширить область применимости модели.
1. Введение
Диаграмма деформирования, то есть связь деформирующего напряжения с величиной деформации при одноосном напряженном состоянии, является источником первоначальной информации о поведении материала при нагружении. С ее использованием строятся обобщенные диаграммы деформирования, которые прямо или опосредованно закладываются в основу моделей деформирования. Далее диаграмма деформирования служит тестом для апробации строящихся моделей, так как сравнение расчетных и экспериментально полученных диаграмм показывает степень адекватности модели и очерчивает диапазон ее применимости.
По современным представлениям для расчета поведения и прочности материалов и конструкций необходимо использовать модели, основывающиеся на описании механизмов последовательного развития деформации на разных уровнях, начиная с микроуровня до макроуровня, подчиняющегося законам механики сплошных сред. Грамотное построение такой модели требует анализа масштабных и структурных уровней деформации, выделения соответствующих механизмов деформации и их описания, базирующегося на кинетике элементарных носителей необратимых изменений структуры сре-
ды. В этой связи становится весьма актуальным детальное изучение диаграмм деформирования как макроскопического проявления механизмов на микро- и мезо-структурном уровнях. Первоначально был дан феноменологический анализ диаграмм (кривых течения), позволивший выделить сначала три, а затем — пять стадий на кривых [1]. Далее была выяснена физическая природа стадийности пластических деформаций и установлено однозначное соответствие между стадиями диаграммы деформирования, структурными уровнями и механизмами деформирования [2, 3]. Несмотря на это, в целом ряде моделей эти обстоятельства не учитываются, что приводит к сужению области применимости таких моделей. Так при построении традиционных моделей упругопластического деформирования диаграмма деформирования непосредственно закладывается в модель в виде условия (критерия) пластического (необратимого) деформирования. В этом случае вообще не рассматривается вопрос о связи феноменологической характеристики — диаграммы деформирования — с механизмами необратимого деформирования и не анализируется роль определяющих процесс носителей необратимых деформаций. Здесь сравнение расчетных и экспериментальных диаграмм показывает, в первую
© Мержиевский Л.А., Палецкий А.В., 2001
очередь, насколько адекватно выбрано условие пластичности и какова принятая в модели степень идеализации процесса.
Первые попытки учесть физический механизм и кинетику элементарных носителей необратимой деформации были предприняты при построении дислокационных моделей, наибольшую известность и широкое развитие среди которых получила модель [4]. Хотя эта модель, построенная для описания одномерных процессов, и допускала обобщение на пространственный случай [5], ее применение сдерживалось недостатком информации о кинетике дислокационного ансамбля в условиях пространственного нагружения для конкретных материалов. В одномерном варианте модель позволяла описать идеализированную диаграмму деформирования [6, 7].
Рассмотрение пластической (необратимой) деформации с позиций физической мезомеханики материалов [3, 8, 9] позволяет строить все более совершенные модели деформирования, базирующиеся на детальном анализе реализующихся механизмов. При этом необходимо сочетание описания этих механизмов и их макроскопических проявлений. Одной из основ, позволяющих осуществить такое сочетание, является вытекающий из детального анализа механизмов релаксационный характер необратимого деформирования. Этому отвечает сформулированный еще в позапрошлом веке на интуитивно-феноменологическом уровне и развитый в [10] максвелловский подход. Учет микро- и мезострук-турных механизмов необратимого деформирования введен в данную модель через соответствующее построение зависимостей для времени релаксации касательных напряжений (для сплошного материала) [11] и времен релаксации касательных напряжений и плотности (для пористых сред) [12].
В излагаемой работе для построения диаграмм динамического деформирования ряда металлов и сплавов использована упомянутая выше модель сплошного материала. Ее использование для решения конкретных задач требует предварительного построения замыкающих соотношений — зависимостей для времени релаксации касательных напряжений и уравнения состояния материала при нешаровом тензоре деформаций. Их построение является гораздо более сложной задачей и является одной из основных целей данной работы.
2. Формулировка модели
Полная механико-математическая формулировка уравнений используемой в работе модели упруговязкого тела максвелловского типа детально изложена в [10]. Для решения поставленных задач достаточно использовать систему уравнений модели в плоском нестационарном одномерном случае в главных осях координат (предполагается, что главные оси тензоров напряжений и деформаций совпадают), которая имеет вид:
Эр + Э(рм) = 0 д(ри) + д(рм_-о1) = 0
дt дг ’ дt дг ’
д[р(Е + и 2/2)] д[ри(Е + и 2/2) — 0"1и]
дt
дг
= 0,
дк2 дк2 d2 дк3 дк3 d3
—2 + и—2 + —2 = 0, —3 + и—3 + ^ = 0, дt дг т дt дг т
Е = Е(к,, 5), т = т(К, ^),
дЕ дЕ дЕ
СТ1 = рЧТ~, ^2 = р^_, °3 =р"
дк1
г~дЕ, р.
дк
р0
дк
д5 ехр(к1 + к2 + к3) d1 = к1 — q, d2 = к2 — q, d3 = к3 — q,
q =11п ~ = 1(к1 + к2 + К3).
3 р 3
Здесь р0, р — начальная и текущая плотности среды; и — скорость; t, г — время и пространственная координата; Е — удельная внутренняя энергия; стг-, к, — главные напряжения и логарифмы коэффициентов растяжения вдоль главных осей, i = 1, 2, 3; 51 — энтропия; Т — температура; т — время релаксации касательных напряжений. Как следует из приведенной системы, для ее замыкания необходимы зависимости
Е = Е(к, 5), т = т(к, 5).
Остановимся более подробно на методе построения этих зависимостей, тем более, что через функцию т = = т(к1, 5) в модель вводятся элементы описания микро-и мезоструктурных механизмов необратимого деформирования.
3. Построение уравнения состояния
Наиболее удобной формой представления уравнения состояния является связь изменения удельной внутренней энергии Е с компонентами тензора деформаций ег>- и энтропией 51:
Е = Е(е*., 5).
Используя в качестве меры деформаций тензор Генки, в главных осях имеем
Е = Е(к1, к2, кз, 5X
где к, i = 1, 2, 3 — логарифмы коэффициентов растяжения вдоль главных осей. Так как рассматривается уравнение состояния, а не определяющие уравнения, то Е должна быть связана не с к,, а с инвариантами тензора. Для выбранного тензора деформаций инварианты (8 — первый, D — второй, А — третий) запишутся в виде:
где
8 = ехр[—(к1 + к2 + к3)],
Б = + d2 + dз2 )/2,
А = dld1dз = (dl + d^ + dз )/3, di = к, — q,
q = (к1 + к2 + к3)/3, i = 1, 2, 3.
В гидродинамическом случае Е = Е(8, 5),
что оправдано, если тензор деформаций шаровой или близок к шаровому. В моделях упругопластического деформирования обычно используют уравнение состояния в форме
Р = Р(8, 5), Р = — (о1 + о2 + °3)/3,
где о,, i = 1, 2, 3 — главные напряжения. Для перехода к Е можно применить термодинамическое соотношение
й2 дЕ р=р0818,
р0 — начальная плотность вещества. В случае, когда тензор деформаций (и напряжений) существенно нешаровой, наиболее полное уравнение состояния должно иметь вид:
Е = Е(8, D, А, 5).
(1)
Построение любого уравнения состояния базируется на некотором наборе экспериментальных данных, получаемых в целенаправленных исследованиях. Результаты таких исследований, позволившие бы сформулировать уравнение вида (1), в настоящее время отсутствуют, поэтому ограничимся построением зависимости в виде
Е = Е(8, В, 5).
(2)
Естественно, это ограничивает применимость получаемого соотношения, однако можно надеяться, что область экстраполяции (2) может быть расширена за счет выбора входящих в (2) коэффициентов. Дополнительным аргументом в оправдание возможности широкого использования уравнения состояния в форме (2) является то, что величина А при малых деформациях сама будет величиной третьего порядка малости. Как и при построении обычного уравнения состояния Ми-Грю-найзена, представим (2) в виде суммы упругой (холодной) Ех и тепловой Ет составляющей:
Е(8, В, 5) = Ех(8, В) + Ет(8, 5).
(3)
В тепловой составляющей не будем выделять слагаемые, соответствующие тепловому движению атомов и тепловому возбуждению электронов. Это отвечает ориентации строящегося уравнения преимущественно на
точное описание поведения вещества в области умеренных нагрузок и температур, когда электронной составляющей энергии можно вообще пренебречь. В качестве зависимости упругой составляющей Еот 8 примем выражение, получаемое с помощью потенциала Борна-Майера [13]:
Ех(8) = -3А- ехр[(1 — 8—13)]+ — 813, (4)
4р0 р0
где А, А1, К — постоянные, связанные с параметрами, характеризующими материал, и подлежащие определению. Из (4) следуют соотношения для упругой составляющей давления рх (8) и соответствующей объемной скорости звука ах(8):
,Рх(8) = Ро8
2 ЭЕХ(8)
Э8
= А82/3 ехр[А1 (1 - 8-1/3)] - К843,
^х2(8) =
±_ Фх.
Р 0 д8
(5)
2А 8-1/3( 1 + А8-1/3 ]ехр[А1(1 -8-1/3)]- — 81/3.
3р
3Р0
Так как в рассматриваемом случае Ex = Ex (8, В), то
(6)
аде) = 2і2(8),
дВ
где ^(8) — скорость распространения поперечных звуковых возмущений (поперечная скорость звука), причем
д^(8, 0) = Px(8, 0) = Px(8) д8 Р082 Р082 ’
дPx (8, 0) = dPx (8) д8 d 8 '
Воспользовавшись соотношением (6), получаем
Ex(8, В) = Ex(8) + 2bX (8)В,
(7)
откуда следует, что для построения уравнения состояния в форме (3) необходимо иметь зависимость ^(8).
Из известной связи между упругими модулями (модулем Юнга, сдвига и всестороннего сжатия) следует связь между поперечной, объемной и продольной ^ (8) скоростями звука:
Ъ2(8) = 3С2(8) - ax2(8))/4.
(8)
При 8 = 1 пару базовых упругих модулей несложно определить экспериментально. Сложнее определить эти величины при 8 > 1. Известные методы определения скоростей звука в сжатом веществе предполагают сжатие ударной волной (методы догоняющей и боковой разгрузки), то есть могут дать значения параметров только
при неизоэнтропическом сжатии. Квазистатические методы измерения сложны, требуют дорогостоящего оборудования и позволяют достичь в стандартных лабораторных условиях значений 8, не на много превосходящих единицу. В этой связи приходится, в основном, ориентироваться на теоретические подходы, в особенности для определения зависимости Ьх (8). На этом пути проще всего, присоединив к (8) соотношение, связывающее дебаевскую температуру 0(8) с сх (8) и Ьх (8) [13]:
22
0 3(8)
(9)
и дополнив (8), (9) выражением для ах (8) из (5) (здесь еще предстоит определить постоянные А, А1, К), получить замкнутую систему уравнений для вычисления сх (8) и Ьх (8). В выражении (9) h — постоянная Планка; к — постоянная Больцмана; L — число Авогадро; ц — молярная масса; V — число атомов в молекуле вещества.
Зависимость дебаевской температуры от 8 получим, воспользовавшись соотношениями для коэффициента Грюнайзена Г(8), для которого, с одной стороны, имеем [13]
Г(8)= дП0, д 1п 8
а с другой стороны, по формуле Ландау-Слейтера
Г(8) =
У д2px(8)/дУ2 2
2 дPx(8VдУ 3’
(V — удельный объем). Из этих выражений получаем
0(8) = 008”+13д/ а2 (8)/а2 (1), (10)
где т = Г0 - —
1 А( А12 + 2 А1 + 2) - 12К
0 0 =0(1), Г0 =
6 А( А1 + 2) — 4К
= Г(1). Аналогичные зависимости для 0(8) можно получить, используя вместо формулы Ландау-Слейтера другие известные соотношения, связывающие коэффициент Грюнайзена с рх (8), которые будут отличаться от приведенного выражением т через постоянные А, А1, К.
При построении зависимости для тепловой составляющей энергии Ет (8, 5) наиболее сложным является определение теплоемкости вещества, характеризующей энергоемкость решетки. Для определения теплоемкости необходимо установить ее связь с параметрами, описывающими колебания атомов (ионов) относительно положения равновесия. Здесь, в первую очередь, необходимо решить вопрос о функции распределения собственных частот колебаний. Наибольшее распространение получила теория Дебая [13], с хорошей точностью описыва-
ющая тепловые свойства твердых тел, в частности их теплоемкость, в широком диапазоне изменения температуры. Следуя этому подходу, будем считать, что
Ет (8, 5) = 0(8^(Я),
(11)
где
0
/ (5) =
3Rv
: + 5Q(1/ 5)
3
Q(5)=-1
X 2d X
ех -1’
5 =11 (*) + /
3 52
Функция Дебая Q(s) хорошо изучена; известны зависимости, приближающие Q в области как высоких, так и низких температур [13]. Для задач ударного и высокоскоростного деформирования можно считать, что температура не опускается намного ниже дебаевской, тогда
Q(s) = 1 — 3 5 + 0.055 2,
8
откуда
3Яу I. , 0.05 / 00 =-----1 +
5=
3Яv
1п 5 +
0.025
-5
Здесь 5 0 — значение энтропии в начальном состоянии. В этом случае
Ет (8, 5) = 5 + -°^|0(8).
(12)
Таким образом, получены выражения для слагаемых, из которых складывается полная энергия, причем в случае произвольной температуры Ет вычисляется по (11), а для условий динамического нагружения — по (12).
Для завершения построения уравнения состояния необходимо также указать способ определения постоянных А, А1, К.
Из условия равенства нулю давления при нормальных (начальных ) условиях получаем связь А с К:
К = А + Г0Р000-
3Rv
0.05
50 =-
0
где Т0 — начальная (комнатная) температура. Постоянные А, А1 получаются, как и в [13], из условия наилучшего согласования расчетной ударной адиабаты с экспериментальной.
В изложенном варианте уравнения состояния при каждом обращении необходимо для определения ско-
ростей звука ах(8), Ьх(8) численно решать систему (8)-(10). Во избежание этой процедуры было проведено численное решение системы, результаты которого оказалось возможным аппроксимировать с хорошей точностью степенными функциями:
аХ(8) = а08Р, Ьх2 (8) = ^,
0(8) = 0О8Г(),
ах(1) = а0. Ьх(1) = Ь0>
СХ (8) = а028р + 3 Ь2^.
Эти выражения в дальнейшем включены в уравнение состояния.
Подытоживая проделанные выкладки, окончательно получаем уравнение состояния сплошного вещества при нешаровом тензоре деформаций в виде:
Е(8, Б, 5) =
2
а0
Р( Р —1)
(8р — 1) +
( „2
с0 К — А
Р — 1 р0
(8—1 —1) + 3(АА1 — К). р0
+ 2Ь028“Б + —008Г0 [ 8 + °-°5
5 = 3^( 1п 8 + ^ ) — 5 0,
где постоянные р0, 00, V, ц, а0, Ь0,р, q, Г0, R, А, А1, К определяются для каждого конкретного материала.
4. Построение зависимости для времени релаксации касательных напряжений
Впервые, по-видимому, идея о релаксационном характере необратимого деформирования была сформулирована Д.К. Максвеллом [14]. В качестве иллюстрации было выписано соотношение, получившее в дальнейшем широкую известность как определяющее уравнение реологической модели Максвелла. В рамках существовавших в то время представлений механизм необратимой деформации и сопутствующей релаксации напряжений любой конденсированной среды рассматривался как макроскопический результат перегруппировок ее молекул (атомов) и перемещений разнообразных комплексов этих молекул к такому (стабильно-равновесному) расположению, при котором энергия взаимодействия совокупности молекул, образующих рассматриваемое тело, и, соответственно, его свободная энергия, имеют минимальное значение. Это однозначно коррелирует с современным приложением теории сильно возбужденных состояний в кристаллах к проблеме пластичности и прочности твердых тел [8]. С формированием
представлений физической мезомеханики появилась возможность более точно и полно указать механизмы реализации необратимых деформаций, связав их с конкретными носителями и развитием процессов на разных масштабных и структурных уровнях [2, 3, 8, 9].
Детальная классификация масштабных и структурных уровней необратимой деформации и подробный анализ связи между механизмами ее реализации и элементарными носителями даны в [2, 8]. Следующие отсюда два важнейших вывода являются базой предлагаемого построения зависимостей для времени релаксации касательных напряжений. Первый — это обоснованный и сформулированный принцип масштабной инвариантности в деформируемом твердом теле [9]: «механизмы деформации, их носители и соответствующие стадии кривой «напряжение - деформация» на различных масштабных уровнях являются масштабно инвариантными». Второй — вывод об определяющей роли в процессе необратимого деформирования эволюции, строения и свойств дислокационного ансамбля [2, 8], понимаемого в самом широком смысле. Сказанное позволяет строить зависимости для времени релаксации касательных напряжений исходя из описания кинетики дислокационного ансамбля и надеяться с их помощью описать полную кривую течения.
Как показано в [8], в основе стадийности диаграмм деформирования лежат сложные процессы формирования дислокационных структур и их последовательная эволюция. Включение описания всех деталей механизма развития необратимой деформации привело бы к созданию громоздкой, трудно реализуемой при решении конкретных задач математической модели. Кроме того, было бы необходимо существенно изменять структуру модели в соответствии с особенностями поведения конкретных моно- и поликристаллов, что привело бы к потере общности модели. Ситуацию облегчает то обстоятельство, что деформационные структуры по мере развития деформации возникают не случайным образом, а в строго определенной последовательности, и соответствующая структурам шкала скалярной плотности дислокаций носит вполне определенный характер [8]. Все это позволяет свести модельное, то есть упрощенное, описание процесса с точки зрения релаксационного механизма необратимой деформации к отслеживанию изменения скалярной плотности дислокаций и соответствующей реализуемым условиям доли подвижных дислокаций. На этом упрощении основан предлагаемый метод построения зависимости времени релаксации касательных напряжений от параметров, характеризующих состояние среды. Метод неоднократно апробирован на описании необратимого деформирования ряда металлов в условиях динамического нагружения [11, 15].
Для построения зависимости т = т(к1, 5) используется естественное предположение о том, что время ре-
+
лаксации касательных напряжений обратно пропорционально скорости необратимой деформации. Тогда, используя известное соотношение Орована, имеем
т = -
(13)
ьыг’
где а — коэффициент пропорциональности, подлежащий определению на основе сопоставления результатов расчетов с экспериментальными данными; Ь — модуль вектора Бюргерса; N V — плотность подвижных дислокаций на единицу объема и их средняя скорость. В этом соотношении а и другие параметры зависят от температуры, что позволяет провести построение с учетом влияния температуры на процесс релаксации.
Анализ экспериментальных данных показывает, что основной вклад в увеличение числа дислокаций, в том числе подвижных, вносит двойное поперечное скольжение [4]. Интегрирование соответствующего уравнения дает линейную связь числа дислокаций Мт с величиной пластической деформации 8 (интенсивностью пластических деформаций):
Ыт = Ы0 + М8,
где М— коэффициент размножения дислокаций. Отсюда для плотности подвижных дислокаций получается соотношение [4]:
N = (Ы0 + М8) ехр(-Н/а),
где Н — коэффициент деформационного упрочнения; а — интенсивность касательных напряжений. Для средней скорости движения дислокаций построен целый ряд зависимостей, аппроксимирующих относительно небольшое количество экспериментальных данных. Наиболее точно и полно в широком диапазоне изменения величины нагрузки экспериментальные зависимости описываются зависимостью
V = У0 ехр(-а,/а),
где V0 — предельная скорость движения дислокаций, равная сдвиговой скорости звука; а, — характеристическое напряжение торможения. Данная форма зависимости учитывает функцию распределения скоростей дислокаций. Подстановка выражений для N и V в (13) приводит к зависимости для времени релаксации в форме
т = -
N 0 + Ме
ехр
а
(14)
где т о — параметр, зависящий от температуры. Использование (14) в качестве замыкающего соотношения модели вязкоупругого тела максвелловского типа при расчете диаграмм деформирования (постановка соответствующей задачи приводится ниже) приводит к кривым течения, характерным для линейно упрочняющегося
0.8
0.6
0.4
0.2
су-1 , ГПа , О
/X/
/у // //// /а/
/ у у4 ( /Л/ //у
8
8 24
Рис. 1. Диаграммы деформирования упрочняющегося материала
упругопластического тела. Сказанное иллюстрируется на рис. 1, где приведены рассчитанные диаграммы течения алюминиевого сплава в сравнении с экспериментальными данными [ 16] (показаны на рисунке кружками и пунктирной линией). Кривые соответствуют скоростям деформации от 10 до 104 с-1. При отсутствии деформационного упрочнения (модель идеального упругопластического тела; для реальной диаграммы деформирования — описание на уровне площадки текучести) Н = 0 зависимость для времени релаксации принимает вид:
т=
N о + Ме
ехр
а
(15)
Типичные диаграммы деформирования, полученные при использовании (15), показаны на рис. 2 (железо, скорости деформации меняются от 10 до 105). При анализе экспериментальных результатов и построении соответствующих моделей особого обсуждения требует вопрос о так называемой ниспадающей ветви диаграммы деформирования. Не вдаваясь в суть дискуссии, укажем, что предлагаемый подход позволяет моделировать и диаграммы деформирования с ниспадающей ветвью. Для этого в уравнении для плотности подвижных дислокаций следует учесть возможность взаимной блокировки дислокаций с ростом их числа, вероятность которой в пренебрежении более чем парными «столкновениями» будет пропорциональна квадрату плотности всех дислокаций [4]. В этом случае соответствующее уравнение для числа подвижных дислокаций принимает вид
N = (N0 + Ме) ехр
- Не-hе2
а
т
а
т
Рис. 2. Диаграммы деформирования идеально упругопластического материала
где Н — коэффициент истощения. Зависимость для времени релаксации в этом случае записывается в форме
т = -
N 0 + Иг
exp
at + Нг- Нг2 а
(16)
Соответствующие (16) расчетные диаграммы деформирования для условий рис. 1 приведены на рис. 3. На этом рисунке экспериментальные данные [16] пересчитаны на условную диаграмму деформирования и носят чисто иллюстративный характер.
Таким образом, приведенные результаты показывают, что предложенный подход позволяет описывать любые типы диаграмм деформирования на основе соответствующей кинетики дислокационного ансамбля. Более детальное описание реальных диаграмм требует дальнейшего совершенствования и уточнения кинетических соотношений, которые должны передавать особенности эволюции дислокационного ансамбля, подробно проанализированные в [8].
на основе косвенных экспериментальных данных. Такие методики были разработаны и описаны в [11, 17, 18]. В первой из них экспериментальной базой служит зависимость величины напряжения течения (предела текучести) от скорости деформации, во второй — данные достаточно просто реализуемых экспериментов по ударному сжатию компактных цилиндров из исследуемого материала при условии однородности деформации.
В более часто используемой методике [11, 17] искомыми значениями параметров считаются те их значения, которые доставляют минимум функционалу, выражающему собой сумму квадратов относительных отклонений величин экспериментальных пределов текучести, зависящих от скорости деформации, от их расчетных значений. Задача о минимизации функционала достаточно сложна, тем более, что оказалось, что его линии уровня имеют «овражную» структуру, поэтому для отыскания минимума требуется применение специальных методов. В упрощенном варианте метода решается достаточно большое количество прямых задач, в которых рассчитываются диаграммы деформирования тонкого стержня в условиях одноосного напряженного состояния при различных значениях входящих в (14)—(16) параметров, а выбор параметров осуществляется на основе наилучшего совпадения с экспериментальными данными. Как в том, так и в другом случаях, в основе метода лежит решение задачи о деформации тонкого стержня, на формулировке которой остановимся подробнее.
Пусть тонкий стержень с первоначальной длиной 10 подвергается одноосной деформации в направлении оси 0г. Предположим, что левый конец стержня закреплен в точке r = r0, а правый перемещается с постоянной скоростью w0, так что координата правого конца изменяется линейно:
r1(t) = l0 + w0t•
При однородной деформации скорость перпендикулярных оси сечений стержня будет линейно распределена по длине, то есть
5. Определение параметров зависимостей (14)-(16)
Соотношения (14)—(16) дают функциональную связь между параметрами, характеризующими состояние среды и временем релаксации касательных напряжений. Входящие в них постоянные (при фиксированной температуре) имеют физический смысл и, вообще говоря, могут быть вычислены через параметры кинетических соотношений, описывающих эволюцию дислокационного ансамбля, или определены из специальных экспериментов. В настоящее время параметры дислокационных кинетик если и известны, то только для ограниченного числа материалов, в основном для монокристаллов. Это обстоятельство потребовало разработки методик определения параметров соотношений (14)—(16)
0.4
0.2
су-i , ГПа
/ / ^ V к
£
24
Рис. 3. Диаграммы деформирования материала, испытывающего упрочнение и последующее разупрочнение
т
Рис. 4. Диаграммы деформирования мартенситно-стареющей стали, содержащей 18 % № и 0.6 % Т^ пунктир — экспериментальные данные [19]
Рис. 5. Диаграммы деформирования закаленной и отпущенной низколегированной стали 35 № Сг Мо V 125
и (г, 0 = и>0
гі0)
Отсюда скорость деформации £ вычисляется по формуле
£= Эм = ио = И) дг г1 10 + и0,
Считая деформации малыми (что обычно соответствует условиям экспериментов), имеем
А/ и0,
— = —^ << 1,
Iл
00 откуда £ =
/0 ■
Так как рассматривается тонкий стержень, то а 2 = = аз = 0, а в силу симметричности задачи относительно оси г и ввиду изотропности материала имеем А_ = А3. Вследствие уже сделанного предположения об однородности деформации все величины в исходной системе уравнений являются функциями только времени, поэтому в итоге система упрощается и окончательно для описания однородной одноосной деформации тонкого стержня принимает вид:
= ?_ ^ = Ьт =
d, _ т ’ d, _ Т т ’ а =Р дА ’ = 95 ’
= * - *1 + *2 + *3 ,
, і = 1, 2, 3
а2 =а3 = 0, *2 = *3, т = т(*, £), Е = Е(*, £).
В данной работе для решения сформулированной задачи использовался метод Рунге-Кутты четвертого порядка точности.
6. Результаты расчетов
Большая часть расчетов проведена для различных типов стали. Чаще всего в экспериментальных исследованиях получены только начальные участки диаграмм деформирования, позволяющие оценить величину предела текучести. Для этих случаев рассчитывались начальные участки кривых течения с использованием (15). На рисунках 4-6 приведены данные расчетов для трех высокопрочных сталей: мартенситно-стареющей стали, содержащей 18 % № и 0.6 % Тц закаленной и отпущенной низколегированной стали 35 NiCrMoV125; полностью аустенитной стали, содержащей повышенное количество азота и 21%Сг, 15%№, 7%Мп и 3%Мо. Экспериментальные данные об этих сталях, показанные пунктирными линиями или разными значками, приведены в [19] и объединены общей методикой испытаний. На рис. 4 кривые 1-6 соответствуют скоростям деформации £ = 10-3; 2; 3.9-102; 5.1*103; 104; 105 с-1; на рис. 5
Рис. 6. Диаграммы деформирования полностью аустенитной стали, содержащей повышенное количество азота и 21% Сг, 15 % №, 7 % Мп и 3 % Мо
су-1 , ГПа
Рис. 7. Диаграммы деформирования стали 50
су-1, ГПа -1.5 -
Рис. 8. Диаграммы деформирования стали 60С2
£ = 3-10-4; 1.6; 6-102; 4.2-103; 104; 105 с-1, начиная с нижней кривой соответственно; аналогично на рис. 6 £ = = 5-10-4; 2; 5-103; 104; 105 с-1. Экспериментальные данные по остальным сталям взяты из различных справочников. На рис. 7 приведены данные расчета для стали 50, £ = 10-2, ..., 105 с-1 для кривых 1-8 соответственно; на рис. 8 — для стали 60С2, £ = 10-2, ..., 105; рис. 9 — сталь 08КП, £ = 10-1, ., 105 с-1; рис. 10 — сталь 10СП, £ = 10-1, ..., 105 с-1.
Параметры зависимостей (14)—(16), полученные по описанной выше методике и использованные в расчетах, результаты которых показаны на рисунках, для сталей и остальных материалов приведены в таблице.
Итоговый для расчетов диаграмм деформирования сталей рисунок 11 демонстрирует зависимости динамического предела текучести ат от скорости деформации. Здесь значками показаны экспериментальные данные, сплошные линии—расчет, кривая 1 соответствует рис. 4,
2 — рис. 5, 3 — рис. 8, 4 — рис. 7, 5—рис. 6, 6—рис. 9,
7—рис. 10. Как следует из рисунка, расчет хорошо описывает экспериментальные данные в широком диапазоне изменения скорости деформации.
Следующий расчет проведен для полностью отожженного титанового сплава, содержащего 6% А1 и 4% V, данные [20] получены методом разрезного стержня Гоп-кинсона. Диаграммы деформирования показаны на рис. 12, экспериментальные точки и первые четыре диаграммы соответствуют скоростям деформации £ = = 4* 10-2; 8*10-2; 1.5; 20 с-1, остальные получены при £ = = 102,..., 105 с-1. Зависимость ат(£) приведена на рис. 13.
Далее моделируются диаграммы деформирования алюминиевых сплавов. Примеры диаграмм сжатия и растяжения АМг-6 при разных температурах испытаний приведены на рис. 14, 15 (эксперименты [21]). На первом из них кривые 1, 2 (верхние) — эксперименты на сжатие при температуре 25 °С — соответствуют
0.001 0.003 8
Рис. 9. Диаграммы деформирования стали 08КП
0.001 0.003 8
Рис. 10. Диаграммы деформирования стали 10СП
Рис. 11. Зависимость динамического предела текучести сталей от скорости деформации
Рис. 14. Диаграммы деформирования АМг-6
Рис. 12. Диаграммы деформирования полностью отожженного титанового сплава, содержащего 6 % А1 и 4 % V
Рис. 15. Диаграммы деформирования АМг-6
Рис. 13. Зависимость динамического предела текучести титанового сплава от скорости деформации
Рис. 16. Зависимость динамического предела текучести АМГ-6 от скорости деформации
£ =1.16*103 и 4.9* 102 с-1; 3, 4 — растяжение при 250 °С с £ = 1.32* 103 и 7.2*102 с-1. На рис. 15 1, 2 — сжатие при температуре 25 °С и £ = 1.2* 103 и 4* 102 с-1; 3, 4 — растяжение при 250 °С, £ = 1.3* 103 и 3.6* 102 с-1. Можно
отметить две особенности полученных результатов: наличие сильного деформационного упрочнения и меньшее значение напряжений течения в случае растяжения образцов по сравнению со сжатием.
Таблица
Материал Модуль Юнга, ГПа G, ГПа To -10, мкс-см2 а(, ГПа H, ГПа h, ГПа T , о Я
Сталь 35 211.00 81 10-7 51.6 23.0 — 298
Мартенситно стареющая сталь 211.75 81.43 10-4 83.4 — — 298
Aустенитнaя сталь 215.00 82.00 110-7 30.4 87.0 141 298
08КП 194.24 75.78 103 5.55 — — 300
10СТ 209 78.4 103 5.19 — — 300
Огаль 50 215.82 83.00 103 9.8 — — 300
Огаль 60C2 214.00 80.25 10-11 56 — — 300
AM^ 71.4 27 300 2.23 34 — 298
AM^ 71.4 27 300 2.14 24.5 — 423
AM^ 71.4 27 300 2.04 20 — 523
AM^ 71.4 27 300 1.9 14.5 — 298
Полный набор результатов расчета диаграмм деформирования в сравнении с экспериментальными данными [21, 22] показан на рис. 16. Здесь кривая 1 — сплав АД-1, растяжение, температура 250 °С; кривая 2 — АД-1, растяжение, 25 °С; 3 — Д-16, растяжение, 250 °С; 4 — Д-16, растяжение, 250 °С; кривые 5-7 — АМг-6, сжатие, температуры 25, 150 и 250 °С соответственно; 8 — АМг-6, растяжение при 25 °С.
Результаты определения параметров зависимостей, приведенные в таблице, позволяют оценить влияние температуры на величины стт и Н. Подробный анализ влияния изменения температуры на эти величины был проведен в [11].
7. Заключение
Проведенное исследование является необходимым этапом развития модели вязкоупругого тела максвелловского типа — построением замыкающих соотношений модели, проведенным на основе учета механизмов необратимой деформации на различных масштабных и структурных уровнях. Построены и замкнуты уравнения состояния ряда сталей, титанового и алюминиевых сплавов при нешаровом тензоре деформаций. Для этого же набора материалов выписаны зависимости времени релаксации касательных напряжений от параметров, характеризующих макроскопическое состояние среды. Полученные зависимости позволяют описывать любые типы диаграмм деформирования материалов — от простейших идеально упругопластического типа до максимально приближенных к реальным экспериментальным диаграммам. Это определяет возможности модели в отражении свойств конкретных материалов.
Литература
1. Белл Дж.Ф. Экспериментальные основы механики деформируемых твердых тел. Часть II. Конечные деформации // М.: Наука, 1984. - 432 с.
2. Конева Н.А., Козлов Э.В. Физическая природа стадийности пластической деформации // Изв. вузов. Физика. - 1990. - Т. 33. -№2. - С. 89-106.
3. Панин В.Е. Методология физической мезомеханики как основа построения моделей в компьютерном конструировании материалов // Изв. вузов. Физика. - 1995. - Т. 38. - № 11. - С. 6-25.
4. Гилман Дж.Дж. Динамика дислокаций и поведение материалов при ударном воздействии // Механика. - 1970. - № 2. - С. 96-124.
5. Мержиевский Л.А. Трехмерное обобщение упругопластической модели Д.Д. Гилмана // Динамика сплошной среды. - 1983. -Вып. 59. - С. 158-163.
6. Нигматулин Р.И., Холин Н.Н. К модели упругопластической среды
с дислокационной кинетикой пластического деформирования // Механика твердого тела. - 1974. - № 4. - С. 131-146.
7. Kelly J.M., Gillis P.P. Continuum descriptions of dislocations under stress reversals // J. Appl. Phys. - 1974. - V. 45. - No. 3. - P. 10911096.
8. Панин В.Е., Гриняев Ю.В., Данилов В.И. и др. Структурные уровни
пластической деформации и разрушения // Новосибирск: Наука, 1990. - 255 с.
9. Панин В.Е. Современные проблемы пластичности и прочности твердых тел // Изв. вузов. Физика. - 1998. - Т. 41. - № 1. - С. 734.
10. Годунов С.К. Элементы механики сплошной среды // М.: Наука, 1978. - 304 с.
11. Мержиевский Л.А., Шамонин С.А. Построение зависимости времени релаксации касательных напряжений от параметров состояния среды // ПМТФ. - 1980. - № 5. - С. 170-179.
12. Мержиевский Л.А., Тягелъский А.В. Моделирование динамического сжатия пористого железа // ФГВ. - 1994. - Т. 30. - № 4. -С. 124-133.
13. Жарков В.Н., Калинин В.А. Уравнения состояния твердых тел при высоких давлениях и температурах // М.: Наука, 1968. - 311 с.
14. Максвелл Д.К. Строение тел // Д.К. Максвелл. Статьи и речи. -М.: Наука, 1968. - С. 182-192.
15. Мержиевский Л.А., Реснянский А.Д. Численное моделирование ударно-волновых процессов в металлах // ФГВ. - 1984. - Т. 20. -№ 5. - С. 114-122.
16. Попов Н.Н., Иванов А.Г., Стрекин В.П. и др. Получение полных диаграмм растяжения сплавов АМг6 и МА18 при скоростях деформации 10-3 103 с-1 // Проблемы прочности. - 1981. - № 12. -
С. 50-54.
17. Мержиевский Л.А., Шамонин С.А. О выборе зависимости для времени релаксации касательных напряжений //Динамика сплошной среды. - 1986. - Вып. 74. - С. 55-67.
18. Мержиевский Л.А., Букаемский А.А. Определение времени релаксации касательных напряжений некоторых металлов // Динамика сплошной среды. - 1983. - В. 62. - С. 18-22.
19. Мейер Л.В., Кунце Х.Д., Сейферт К. Динамические свойства высокопрочных сталей при растяжении // Ударные волны и явле-
ния высокоскоростной деформации металлов. - М.: Металлургия, 1984. - С. 61-67.
20. Мейден КДж., Грин С.Дж. Испытание на скоростное деформирование при сжатии для шести материалов при скоростях деформации от 10-3 до 104 мм/с // Труды американского общества инже-неров-механиков. Сер. Прикладная механика. - 1996. - Т. 33. -
№ 3. - С. 20-30.
21. Глушак Б.Л., Игнатова О.Н., Пушков В.А. и др. Динамическое деформирование алюминиевого сплава Амг-6 при нормальной и повышенной температуре // ПМТФ. - 2000. - № 6. - С. 139-143.
22. Пушков В.А., Новиков С.А., Синицын В.А., Говорунов И.Н. Исследование динамических диаграмм одноосного сжатия алюминиевых сплавов АД-1, АМг-6 и Д-16 // Экстремальные состояния вещества. Детонация. Ударные волны. Тез. докл. III Харитоновских тематических научных чтений. - Саров, 2001. - С. 148-149.
